Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR

Transkripsi

1 Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR Budi Surodjo dan Yeni Susanti June 6, 2014 Budi Surodjo dan Yeni Susanti Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR June 6, / 15

2 Outline Outline 1 PDL Bagian I Contoh Soal-Soal Latihan 2 PDL Bagian II Contoh Soal-Soal Latihan Budi Surodjo dan Yeni Susanti Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR June 6, / 15

3 PDL Bagian I Definisi Yang dimaksud dengan persamaan diophantine linear (disingkat dengan PDL) adalah persamaan linear berbentuk a 1 x 1 + a 2 x a n x n = m dengan m dan a i, i = 1, 2,..., n merupakan bilangan bulat dengan solusi x i (i = 1, 2,..., n) dalam bilangan bulat. Catatan PDL yang akan kita bahas terlebih dulu adalah PDL dengan a i = 1 yaitu PDL dengan bentuk x 1 + x x n = m dengan solusi dalam bilangan bulat positif dan dengan solusi bilangan bulat nonnegatif. Budi Surodjo dan Yeni Susanti Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR June 6, / 15

4 PDL Bagian I I. PDL x 1 + x x n = m dengan x i Z + PDL x 1 + x x n = m dengan ( solusi ) dalam bilangan bulat positif mempunyai solusi sebanyak m 1. n 1 Bukti: Permasalahan persamaan diophantine linear di atas identik dengan permasalahan penempatan n 1 tanda sebagai ganti tanda + pada bentuk (sebanyak m suku) sehingga banyaknya angka 1 di depan tanda pertama menyatakan nilai x 1, banyaknya angka 1 di antara tanda pertama dan kedua menyatakan nilai x 2, dan seterusnya sampai dengan banyaknya angka 1 setelah tanda terakhir menyatakan nilai x n. Budi Surodjo dan Yeni Susanti Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR June 6, / 15

5 PDL Bagian I Lanjutan Bukti: Dengan demikian terlihat bahwa x i > 1 untuk setiap i. Banyaknya cara menempatkan tanda sebagai ganti tanda + pada bentuk sama dengan ( m 1 n 1 ) }{{} Budi Surodjo dan Yeni Susanti Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR June 6, / 15

6 PDL Bagian I II. PDL x 1 + x x n = m dengan x i Z + PDL x 1 + x x n = m dengan ( solusi dalam ) bilangan bulat nonnegatif mempunyai solusi sebanyak m + n 1. n 1 Bukti: Permasalahan persamaan diophantine linear di atas identik dengan permasalahan penempatan n 1 tanda + dan m angka 1. Banyaknya angka 1 di depan tanda + pertama menyatakan nilai x 1, banyaknya angka 1 di antara tanda + pertama dan kedua menyatakan nilai x 2, dan seterusnya sampai dengan banyaknya angka 1 setelah tanda + terakhir menyatakan nilai x n. Budi Surodjo dan Yeni Susanti Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR June 6, / 15

7 PDL Bagian I Lanjutan Bukti: Dengan demikian terlihat bahwa x i 1 untuk setiap i. ( Banyaknya cara ) m + n 1 menempatkan tanda + dan m angka 1 sama dengan. n 1 Budi Surodjo dan Yeni Susanti Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR June 6, / 15

8 PDL Bagian I Contoh Contoh 1. Banyaknya solusi persamaan Diophantine linear x 1 + x 2 + ( x 3 + x 4 + ) x 5 = ( 11 dengan ) x i bilangan bulat positif sama dengan = = 10! !4! = Banyaknya solusi persamaan Diophantine linear x 1 + x 2 + ( x 3 + x 4 + x 5 ) = 11( dengan ) x i bilangan bulat nonnegatif sama dengan = = 15! !4! = Berapa banyaknya cara meletakkan 15 bola identik ke dalam 4 kotak berbeda jika tidak boleh ada kotak yang kosong? Banyaknya solusi permasalahan ini sama dengan banyaknya solusi persamaan Diophantine linear x 1 + x 2 + x 3 + ( x 4 = ) 15 dengan x i > 0 untuk setiap 14 i = 1, 2, 3, 4, yaitu sama dengan = Budi Surodjo dan Yeni Susanti Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR June 6, / 15

9 PDL Bagian I Soal-Soal Latihan Soal-Soal Latihan 1. Tentukan banyaknya solusi persamaan Diophantine linear x 1 + x 2 + x 3 = 19 dengan x 1 2, x 2 4 dan x 3 > 0! 3. Berapa banyaknya cara meletakkan 20 bola identik ke dalam 5 kotak berbeda jika kotak pertama harus terisi minimal 6 bola! 3. Tentukan koefisien x n pada perkalian (1 + x + x 2 + x 3 + x )(1 + x + x 2 + x 3 + x )(1 + x + x 2 + x 3 + x )(1 + x + x 2 + x 3 + x )! Budi Surodjo dan Yeni Susanti Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR June 6, / 15

10 PDL Bagian II Lemma Jika a > b > 0 dan a = bq + r maka gcd{a, b} = gcd{b, r}. Lemma Jika gcd{a, b} = d maka dapat ditemukan bilangan-bilangan bulat u dan v sehingga d = gcd{a, b} = au + bv. Budi Surodjo dan Yeni Susanti Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR June 6, / 15

11 PDL Bagian II TEOREMA (i) PDL berbentuk ax + by = c mempunyai solusi jika dan hanya jika gcd{a, b} membagi habis c. (ii) Jika d = gcd{a, b} = au + bv maka x 0 = uc d dan y 0 = vc d merupakan solusi (inisial) PDL ax + by = c. Lebih lanjut, penyelesaian umum PDL ax + by = c adalah x = x 0 + b d t dan y = y 0 a d t. Budi Surodjo dan Yeni Susanti Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR June 6, / 15

12 PDL Bagian II BUKTI Teorema Bagian (i) Misalkan PDL berbentuk ax + by = c mempunyai solusi. Maka terdapat x 0 dan y 0 sehingga ax 0 + by 0 = c. Karena d = gcd{a, b} a dan d = gcd{a, b} b maka d = gcd{a, b} ax 0 + by 0 = c. Sebaliknya, misalkan d = gcd{a, b} c, maka terdapat bilagan bulat z sehingga c = dz. Di sisi lain, terdapat bilangan-bilangan bulat u dan v sehingga d = gcd{a, b} = au + bv. Sehingga c = dz = (au + bv)z = a(uz) + b(vz). Jadi, PDL ax + by = c mempunyai solusi. Budi Surodjo dan Yeni Susanti Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR June 6, / 15

13 PDL Bagian II BUKTI Teorema Bagian (ii) Lebih lanjut, dc = (au+bv)c = (uc)a+(vc)b = uca+vcb+abt abt = (uc+bt)a+(vc at) untuk setiap bilangan bulat t. Sehingga dan dan merupakan solusi. c = ( uc d + bt )a + (vc d d at d )b x = x 0 + bt d y = y 0 at d Budi Surodjo dan Yeni Susanti Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR June 6, / 15

14 PDL Bagian II Contoh Contoh Tentukan semua solusi PDL 3x + 4y = 7. Jawaban: Karena 1 = gcd{3, 4} 7 maka PDL tersebut mempunyai solusi. Lebih lanjut, terdapat u = 1 dan v = 1 sehingga 1 = gcd{3, 4} = 3u + 4v. Sehingga diperoleh solusi umumnya adalah : x = t 1 = 7 + 4t dan y = 7 1 3t 1 = 7 3t dengan t sebarang bilangan bulat. Budi Surodjo dan Yeni Susanti Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR June 6, / 15

15 PDL Bagian II Soal-Soal Latihan SOAL-SOAL LATIHAN Tentukan semua solusi PDL berikut: 1. 6x + 4y = x + 3x + 4z = x + 6y = 20 Budi Surodjo dan Yeni Susanti Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR June 6, / 15