KONSTRUKSI METRIK EINSTEIN SELFDUAL PADA

Transkripsi

1 BAB IV KONSTRUKSI METRIK EINSTEIN SELFDUAL PADA MANIFOLD BERDIMENSI Struktur Selfdual dengan Simetri Torus Dalam 4-dimensi, untuk mengatakan bahwa sebuah manifold adalah quaternionic Kähler adalah ekivalen dengan mengatakan bahwa manifold itu adalah Einstein dengan selfdual Weyl tensor [2]. Untuk alasan inilah kita perlu mengklasifikasikan suatu struktur selfdual dengan dua isometri commuting pada. Syarat isometri dan selfdual adalah sebuah keharusan dan akibatnya semua deskripsi akan dibuat dalam bentuk kombinasi linear dari persamaan differensial. Untuk sebuah ruang Euclidean pada dimensi empat, grup rotasi isomorphic dengan dan akhirnya Weyl tensor akan berdekomposisi menjadi dimana komponen berkorespondensi dengan satu dari grup. Dengan definisi adalah bagian dari Riemann tensor yang bersifat conformally invariant, hal ini berarti bahwa tidak berubah terhadap transformasi. Sebuah struktur konformal didefinisikan sebagai sebuah kumpulan metric yang diperoleh dari dengan transformasi konformal. Jika untuk suatu maka dikatakan selfdual dan akibatnya, adalah sebuah struktur selfdual. 23

2 24 Sekarang marilah kita tinjau ruang dengan dua isometri commuting. Manifold akhirnya akan berbentuk dengan N adalah permukaan Riemann, dan adalah flat torus berdimensi dua. Kita akan menotasikan sebagai sudut yang memparameterisasi. Tinjau struktur pada dengan mengambil bentuk (4.1) indeks berhuruf latin berkorespondensi dengan vektor pada dan indeks berhuruf Yunani berkorespondensi dengan vektor pada. Baik dan diasumsikan tidak bergantung dari. Dengan teorema Gauss terdapat transformasi yang mereduksi metric menjadi (4.2) definisikan basis sehingga (4.3) terdapat sebuah transformasi linear yang menghubungkan basis dengan, yaitu, dan yang akan kita tulis sebagai (4.4) dengan menghitung,yaitu (4.5)

3 25 (4.6) akan didapat: (4.7) (4.8) (4.9) (4.10) (4.11) (4.12) karena, didapat karena, yaitu, akan didapat (4.13) akan didapat bahwa dapat ditulis sebagai (4.14) didapat

4 26 (4.15) dengan mengalikan pada persamaan memberikan proposisi berikut [3] Proposisi Suatu selfdual metric dengan dua commuting killing vectors dan pada adalah conformal dengan selfdual metric dengan bentuk dimana fungsi memenuhi (4.16) (4.17) Harus digarisbawahi bahwa syarat mengimplikasikan dan untuk suatu fungsi potensial. Kemudian syarat mengimplikasikan. Sedangkan kalau ditulis dalam bentuk fungsi potensial [6], syarat akan memberikan dan. Kemudian syarat mengimplikasikan, akhirnya akan didapatkan hubungan dan.

5 Struktur Toda Bagian ini akan menunjukkan beberapa hasil yang penting untuk menemukan Einstein metric di dalam Joyce metric. Tetapi sebelumnya akan disebutkan terlebih dahulu beberapa sifat penting mengenai struktur Einstein- Weyl. Struktur Einstein-Weyl adalah generalisasi dari persamaan Einstein. Dari [2] didapat bahwa struktur Einstein-Weyl 3-dimensi adalah struktur yang dikarakterisasi oleh dan sebuah connection, yang diberikan oleh dimana fungsi memenuhi persamaan Toda (4.18) Dengan hasil ini, kita mendapatkan proposisi berikut [4]: Proposisi Misalkan terdapat Einstein-Weyl structure pada. Maka metric 4-dimensional (4.19) adalah selfdual dengan satu Killing vector jika pasangan fungsi memenuhi persamaan (4.20) dimana adalah Hodge star dan.

6 28 Dari formula dan fakta bahwa akan didapat maka syarat supaya eksis adalah (4.21) Dan dengan mengalikan proposisi dengan akan menghasilkan proposisi berikut [5] Proposisi Sebarang selfdual Einstein metric pada terdapat sistem koordinat dimana mengambil bentuk (4.22) Fungsi bebas dari variabel dan memenuhi syarat (4.23) (4.24) (4.25) Dapat dilihat dengan mudah bahwa jika kondisi tidak diikutsertakan maka proposisi adalah proposisi dengan mengalikan. Maka adalah syarat untuk mendapatkan Einstein metric. Jadi untuk memperoleh Einstein metric di dalam Joyce metric adalah mereduksi Joyce metric menjadi bentuk dan menerapkan syarat.

7 29 Hal yang pertama perlu dilakukan adalah menemukan sistem koordinat baru supaya metric yang diekspresikan dalam dapat diekspresikan dalam bentuk (4.26) untuk melakukannya pertama-tama kita bisa menuliskan persamaan pada proposisi dalam bentuk Dengan mengalikan persamaan di atas dengan akan didapatkan dengan mengambil kita dapatkan (4.27) (4.28) Faktor dapat dihitung dengan, dan adalah (4.29) Langkah selanjutnya adalah mencari sistem koordinat persamaan sehingga berbentuk

8 30, hubungan memberikan dan akhirnya akan memberikan. Differensial dari adalah (4.30) dan dapat dengan mudah dicek bahwa akhirnya didapat, dengan membandingkannya dengan didapat,,, dan. 4.3 Metrik Einstein Selfdual pada 4 Dimensi Sekarang semua yang diperlukan untuk menemukan Einstein metric di dalam Joyce metric telah siap. Untuk menemukan Einstein metric, cukup dengan menerapkan syarat Einstein pada metric pada proposisi , dan akan menghasilkan Calderbank-Pedersen metric [1], dari subbab sebelumnya telah didapatkan bahwa dan dari hubungan akan didapatkan (4.31) Dari subbab 4.2 didapat dan dari formula menghasilkan, jadi didapat dan dengan. Fungsi ditentukan dengan menerapkan syarat pada proposisi 4.1.1, hasilnya adalah

9 31 dan. Jadi metric adalah Einstein jika dan hanya jika (4.32) (4.33) Dengan mendefinisikan akan didapatkan bahwa (4.34) (4.35) dengan menerapkan syarat didapat (4.36) (4.37) (4.38) (4.39) (4.40) dengan mengalikan kedua ruas dengan akhirnya akan didapat bahwa. Kemudian dengan memasukkan,,

10 32, dan yang ditulis dalam ke metric akan menghasilkan proposisi berikut [1] Teorema Misalkan adalah solusi dari persamaan differensial linear dalam suatu himpunan buka dari ruang, dan misalkan metric diberikan oleh dimana dan. Maka pada suatu himpunan buka dimana, g adalah selfdual Einstein metric dengan scalar curvature positif, sebaliknya pada himpunan buka dimana curvature negatif., -g adalah selfdual Einstein metric dengan scalar

11 33 Bukti teorema Metric adalah, sehingga metric adalah

12 34 sedangkan suku dapat dijabarkan sebagai berikut

13 35

14 36 dengan mendefinisikan dan maka akan didapatkan sehingga didapat

15 37 dan akhirnya dengan mengalikan dengan akan didapatkan yang merupakan metrik Einstein pada teorema 4.3.1