Kalkulus MA04 5. FUNGSI TRANSENDEN Dr. I W. Sudarsana Program Studi Matmatika Fakultas Matmatika dan Ilmu Pngtahuan Alam Univrsitas Tadulako
8. Fungsi Invrs Misalkan : D R dngan ( Dinisi 8. Fungsi ( disbut satu-satu jika (u (v maka u v atau jika u v maka ( u ( v u v ungsi satu-satu ungsi - satu-satu ungsi tidak satu-satu
Scara gomtri graik ungsi satu-satu dan garis ang sjajar dngan sumbu brpotongan di satu titik. Torma : Jika ungsi satu-satu maka mmpunai invrs notasi : R D ( R R Brlaku hubungan D ( R ( ( ( ( ( D R R, D 3
Torma : jika monoton murni(slalu naik/slalu turun maka mmpunai invrs ( '( > 0, R slalu naik (- '( < 0, R slalu turun > 0, '( < 0, naik untuk >0 turun untuk <0 > < 0 0 ( ( ( u v ada ada tidak ada 4
Contoh : Diktahui ( + a. Priksa apakah mmpunai invrs b. Jika ada, tntukan invrsna Jawab a. '(.( +.( ( + 3 > 0 ( +, D Karna slalu naik(monoton murni maka mmpunai invrs b. Misal + + ( ( 5
Suatu ungsi ang tidak mmpunai invrs pada darah asalna dapat dibuat mmpunai invrs dngan cara mmbatasi darah asalna. ( ( u v Untuk >0 ada Untuk R tidak ada ( Untuk <0 ada 6
Graik ungsi invrs Titik (, trltak pada graik Titik (, trltak pada graik Titik (, dan (, simtri trhadap garis Graik dan smtri trhadap garis 7
Turunan ungsi invrs Torma Misalkan ungsi monoton murni dan mmpunai turunan pada slang I. Jika '( 0, I maka dapat diturunkan di ( dan ( '( '( Bntuk diatas dapat juga dituliskan sbagai d d d / d Contoh Diktahui 5 ( + + tntukan ( '(4 Jawab : '( 5 4 + ( '(4 '(,4 jika hana jika 7 8
Soal Latihan Tntukan ungsi invrs ( bila ada dari.. 3. ( +, > ( 3 ( 5 4 + 0 4. 5 (, + 0 5. ( + 6. ( 3 + 9
8. Fungsi Logaritma Asli Fungsi Logaritma asli ( ln didinisikan sbagai : ln, t dt > 0 Dngan Torma Dasar Kalkulus II, diprolh :. D [ ln ] D dt t Scara umum, jika u u( maka D [ lnu] u( D dt t u du d 0
Contoh : Dibrikan ( ln(sin(4 + maka '( D (sin(4 + sin(4 + 4 cot(4 + ln, 0 Jika ln, > 0 ln(, < 0 Jadi, d (ln d, Dari sini diprolh : 0. Siat-siat Ln :. ln 0. ln(ab ln a + ln b 3. ln(a/bln(a ln(b 4. ln a r r ln a ln ' ln( ' d ln + C
Graik ungsi logaritma asli (ln Diktahui a. b. dt ( ln, t > 0 '( > 0 D slalu monoton naik pada D c. ''( < 0 D Graik slalu ckung kbawah d. ( 0
8.3 Fungsi Eksponn Asli [ ], Karna ln > 0 untuk > 0 maka ungsi logaritma asli D monoton murni, shingga mmpunai invrs. Invrs dari ungsi logaritma asli disbut ungsi ksponn asli, notasi p. Jadi brlaku hubungan p( Dari sini didapat : p(ln dan ln(p( Dinisi 8. Bilangan adalah bilangan Ral positi ang brsiat ln. Dari siat (iv ungsi logaritma diprolh ln r r p(ln p r ln p r p( 3
Turunan dan intgral ungsi ksponn asli Dngan mnggunakan turunan ungsi invrs Dari hubungan ln d d d / d d d Jadi, D ( Scara umum D ( u( u. u' 4
Graik ungsi ksponn asli Karna ungsi kponn asli mrupakan invrs dari ungsi logaritma asli maka graik ungsi ksponn asli diprolh dngan cara mncrminkan graik ungsi logaritma asli trhadap garis p ( ln Contoh 3 ln 3 ln 3 ln D (. D (3 ln (3ln + 3. 5
Pnggunaan ungsi logaritma dan ksponn asli a. Mnghitung turunan ungsi brpangkat ungsi Diktahui ( ( g( h(, '(? ln( ( h( ln( g( D (ln( ( D ( h( ln( g( '( h( h'( ln( g( + g '( ( g( '( h'( ln( g( + h( g( g '( ( 6
Contoh Tntukan turunan ungsi ( (sin 4 Jawab Ubah bntuk ungsi pangkat ungsi mnjadi prkalian ungsi dngan mnggunakan ungsi logaritma asli ln ( ln(sin Turunkan kdua ruas 4 4 ln(sin( D (ln ( D (4 ln(sin( '( ( 4ln(sin( + 4 sin cos 4ln(sin( + 4 cot '( (4 ln(sin( + 4 cot (sin 4 7
b. Mnghitung limit ungsi brpangkat ungsi lim a ( Untuk kasus g (? (i lim ( 0, lim ( 0 a a (ii lim (, lim g( 0 (iii a lim a Pnlsaian : (, a a g lim g( lim[p(ln lim p g( [ ln ( ] g ( g ( Tulis ( ] lim( a ( a Karna ungsi ksponn kontinu, maka lim p g( ln ( a a ( plim g( ln ( a 8
Contoh Hitung lim a. + lim ( + b. c. ( 3 0 lim + 0 / ln Jawab a. lim( 0 + p lim ln 0 + (bntuk 0. b. Rubah k bntuk lim (( + 0 p / 0 + / lim ln lalu gunakan dalil L hopital p lim p(0 + 0 lim p..ln( + 0 ln( + p lim 0 9
Gunakan dalil L hopital p lim p 0+ shingga lim 0 + ( + / ln ln ( 3 3 c. lim p lim ln( Gunakan dalil L hopital 3 3 p lim +. / (3 p lim ( + ln( p lim ln 3 3 p lim 3 + 3 + p3. 3 3 + p lim (3 3 ( + 3 3 0
Soal latihan Tntukan.. 3. 4. ' sc + tan dari 5 3ln + 3 sc 6. 7. 8. 9. ( 5 6 ln + ln cos3 ln ( ln sin 5. ln( 3 + 3 0. sin(ln( +
Hitung limit brikut :. lim 5. ( ln lim +. 3. 4. 0 ( sin lim + lim cos 0 ( ln lim + 6. 7. 8. lim ( ln ( lim 3 + 5 lim + +
8.5 Fungsi Eksponn Umum Fungsi ( a, a > 0 disbut ungsi ksponn umum Untuk a > 0 dan R, didinisikan ln a a Turunan dan intgral D ( a D ( ln a ln a ln a a ln a Jika u u(, maka : D ( a u D ( u ln a u ln a ln a. u' a u u ' ln a 3
Siat siat ungsi ksponn umum Untuk a > 0, b > 0,, bilangan riil brlaku.. 3. 4. a a a ( ( a a a + a a ab a b 5. a b a b 4
Contoh. Hitung turunan prtama dari + ( 3 + sin Jawab : '(.3 + ln 3+. sin cos ln 5
Graik ungsi ksponn umum ( a, a > Diktahui a. ( a, a > 0 D (, b. a a ln a < 0, 0 '( ln a a ln a > 0, monoton naik jika a > monoton turun jika 0 < a < < a a < > c. ''( a (ln a > 0 D ( a,0 < a < Graik slalu ckung katas d. (0 6
8.6 Fungsi Logaritma Umum Karna ungsi ksponn umum monoton murni maka ada Invrsna. Invrs dari ungsi ksponn umum disbut ungsi Logaritma Umum a log ( logaritma dngan bilangan pokok a, notasi, shingga brlaku : a log a Dari hubungan ini, didapat ln a ln ln a ln a log ln a ln ln a Shingga D Jika uu(, maka a ln ( log D ( ln a D ln a a ln u ( logu D ( ln a u' u ln a 7
Contoh Tntukan turunan prtama dari.. Jawab :.. 3 ( log( ( 4 ( ( log( log( + + + ln( ln 3 3 + log( + + ln( ln 4 4 '( + ln 3 + '( D( + ln 4 ( ( + ln 4 + ( ln 4 ( + ( 8
Graik ungsi logaritma umum Graik ungsi logaritma umum diprolh dngan mncrminkan graik ungsi ksponn umum trhadap garis Untuk a > Untuk 0 < a < ( a ( a ( a log 9
Soal Latihan Tntukan 3 4. 4. ' dari log ( 9 0 + 3. 3 log( + 30
8.7 Fungsi Invrs Trigonomtri Fungsi trigonomtri adalah ungsi ang priodik shingga tidak satu-satu, jika darah asalna dibatasi, ungsi trigonomtri bisa dibuat mnjadi satusatu shingga mmpunai invrs. a. Invrs ungsi sinus π Diktahui ( sin, π π π Karna pada π π (sin monoton murni maka invrsna ada. Invrs dari ungsi sinus disbut arcus sinus, notasi arcsin(,atau sin ( Shingga brlaku sin sin 3
Turunan Dari hubungan sin sin dan rumus turunan ungsi invrs diprolh π π, d d d / d cos, < sin atau D (sin Jika uu( D (sin u u' u 3
b. Invrs ungsi cosinus Fungsi ( cos,0 π monoton murni(slalu monoton turun, shingga mmpunai invrs ( cos π Dinisi : Invrs ungsi cos disbut arcuscos, notasi arc cos atau cos ( Brlaku hubungan cos cos Turunan Dari cos cos,, 0 π diprolh d d d / d sin, < cos 33
atau D (cos Jika u u( D (cos u u' u Contoh D (sin ( D ( ( 4 D (cos (tan D (tan (tan sc tan 34
c. Invrs ungsi tangn Fungsi ( tan, π π Monoton murni (slalu naik shingga mmpunai invrs. π (tan π Dinisi Invrs dari tan disbut ungsi arcus tan, notasi arc tan atau tan ( Brlaku hubungan Turunan Dari d d tan tan d / d sc tan tan dan turunan ungsi invrs diprolh + π π, < < tan + 35
atau D (tan + Jika uu( D (tan u + u' u d. Invrs ungsi cotangn Fungsi ( cot,0 < < π slalu monoton turun(monoton murni shingga mmpunai invrs (cot π Turunan d d Dinisi Invrs dari ungsi cot disbut Arcus cot, notasi arc cot atau cot Brlaku hubungan d / d cot csc + cot cot + 36
atau D (cot + Jika uu( Contoh u' u D (cot u + D (tan ( + D( D (cot (sin + ( + + D(sin + (sin + + ( cos sin + 37
. Invrs ungsi scan Dibrikan ( sc 0 π,, π '( sc tan > 0,0 π, π ( sc monoton murni Ada invrsna Dinisi Invrs dari ungsi sc disbut arcus sc, notasi arc sc atau sc Shingga sc sc 38
Turunan Dari sc sc sc ( cos cos cos ( Shingga (sc (cos ( D D ( Jika u u( D (sc u u u' u 39
. Invrs ungsi coscan Dibrikan ( csc π π, 0, ' π π ( csc cot < 0,, 0 ( sc monoton murni Ada invrsna Dinisi Invrs dari ungsi csc disbut arcus csc, notasi arc csc atau csc Shingga csc csc 40
Turunan Dari csc csc csc ( sin sin sin ( Shingga ( D (csc D (sin ( Jika u u( D (sc u u u' u 4
4 Contoh Hitung turunan prtama dari ( sc ( ( ( '( 4 D 4 a. b. Jawab a. (tan sc ( tan tan sc (tan (tan tan '( D b.
Soal Latihan Tntukan turunan prtama ungsi brikut, sdrhanakan jika mungkin. (sin. tan ( 3. tan ln 4. ( t sc t 5. cot (3 6. tan ( + 43
44 8.8 Fungsi Hiprbolik Dinisi a. Fungsi kosinus hiprbolik : cosh ( + b. Fungsi sinus hiprbolik : sinh ( c. Fungsi tangn hiprbolik : + cosh sinh tanh ( + sinh cosh coth ( h cosh sc ( h + sinh csc ( d. Fungsi cotangn hiprbolik :. Fungsi scan hiprbolik :. Fungsi coscan hiprbolik :
Prsamaan idntitas pada ungsi hiprbolik.. 4. cosh + sinh cosh sinh tanh sc h 3. cosh sinh 5. coth csc h Turunan D + (cosh D sinh D + (sinh D cosh 45
46 cosh sinh ( (tanh D D h sc cosh cosh sinh cosh sinh cosh ( (coth D D sinh sinh (cosh sinh cosh sinh h csc sinh cosh ( (sc D h D h tanh sc cosh sinh sinh ( (csc D h D h coth csc sinh cosh
47 R +, cosh ( (0 Graik ( cosh > > < < 0, 0 '( 0, 0 '( '( (i (ii monoton naik pada > 0 monoton turun pada < 0 (iii R > + 0, ''( Graik slalu ckung katas (iv Diktahui
Graik ( sinh Diktahui (i ( sinh, R (ii + '( > 0 slalu monoton naik (iii ''( > < 0, 0, > 0 < 0 Graik ckung katas pada >0 ckung kbawah pada <0 (iv (0 0 48
Contoh Tntukan ' dari. tanh( +. Jawab. sinh + 8 ' sc h ( + D( + sc h ( +. D ( sinh + D(8 sinh + cosh + ' 0 sinh ' + cosh 49
Soal Latihan Tntukan turunan prtama dari. ( tanh 4. g( sinh 3. g( + cosh cosh 4. h ( t coth + t 5. g ( t ln(sinh t 6. ( cosh 50