Barisan Deret ANALISIS REAL (BARISAN DAN DERET) Kus Prihantoso Krisnawan. August 30, Yogyakarta. Krisnawan Pertemuan 1, 2, & 3
|
|
|
- Hartono Pranata
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 ANALISIS REAL (BARISAN DAN DERET) Kus Prihantoso Krisnawan August 30, 0 Yogyakarta
2 Limit Monoton Pada bagian ini kita akan mencoba menebak bentuk umum dari suatu barisan.
3 Limit Monoton Pada bagian ini kita akan mencoba menebak bentuk umum dari suatu barisan. Contoh: Misalkan diberikan sebuah barisan (u n ) yang didefinisikan sbb: u 0 = u = u = dan [ ] un+3 U det n+ = n!, n 0. u n+ u n Buktikan bahwa u n Z untuk setiap n.
4 Limit Monoton Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (u n ) adalah u n+3 = u n+u n+ u n + n! u n
5 Limit Monoton Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (u n ) adalah u n+3 = u n+u n+ u n + n! u n Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh u 3 = + =
6 Limit Monoton Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (u n ) adalah u n+3 = u n+u n+ u n + n! u n Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh u 3 = + = u 4 = + = 3
7 Limit Monoton Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (u n ) adalah u n+3 = u n+u n+ u n + n! u n Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh u 3 = + = u 4 = + = 3 u 5 = 3 + = 4
8 Limit Monoton Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (u n ) adalah u n+3 = u n+u n+ u n + n! u n Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh u 3 = + = u 4 = + = 3 u 5 = 3 + = 4 u 6 = 4 3 u 7 = u 8 = = = 6 4 = 7 5 3
9 Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5)
10 Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5) Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar.
11 Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5) Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u 3 = 3 =
12 Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5) Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u 3 = 3 = Asumsikan rumus tersebut benar untuk u n+, u n+, dan u n sehingga
13 Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5) Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u 3 = 3 = Asumsikan rumus tersebut benar untuk u n+, u n+, dan u n sehingga u n+3 = u n+u n+ + n! (n + )(n ) n(n ) + n! = u n (n )(n 3)(n 5)
14 Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5) Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u 3 = 3 = Asumsikan rumus tersebut benar untuk u n+, u n+, dan u n sehingga u n+3 = u n+u n+ + n! (n + )(n ) n(n ) + n! = u n (n )(n 3)(n 5) (n + )n! + n! = (n )(n 3)(n 5) = (n + )n! (n )(n 3)(n 5)
15 Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5) Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u 3 = 3 = Asumsikan rumus tersebut benar untuk u n+, u n+, dan u n sehingga u n+3 = u n+u n+ + n! (n + )(n ) n(n ) + n! = u n (n )(n 3)(n 5) (n + )n! + n! = (n )(n 3)(n 5) = (n + )n! (n )(n 3)(n 5) = (n + )n(n ) shg dapat disimpulkan bahwa rumus tersebut benar.
16 Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5) Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u 3 = 3 = Asumsikan rumus tersebut benar untuk u n+, u n+, dan u n sehingga u n+3 = u n+u n+ + n! (n + )(n ) n(n ) + n! = u n (n )(n 3)(n 5) (n + )n! + n! = (n )(n 3)(n 5) = (n + )n! (n )(n 3)(n 5) = (n + )n(n ) shg dapat disimpulkan bahwa rumus tersebut benar. Dan karena n bilangan bulat maka (n + )n(n ) juga bilangan bulat.
17 Limit Limit Monoton Definisi: i. Sebuah barisan (x n ) dikatakan konvergen menuju L < jika dan hanya jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian hingga x n L < ɛ untuk setiap n > n ɛ.
18 Limit Limit Monoton Definisi: i. Sebuah barisan (x n ) dikatakan konvergen menuju L < jika dan hanya jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian hingga x n L < ɛ untuk setiap n > n ɛ. ii. Sebuah barisan (x n ) dikatakan menuju takhingga jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian hingga x n > ɛ untuk n > n ɛ.
19 Limit Limit Monoton Definisi: i. Sebuah barisan (x n ) dikatakan konvergen menuju L < jika dan hanya jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian hingga x n L < ɛ untuk setiap n > n ɛ. ii. Sebuah barisan (x n ) dikatakan menuju takhingga jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian hingga x n > ɛ untuk n > n ɛ. Salah satu metoda untuk menentukan limit adalah the squeezing principle (teorema apit). The squeezing principle i. Jika a n b n c n untuk setiap n dan jika (a n ) dan (c n ) konvergen ke L < maka (b n ) juga konvergen ke L.
20 Limit Limit Monoton Definisi: i. Sebuah barisan (x n ) dikatakan konvergen menuju L < jika dan hanya jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian hingga x n L < ɛ untuk setiap n > n ɛ. ii. Sebuah barisan (x n ) dikatakan menuju takhingga jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian hingga x n > ɛ untuk n > n ɛ. Salah satu metoda untuk menentukan limit adalah the squeezing principle (teorema apit). The squeezing principle i. Jika a n b n c n untuk setiap n dan jika (a n ) dan (c n ) konvergen ke L < maka (b n ) juga konvergen ke L. ii. Jika a n b n untuk setiap n dan (a n ) menuju takhingga maka (b n ) juga menuju takhingga.
21 Limit Limit Monoton Contoh: Misalkan (x n ) adalah barisan bilangan real sedemikian sehinga lim (x n+ x n ) = L. n Tunjukkan bahwa barisan (x n ) konvergen ke L.
22 Limit Limit Monoton Jawab: Berdasarkan hipotesis, didapat bahwa untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian sehingga jika n n ɛ, berlaku L ɛ < x n+ x n < L + ɛ
23 Limit Limit Monoton Jawab: Berdasarkan hipotesis, didapat bahwa untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian sehingga jika n n ɛ, berlaku Sehingga L ɛ < x n+ x n < L + ɛ L ɛ < x n+ x n < L + ɛ (L ɛ) < 4x n+ x n+ < (L + ɛ) k (L ɛ) < k x n+k k x n+k < k (L + ɛ)
24 Limit Limit Monoton diperoleh ( k )(L ɛ) < k x n+k x n < ( k )(L + ɛ)
25 Limit Limit Monoton diperoleh ( k )(L ɛ) < k x n+k x n < ( k )(L + ɛ) ( k )(L ɛ) < x n+k k x n < ( )(L + ɛ) k
26 Limit Limit Monoton diperoleh ( k )(L ɛ) < k x n+k x n < ( k )(L + ɛ) ( k )(L ɛ) < x n+k k x n < ( )(L + ɛ) k pilih k sdm shg k x n < ɛ dan k (L ± ɛ) < ɛ. maka untuk m n + k L 3ɛ < x m < L + 3ɛ.
27 Limit Limit Monoton Contoh: Tunjukkan bahwa lim n n n =
28 Limit Limit Monoton Contoh: Tunjukkan bahwa lim n n n = Solusi: Nilai x n = n n > 0 untuk setiap n.
29 Limit Limit Monoton Contoh: Tunjukkan bahwa lim n n n = Solusi: Nilai x n = n n > 0 untuk setiap n. Perhatikan bahwa dengan menggunakan rumus binomial dapat diperoleh n = ( + x n ) n ( ) ( n n = + x n + ) ( xn n + + n ) x n n + + x n n.
30 Limit Limit Monoton Contoh: Tunjukkan bahwa lim n n n = Solusi: Nilai x n = n n > 0 untuk setiap n. Perhatikan bahwa dengan menggunakan rumus binomial dapat diperoleh n = ( + x n ) n ( ) ( n n = + x n + ) ( xn n + + n ) x n n + + x n n. Sehingga n > ( n ) x n,
31 Limit Limit Monoton dengan demikian untuk n. x n < n,
32 Limit Limit Monoton dengan demikian untuk n. x n < selanjutnya, karena 0 x n < n, n
33 Limit Limit Monoton dengan demikian untuk n. x n < selanjutnya, karena 0 x n < dan karena barisan ke 0. n, n n konvegen ke 0 maka (x n) konvergen
34 Limit Limit Monoton Contoh: Misalkan (a n ) adalah barisan bilangan real dengan sifat untuk setiap n terdapat bilangan bulat k dengan n k < n sedemikian sehingga a n = a k. Tunjukkan bahwa lim a n = 0. n
35 Limit Limit Monoton Contoh: Misalkan (a n ) adalah barisan bilangan real dengan sifat untuk setiap n terdapat bilangan bulat k dengan n k < n sedemikian sehingga a n = a k. Tunjukkan bahwa lim a n = 0. n Bukti: Definisikan barisan (b n ) sbb: b n = max{ a k, n k < n }.
36 Limit Limit Monoton Contoh: Misalkan (a n ) adalah barisan bilangan real dengan sifat untuk setiap n terdapat bilangan bulat k dengan n k < n sedemikian sehingga a n = a k. Tunjukkan bahwa lim a n = 0. n Bukti: Definisikan barisan (b n ) sbb: b n = max{ a k, n k < n }. Jika kita jabarkan deret ini maka didapatkan b = max{ a } b = max{ a, a 3 } b 3 = max{ a 4, a 5, a 6, a 7 } b n = max{ a n, a n +, a n }
37 Limit Limit Monoton Selanjutnya karena a n = a k untuk n k < n, maka 0 b n b n,
38 Limit Limit Monoton Selanjutnya karena a n = a k untuk n k < n, maka 0 b n b n, sehingga 0 b n b n b n b n 3 3 b n
39 Limit Limit Monoton Selanjutnya karena a n = a k untuk n k < n, maka 0 b n b n, sehingga 0 b n b n b n b n 3 3 b n Dengan lim n b n = 0, maka didapat lim n b n = 0.
40 Limit Limit Monoton Selanjutnya karena a n = a k untuk n k < n, maka 0 b n b n, sehingga 0 b n b n b n b n 3 3 b n Dengan lim n b n = 0, maka didapat lim n b n = 0. Di lain pihak kita dapatkan a n b n, untuk setiap n, sehingga dengan teorema squeez didapatkan bahwa (a n ) konvergen ke 0.
41 Monoton Limit Monoton Definisi: (x n ) dikatakan monoton naik jika x n x n+ untuk setiap n, dan monoton turun jika x n x n+ untuk setiap n.
42 Monoton Limit Monoton Definisi: (x n ) dikatakan monoton naik jika x n x n+ untuk setiap n, dan monoton turun jika x n x n+ untuk setiap n. Definisi: (x n ) dikatakan terbatas jika terdapat M > 0 sedemikian sehingga x n M untuk setiap n.
43 Monoton Limit Monoton Definisi: (x n ) dikatakan monoton naik jika x n x n+ untuk setiap n, dan monoton turun jika x n x n+ untuk setiap n. Definisi: (x n ) dikatakan terbatas jika terdapat M > 0 sedemikian sehingga x n M untuk setiap n. Teorema Weierstrass: monoton yang terbatas merupakan barisan konvergen.
44 Monoton Limit Monoton Contoh: Buktikan bahwa barisan (a n ), yang didefinisikan, a n = n, n adalah barisan konvergen.
45 Monoton Limit Monoton Contoh: Buktikan bahwa barisan (a n ), yang didefinisikan, a n = n, n adalah barisan konvergen. Bukti: a n adalah barisan monoton naik karena a n a n+. Kita akan buktikan bahwa barisan ini terbatas.
46 Monoton Limit Monoton Perhatikan bahwa a n = = n n n n
47 Monoton Limit Monoton Perhatikan bahwa a n = n = n n n = n n <
48 Monoton Limit Monoton Misalkan b n = b n+ = + b n maka
49 Monoton Limit Monoton Misalkan b n = b n+ = + b n maka Kita tahu bahwa b = <, sehingga jika b n < maka b n+ = + b n < + <.
50 Monoton Limit Monoton Misalkan b n = b n+ = + b n maka Kita tahu bahwa b = <, sehingga jika b n < maka b n+ = + b n < + <. Sehingga terbukti secara induktif bahwa b n < untuk setiap n.
51 Monoton Limit Monoton Misalkan b n = b n+ = + b n maka Kita tahu bahwa b = <, sehingga jika b n < maka b n+ = + b n < + <. Sehingga terbukti secara induktif bahwa b n < untuk setiap n. dengan demikian a n < b n < untuk setiap n ((an ) terbatas).
52 Monoton Limit Monoton Misalkan b n = b n+ = + b n maka Kita tahu bahwa b = <, sehingga jika b n < maka b n+ = + b n < + <. Sehingga terbukti secara induktif bahwa b n < untuk setiap n. dengan demikian a n < b n < untuk setiap n ((an ) terbatas). Karena barisan (a n ) naik dan terbatas maka (a n ) konvergen.
53 Berjatuhan Berjatuhan (Telescoping Sereies) Contoh Tentkan hasil dari n + n +
54 Berjatuhan Berjatuhan (Telescoping Sereies) Contoh Tentkan hasil dari Jawab: Perhatikan bahwa n + n + k + k + = k + k k + k = k + k
55 Berjatuhan Berjatuhan (Telescoping Sereies) Contoh Tentkan hasil dari Jawab: Perhatikan bahwa n + n + k + k + = k + k k + k = k + k Sehingga jumlahan di atas sama dengan ( )+( 3 )+( 4 3)+ +( n + n) = n +
56 Contoh Berjatuhan Misalkan a 0 =, a = 3, dan a n+ = a n +, dengan n. Tunjukkan bahwa a a + + a a n + + a n+ = untuk semua n.
57 Contoh Berjatuhan Misalkan a 0 =, a = 3, dan a n+ = a n +, dengan n. Tunjukkan bahwa a a + + a a n + + a n+ = untuk semua n. Jawab: Perhatikan bahwa a k+ = a k
58 Contoh Berjatuhan Misalkan a 0 =, a = 3, dan a n+ = a n +, dengan n. Tunjukkan bahwa a a + + a a n + + a n+ = untuk semua n. Jawab: Perhatikan bahwa a k+ = a k = (a k + )(a k )
59 Contoh Berjatuhan Misalkan a 0 =, a = 3, dan a n+ = a n +, dengan n. Tunjukkan bahwa a a + + a a n + + a n+ = untuk semua n. Jawab: Perhatikan bahwa sehingga a k+ = a k a k+ = = (a k + )(a k )
60 Contoh Berjatuhan Misalkan a 0 =, a = 3, dan a n+ = a n +, dengan n. Tunjukkan bahwa a a + + a a n + + a n+ = untuk semua n. Jawab: Perhatikan bahwa sehingga untuk k. a k+ = a k = (a k + )(a k ) a k+ = a k a k + ()
61 Contoh Berjatuhan Persamaan () sama dengan untuk k. a k + = a k a k+
62 Contoh Berjatuhan Persamaan () sama dengan untuk k. Sehingga a a n + = a k + = a k a k+
63 Contoh Berjatuhan Persamaan () sama dengan untuk k. Sehingga a k + = a k a k+ a a n + = a a + a a a n a n+
64 Contoh Berjatuhan Persamaan () sama dengan untuk k. Sehingga a k + = a k a k+ a a n + = a a + a a a n a n+ = a a n+
65 Contoh Berjatuhan Persamaan () sama dengan untuk k. Sehingga a k + = a k a k+ a a n + = a a + a a a n a n+ = a a n+ = a n+.
66 Contoh Berjatuhan Dengan demikian a a n + + a n+ = a a n+ + a n+
67 Contoh Berjatuhan Dengan demikian a a n + + a n+ = a a n+ + a n+ = a = untuk semua n.
68 Contoh Berjatuhan Tentukan 49 n= n + n
69 Contoh Berjatuhan Tentukan Jawab: Kita punya n + n = 49 n= n + n ( n+ + ) n
70 Contoh Berjatuhan Tentukan Jawab: Kita punya n + n = = 49 n= n + n ( n+ + n+ + n ) n
71 Contoh Berjatuhan Tentukan Jawab: Kita punya n + n = = = 49 n= n + n ( n+ + n+ + n+ n n n+ n ) n
72 Contoh Berjatuhan Tentukan Jawab: Kita punya n + n = = = 49 n= n + n ( n+ + n+ + n+ n n n+ n ) n n + = n.
73 Contoh Berjatuhan sehingga 49 n= n + n = 49 n= n + n
74 Contoh Berjatuhan sehingga 49 n= n + n = = n + n n=
75 Contoh Berjatuhan sehingga 49 n= n + n 49 n + n = n= + + = = + +
76 Contoh Berjatuhan sehingga 49 n= n + n 49 n + n = n= + + = = + + = =
77 Berjatuhan Limit Fungsi Tentukan lim x (x + x + x ) x Jawab:
78 Limit Fungsi Berjatuhan Tentukan lim x (x + x + x ) x Jawab: ( lim x x + x + x ) x x + x + x x = lim x x + x + x + x
79 Limit Fungsi Berjatuhan Tentukan lim x (x + x + x ) x Jawab: ( lim x x + x + x ) x x + x + x x = lim x x + x + x + x = lim x x + + x + + x 3
80 Limit Fungsi Berjatuhan Tentukan lim x (x + x + x ) x Jawab: ( lim x x + x + x ) x x + x + x x = lim x x + x + x + x = lim x x + + x + + x 3 =
81 Example Berjatuhan. Find the gcd of 704 and 4!
82 Example Berjatuhan. Find the gcd of 704 and 4! Answer:
83 Example Berjatuhan. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 =
84 Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = =
85 Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = = =
86 Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = = = =
87 Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = = = = =
88 Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = = = = = = 5 8
89 Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: Thus, gcd(704, 4) = = = = = = = 5 8
90 Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = = = = = = 5 8 Thus, gcd(704, 4) = 8.. Find the gcd of x 3 and x!
91 Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = = = = = = 5 8 Thus, gcd(704, 4) = 8.. Find the gcd of x 3 and x! Answer:
92 Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = = = = = = 5 8 Thus, gcd(704, 4) = 8.. Find the gcd of x 3 and x! Answer: x 3 = x (x ) + (x )
93 Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = = = = = = 5 8 Thus, gcd(704, 4) = 8.. Find the gcd of x 3 and x! Answer: x 3 = x (x ) + (x ) x = (x + ) (x )
94 Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = = = = = = 5 8 Thus, gcd(704, 4) = 8.. Find the gcd of x 3 and x! Answer: x 3 = x (x ) + (x ) x = (x + ) (x )
URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN
Pertemuan ke-: 10, 11, dan 12 Penyusun : Kosim Rukmana Materi: Barisan Bilangan Real 7. Barisan dan Limit Barisan 6. Teorema Limit Barisan 7. Barisan Monoton URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 7. Barisan dan
Daftar Isi 3. BARISAN ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 29, 2011 Dalam kisah Zeno tentang perlombaan lari antara Achilles dan seekor kura-kura, ketika Achilles mencapai
ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. September 12, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 12, 2011 Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidiki kekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui
MA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Daftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB September 26, 2011
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 26, 2011 Diberikan sejumlah terhingga bilangan a 1,..., a N, kita dapat menghitung jumlah a 1 + + a N. Namun,
) dengan. atau sub barisan (subsequences) dari X ,,,..., kemudian dipilih hasil index barisan Contoh, jika X =
Section 3.4 Barisan Bagian dan Teorema Bolzano Weierstrass Di bagian ini kita akan diberikan konsep dari barisan bagian dari barisan bilangan real. Secara informal, barisan bagian dari barisan adalah satu
F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR
F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) : 1. Pendahuluan Mahasiswa dapat memahami pengertian dan konsep himpunan, fungsi dan induksi matematik, mampu menerapkannya dalam penyelesaian soal dan
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret
BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan
2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan
LANDASAN TEORI. disebut dengan suku-suku. Perubahan antara suku-suku berurutan ditentukan oleh
II. LANDASAN TEORI Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Nilai-nilai dari suatu fungsi yang daerah asalnya himpunan bilangan asli disebut dengan suku-suku.
18. SOAL-SOAL NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA
8. SOAL-SOAL NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA UN00.Nilai (n 6). n A. 88 B. 00 C. 00 D. 97 E. 060 n (n 6) (. 6) + (. 6) + (. 6)+ + (. 6) + 9 + +...+ 99 a b 9 9 n n(akhir) (n(awal)-) (-)
Definisi 1 Deret Tak Hingga adalah suatu ekspresi yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
DERET TAK HINGGA Definisi 1 Deret Tak Hingga adalah suatu ekspresi yang dapat dinyatakan dalam bentuk: u k = u 1 + u 2 + u 3 + + u k + Bilangan-bilangan u 1, u 2, u 3, disebut suku-suku dalam deret tersebut.
Pertemuan ke-10: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR
Pertemuan ke-0: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 205 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205
LIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT
CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT May 26, 203 A Lecture Note Acknowledgement of Sources For all ideas taken from other sources (books, articles, internet), the source of the ideas is mentioned in the
2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan
16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan
MA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
DERET TAK HINGGA. Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan. Definisi Deret tak hingga,
DERET TAK HINGGA Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan Definisi Deret tak hingga,, konvergen dan mempunyai jumlah S, apabila barisan jumlah jumlah parsial konvergen menuju S.
Dwi Lestari, M.Sc: Konvergensi Deret 1. KONVERGENSI DERET
1. KONVERGENSI DERET Suatu barisan disebut konvergen jika terdapat bilangan Z yang setiap lingkungannya memuat semua. Jika bilangan Z itu ada maka dapat ditulis: lim sehingga dapat dikatakan bahwa barisan
UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Eudoxus & Lingkaran Fakta bahwa luas lingkaran sebanding dengan kuadrat diameternya dibuktikan* secara rigorous oleh Eudoxus
BARISAN BILANGAN REAL
BAB 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan
LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Latihan 1 1. A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U
BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS
BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS Dalam bab ini akan kita bahas pengertian tentang sub barisan dari barisan bilangan real, yang lebih umum dibandingkan ekor suatu barisan, serta dapat
ANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan
ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,
BAB I PENDAHULUAN. : k N} dan A(m) menyatakan banyaknya m suku pertama (x n ) yang menjadi suku (x nk ), maka A(m)
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Konvergensi barisan bilangan real mempunyai banyak peranan dan aplikasi yang cukup penting pada beberapa bidang matematika, antara lain pada teori optimisasi,
MATEMATIKA 2. DERET Series ASEP MUHAMAD SAMSUDIN, S.T.,M.T. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG
MATEMATIKA DERET Series ASEP MUHAMAD SAMSUDIN, S.T.,M.T. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG BARISAN VS DERET BARISAN (Sequences) Himpunan besaran u 1, u, u 3, yang
BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN
BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN Definisi : Barisan bilangan real X = (x n ) dikatakan terbatas jika ada bilangan real M > 0 sedemikian sehingga x n M untuk semua n N. Catatan : X = (x n ) terbatas
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit Limit, supremum, dan infimum Titik limit 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3
Metoda Pembuktian: Induksi Matematika
Metoda Pembuktian: 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo January 14, 011 ILUSTRASI Figure: Ilustrasi Induksi Reaksi Berantai Pada ilustrasi di atas, kartu-kartu disusun
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini
SATUAN ACARA PERKULIAHAN ( SAP ) MATA KULIAH ANALISIS REAL I ( MT403) / 3 SKS KOSIM RUKMANA
SATUAN ACARA PERKULIAHAN ( SAP ) MATA KULIAH ANALISIS REAL I ( MT403) / 3 SKS KOSIM RUKMANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2008 0
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 2. Konstruksi Bilangan Real 2.1 Barisan Cauchy Motivasi & Definisi 2.2 Sistem Bilangan Real sbg Lapangan Terurut Aritmetika pada bilangan
BAB III. PECAHAN KONTINU dan PIANO. A. Pecahan Kontinu Tak Hingga dan Bilangan Irrasional
BAB III PECAHAN KONTINU dan PIANO A. Pecahan Kontinu Tak Hingga dan Bilangan Irrasional Sekarang akan dibahas tentang pecahan kontinu tak hingga yang diawali dengan barisan tak hingga bilangan bulat mendefinisikan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup Titik limit dari suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan tersebut. Pada interval
Pengantar : Induksi Matematika
Pengantar : Induksi Matematika Analisis Real /2 SKS/ Ega Gradini, M.Sc Induksi Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian
MA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4. Fungsi Kontinu 4.1 Konsep Kekontinuan Fungsi kontinu Limit fungsi dan limit barisan Prapeta himpunan buka 4.2 Sifat-Sifat Fungsi
KARTU SOAL URAIAN. KOMPETENSI DASAR (KD): 4.1 Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmatika dan geometri
. Siswa dapat menentukan suku pertama, beda/rasio, rumus suku ke-n dan suku ke-n, jika diberikan barisan bilangannya NO. SOAL: 31 Tentukan suku pertama, beda atau rasio, rumus suku ke-n, dan suku ke-10
MA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
LEMBAR AKTIVITAS SISWA BARISAN DAN DERET 2 LATIHAN 1. Jawab: Jawab:
NAMA : KELAS : C. BARISAN DAN DERET GEOMETRI 1. BARISAN GEOMETRI (B.G) Barisan Geometri adalah suatu barisan dengan rasio antara dua suku yang berurutan selalu tetap dan sama. 1) Perhatikan bentuk di bawah:
BARISAN DAN DERET. Drs. CARNOTO, M.Pd. NIP Pola Barisan Bilangan
BARISAN DAN DERET Drs. CARNOTO, M.Pd. NIP. 19640121 199010 1 001 Pola Barisan Bilangan Beberapa urutan bilangan yang sering kita pergunakan mempunyai pola tertentu. Pola ini Sering digunakan untuk menentukan
BAB III TRANSFORMASI MATRIKS DERET DIRICHLET HOLOMORFIK. A. Transformasi Matriks Mengawetkan Kekonvergenan
BAB III TRANSFORMASI MATRIKS DERET DIRICHLET HOLOMORFIK A. Transformasi Matriks Mengawetkan Kekonvergenan Pada bagian A ini pembahasan dibagi menjadi dua bagian, yang pertama membahas mengenai transformasi
Pembuktian dengan Induksi Matematik
Pembuktian dengan Induksi Matematik Contoh Soal Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September 2012 1 / 24 Example Dengan induksi matematik, buktikan bahwa
Relasi Rekursi. Matematika Informatika 4. Onggo
Relasi Rekursi Matematika Informatika 4 Onggo Wiryawan @OnggoWr Definisi Definisi 1 Suatu relasi rekursi untuk sebuah barisan {a n } merupakan sebuah rumus untuk menyatakan a n ke dalam satu atau lebih
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di
12. BARISAN DAN DERET
. BARISAN DAN DERET A. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI U, U, U 3,,U n adalah barisan suatu bilangan yang memiliki ciri khusus sebagai berikut Barisan Ciri utama Rumus suku ke-n Suku tengah Sisipan k bilangan
Fungsi Analitik (Bagian Pertama)
Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IV) Outline 1 Fungsi Variabel Kompleks 2 Pemetaan/Transformasi/Mappings
PENGANTAR ANALISIS REAL
Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,
Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga
Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang
MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV
MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV Mata Kuliah Wajib 2 sks untuk mahasiswa Program Studi Matematika Oleh Dr. WURYANSARI MUHARINI KUSUMAWINAHYU, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Antiremed Kelas 09 Matematika
Antiremed Kelas 09 Matematika Deret Bilangan - Latihan Soal Doc. Name: AR09MAT0613 Version: 2013-10 halaman 1 01a Berapakah nilai deret aritmatika di bawah (A) 1 + 2 + 3 + 4 + + 100 01b Berapakah nilai
-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id Konsep Limit Fungsi mendasari pembentukan kalkulus dierensial dan integral. Konsep ini
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Ruang Norm Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Definisi. Misalkan suatu ruang vektor atas. Norm pada didefinisikan sebagai fungsi. : yang memenuhi N1. 0 N2. 0 0 N3.,, N4.,, Kita dapat
MATEMATIKA BISNIS DERET. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen
MATEMATIKA BISNIS Modul ke: DERET Fakultas Ekonomi Bisnis Muhammad Kahfi, MSM Program Studi Manajemen http://www.mercubuana.ac.id Konsep Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut
4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif
Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum
Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan
4 BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA JUMLAH PERTEMUAN : 5 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan kekonvergenan
BAB III INDUKSI MATEMATIKA
BAB III INDUKSI MATEMATIKA BAB III INDUKSI MATEMATIKA 3.1 Pendahuluan Dalam bidang matematika tidak jarang ditemui pola-pola induktif yang melibatkan himpunan indeks berupa himpunan bilangan asli atau
BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK
BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 3. Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval 0, dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas
MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN
MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN Mata Kuliah Jurusan SKS Kode M. Kuliah : Kalkulus IA : Teknik Elektro : 2 SKS : KD-0420 Minggu ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan dan Sasaran Belajar Cara Pengajaran
Deret Binomial. Ayundyah Kesumawati. June 25, Prodi Statistika FMIPA-UII. Ayundyah (UII) Deret Binomial June 25, / 14
Deret Binomial Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII June 25, 2015 Ayundyah (UII) Deret Binomial June 25, 2015 1 / 14 Pendahuluan Deret Binomial Kita telah mengenal Rumus Binomial. Untuk bilangan
SISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI SISTEM BILANGAN REAL. Sifat Aljabar Bilangan Real......................2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real.............4 Supremum
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan
Bab 4. Koefisien Binomial
Bab 4. Koefisien Binomial Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan, misalnya (a + b) n. Sepintas terlihat bahwa ekspresi
BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
I. PENDAHULUAN. diujikan. Bahkan, seleksi penerimaan calon pegawai negeri sipil (CPNS) pun,
1 I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Matematika sebagai ilmu dasar, dewasa ini sangat dirasakan interaksinya dengan bidang ilmu yang lain. Sejak Sekolah Dasar (SD) hingga bangku Sekolah Menengah Atas (SMA),
BARISAN DAN DERET. Matematika Dasar
BARISAN DAN DERET 8.1 BARISAN BILANGAN A. Mengenal pengertian barisan suatu bilangan Perhatikan ilustrasi berikut! Seorang karyawan pada awalnya memperoleh gaji sebesar Rp.600.000,00. Selanjutnya, setiap
II. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Differential Equation Fungsi mendeskripsikan bahwa nilai variabel y ditentukan oleh nilai variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
HUBUNGAN LIMIT FUNGSI DAN LIMIT BARISAN PADA TOPOLOGI REAL
HUBUNGAN LIMIT FUNGSI DAN LIMIT BARISAN PADA TOPOLOGI REAL Ukhti Raudhatul Jannah Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Madura Alamat Jalan Raya Panglegur 3,5 KM Pamekasan Abstrak: Tulisan
INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use
INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua
Soal Ujian Komprehensif
Soal Ujian Komprehensif Bahan ujian komprehensif memuat konsep-konsep penting pada bidang: Kalkulus, dan Matriks / Aljabar Linear. Logika, Soal ujian disediakan secara terbuka, dapat diperoleh setiap saat
Induksi Matematika. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Kompetensi Dasar Dan Pengalaman Belajar
Bab 3 Induksi Matematika Kompetensi Dasar Dan Pengalaman Belajar Kompetensi Dasar 1.1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya 2.1. Menghayati perilaku disiplin, sikap kerjasama, sikap kritis
MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
21. BARISAN DAN DERET
2. BARISAN DAN DERET A. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI U, U 2, U 3,,U n adalah barisan suatu bilangan yang memiliki ciri khusus sebagai berikut Barisan Ciri utama Rumus suku ke-n Suku tengah Sisipan k
FUNGSI TRANSENDEN J.M. TUWANKOTTA
FUNGSI TRANSENDEN J.M. TUWANKOTTA. Penekatan Kalkulus: menefinisikan fungsi logaritma natural sebagai integral Panang sebuah fungsi yang iefinisikan engan menggunakan integral: (.) L(x) = t t. Dari Teorema
1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q.
Diskusi Kelompok (I) Waktu: 100 menit Selasa, 23 September 2008 Pengajar: Hilda Assiyatun, Djoko Suprijanto 1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q. (a) Mahasiswa perlu membawakan
Modul 1 : Barisan dan Deret Takhingga. Kegiatan Belajar 1 : Barisan Takhingga. Kegiatan Belajar 2 : Deret Takhingga.
ix M Tinjauan Mata Kuliah ata kuliah Kalkulus 2 yang disajikan pada bahan ajar ini membahas materi tentang barisan, deret, dan integral. Pembahasan barisan dan deret hanya sekitar 11 persen dari dari keseluruhan
CHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION
CHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION 5.1 MATHEMATICAL INDUCTION Jumlah n Bilangan Ganjil Positif 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Tebakan: Jumlah dari n bilangan ganjil
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3.3 Himpunan Kompak Himpunan tak terhingga lebih sulit ditangani daripada himpunan terhingga. Namun ada himpunan tak terhingga yang
II. TINJAUAN PUSATAKA
4 II. TINJAUAN PUSATAKA 2.1 Operator Definisi 2.1.1 (Kreyszig, 1989) Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator. Definisi 2.1.2 (Kreyszig, 1989) Diberikan ruang Bernorm
BAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 3, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 3, 2011 6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak Hingga Bila sebelumnya kita mempelajari limit barisan,
CHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION
CHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION 5.1 MATHEMATICAL INDUCTION Jumlah n Bilangan Ganjil Positif 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Tebakan: Jumlah dari n bilangan ganjil
Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
BAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT
BAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT. Pendahuluan Well-Ordering Principle Jika S himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat positif yang tidak kosong, maka S memiliki sebuah unsur terkecil. Unsur
II. TINJAUAN PUSTAKA. dan Integral Bawah Darboux, Integral Darboux, Teorema Bolzano Weierstrass,
II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi Integral Atas dan Integral Bawah Darboux, Integral Darboux, Teorema Bolzano Weierstrass, serta teorema-teorema yang mendukung
FUNGSI PEMBANGKIT. Ismail Sunni
FUNGSI PEMBANGKIT Ismail Sunni 3508064 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha 0, Bandung If8064@students.if.itb.ac.id ismailsunni@yahoo.co.id ABSTRAK Fungsi Pembangkit
Antiremed Kelas 09 Matematika
Antiremed Kelas 09 Matematika Latihan Ulangan Barisan dan Deret Bilangan Doc. Name: AR09MAT0698 Version: 03- halaman 0. Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3,, adalah (UAN 003) -69 (B) -7 (C) -73 (D) -75 0a
BARISAN DAN DERET MATERI PENDAMPING OLIMPIADE MATEMATIKA MA/SMA
BARISAN DAN DERET MATERI PENDAMPING OLIMPIADE MATEMATIKA MA/SMA I. SISTEM BILANGAN REAL DAN OPERASINYA II. NOTASI SIGMA III. BARISAN BILANGAN IV. DERET BILANGAN V. INDUKSI MATEMATIKA DISUSUN OLEH : AHAMD
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH ANALISIS REAL II (MT410) / 3 SKS
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH ANALISIS REAL II (MT410) / 3 SKS JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2009 0 A. Identitas Mata
BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Analisis merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari antara lain barisan, limit, deret, kekontinuan, kekonvergenan, integral, dan yang lainnya.
FUNGSI COMPUTABLE. Abstrak
FUNGSI COMPUTABLE Ahmad Maimun 1, Suarsih Utama. 1, Sri Mardiyati 1 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 ahmad.maimun90@gmail.com, suarsih.utama@sci.ui.ac.id, sri_math@sci.ui.ac.id
BAB V BARISAN DAN DERET BILANGAN
BAB V BARISAN DAN DERET BILANGAN Peta Konsep Barisan dan Deret Bilangan mempelajari Pola bilangan Barisan bilangan Deret bilangan jenis jenis Aritmatika Geometri Aritmatika Geometri mempelajari Sifat Rumus