Bagian Differensiasi Bagian Differensiasi berisi materi tentang penerapan konsep limit untuk mengitung turunan an berbagai teknik ifferensial. Paa penerapan konsep limit, Ana akan iperkenalkan engan konsep asar mencari turunan sebua fungsi engan menggunakan limit. Seangkan paa teknik ifferensial, Ana akan mempelajari 6 (enam teknik asar untuk mencari turunan sebua fungsi. Differensiasi merupakan materi penting untuk mengikuti materi alam seri matematika berikutnya, yaitu Matematika II an Matematika III. Untuk itu penguasaan yang sempurna teraap teknik ifferensial menjai al yang mutlak. Kompetensi yang iarapkan setela menyelesaikan bagian Differensiasi aala Ana iarapkan mampu :. Mengitung turunan fungsi engan menggunakan konsep limit. Mengitung turunan fungsi engan menggunakan 7 (tuju teorema asar turunan. Mengitung turunan fungsi trigonometri 4. Mengitung turunan engan menggunakan aturan rantai 5. Mengitung turuanan fungsi implisit 6. Mengitung turunan fungsi transenen 7. Mengitung turunan keua an turunan ketiga. Garis Singgung an Perubaan Nilai Tela ijelaskan paa bagian sebelumnya bawa garis singgung sebua kurva iapat engan cara menggeser garis potong secara perlaan-laan ingga menuju suatu limit tertentu. Paa gambar i bawa, garis potong PQ kurva f( iputar seingga menjai garis singgung i titik P. Keua garis, yaitu garis singgung an garis potong, mempunyai kemiringan yang isebut slope. Kemiringan garis potong inamakan m sec an kemiringan garis singgung inamakan m tan. Kemiringan garis potong aala selisi jarak vertikal ibagi engan selisi jarak orizontal, atau m sec f (. f ( Jika kita misalkan menuju maka f( akan menuju f(. Jai kemiringan sebua garis singgung apat iefinisikan m tan lim f ( f (. Matematika Teknik \Differensiasi
sb. y sb. y tangent line P secant line Q f( f( P Q secant line f( f( sb. sb. m sec f ( f ( m tan lim f ( f ( Rata-rata an Kecepatan Seketika Hal sama juga berlaku untuk kecepatan paa sebua gerakan perpinaan bena. Jika imisalkan sebua bena bergerak ari s ke s paa waktu t ke t, maka kecepatan iefinisikan s s f ( t f ( t v ave. t t t t Jika iliat paa gambar i bawa ini, vave aasla kemiringan ari kurva gerakan bena. S S f(t t Rata-rata kecepatan jarak tempu waktu tempu Meskipun kecepatan rata-rata igunakan penu untuk beberapa kepentingan al tersebut tiak selalu mempunyai arti yang sama alam masala-masala fisika. Sebagai conto jika mobil menabrak poon, kerusakan tiak itentukan ole kecepatan rata-rata ingga waktu bertubrukan tapi ole kecepatan seketika paa saat kejaian tepat paa saat tubrukan. Matematika Teknik \Differensiasi 4
S S V inst. S f(t (t,s S S S (t,s S V ave t t V t t t t S S lim avc inst V ave t t t t V avc f (t f (t t t V V inst lim t t f (t f (t t t Rata-rata an Perubaan Nilai Seketika m tan sb.y f( y f( S y f( f( m sec f ( f ( V inst lim t t f ( f ( Conto. Misalkan y + a. Tentukan rata-rata perubaan paa interval [,5] b. Tentukan kecepatan perubaan paa - 4 c. Tentukan kecepatan perubaan paa sembarang. Penyelesaian: f ( f ( f (5 f ( 6 a. m sec 8 5 5 b. m tan m tan lim f ( f ( ( + 7 lim 4 4 + 6 lim lim ( 4 8 4 + 4 4 Matematika Teknik \Differensiasi 5
c. m tan m f ( f ( ( + ( lim lim tan lim lim ( + + Latian Soal. Setela Ana selesai mempelajari materi i atas, kini saatnya untuk melati iri mengerjakan soal-soal berikut. Buatla penyelesaian setiap soal engan sistematis untuk menapatkan jawaban akir yang benar. Selamat berlati...!!! Untuk soal berikut, a carila kemiringan paa sembarang titik, b gunakan asil bagian a untuk mencari kemiringan paa titik yang berikan.. f +... (. f + +... (. Turunan Definisi turunan : a. Jika P(, y aala titik paa grafik sebua fugsi f(, maka garis singgung fungsi f( paa P iefinisikan sebagai garis penerus i P engan kemiringan m tan lim f ( + f (.4 b. Fungsi f ( iefinisikan engan rumus f'( m tan f( lim + f(.5 aala isebut erivatif/turunan yang nilainya paa sembarang ari fungsi f(. Daera asal/omain ari f ( berlaku untuk sembarang yang mana limit ini aa. Conto. Carila nilai turunan untuk fungsi f( + engan menggunakan konsep limit. Penyelesaian : f ( lim f ( + f ( Matematika Teknik \Differensiasi 6
lim lim lim [( + + ] [ + ] + + + lim + Conto. Carila nilai turunan untuk fungsi f( m + b engan menggunakan konsep limit Penyelesaian : f ( lim lim lim f ( + f ( [ m ( + + b] [ m + b] m + m + b m b lim m m Conto. Carila nilai turunan untuk fungsi f( limit. engan menggunakan konsep Matematika Teknik \Differensiasi 7
Penyelesaian: f ( lim f ( + f ( [ ( + ] lim [ ( + ][ ( + + ] lim [ ( + + ] lim ( + + Notasi Turunan Penulisan notasi turunan ilakukan engan berbagai simbol, yaitu y y ' f '( [ f ( ] Persamaan i atas ibaca turunan fungsi y teraap. Berasarkan notasi i atas maka: [ + ] [ m + b] m [ ] Proses untuk menapatkan turunan, seperti yang ilakukan paa conto i atas, isebut ifferensiasi. Matematika Teknik \Differensiasi 8
Latian Soal. Setela Ana selesai mempelajari materi i atas, kini saatnya untuk melati iri mengerjakan soal-soal berikut. Buatla penyelesaian setiap soal engan sistematis untuk menapatkan jawaban akir yang benar. Selamat berlati...!!! Untuk setiap soal i bawa ini, carila turunan fungsi f( engan menggunakan konsep limit.. f ( ( +. f ( 7. f ( 7 4. f ( + 5. f ( ( + ( 4. Teknik-teknik Differensial Persamaan untuk mencari turunan yang iberikan ole persamaan.5 apat igunakan secara luas untuk semua fungsi. Walaupun emikian, untuk fungsi yang lebi rumit pemakaian tiak menjai seerana. Dengan kata lain, penyelesaian memerlukan langka yang sangat panjang an rumit. Untuk menentukan turunan sebua fungsi, untuk fungsi-fungsi yang lebi rumit, igunakan teknik ifferensial. Aa 7 (tuju teorema asar yang apat igunakan untuk mencari turunan sebua fungsi aljabar. Tuju teorema i bawa ini merupakan asar alam menguasai teknik ifferensial. Teorema : Jika f aala sebua fungsi konstan, ikatakan f( C untuk semua nilai, maka : [ C].6 Teorema : Jika n aala bilangan bulat positif, maka : n n [ ] n Teorema : Misalkan C aala konstanta. Jika f aala ifferensiabel paa maka c.f juga ifferensiabel paa, maka :.7 Matematika Teknik \Differensiasi 9
].8 [ Cf ( ] C [ f ( Teorema 4 : Jika f an g aala ifferensiabel paa, maka f + g juga ifferensiabel paa : + ].9a [ f ( g( ] [ f ( ] + [ g( Dengan asumsi (-.g, maka : ].9b [ f ( g( ] [ f ( ] [ g( Teorema 5 : Jika f an g aala ifferensiabel, maka f.g juga ifferensiabel paa : ]. [ f (. g( ] f ( [ g( ] + g( [ f ( Teorema 6 : Jika f an g aala fungsi yang ifferensiabel paa an g(, maka f/g ifferensiabel paa : f ( g( g(. [ f ( ] f (. [ g( ] [ g( ]. Teorema 7 : Jika g ifferensiabel paa an g(, maka /g( aala ifferensiabel paa : g( [ g( ] [ g( ]. Turunan Tingkat Tinggi Jika turunan f ari fungsi f aala ifferensiabel, maka turunan ari f inotasikan f an inamakan turunan keua ari f: Jika turunan keua iturunkan lagi, kita akan menapatkan turunan ketiga, an seterusnya. Turunan yang lebi ari satu kali inamakan turunan tingkat tinggi. Kaiakaia teorema i atas tetap berlaku untuk turunan tingkat tinggi. [ f ] [ f ( ] [ f ( st] ( Conto.4 7 5 Carila turunan y ( Matematika Teknik \Differensiasi 4
Penyelesaian: y 7 5 7 5 6 ( ( ( 7 5 [ ] [ ] [ ] 4 Conto.5 Carila turunan y Penyelesaian: / y y y' f '( / ( / / Conto.6 Carila turunan y ( 4( 9 Penyelesaian: y ( 4( 9 ( 4 ( 9 + ( 9 ( y ( 4(9 + ( 9( y 4 4 (9 6 + (6 8 y 4 5 6 8 [ ] [ ] [ 4 ] Latian Soal. Setela Ana selesai mempelajari materi i atas, kini saatnya untuk melati iri mengerjakan soal-soal berikut. Buatla penyelesaian setiap soal engan sistematis untuk menapatkan jawaban akir yang benar. Selamat berlati...!!! Untuk setiap fungsi berikut, carila turunan pertama an seeranakan jawaban yang iapat.. f ( 4 +. f ( ( 4 + 7. f ( + 7 4. f ( + 5. f ( ( + b + c a Matematika Teknik \Differensiasi 4
.4 Turunan Fungsi Trigonometri Turunan fungsi trigonometri apat icari engan menggunakan persamaan.5. Hasil ari penyelesaiannya apat iliat alam persamaan berikut. [ Sin( ] Cos( [ Cos( ] Sin( [ Tan( ] Sec ( [ Cotg( ] Csc ( [ Sec( ] Sec( Tan( [ Csc( ] Csc( Cotg( Conto.7 Carila turunan fungsi Sin ( Penyelesaian : [ Sin( ] lim lim lim Sin( + Sin Sin. Cos + Cos. Sin Sin Sin ( Cos Cos ( Sin + Cos Latian Soal.4 Setela Ana selesai mempelajari materi i atas, kini saatnya untuk melati iri mengerjakan soal-soal berikut. Buatla penyelesaian setiap soal engan sistematis untuk menapatkan jawaban akir yang benar. Selamat berlati...!!! Matematika Teknik \Differensiasi 4
Dengan menggunakan konsep limit, buktikan persamaan turunan fungsi trigonometri i atas..5 Aturan Rantai Aturan rantai untuk mencari turunan, igunakan jika kita menjumpai komposisi fungsi atau fungsi yang inyatakan alam bentuk f o g. Misalkan terapat ua fungsi f( an g(, maka y (fog( f(g( Jika u g( maka y f(u y Jai fungsi y f(u apat icari turunannya f '( u. Dengan cara lain apat itulis: y y u. u Conto.8 Carila turunan fungsi y 4Cos Penyelesaian: y 4Cos misalkan u. u y 4Cos u y y u. u [ 4Cos( ]. [ ] u -4Sin u. Conto.9 Carila turunan fungsi w Tan (4t + t Penyelesaian : w Tan (4t + t misalkan (4t + t... t + w tan w t w. t Matematika Teknik \Differensiasi 4
Sec + [ Tan( ]. [ 4t + t].(t (t + Sec (4t + t Rumus-rumus umum untuk mencari turunan fungsi engan menggunakan aturan rantai iberikan alam persamaan i bawa ini. n u nu.. u. u ( Cos( U. u Cos( U Sin( U. u Tan( U Sec ( U. u Cot( U Csc ( U. n [ U ] [ U ] [ Sin U ] [ ] [ ] [ ] [ Sec U ] ( [ Csc U ] ( u Sec( U. Tan( U u Csc( U. Cot( U Conto. Carila turunan fungsi y ( + 5 Cot -8 Penyelesaian : Misalkan ( + 5 Cot U.. y U 8 5 8 [ +. Cot( ] 8 [ U ] Matematika Teknik \Differensiasi 44
5. Csc + 5-8U [ ] -9 +. Cot( -9.[ ] -8U ( 4. Cot ( (+ 5 Cot [ ] -9 5 4 8. Csc ( 4. Cot( Notasi Differensial [ C] [ C] f. C. [ C f ] [ C. f ] C f. f g [ f ± g] ± [ f ± g] f ± g g f [ f. g] f. + g. [ f. g] f. g + g. f f g. g f. [ f / g] [ f / g] g g. f g f. g Latian Soal.5 Setela Ana selesai mempelajari materi i atas, kini saatnya untuk melati iri mengerjakan soal-soal berikut. Buatla penyelesaian setiap soal engan sistematis untuk menapatkan jawaban akir yang benar. Selamat berlati...!!! Gunakan aturan rantai untuk mencari turunan pertama fungsi berikut.. y cos. y sin( + cos. y 5 9 ( + 9 4. y sin + 5. y 7 Matematika Teknik \Differensiasi 45
.6 Differensiasi Implisit Paa bagian sebelumnya kita selalu menulis fungsi engan menempatkan unsur y i sisi kiri persamaan an unsur i sisi kanan persamaan. Aa beberapa fungsi yang tiak bisa ipisakan secara tegas antara an y. Sebagai conto, fungsi y + y tiak bisa ipisakan antara nilai an y. Dengan kata lain kita tiak bisa menuliskan unsur y saja i kiri persamaan an unsur saja i kanan persamaan. Fungsi-fungsi yang tiask bisa ipisakan antara unsur an unsur y alam penulisannya, isebut fungsi implisit. Panang suatu persamaan:.y Satu cara untuk menapatkan y/ aala engan menulis kembali persamaan i atas menjai y / kemuian menurunkannya teraap. y Bagaimanapun cara tersebut merupakan satu metoe yang benar. Cara lain yang apat igunakan aala engan menurunkan keua sisi persamaan.y sebelum menyelesaikan setiap y alam bentuk. Dengan penekatan ini akan iperole: y [. y] [] y. y + y y. + y [ ] []. y Hasil ini keliatannya tiak sama engan cara pertama, tapi engan menggantikan nilai y maka akan iperole: y Metoe keua untuk menapat turunan ini inamakan ifferensiasi implisit. Metoe ini terutama igunakan saat sukar atau tiak mungkin menyelesaikan secara tegas fungsi y alam bentuk. y Conto. Carila turunan ari 5y + Sin (y Penyelesaian: y 5y + Sin( y [ ] [] Matematika Teknik \Differensiasi 46
y [ 5y ] + [ Sin( y ] [] y y 5.y + Cos( y y y [ y + Cos( y ] y + Cos( y Conto. Carila turunan fungsi 7y + y 4 Penyelesaian: [ 7y + y] [] 4 [ 7y ] + [ y] [] 4 y y 4y + y + y [ 4y + ] + [ y] y [ y] 4y + [ ] Latian Soal.6 Setela Ana selesai mempelajari materi i atas, kini saatnya untuk melati iri mengerjakan soal-soal berikut. Buatla penyelesaian setiap soal engan sistematis untuk menapatkan jawaban akir impunan penyelesaian yang benar. Selamat berlati...!!! Carila turunan fungsi implisit i bawa ini.. y 5 y + 5. ( + y. sin( y 5 4. tan ( y + y 5. y + y Matematika Teknik \Differensiasi 47
.7 Turunan Fungsi Transenen Fungsi transenen aala fungsi yang menganung unsur logaritma (log, logaritma alami (ln, an bilangan eksponensial (e. Turunan fungsi transenen apat icari engan menggunakan persamaan i bawa ini. ( log..., > b ln b ( ln..., > U ( log U. b U ln b ( ln U U U. ( ln..., ( e ( e U e U e U. Teknik aturan rantai sering igunakan alam mencari turunan fungsi transenen. Conto. Carila turunan sin ln + Penyelesaian: sin ln + ln + ln(sin ln( + cos + sin + ( + cot + Matematika Teknik \Differensiasi 48
+ cot ( + Conto.4 Carila turunan fungsi y 7 4 ( + 4 Penyelesaian : y 7 4 ( + 4 Logaritma alami (ln kita kerjakan i keua sisi persamaan, seingga menjai: ln y ln + ln(7 4 4ln( + y 7 / 8 + y 7 4 + y. 7 4 8 + ( + 6 + Conto.5 Carila turunan fungsi y e ln( + Penyelesaian: y ln( [ ] + e y ln( [ ] + e. [ln( + ] y + e.. ( ( + y ln( + [ e ].. ( + y ln( +.[ e ] ( + ln( [ ] + Latian Soal.7 Setela Ana selesai mempelajari materi i atas, kini saatnya untuk melati iri mengerjakan soal-soal berikut. Buatla penyelesaian setiap soal engan Matematika Teknik \Differensiasi 49
sistematis untuk menapatkan jawaban akir impunan penyelesaian yang benar. Selamat berlati...!!! Carila turunan pertama untuk soal berikut.. y +. y. y ln(sin 4. y e (sin ln 5. y + ln Matematika Teknik \Differensiasi 5