BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk tak tetu ugsi aljabar Kosep turua ugsi sagat bergua membatu memecahka masalah ekoomi, amu demikia kosep turua ugsi didasarka atas kosep it ugsi. Demikia pula siat-siat turua ugsi didasarka atas siat-siat it ugsi. Oleh karea itu agar dapat memahami kosep turua ugsi dega baik, diperluka pemahama it ugsi beserta siat-siatya. A. Pegertia Limit Fugsi. Limit utuk c Tijau sebuah ugsi, apakah ugsi tersebut sama dega ugsi g -? Daerah asal dari ugsi g adalah semua bilaga real, sedagka daerah asal ugsi adalah bilaga real tetapi. Dega demikia g sebab daerah asal da daerah hasilya tidak sama. Nilai ugsi g utuk adalah g - -, sedagka ilai utuk tidak terdeiisi sebab merupaka betuk tak tetu. Pertayaa selajutya, apakah utuk sekitar ilai itu ada? Dega megguaka kalkulator, coba kita cari ilai-ilai utuk ilai-ilai yag dekat dega, seperti,9,,9,,99 juga,,,, da, seperti terlihat dalam tabel.. Tabel.,9,9,9,9,99,99 Tidak terdeiisi,,,,,, Gambar.
Teryata ilai utuk sekitar medekati baik utuk didekati dari kiri bilaga kurag dari maupu dari kaa bilaga lebih dari. Nilai utuk sekitar disebut ilai it utuk meuju ditulis Nilai atau bilaga real sekitar maksudya bilaga-bilaga yag selisihya dega sagat kecil medekati. Latiha Apabila ada, carilah ilai it berikut ii.... 6.. 6. 7.. 8. 6. Limit Fugsi di Takhigga da Limit Fugsi Berilai Takhigga Perhatika ugsi, y - - - - Gambar.
Utuk ilai-ilai >, teryata ilai maki kecil medekati, tetapi tidak meyetuh Tabel.??, -,, -,, -, -, -, -, -, - - -, - -,, - -,, - -,, - -,, - -,, - -,., -. -,., -. -,? -? Berdasarka Gambar. da Tabel., dapat disimpulka utuk maka ilai, demikia pula - ilai. Dega demikia dapat ditetapka da adalah ilai it ugsi di takhigga, sedagka da disebut it ugsi berilai takhigga atau -. Dari akta dapat dituruka bahwa utuk k bilaga asli k Bukti:
k k k k Cotoh. Tetuka ilai Graik terlihat seperti pada Gambar.. Utuk meghitug ilai it tersebut, bagilah pembilag da peyebut oleh, y - - - - Gambar. Cotoh. Periksa apakah ilai Graik dari ada? terlihat seperti pada Gambar.
y 8 6 - - - - -6-8 - Gambar. Bila -, maka - -, da -, Bila +, maka - +, da. Karea ilai it kiri tidak sama dega ilai it kaa, maka ada. tidak Latiha Periksa apakah ilai it berikut ada?..... B. Siat-siat Limit Fugsi Bila bilaga asli, k suatu kostata, serta da g ugsi yag memiliki it di c, maka k k c c c
k k c c [ g ] g c c c [ g ] g c c c 6.g ]. g c c c c 7, g c g g c 8 [ c ] c [ ] c 9 c c Cotoh. Tetuka [ ] [] 6 8 Cotoh. Tetuka.. 8 8 Cotoh. Tetuka 6
9. 7, 8 Teorema Subsitusi Igat kembali ugsi sukubayak yag memiliki betuk a a... a a Juga ugsi rasioal dega pembilag da peyebutya berupa ugsi sukubayak dega betuk a a... a a m m b b... b b m m Jika suatu ugsi sukubayak atau ugsi rasioal, maka c Utuk ugsi rasioal syaratya adalah ilai ugsi peyebut tidak ol utuk c. Cotoh.6 Hituglah Karea adalah suatu ugsi sukubayak, maka. - c 7
Cotoh.7 7 Carilah 7 7.. Cotoh.8 Carilah Karea utuk ilai ugsi pembilag da peyebut sama dega, maka Teorema Subsitusi tidak berlaku. Betuk / disebut betuk tak tetu, da utuk mecari ilai itya dilakuka peyederhaaa aljabar dega aktorisasi seperti berikut. Pembilag da peyebut dapat dibagi - sebab utuk, - Cotoh.9 Carilah pembilag da peyebut dibagi. Berdasarka teorema utama it diperoleh Cotoh. Carilah 8
9 Pembilag da peyebut dibagi da igat di dalam tada akar harus dibagi, karea Cotoh. Carilah Latiha Carilah ilai it berikut ii... 8 y y y y. 7.. Utuk soal omor 6 sampai dega 8 diketahui a da. g a Carilah ilai it berikut. 6. g a 7. ] [ g a 8. g a Utuk soal omor 9 da. carilah apabila a
9. + +. Hituglah..... 9y y y y
Prakata bab 7 Kosep it ugsi diciptaka para matematikawa utuk dapat medeiisika kosep turua ugsi dega baik. Dega demikia siat-siat turua ugsi pu dega sediriya didasarka atas siat-siat it ugsi. Oleh karea itu agar dapat memahami kosep turua ugsi dega baik, diperluka pemahama it ugsi beserta siat-siatya. Soal Apersepsi. Diketahui, apakah ilai ada?. Diketahui deret + + ½ + ¼ +..., tetuka julah deret tersebut utuk Perdalam kosepmu. Apakah syaratya agar ada? m a. Diketahui, tetuka b a. jika m b. jika m < c. jika m > Ragkuma. L artiya ilai di sekitar c adalah L c. k. Siat-siat it ugsi Bila bilaga asli, k suatu kostata, serta da g ugsi yag memiliki it di c, maka k k c c c k k c c [ g ] g c c c [ g ] g c c c 6.g ]. g c c c k
c 7, g c g g c 8 [ c ] c [ ] c 9 c c. Limit ugsi Trigoometri dega satua ukura sudut radia. sit sic. cos t cosc tc. tat tac tc. sect secc tc si t 7. t t ta t 9. t t tc. cot t cot c tc 6. csct cscc tc t 8. t si t t. t ta t Prakata bab 8 Turua ugsi merupaka sebagai bagia dari topik hitug dieresial, yag didasrka atas gagasa ide laju perubaha yag dikembagka sekitar permulaa abad ketujuh belas. Newto matematikawa Iggris da Leibiz matematikawa Jerma merupaka orag orag yag palig berjasa dalam megembagka ide da metoda hitug dieresial. Limit ugsi yag meladasi kosep turua baru dikembagka dalam abad kesembilabelas. Soal apersepsi. Tetuka gradie persamaa garis yag melalui titik,y da,y.. Diketahui h, tetuka h h. Tetuka dari + + agar berilai miimum. Perdalam Kosepmu. Maakah peryataa yag bear di bawah ii. a. Jika h + g, maka h + g b. Jika h g, maka h g c. Jika h og maka h og. Operasi maakah yag terkait dega atura ratai?. Apa bedaya aik pada iterval a < < b da tidak turu pada iterval a < < b?. Jelaska jeis-jeis titik ekstrim!
Ragkuma h. Turua dari ugsi ditulis dega deiisi. h h. Turua dari a adalah a - utuk bilaga rasioal.. Siat-siat turua ugsi Bila g da h ugsi-ugsi yag memiliki turua da k kostata, berlaku: Jika k g maka k g Jika u + v maka u + v Jika u - v maka u - v Jika u.v maka u v + uv u u' v u v' Jika maka v [ v ]. Jika y turua dari ditulis oleh Leibiz dilambagka dega. Turua ugsi Trigoometri Jika si maka cos Jika cos maka -si Jika ta maka cos 6. Atura Ratai Jika h g maka h g g atau dy dy du Jika y u da u g, maka d du d dy d 7. Turua da graik ugsi Graik aik pada iterval yag memeuhi > Graik turu pada iterval yag memeuhi < Graik mecapai stasioer pada yag memeuhi Graik cekug ke atas pada iterval yag memeuhi > Graik cekug ke bawah turu pada iterval yag memeuhi < 6 Titik a,a merupaka titik balik maksimum bila a da a < 7 Titik a,a merupaka titik balik miimum bila a da a > 8 Titik a,a merupaka titik belok bila a