MATRIKS HANKEL Hankel Matrices. R. Heru Tjahjana Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstract

Transkripsi

1 Vol. 4. No., 8-9, Austus, ISSN : MATRIKS HANKEL Hakel Matrices R. Heru Tahaa Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstract I this paper, we talk about Hakel Operator ad Hakel Matrix. Operator H :F[] - F[[ - ]] defied by H (f)=π_(f) is called the Hakel Operator. Hakel Operator ca be represeted by a Hakel matrix. Keywords : Hakel Operator, matrix represetatio, Hakel matrix. PENGANTAR Alabar liear memea peraa peti baik dalam bida sais maupu tekoloi (Howard A, 98). Secara khusus peulis medalami topik Operator Hakel da Matriks Hakel. Hal ya melatarbelakai pemiliha topik matriks Hakel sebaai baha ya dipelaari adalah karea hubuaya ya erat dea masalah-masalah sais da tekoloi khususya ya berkaita dea teori sistem liear (Brewer, 976). Fuhrma (996) dalam bukuya ya berudul A Polyomial Approach to Liear Alebra meulis materi Operator Hakel da Matriks Hakel. Peulis mempelaari kembali apa ya dituliska Fuhrma da memberika bukti ya lebih detail pada teorema da akibat-akibatya. Peulis ua meulis cotoh aplikasi dari Eisi (98).. CARA PENELITIAN Cara peelitia ya dilakuka adalah studi literatur milik pribadi, milik Perpustakaa Jurusa Matematika da Perpustakaa Fakultas MIPA UGM. 8

2 Matriks Hakel (R. Heru Tahaa) 3. OPERATOR HANKEL DAN MATRIKS HANKEL Notasi 3.. Berikut aka dituliska otasi-otasi peti ya diuaka tulisa ii. Notasi Arti π + Operator π + π_ Operator π_ F(( - )) Himpua semua umlaha tak hia dea koefisie aota lapaa F da idetermiates da - F[] Himpua semua poliomial dea idetermiates F[[ - ]] Himpua semua umlaha tak hia dea koefisie aota lapaa F da idetermiates - F() Lapaa fusi rasioal p/, dea p, aota F[] F_() Himpua semua fusi rasioal p/, dea p, aota F[] da de p < de π X Operator proyeksi dea ideks {π f f F[]} X d {r/d de r < de d} H Operator Hakel H dea ideks Defiisi 3... Didefiisika operator π + : F(( - )) F(( - )) dea rumus π + = f = = f da π_ : F(( - )) F(( - )) dea rumus π = f = f =. Misalka ()= F(( - )). Didefiisika operator Hakel H : = F[] - F[[ - ]] dea rumus H (f)=π_(f) utuk f F[] 83

3 Vol. 4. No., 8-9, Austus, ISSN : Didefiisika operator S + : F[] F[] dea rumus S + (f)=f da operator S_: - F[ - ] - F[ - ] dea rumus S_(f)= π_ (f). 4. Utuk h - F[[ - ]], didefiisika p.h=π_(ph). Teorema 3.. Misalka F(( - )). H : F[] - F[[ - ]], H merupaka homomorphisma F[]-modul.. Sebara homomorphisma F[]-modul dari F[] - F[[ - ]] merupaka operator Hakel. 3. Misalka, F(( - )) maka H = H ika da haya ika - F[]. Bukti :. H : F[] - F[[ - ]], H merupaka homomorphisma F[]-modul sebab H (αf +βf ) = π_(αf +βf ) = π_αf + π_βf = απ_f + βπ_f = αh f +βh f.. Ambil sebara H homomorphisma F[]-modul dari F[] - F[[ - ]] Dea meyaika H()= da ambil sebara f F[] didapat H(f)=H(f.)=f.H()=f.=π_(f) =π_(f)= H (f). 3. H = H ika da haya ika - F[] Dari H = H maka diperoleh H H =. Selautya H H = H sebab (f ) = π _ ( - ) f = π _ ( f)-π _ ( f)= (f) H (f) = H (f ) H H H Sifat aka terbukti bila sifat H = F[] terbukti. Diketahui H =, artiya H (f)=, utuk setiap f F[] H (f) = π_(f)=, maka f=, utuk setiap f F[] Didapat =f F[] da f F[], disimpulka F[] Diketahui F[]. Aka dibuktika H (f)=, utuk setiap f F[] 84

4 Matriks Hakel (R. Heru Tahaa) Iat H (f) = π_(f). Karea F()=F[] F_() da f F[] maka π_(f)=, utuk setiap f F[] H (f)=, utuk setiap f F[] Disimpulka H =. Selautya perhatika persamaa dibawah ii : H S + (f)=π_(s + f)= π_(f)= π_(f)=π_(f).π_(f)= S_ H (f) didapat H S + (f)= S_H (f), persamaa ii merupaka persamaa fusioal operator Hakel. Akibat 3.. Misalka F(( - )) maka H :F[] - F[[ - ]] tidak ivertibel Bukti : Adaika H ivertibel. Dari H S + = S_H didapat H S + H - = S_, artiya S + da S_ similar. Perhatika bahwa F(( - )) =F[] - F[[ - ]] S + :f F[] f F[] S_: f - F[[ - ]] π_ (f) - F[[ - ]], sehia S + =S F[] da S_=S - F[[ - ]]. Karea F[] - F[[ - ]]={}maka S + S_={}, akibatya S = S + S_. S_ tidak iektif sebab Ker S_ {}. Alasa Ker S_ {}sebaai berikut : Ambil sebara v Ker S_ maka S_(v)=. Iat v - F[[ - ]], artiya v = - ( ) v= v= Perhatika S_(v)= π_ (v)= + Karea S_(v)= π_ (v)=, maka + Didapat = =... = = = Jadi v= - ( ) = - -.Terbukti Ker S_ {}. Sedaka S + iektif karea Ker S + ={}. Alasa Ker S + ={} sebaai berikut : 85

5 Vol. 4. No., 8-9, Austus, ISSN : S + (v)=v= Jika S + (v)= maka = = =... = =. Ambil v Ker S +, maka S + (v)=v=, akibatya v= = Jadi v {}. Ambil sebara v {}, maka v= maka S + (v)= S + ()=. Jadi v Ker S +. Diperoleh bahwa S_ tidak iektif da S + iektif, akibatya S + da S_ tidak similar. Kotradiksi didapat maka peadaia diikar da didapat H tidak ivertibel. Teorema 3.. (Kroecker). Operator Hakel H mempuyai rak berhia ika da haya ika fusi rasioal.. Jika =p/ dea p, koprima maka Ker H p/ =F[] da Im H p/ =X. Bukti:. Operator Hakel H mempuyai rak berhia ika da haya ika fusi rasioal Diketahui H mempuyai rak berhia Adaika tidak rasioal, maka F[].Iat H (f)= π_ (f). Karea F[] maka f F[], akibatya π_ (f)=. Berarti H (f)= da Im H ={}, artiya H tidak mempuyai rak. Kotradiksi dea H mempuyai rak berhia. Jadi peadaia diikar, terbukti rasioal. Perhatika bahwa F()=F[] F_[] Misalka =p/ maka H p/ (f)= π_ ((p/)f)= π_ (pf/) pf/ F[] maka π_ (pf/) F_[]. Jadi π_ (pf/) merupaka poliomial berbetuk r/ dea de r < de. H (f)= π_ ((p/)f)= π_ (pf/)={r/ de r< de }= X Perhatika bahwa X X da dim X = de 86

6 Matriks Hakel (R. Heru Tahaa) Jadi dim Im H = dim X = de <. Kesimpula rk(h ) berhia.. Dari butir didapat dim Im H = dim X sehia Im H = X Selautya aka dibuktika Ker H p/ =F[]. Ambil sebara f F[] f=.(α +α + +α )=(β +β + +β ).(α +α + +α ) =β α +(β α +β α ) m i = + i,,,..., = m =,,,..., β i α m+ H p/ (f)= π_ ((p/)f)= π_ (p/). π_(f)= π_ (p/). =. Jadi f Ker H p/. Ambil sebara f Ker H p/, maka H p/ (f)= π_((p/)f)=. Karea π_((p/)f)= maka (p/)f tidak memuat pakat eatif. (p/)f=γ +γ + +γ,dea γ i F f=(/p) γ +γ + +γ =.( (γ +γ + +γ )/p). Perhatika bahwa (γ +γ + +γ )/p F[] sebab pf dibai sisaya, berarti pf. Karea p, koprima maka buka pembai p, artiya f. Jadi f F[]. Selautya aka dicari matriks represetasi operator Hakel H :F[] - F[[ - ]] dea H (f)= π_(f), utuk = = F(( - )) khusus ya ideksya positif, Basis F[]={,,,, } Basis Im H = Basis Im H / =Basis X =Basis{r/ de r < }= Basis{α - +α - + +α - α i F, α, - }={ -, -,, -, } H () = π_ (.) = π_( = ) = H () = π_ (.) = π_(.) = π_ ( = = + ) = H ( ) = π_ (. ) = π_( =. ) = π_ ( = + ) =

7 Vol. 4. No., 8-9, Austus, ISSN : maka matriks represetasi operator Hakel H :F[] - F[[ - ]] dea H (f)= π_(f) adalah H= ( i ) dea i = i+- disebut matriks Hakel Selautya sebara matriks tak hia Dea meyebut operator Hakel sebaai matriks Hakel tak hia maka teorema 3.. dapat ditulis kembali sebaai teroema 3..3 berikut : Teorema 3..3 Matriks Hakel tak hia H mempuyai rak hia ika da haya ika ()= adalah fusi rasioal. = Defiisi 3.. Diberika fusi rasioal seati, didefiisika deraad Mc Mila diotasika sebaai δ yaitu δ()=rak H. Teorema 3..4 Misalka =p/ dea p, koprima dea fusi rasioal seati maka δ() = de Bukti: Dea teorema 3.. didapat Im H p/ = X da δ() = rak H = rak H p/ = dim Im H p/ = dim X = de. Teorema 3..5 Misalka i =p i / i fusi rasioal dea p i da i koprima maka. Im H + Im H + Im H da δ( + )< δ( )+ δ( ). δ( + )= δ( ) + δ( ) ika da haya ika, koprima Bukti : 88

8 Matriks Hakel (R. Heru Tahaa). Aka dibuktika Im H + Im H +Im H Perhatika bahwa Im H = X, Im H = X, Im H + ={π_( + )f f F[]} Ambil sebara f Im H +,maka f=π_( + )h, utuk suatu h F[] f=π_( + )h=π_( h+ h) =π_( h)+π_( h)= H (h)+h (h) Jadi f Im H +Im H Aka dibuktika δ( + )< δ( )+ δ( ), artiya harus dibuktika rak H + < rak H + rak H dim (Im H + )< dim Im (H )+ dim (Im H ) dim (π_( + )F[]) < dim X + dim X dim (π_( + )F[]) < de + de. Perhatika lai bahwa p p π_(( + )f) =π_( f+ f) =π_( f) +π_( f) =π_( f) +π_( f). p p Jadi dim π_(( + )f) = dim π_( f) +π_( f) < de + de. Terbukti δ( + )< δ( )+ δ( ).. Aka dibuktika δ( + )= δ( )+ δ( ) ika da haya ika, koprima Diketahui δ( + )= δ( )+ δ( ), artiya dim (Im H + )= dim X + dim X Adaika, tidak koprima maka Im H + X, berarti dim Im H + dim X. Selautya diperoleh dim (Im H + ) dim X +dim Im X. Kotradiksi dicapai, peadaia dikar sehia terbukti, koprima. 89

9 Vol. 4. No., 8-9, Austus, ISSN : Diketahui, koprima, aka dibuktika δ( + )= δ( )+ δ( ). Pada umumya berlaku Im H + Im H + Im H Utuk membuktika Im H + = Im H + Im H, tial dituukka bahwa Im H + Im H H +. Ambil sebara f Im H + Im H,maka f=f +f, dea f Im H = X, da f Im H = X, sehia f X + X. Karea, koprima maka X = X + X. Jadi f X, artiya f Im H +. Terbuktilah Im H + = Im H + Im H, artiya terbukti pula dim (Im H + )=dim( Im H )+dim( Im H ), sehia terbukti rak H + = rak H + rak H, terbukti δ( + )= δ( )+ δ( ). Berikut ii aka disaika suatu peerapa matriks Hakel dalam teori realisasi. Sebelumya aka dituliska dulu defiisi realisasi da hal-hal terkait ya perlu diketahui. Defiisi 3..3 Diberika ri komutatif R. Sistem (H,F,G) dea H matriks atas R bertipe px, F matriks atas R bertipe x, da G matriks atas R bertipe xm ya memeuhi M i =HF i- G, dea i> disebut realisasi utuk { M i }. Selautya koleksi matriks { M i } disebut pemetaa iput-output atau pemetaa i/o da setiap M i adalah matriks bertipe pxm. Defiisi 3..4 Misalka Ei=Baris ke i dari I, W adalah himpua seluruh fusi ω:{,,,} {,,,}, da P ω adalah matriks bertipe x dea baris ke i P ω = E ω (i). Jika ω W biektif maka P ω disebut matriks permutasi. 9

10 Matriks Hakel (R. Heru Tahaa) Cotoh berikut merupaka aplikasi matriks Hakel dalam proses peetua realisasi pemetaa i/o pada sistem atas Z ya diberika oleh Eisi(98). Cotoh 3.. Jika diberika pemetaa i/o ={M i } atas Z sebaai berikut M = i/o ii., M = M 3 = M 4 = =. Aka dihitu ralisasi pemetaa Mula-mula ditulis pemetaa i/o sebaai matriks Hakel M = M, = M M M 3 M M M M M 3 4 M M = = 3 Perhatika bahwa rak M, =.. Selautya dikeraka proses faktorisasi M t,k V=[A,] hasilya diperoleh (Ari Suparwato, 998), - = ΠM, V A I H = [I,] M, V H = = I AF = σ( M, )V 9

11 Vol. 4. No., 8-9, Austus, ISSN : F = A Πσ (M,). Dea meyelesaika persamaa ii V diperoleh F = I AG = M, - G = A ΠM,. Dea meyelesaika persamaa ii diperoleh G =. 4. KESIMPULAN Misalka F(( - )) Operator H : F[] - F[[ - ]], dea rumus H (f)=π_(f) disebut operator Hakel. Operator Hakel dapat diwakili oleh matriks Hakel. DAFTAR PUSTAKA. Brewer, Liear System Over Commutative Ris, Marcel Dekker, New York, Eisi R ad Hautus M, Realiatio alorithms for system over a pricipal ideal domai, Mathematical System Theory 4, 98, Fuhrma, A Polyomial Approach to Liear Alebra, Sprier-Verla, New York, Howard A, Elemetary Liear Alebra, Joh Wiley ad Sos, New York, Suparwato A, Teori Realisasi Atas Ri Komutatif, Tesis, Proram Pascasaraa UGM,Yoyakarta,