METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL DAN ELASTIK

Transkripsi

1 METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL DAN ELASTIK TESIS Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Magister Pendidikan pada Program Studi Magister Pendidikan Matematika Disusun Oleh: Meta Dispini NIM : PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017

2

3

4 HALAMAN MOTTO Mintalah, maka akan diberikan kepadamu; carilah, maka kamu akan mendapat; ketoklah, maka pintu akan dibukakan bagimu. Matius 7:7 iv

5 HALAMAN PERSEMBAHAN Tesis ini kupersembahkan untuk Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa memberikan pencerahan ketika sedang bimbang dan menjadi tempat keluh kesah kapanpun aku butuh. Bapakku yang selalu mengkhawatirkan aku dan Ibuku yang selalu mendoakanku dan menjagaku serta mengasihiku melebihi dirinya sendiri, tentunya mbak-mbakku yang selalu ada ketika aku butuh dan selalu mendukungku. Terima kasih. Aku sangat menyayangi kalian. v

6

7 ABSTRAK Meta Dispini, Metode Dekomposisi Adomian untuk Menyelesaikan Persamaan Gelombang Air Dangkal dan Elastik. Tesis. Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Penulis meneliti tentang persamaan gelombang air dangkal serta persamaan elastik. Penulis menggunakan Metode Dekomposisi Adomian karena banyak keuntungan yang didapatkan dari metode tersebut. Salah satu keuntungannya adalah Metode Dekomposisi Adomian memiliki konvergensi yang cepat menuju solusi eksak untuk sejumlah permasalahan persamaan diferensial. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari solusi permasalahan terkait fenomena gelombang air dangkal serta gelombang elastisitas yang direpresentasikan dengan solusi dari persamaan-persamaan tersebut. Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka. Hasil dari penelitian menunjukkan bahwa Metode Dekomposisi Adomian sangat relevan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut. Metode tersebut akurat untuk menyelesaikan persamaan air dangkal penyederhanaannya untuk nilai waktu yang kecil dan akurat untuk persamaan elastik untuk nilai waktu yang kecil maupun besar. Penelitian ini dapat digunakan dalam memotivasi pembelajaran siswa SMP dan SMA dalam materi persamaan garis lurus, turunan dan integral. Selain itu, dapat juga untuk memotivasi mahasiswa S1 Pendidikan Matematika dalam pengantar pemodelan serta persamaan diferensial biasa. Kata kunci: metode dekomposisi Adomian, gelombang air dangkal, persamaan elastik. vii

8 ABSTRACT Meta Dispini, Adomian Decomposition Method for Solving Shallow Water Wave and Elastic Wave Equations. Thesis. Study Program of Master of Mathematics Education, Department of Mathematics and Science Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta. In this thesis, the writer studies about shallow water equations and elasticity equations. In this research, the writer uses Adomian Decomposition Method, because there are many advantages, one of them is this method has fast convergence to the exact solutions for many differential equations. The goal of this research is to find the solutions of shallow water wave and elasticity wave problems that are represented by the solutions of the equations. The research method is literature study. The results show that the method is relevant for solving those equations. The method is accurate for small time in solving shallow water equations and accurate in solving elasticity equations for small and large time and shows the right physical behavior. This study can be used for motivates student in high school about straight line equations, diferential, and integral. The method can be used to motivates for bachelor students of mathematics education on mathematical modeling and ordinary differential equations. Keywords: Adomian decomposition method, shallow water wave, elasticity wave. viii

9

10 DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS Sebagian hasil tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi internasional dan dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut: [1] M. Dispini dan S. Mungkasi, Adomian decomposition method used to solve the shallow water equations, AIP Conference Proceedings, Volume 1746, Nomor 1, Artikel , Tahun 2016, (terindeks Scopus), Link Artikel: [2] M. Dispini dan S. Mungkasi, Adomian decomposition method used to solve the acoustics equations diterima dan sedang dalam proses publikasi dalam Journal of Physics: Conference Series (terindeks Scopus). Link Jurnal: Selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk dikembangkan menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh pembimbing (Sudi Mungkasi) dan penulis (Meta Dispini). x

11 KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena dengan penyertaan-nya, serta dengan bantuan, bimbingan dan dukungan dari berbagai pihak baik secara langsung maupun tidak langsung, penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul Metode Dekomposisi Adomian untuk Menyelesaikan Persamaan Gelombang Air Dangkal dan Elastik. Tesis ini diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Pendidikan dari Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan dan Ilmu Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Oleh karena itu, ijinkan penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada: 1. Orangtuaku, Jawi Suratman dan Tutik Susilowati serta mbak-mbakku, Christiana Atika Sari dan Bernadeta Berta Jatu Andini yang selalu mendukung dan mendoakan penulis kapanpun. 2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing yang sudah meluangkan waktu dan dengan sabar membimbing penulis, sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik. 3. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku dekan FKIP Universitas Sanata Dharma yang telah mengesahkan penulisan tesis ini. 4. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku penguji dan Ketua Program Studi Magister Pendidikan Matematika yang telah memberikan dukungan bagi penulis. 5. Bapak Prof. Dr. St. Suwarsono selaku penguji yang sudah memberikan banyak masukan kepada penulis untuk perbaikan tesis. xi

12 6. Segenap dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan dukungan selama penulis menempuh kuliah, sehingga akhirnya penulis dapat menyelesaikan studi dengan tepat waktu. 7. Segenap staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal administrasi kampus selama penulis melakukan studi di sini. 8. Sahabat-sahabatku yang selalu mendukungku, Margaretha Septyana, Calcilea Deny, Adven Desi, Hosea Bivin, Nathalia, A. Saputra, mas Beni dan mas Julius serta kawan-kawan yang tidak dapat saya sebutkan satupersatu. 9. Semua teman seperjuangan dari Program Studi Magister Pendidikan Matematika angkatan yang memberikan dukungan kepada penulis selama studi. 10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah membantu sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi para pembaca. Penulis, Meta Dispini xii

13 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii HALAMAN MOTTO... iv HALAMAN PERSEMBAHAN... v PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... vi ABSTRAK... vii ABSTRACT... viii PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... ix DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS... x KATA PENGANTAR... xi DAFTAR ISI... xiii BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang... 1 B. Rumusan Masalah... 3 C. Tujuan Penelitian... 4 D. Manfaat Penelitian... 4 E. Prasarat Materi... 5 F. Tinjauan Pustaka... 6 G. Kebaruan Penelitian H. Metode Penelitian I. Sistematika Penelitian xiii

14 BAB II LANDASAN TEORI A. Persamaan Diferensial Parsial B. Penurunan Persamaan Gelombang C. Metode Dekomposisi Adomian D. Dekomposisi Adomian pada Persamaan Burgers E. Persamaan Gelombang Air Dangkal F. Persamaan Gelombang Elastik BAB III HASIL PENELITIAN A. Solusi Persamaan Gelombang Air Dangkal B. Solusi Persamaan Gelombang Elastik C. Solusi Persamaan Gelombang Akustik D. Solusi Persamaan Gelombang Difusi E. Solusi Persamaan Gelombang Kinematik F. Kekurangan Penelitian BAB IV ASPEK PENDIDIKAN A. Implikasi Pembelajaran di Sekolah Menengah B. Implikasi Pembelajaran di S1 Pendidikan Matematika C. Refleksi Pengalaman Penelitian Matematika BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA xiv

15 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Indonesia merupakan negara dengan wilayah yang sangat luas. Hampir dua per tiga bagian wilayah Indonesia merupakan wilayah perairan. Oleh karena itu oseanografi sangat berguna dalam membantu menganalisa potensi-potensi alam di wilayah Indonesia terutama wilayah perairan. Dalam mempelajarinya mungkin ilmu-ilmu lain seperti misalnya fisika memang dapat digunakan, namun, dibutuhkan matematika untuk membantu menganalisa fenomena alam yang ada agar hasil analisa yang diperoleh dapat lebih akurat dan tepat serta lebih relevan. Salah satu fenomena alam yang memicu penulis dalam pembuatan tesis ini adalah terjadinya banjir yang hampir terjadi setiap tahun. Banyak sekali penyebab banjir, salah satunya adalah kapasitas daerah aliran sungai yang kurang memadai untuk menampung air hujan yang masuk ke daerah aliran sungai (DAS). Berangkat dari masalah nyata ini, penulis ingin meneliti tentang gelombang air dangkal. Gelombang air dangkal untuk dapat dianalisi maka dibentuk persamaan gelombang air dangkal dimana memiliki dua kasus khusus yaitu persamaan gelombang kinematik dan persaman gelombang difusi. Masing-masing persamaan tersebut dapat diaplikasikan dalam masalah-masalah nyata yang ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Analisis pada wilayah perairan tidak hanya berhenti pada analisis 1

16 2 -fenomena banjir ataupun kejadian-kejadian alam lain. Namun, dibutuhkan juga analisa tentang bentuk dasar perairan, analisa lokasi makhluk hidup yang ada di perairan, misalnya di lautan. Analisis tersebut juga membutuhkan bantuan bidang matematika untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat. Persamaan gelombang akustik merupakan salah satu persamaan yang dapat membantu analisa hal tersebut. Melalui gelombang suara yang dipantulkan oleh radar ke dalam laut, maka dapat diketahui topografi laut atau perairan serta lokasi ikan-ikan yang ada di perairan tersebut. Sehingga, dengan alasan ini, peneliti ingin meneliti tentang gelombang akustik yang direpresentasikan secara matematis dengan persamaan gelombang akustik. Persamaan gelombang akustik sendiri merupakan bentuk khusus dari persamaan gelombang elastic, sehingga penting untuk meneliti tentang persamaan gelombang elastic beserta persamaan gelombang akustik. Solusi yang dari persamaan gelombang air dangkal dan persamaan gelombang elastic beserta masing-masing kasus khususnya, merupakan representasi solusi dari masalah nyata terkait gelombang air dangkal dan gelombang elastik beserta masing-masing kasus khususnya. Solusi yang ditampilkan dalam bentuk fungsi dan grafik. Grafik-grafik tersebut dapat menggambarkan hasil analisa terhadap kasus yang dicari. Persamaan gelombang air dangkal dan persamaan gelombang elastik yang dicari adalah persamaan gelombang air dangkal dan elastik dimensi-1. Persamaan dimensi-1 artinya adalah hanya ada satu variabel ruang yang dicari dalam persamaan tersebut. Kedua persamaan gelombang tersebut sudah pernah diteliti

17 3 sebelumnya dengan berbagai metode, misalnya metode volume berhingga, metode beda hingga, dan lain-lain. Oleh karena itu, penulis ingin menggunakan metode yang lain untuk menganalisa kedua persamaan gelombang tersebut. Salah satu metode terbaru yang telah dikembangkan adalah metode dekomposisi Adomian yang ditemukan oleh George Adomian. Metode Dekomposisi Adomian telah terbukti dapat dengan mudah digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa maupun parsial, linear maupun non-linear, dan persamaan integral linear maupun non-linear. Selain itu, tidak diperlukan metode linearisasi ataupun diskretisasi. Solusi yang dihasilkan masih berupa solusi pendekatan. Solusi yang didapatkan kemudian diilustrasikan dengan grafik menggunakan komputer sehingga dapat menggambarkan proses yang terjadi pada persamaan gelombang air dangkal dan persamaan elastik dengan masing-masing penyederhanaannya (masing-masing kasus khususnya). B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah yang dijelaskan, maka rumusan masalah yang terdapat dalam tesis ini adalah sebagai berikut. 1. Bagaimana penyelesaian persamaan gelombang air dangkal beserta kasus khususnya (persamaan gelombang difusi dan persamaan gelombang kinematik) dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian? 2. Bagaimana penyelesaian persamaan gelombang elastik beserta kasus khususnya (persamaan gelombang akustik) dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian?

18 4 C. Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah yang telah diberikan, tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Untuk mencari solusi penyelesaian persamaan gelombang air dangkal beserta kasus khususnya (persamaan gelombang difusi dan persamaan gelombang kinematik), yang merupakan representasi dari solusi permasalahan nyata terkait gelombang air dangkal, dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. 2. Untuk mencari solusi penyelesaian persamaan gelombang elastik beserta kasus khususnya (persamaan gelombang akustik), yang merupakan representasi dari solusi permasalahan nyata terkait gelombang elastik, dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. D. Manfaat Penelitian Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Untuk Ilmu Pengetahuan Penelitian ini dapat mengisi celah kosong yang terdapat dalam penelitian sebelumnya, yaitu dapat memperlihatkan relevansi dari penggunaan Metode Dekomposisi Adomian dalam penyelesaian persamaan aliran air dangkal. Selain itu, memberikan sumbangan baru terhadap penggunaan Metode Dekomposisi Adomian pada persamaan elastik serta masingmasing penyederhanaannya. 2. Untuk Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika

19 5 Memperkenalkan Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan permasalahan persamaan diferensial biasa maupun parsial linear maupun non-linear dan persamaan integral linear maupun non-linear. 3. Untuk Aplikasi dalam Kehidupan Nyata Dapat memperlihatkan perilaku dalam permasalahan terkait dengan gelombang air dangkal, gelombang difusi, dan gelombang kinematis serta gelombang elastik dan gelombang akustik. Misalnya, dalam gelombang kinematik, dapat diterapkan dalam permasalahan daerah aliran sungai yang berfungsi untuk menerima, menyimpan dan mengalirkan air hujan sehingga dapat diprediksi simpanan air yang tersedia dalam DAS (daerah aliran sungai/ watershed). E. Prasyarat Materi Untuk mempermudah pembaca dalam memahami tesis ini, diperlukan beberapa materi prasyarat sebagai berikut. 1. Kalkulus Diferensial-Integral Pengetahuan tentang kalkulus diferensial maupun kalkulus integral sangat diperlukan dalam memahami tesis ini, terutama dalam langkah-langkah Metode Dekomposisi Adomian. Dalam metode tersebut, banyak sekali proses untuk menurunkan dan mengintegralkan fungsi sehingga jika pembaca memenuhi materi prasyarat ini, maka akan lebih mudah memahami isi tesis ini. 2. Persamaan Diferensial Biasa

20 6 Persamaan diferensial biasa diperlukan sebagai materi prasyarat dalam memahami materi tesis ini karena persamaan diferensial biasa menjadi dasar dalam memahami persamaan diferensial parsial. 3. Persamaan Diferensial Parsial Materi persamaan diferensial parsial sangat dibutuhkan sebagai materi prasyarat dalam memahami langkah-langkah Metode Dekomposisi Adomian karena persamaan-persamaan yang dibahas dalam tesis ini berbentuk persamaan diferensial parsial. 4. Pemodelan Matematika Pada tesis ini banyak materi tentang pemodelan matematika. Masalahmasalah yang diteliti berawal dari masalah nyata yang kemudian dimodelkan secara matematis dan selanjutnya dianalisa secara matematis dan fisis. 5. Getaran dan Gelombang Materi getaran dan gelombang sangat penting sebagai pengantar untuk memahami materi tesis ini karena materi-materi yang dibahas dalam tesis ini. Materi-materi tersebut dapat memudahkan pembaca dalam memahami pengertian-pengertian serta teori-teori yang berhubungan dengan getaran dan gelombang yang mana merupakan pembahasan utama dalam tesis ini. F. Tinjauan Pustaka Pada bagian ini akan dipaparkan dan dijelaskan letak distribusi penelitian dari penulis. Penelitian-penelitian terkait materi tesis yang pernah dilakukan akan disertakan sehingga akan terlihat kebaruan dari penelitian penulis. Berikut

21 7 merupakan pembahasannya, yang diilustrasikan pada Diagram 1 hingga Diagram 4. Persamaan Air Dangkal Metode Dekomposisi Adomian Gelombang Air Dangkal Gelombang Elastik Persamaan Difusi Persamaan Kinematik Persamaan Elastik Persamaan Akustik Diagram 1. Garis besar penelitian Pada subbab ini, dipaparkan tinjauan-tinjauan pustaka serta kebaruan penelitian penulis. Bagian diagram kedua sampai diagram keempat secara berturut-turut akan disajikan tinjauan-tinjauan pustaka yang berisi penelitianpenelitian yang pernah dilakukan oleh para peneliti sebelumnya pada materi Metode Dekomposisi Adomian, gelombang air dangkal dimensi satu dan terakhir adalah gelombang elastik dimensi satu. Persamaan air dangkal dimensi satu diturunkan menjadi tiga persamaan yaitu persamaan air dangkal, persamaan difusi, dan persamaan kinematik. Persamaan elastik dimensi satu diturunkan menjadi dua persamaan yaitu persamaan elastik dan persamaan akustik. Pada bagian akhir akan dijelaskan penelitian yang dilakukan oleh penulis dan dijelaskan letak kebaruan penelitian.

22 8 Penemu Metode : George Adomian "Solution of nonlinear PDE" oleh Adomian (1998) Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory Penulis: Wazwaz (2009) Metode Dekomposisi Adomian Beberapa penelitian terkait Construction of solutions for the shallow water equations by the decomposition method oleh Al-Khaled dan Allan (2004) Adomian decomposition method used to solve the gravity wave equations oleh Mungkasi and Dheno (2016) Penelitian Penulis Adomian decomposition method used to solve the shallow water equations oleh Dispini and Mungkasi (2016) Adomian decomposition method used to solve the acoustics equations oleh Dispini and Mungkasi (2016) Diagram 2. Metode dekomposisi Adomian George Adomian telah mengenalkan dan mengembangkan metode dekomposisi Adomian. Pada tahun 1996, Adomian melakukan penelitian tentang Metode Dekomposisi Adomian untuk digunakan pada persamaan diferensial parsial nonlinier. Solusi eksplisit telah dihitung dengan Metode Dekomposisi

23 9 Adomian untuk persamaan Burgers. Pada penelitian tersebut Adomian menemukan bahwa efisiensi dari dekomposisi membuat metode tersebut dapat dijadikan pilihan karena tidak dibutuhkan linearisasi ataupun perturbasi. Menurut Wazwaz (2009), Metode Dekomposisi Adomian terbukti sangat ampuh, efektif, dan dapat menyelesaikan permasalahan persamaan diferensial parsial ataupun biasa, linear ataupun non-linear, dan persamaan integral linear dan non-linier. Pada penelitian Wazwaz, metode tersebut sukses menyelesaikan sebagian besar persamaan diferensial parsial yang muncul pada beberapa model fisis dan aplikasi sains baik dimensi satu, dimensi dua, maupun dimensi yang lebih tinggi. Penelitian-penelitian terkait metode dekomposisi Adomian sudah mulai berkembang sampai saat ini, diantaranya adalah penelitian oleh Al-Khaled dan Allan (2004) serta Mungkasi dan Dheno (2016). Kedua penelitian tersebut tentang penggunaan Metode Dekomposisi Adomian dalam menyelesaikan persamaan air dangkal serta persamaan gelombang gravitasi. Masih banyak lagi penelitianpenelitian terkait Metode Dekomposisi Adomian yang tidak mungkin penulis jelaskan satu persatu dalam tesis ini. Penelitian penulis adalah penyelesaian persamaan gelombang air dangkal dimensi satu, persamaan difusi, persamaan gelombang kinematik, persamaan gelombang elastik, dan persamaan gelombang akustik dimensi satu. Penelitian tersebut belum pernah dikerjakan sebelumnya sehingga termasuk baru. Penjelasannya akan ditulis pada bagian selanjutnya.

24 10 Persamaan Air Dangkal Construction of solutions for the shallow water equations by the decomposition method oleh Al-Khaled dan Allan (2004) Adomian decomposition method used to solve the shallow water equations oleh Dispini dan Mungkasi (2016) Gelombang Air Dangkal Dimensi 1 Persamaan Difusi Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan gelombang Difusi oleh Penulis Persamaan Kinematik Basic Concepts of Kinematic-Wave Models Penulis: Miller (1984) Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan gelombang Kinematik oleh Penulis Diagram 3. Penelitian gelombang air dangkal dimensi satu Pada Diagram 3, dipaparkan skema penelitian-penelitian yang pernah dilakukan sebelumnya, baik penelitian tentang persamaang gelombang air dangkal, persamaan gelombang difusi, maupun persamaan gelombang kinematik dimensi satu. Acuan utama pada penelitian gelombang air dangkal ini adalah jurnal yang ditulis oleh Al-Khaled dan Allan (2004). Pada tulisan tersebut, penelitian tentang konstruksi solusi untuk persamaan air dangkal dengan metode dekomposisi, terlihat bahwa Metode Dekomposisi Adomian sangat menjanjikan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan nonlinear. Contoh dalam penelitian

25 11 tersebut menunjukkan konvergensi yang cepat pada metode tersebut (Al-Khaled dan Allan, 2004). Kebaruan yang ada dalam penelitian penulis adalah relevansi dari Metode Dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal. Perlu digarisbawahi bahwa persamaan air dangkal tidak memiliki solusi eksak secara umum sehingga, pada penelitian penulis untuk mencaritahu bagaimana relevansi Metode Dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal. Miller (1984) telah menjelaskan konsep dasar dari gelombang kinematik. Model sederhana dari persamaan gelombang kinematik kemudian menjadi bahan penelitian penulis. Kebaruan dari penelitian ini adalah penulis menyelesaikan model gelombang kinematik dengan Metode Dekomposisi Adomian. Relevansi dari penyelesaian persamaan kinematik dan persamaan difusi dimensi satu menggunakan Metode Dekomposisi Adomian juga belum pernah diteliti sebelumnya.

26 12 Gelombang Elastik Dimensi 1 Persamaan Gel. Elastik Persamaan Gel. Akustik Finite-volume methods for nonlinear elasticity in heterogeneous media" oleh LeVeque (2002) Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan Persamaan Gelombang Elastik Finite-volume methods for nonlinear elasticity in heterogeneous media" oleh LeVeque (2002) Adomian decomposition method used to solve the acoustics equations oleh Dispini dan Mungkasi (2016) Diagram 4. Penelitian gelombang elastik dimensi satu Penelitian-penelitian tentang gelombang elastik telah banyak dilakukan. Salah satu diantaranya adalah penelitian oleh LeVeque (2002) tentang penyelesaian persamaan elastik nonlinear pada media heterogen dengan menggunakan metode volume berhingga, seperti pada diagram 4. Penulis menggunakan model matematika yang digunakan oleh LeVeque dan kemudian menyelesaikannya dengan metode dekomposisi Adomian. Sebelumnya, model tersebut belum pernah diteliti dengan Metode Dekomposisi Adomian sehingga terlihat jelas kebaruan dari penelitian yang dilakukan oleh penulis. Model akustik yang diteliti oleh penulis merupakan penyederhanaan dari model elastik yang diteliti oleh LeVeque (2002) yang belum pernah diteliti sebelumnya dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.

27 13 G. Kebaruan Penelitian Persamaan aliran air dangkal telah diteliti sebelumnya oleh Al-Khaled dan Allan (2004) namun, relevansi penggunaan Metode Dekomposisi Adomian dalam menyelesaikan persamaan aliran air dangkal yang belum pernah diteliti sebelumnya. Metode Dekomposisi Adomian tidak memiliki solusi eksak umum seperti yang telah dijelaskan pada bagian tinjauan pustaka. Relevansi dari penggunaan Metode Dekomposisi Adomian. Selain itu, Metode Dekomposisi Adomian juga belum diteliti dalam penggunaannya untuk penyelesaian penyerdehanaan dari persamaan aliran air dangkal yaitu persamaan aliran air dangkal, persamaan difusi, dan persamaan kinematik. Kebaruan penelitian yang lainnya adalah penggunaan Metode Dekomposisi Adomian pada persamaan elastik serta persamaan penyederhanaannya belum pernah diteliti sebelumnya sehingga, penyelesaian persamaan akustik linear dengan Metode Dekomposisi Adomian pada tesis ini termasuk penelitian yang terbaru. H. Metode Penelitian Metode penelitian yang digunakan oleh penulis adalah metode studi pustaka yaitu mempelajari materi dari referensi-referensi yang berkaitan dengan Metode Dekomposisi Adomian dalam menyelesaikan persamaan gelombang air dangkal dan persamaan elastik dengan masing-masing penyederhanaannya, mengumpulkan informasi dan menyusun tulisan ini menjadi suatu bentuk penulisan yang runtut dan jelas sehingga mempermudah pembaca saat membaca. Setelah itu, penulis lebih banyak mengkaji dari jurnal-jurnal nasional maupun

28 14 internasional serta buku-buku terkait. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penulisan ini adalah: 1. Mempelajari teori tentang Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial dari buku-buku maupun jurnal-jurnal yang terkait. 2. Menyelesaikan soal-soal latihan terkait dengan Metode Dekomposisi Adomian. 3. Mempelajari informasi-informasi penting terkait persamaan diferensial parsial dengan persamaan aliran air dangkal beserta penyederhanaannya. 4. Mempelajari informasi-informasi penting terkait persamaan diferensial parsial dengan persamaan elastik beserta penyederhanaannya. 5. Memberikan penjelasan, bukti-bukti serta langkah-langkah dalam mendapatkan solusi pendekatan dari metode dekomposisi Adomian secara runtut dan jelas. 6. Menyusun seluruh materi yang telah dibahas secara runtut dan sistematis pada langkah sebelumnya agar mempermudah para pembaca dalam memahami isi penulisan. 7. Mengkonsultasikan isi tulisan dengan dosen pembimbing setiap mendapatkan hasil penelitian (menemukan solusi-solusi permasalahan yang dicari) serta setiap menemui kesulitan-kesulitan, kemudian merevisi yang perlu direvisi. 8. Finalisasi penulisan tesis.

29 15 I. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan dalam tesis ini adalah sebagai berikut. 1. Bab I : membahas pendahuluan yang meliputi latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan. 2. Bab II : membahas landasan teori yang berisi teori-teori yang digunakan dalam penelitian ini. Teori-teori yang digunakan adalah teori persamaan diferensial parsial, teori tentang Metode Dekomposisi Adomian, Dekomposisi Adomian pada persamaan Burgers, persamaan air dangkal dan persamaan gelombang elastik. 3. Bab III : membahas hasil penelitian yang berisi hasil penelitian dari semua persamaan yang dicari yaitu tentang persamaan air dangkal, persamaan gelombang elastik, persamaan gelombang akustik, persamaan gelombang difusi dan persamaan gelombang kinematik. 4. Bab IV : membahas aspek pendidikan yang berisi kaitan-kaitan penelitian terhadap aspek pendidikan baik di sekolah menengah maupun di tingkat S1 Pendidikan Matematika. 5. Bab V : membahas kesimpulan dan saran dari penelitian ini.

30 BAB II LANDASAN TEORI Isi dari bab ini adalah teori-teori yang melandasi penelitian. Teori-teori yang digunakan adalah persamaan diferensial parsial, metode dekomposisi Adomian dan penggunaan dekomposisi Adomian pada persamaan Burgers, persamaan aliran air dangkal, persamaan elastisitas dan persamaan akustik linear. Berikut ini merupakan panjelasannya. A. Persamaan Diferensial Parsial Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang memuat variabel terikat (fungsi tidak diketahui) dan derivatif parsial (Wazwaz, 2009). Persamaan diferensial biasa (PDB) memiliki variabel terikat u = u(x) tergantung hanya pada sebuah variabel bebas x. Tidak seperti PDB, variabel terikat dalam PDP seperti misalnya u = u(x, t) atau u = (x, y, t), tergantung pada lebih dari satu variabel bebas. PDP juga digunakan dalam bentuk sederhana persamaan gelombang. Berikut ini adalah bentuk sederhana dari persamaan gelombang dimensi satu. PDP : u tt = c 2 u xx, 0 < x < L, t > 0 Kondisi Batas : u(0, t) = u(l, t) = 0, t 0, (2.1) Kondisi Awal : u(x, 0) = f(x), u t (x, 0) = g(x) dengan u = u(x, t) adalah nilai fungsi di titik sembarang dalam rangkaian saat posisi x dan saat waktu t, dan c adalah konstan. 16

31 17 B. Penurunan Persamaan Gelombang Persamaan gelombang diturunkan dari hukum kekekalan massa dan momentum (LeVeque, 1992). Misalkan bahwa ρ(x, t) melambangkan massa jenis fluida di titik x dan waktu t. Massa jenis ini didefinisikan dalam cara bahwa total massa dari fluida dalam bagian yang diberikan dari x 1 ke x 2, diberikan oleh integral dari massa jenis: x 2 massa dalam [x 1, x 2 ] pada waktu t = ρ(x, t) dx. (2.2) x 1 Sekarang diberikan u(x, t) adalah kecepatan fluida pada titik x dan waktu t. Kemudian, kecepatan aliran, atau fluks dari fluida yang melewati titik ini diberikan oleh fluks massa di (x, t) = ρ(x, t)u(x, t), (2.3) dari pernyataan tersebut, kecepatan dari perubahan massa di [x 1, x 2 ] diberikan oleh perbedaan di fluks pada saat x 1 dan x 2 : x 2 d dt ρ(x, t) dx = ρ(x 1, t)u(x 1, t) ρ(x 2, t)u(x 2, t). (2.4) x 1 Ini adalah satu bentuk integral dari hukum kekekalan massa. Bentuk lainnya didapatkan dengan mengintegralkan ini saat waktu t 1 ke t 2 : x 2 ρ(x, t 2 ) dx x 1 x 2 t 2 = ρ(x, t 1 ) dx + ρ(x 1, t)u(x 1, t) x 1 t 1 dt (2.5) t 2 ρ(x 2, t)u(x 2, t) dt. t 1

32 18 Untuk mendapatkan bentuk diferensial dari hukum kekekalan, diasumsikan bahwa ρ(x, t) dan u(x, t) adalah fungsi terdiferensial. Dengan menggunakan: dan t 2 ρ(x, t 2 ) ρ(x, t 1 ) = ρ(x, t) dt, (2.6) t 1 x ρ(x 2, t)u(x 2, t) ρ(x 1, t)u(x 1, t) = (ρ(x, t)u(x, t)) dx, (2.7) x 1 x dalam (2.5) memberikan: t 2 x 2 x 2 { x ρ(x, t) + (ρ(x, t)u(x, t))} dx dt = 0. (2.8) t 1 x x 1 Karena ini berlaku untuk setiap bagian [x 1, x 2 ] dan melewati setip interval waktu [t 1, t 2 ], disimpulkan bahwa sebenarnya integral dalam (2.8) adalah nol, yaitu: ρ t + (ρu) x = 0. (2.9) Persamaan di atas adalah bentuk diferensial dari hukum kekekalan massa, untuk hukum kekekalan (2.9) dapat diselesaikan jika kecepatan u(x, t) adalah fungsi dari ρ(x, t). Jika demikian, kemudian ρu adalah fungsi dari ρ sendiri, sehingga ρu = f(ρ), dan persamaan kekekalan massa (2.9) menjadi: ρ t + f(ρ) x = 0. (2.10) Persamaan gelombang yang dibahas dalam tesis ini secara umum berbentuk hukum kekekalan massa: W t + F(W) x = 0, (2.11) jika tidak ada suku sumber. Jika ada suku sumber kuantitas yang mempengaruhi sistem, persamaannya berbentuk hukum kesetimbangan:

33 19 W t + F(W) x = S(W(x, t), x, t), (2.12) dengan S(W(x, t), x, t) adalah suku sumber. Di sini W(x, t) adalah kuantitas kekal dan F(W) adalah fluks kuantitas kekal tersebut. C. Metode Dekomposisi Adomian Metode Dekomposisi Adomian (Adomian (1998), Wazwaz (2009)) diperkenalkan dan dikembangkan oleh George Adomian dan terbukti memiliki keunggulan, efektif, dan dapat mengatasi kasus-kasus linear maupun non-linear, persamaan diferensial biasa maupun parsial, dan persamaan integral linear maupun non-linear. Metode ini menyelesaikan permasalahan secara langsung tanpa menggunakan linearisasi ataupun beberapa asumsi yang mungkin dapat merubah sifat-sifat fisis dari model yang didiskusikan. Pada penyelesaian bentuk sederhana gelombang dengan dimensi satu, Metode Dekomposisi Adomian (Adomian, 1998) mengandung dekomposisi dari fungsi u(x, y) yang tidak diketahui dari beberapa persamaan dalam bentuk jumlah dari bilangan tak hingga dari komponen terdefinisi dengan deret dekomposisi: u(x, y) = u n (x, y) di mana komponen u n (x, y), n 0 yang ditentukan dalam cara rekursif. Metode dekomposisi mencari komponen u 0, u 1, u 2, secara terpisah. Diberikan suatu bentuk persamaan diferensial linear: Lu + Ru = g, (2.13) di mana L adalah operator turunan tingkat yang lebih rendah yang diasumsikan memiliki invers, sedangkan R adalah operator diferensial linear, dan g adalah n=0

34 20 nilai awal. Aplikasikan operator invers L 1 pada kedua ruas dan menggunakan kondisi yang diberikan untuk mendapatkan: u = f L 1 (Ru), (2.14) di mana fungsi f menunjukkan hasil dari pengintegrasian g dan dari penggunaan kondisi yang diberikan yang diasumsikan untuk ditentukan. Selanjutnya akan dijelaskan perhitungan dengan Metode Dekomposisi Adomian. Pada bentuk sederhana persamaan gelombang dalam dimensi satu yang telah diuraikan, dengan pengaplikasian Metode Dekomposisi Adomian: u tt = c 2 u xx, 0 < x < L, t > 0, (2.15) di mana u = u(x, t) adalah fungsi yang dicari saat posisi x dan saat waktu t, dan c adalah konstan. Persamaan (2.15) dapat ditulis menjadi: L t u(x, t) = c 2 L x u(x, t). (2.16) Operator diferensial L t dan L x didefinisikan dengan: L t = 2 t 2, L x = 2 x 2. (2.17) Asumsikan operator integral L 1 t dan L 1 x ada dan dapat dimaknai sebagai integral tak tentu dua-lipat yang didefinisikan sebagai dan Ini berarti bahwa t t L 1 t (. ) = (. )dt dt, (2.18) 0 t 0 t L 1 x (. ) = (. )dx dx. (2.19) 0 0 L t 1 L t u(x, t) = u(x, t) tu t (x, 0) u(x, 0), (2.20)

35 21 dan L x 1 L x u(x, t) = u(x, t) xu x (x, 0) u(0, t). (2.21) Solusi dapat diperoleh dengan menggunakan operator invers L t 1 atau operator invers L x 1. Bagaimanapun juga, penggunaan operator invers L t 1 hanya membutuhkan penggunaan kondisi awal, sedangkan operasi dengan L 1 x menentukan kegunaan dari kondisi awal dan kondisi batas. Untuk alasan ini, 1 diaplikasikan metode dekomposisi dalam arah t. Setelah mengaplikasikan L t untuk kedua ruas dan menggunakan kondisi awal kita mendapatkan: u(x, t) = f(x) + tg(x) + c 2 L 1 t (L x u(x, t)). (2.22) Metode Adomian mendekomposisi perubahan fungsi u(x, t): sehingga menjadi: u(x, y) = u n (x, y), (2.23) n=0 u n (x, y) = f(x) + tg(x) + c 2 L 1 t (L x ( u n (x, y) )), (2.24) n=0 n=0 atau dengan menggunakan komponen: u 0 + u 1 + u 2 + = f(x) + tg(x) + c 2 L 1 t (L x (u 0 + u 1 + u 2 + )). (2.25) Metode tersebut menunjukkan bahwa komponen nol u 0 (x, t) diidentifikasi dengan lambang yang tidak termasuk dalam L 1 t pada (2.25). komponen yang lain ditentukan dengan menggunakan relasi rekursif dengan u 0 + u 1 + u 2 + = f(x) + tg(x) + c 2 L 1 t (L x (u 0 + u 1 + u 2 + )), (2.26) u 0 (x, t) = f(x) + tg(x), (2.27)

36 22 u k+1 (x, t) = c 2 L 1 t (L x (u 0 + u 1 + u 2 + )), k 0. (2.28) Komponen-komponen u 0 (x, t), u 1 (x, t), u 2 (x, t), dapat ditentukan secara terpisah dengan u 0 (x, t) = f(x) + tg(x), (2.29) u 1 (x, t) = c 2 L t 1 (L x (u 0 )) = c 2 ( t2 2! f (x) + t3 3! g (x)), u 2 (x, t) = c 2 L t 1 (L x (u 1 )) = c 2 ( t4 4! f(4) (x) + t5 5! g(4) (x)), u 3 (x, t) = c 2 L t 1 (L x (u 2 )) = c 2 ( t6 6! f(6) (x) + t7 6! g(6) (x)), (2.30) (2.31) (2.32) sehingga diperoleh, u(x, t) = c 2n n=0 ( t2n (2n)! f(6) (x) + t2n+1 (2n + 1)! g(2n) (x)). (2.33) Persamaan (2.33) merupakan solusi dari persamaan (2.15). D. Dekomposisi Adomian pada Persamaan Burgers Pada bagian ini akan dibahas penggunaan Metode Dekomposisi Adomian pada persamaan diferensial parsial. Persamaan gelombang menggunakan persamaan diferensial parsial sehingga penting untuk memberikan salah satu ilustrasi bagaimana Metode Dekomposisi Adomian menyelesaikannya. Secara khusus, persamaan yang akan diselesaikan adalah persamaan Burgers. u t + uu x u xx = 0, (2.34)

37 23 di mana u adalah kuantitas yang diteliti. Notasi t adalah variabel untuk waktu dan x adalah variabel ruang. Ruang dan waktu adalah variabel-variabel bebas. Didefinisikan operator turunan L t = dan L t xx = 2 2. Persamaan Burgers dapat dituliskan menjadi: x L t u + uu x = L xx u. (2.35) Didefinisikan operator invers L 1 t t = (. ) dt, kemudian aplikasikan L 1 0 t pada kedua ruas untuk persamaan sebelumnya untuk mendapatkan persamaan L t 1 L t u = L t 1 L xx u L t 1 uu x, (2.36) Atau u u(0) = L t 1 L xx u L t 1 uu x. (2.37) Untuk uu x nonlinear dapat ditulis dalam polinomial Adomian A n, dimana uu x = n=0 A n {uu x }, kemudian substitusikan polinomial ke dalam persamaan. Dengan cara yang sama, substitusikan dekomposisi dari u = n=0 u n pada kedua ruas, dimana u 0 = u(0), didapatkan u n n=0 = u 0 + L 1 t L xx u n L 1 t A n. (2.38) n=0 n=0 Sekarang, dapat dilihat hasil dari setiap komponen dekomposisi dari u, yaitu, u 1 = L 1 t L xx u 0 L 1 t A 0, (2.39) u 2 = L 1 t L xx u 1 L 1 t A 1, (2.40) u 3 = L 1 t L xx u 2 L 1 t A 2, (2.41) u n+1 = L 1 t L xx u n L 1 t A n, n 0. (2.42)

38 24 Polinomial Adomian A n untuk kasus ini diberikan oleh : A 0 = u 0 u 0, (2.43) A 1 = u 1 u 0 + u 0 u 1, (2.44) A 2 = u 2 u 0 + u 1 u 1 + u 0 u 2, (2.45) A n = u n u 0 + u n 1 u u 1 u n 1 + u 0 u n, (2.46) sehingga, dapat ditentukan u menjadi bentuk rangkaian u = n=0 u n seperti yang diharapkan. Komponen ke n pada pendekatan dari u diberikan oleh jumlahan dari u 0, u 1, u 2,, u n 1, jadi n 1 φ n [u] = u m. (2.47) m=0 Dengan cara Adomian untuk menspesifikasi u = x ketika t = 0. Didapatkan u 0 = u(t = 0) = x, (2.48) u 1 = L t 1 A 0 = xt, (2.49) u 2 = L t 1 A 1 = L t 1 (xt) = xt2 2, (2.50) Sehingga, u = x (1 t + t2 2 ). Didapatkan u = x 1+t adalah solusi dari persamaan Burgers dengan masalah nilai awal u = x saat t = 0. Hasil akhir ini adalah solusi untuk persamaan (2.34) menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. Jelas bahwa u = x 1+t adalah solusi eksak dari persamaan Burgers dengan nilai awal yang diberikan. Setelah pengamatan dari permasalahan ini

39 25 ditemukan bahwa jika solusi eksak teridentifikasi memiliki bentuk tertutup, maka Metode Dekomposisi Adomian konvergen sangat cepat pada solusi eksak. E. Persamaan Gelombang Air Dangkal Gelombang air dangkal adalah gelombang di mana kedalaman airnya atau amplitudonya sangat kecil dibandingkan dengan panjang gelombangnya. Persamaan air dangkal disebut juga sebagai sistem Saint-Venant di mana hukum kekekalan massa dan momentum sangat berpengaruh. Persamaan-persamaan dalam sistem tersebut merupakan penurunan dari hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Pada persamaan ini (LeVeque, 1992) diasumsikan massa jenis ρ konstan, sedangkan, tinggi h(x, t) berubah-ubah, dan begitu juga total massa dalam [x 1, x 2 ] saat t adalah: x 2 total massa di [x 1, x 2 ] = ρh(x, t) dx. (2.51) x 1 Momentum pada setiap titik adalah ρu(x, t) dan integralnya memberikan fluks massa menjadi ρu(x, t)h(x, t), sehingga menjadi: Persamaan kekekalan momentum memberikan bentuk: Tekanan p pada fluks momentum adalah: h t + (uh) x = 0. (2.52) (ρhu) t + (ρhu 2 + p) x = 0. (2.53) p = 1 2 ρgh2, (2.54) Dengan g adalah konstan gravitasi. Dengan menggunakan (2.53) dan (2.54) memberikan:

40 26 (hu) t + (hu gh2 ) x = 0. (2.55) Persamaan (2.55) dapat disimplifikasi dan dengan mereduksi beberapa suku maka menjadi: u t + ( 1 2 u2 + h) = 0. (2.56) x Persamaan (2.52) dan (2.56) merupakan sistem persamaan gelombang air dangkal. Persamaan gelombang air dangkal dapat disederhanakan menjadi tiga persamaan, yaitu persamaan gelombang air dangkal, persamaan difusi dan persamaan kinematik. Berikut ini adalah masing-masing persamaan yang diteliti dalam penelitian ini. 1. Persamaan Gelombang Air Dangkal Persamaan gelombang air dangkal (Al-Khaled dan Allan, 2004) satu dimensi dapat direpresentasikan sebagai berikut. t (h u ) + hu x ( 1 2 u2 + h ) = ( 0 ), x ε R, t >. (2.57) z Di mana z(x) adalah topografi tanah, h(x, t) menunjukkan ketinggian (kedalaman air) diatas topografi tanah, u(x, t) adalah kecepatan air, dan diasumsikan bahwa akselerasi yang disebabkan oleh gravitasi adalah satu sedangkan dua variabel bebas x dan t secara berturut-turut adalah jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Dengan nilai kondisi awalnya adalah: h(x, 0) ( u(x, 0) ) = (g 1 (x) ), x ε R. (2.58) g 2 (x)

41 27 Di sini g 1 dan g 2 adalah sebarang fungsi. Dengan kata lain, persamaan aliran air dangkal dengan masalah nilai awal dapat direpresentasikan dengan: h t + uh x + hu x = 0, h(x, 0) = g 1 (x), (2.59) u t + h x + uu x = z (x), u(x, 0) = g 2 (x). (2.60) Pada persamaan gelombang air dangkal tersebut adalah persamaan yang akan diteliti dalam tesis ini. Masalah nyata terkait dengan gelombang air dangkal antara lain, tsunami, banjir, dan masalah bendungan bobol (dam break). Solusi dari penelitian ini untuk melihat kecepatan gelombang u dan kedalaman gelombang air h pada titik x tertentu dan pada waktu t tertentu. 2. Persamaan Gelombang Difusi Difusi adalah penyebaran molekul dari konsentrasi tinggi menuju ke konsentrasi yang lebih rendah. Persamaan gelombang difusi yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan gelombang difusi dimensi satu. Berikut ini adalah persamaannya: q t + q x = q 2 q x 2 + x, (2.61) di mana q adalah konsentrasi polutan air di laut (misal). Dengan kondisi awal: Kemudian, dapat ditulis kembali menjadi: q(x, 0) = q 0 = 1. (2.62) q t + q x = qq xx + x. (2.63) Persamaan (2.63) adalah persamaan yang akan diselesaikan pada penelitian ini. Masalah nyata yang terkait dengan gelombang difusi antara lain,

42 28 penyebaran asap rokok dalam suatu ruangan, penyebaran limbah cair di sungai, penyebaran limbah gas dari pabrik ke ruangan terbuka, dan masih banyak lagi. Solusi dari penelitian ini untuk melihat gelombang aliran konsentrasi q suatu larutan pada titik x tertentu dan waktu t tertentu. 3. Persamaan Gelombang Kinematik Persamaan gelombang kinematik (Miller, 1983) termasuk dalam persamaan gelombang air dangkal dimensi satu. Persamaan gelombang kinematik yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan gelombang kinematik dimensi satu. Berikut ini adalah persamaannya: h t + h 2 3h x = x, (2.64) dengan kondisi awalnya adalah h(x, 0) = h 0 = 1. (2.65) Persamaan (2.64) adalah persamaan yang akan diselesaikan pada penelitian ini. Masalah nyata terkait dengan gelombang kinematik adalah masalah gelombang aliran pada daerah aliran sungai (DAS). DAS berfungsi untuk menerima, mengalirkan dan menampung air hujan. Solusi dari penelitian ini untuk melihat banyaknya simpanan air h pada titik x tertentu dan pada waktu t tertentu. F. Persamaan Gelombang Elastik Pada persamaan gelombang elastik, terdapat dua jenis persamaan. Pertama adalah persamaan gelombang elastik secara umum dan kedua adalah persamaan

43 29 gelombang akustik. Persamaan akustik linear diturunkan dari persamaan elastisitas non-linear. Berikut ini adalah persamaan gelombang elastisitas dimensi- 1 mengacu pada LeVeque (2002): { ε t (x, t) u x (x, t) = 0, u t (x, t) σ(ε(x, t), x) x = 0. (2.66) Disini ε(x, t) adalah regangan (strain), u(x, t) adalah kecepatan, dengan massa jenis diasumsikan satu dan σ(ε, x) adalah tegangan (stress) dan variabel bebas x dan t secara berturut-turut merepresentasikan ruang dan waktu. Relasi linear tekanan-regangan adalah: σ(ε, x) = K(x)ε (2.67) di mana K(x) adalah modulus dari bagian yang dimampatkan. Pada kasus linear sangat mungkin untuk menuliskan kembali persamaan dengan mengeliminasi ε dan menggunakan p = σ untuk mendapatkan: { p t + K(x)u x = 0, ρ(x)u t + p x = 0. (2.68) Persamaan tersebut adalah persamaan akustik linear satu dimensi. Kemudian untuk menyederhanakan persamaan, dengan mengasumsikan K(x) sama dengan satu, dan massa jenis ρ(x) sama dengan satu, maka didapatkan: { p t + u x = 0, u t + p x = 0. (2.69) Persamaan elastisitas dan persamaan akustik linear dimensi-1 tersebut yang kemudian akan diteliti dalam tesis ini. Masalah nyata dari persamaan gelombang elastik antara lain adalah gempa bumi, penggaris atau benda elastik lain yang

44 30 diberikan tekanan. Solusi dari penelitian persamaan gelombang elastik ini untuk melihat gelombang regangan ε dan kecepatan gelombang u pada titik x tertentu dan nilai waktu t tertentu. Sedangkan, masalah nyata dari persamaan gelombang akustik antara lain adalah gelombang suara dari radar yang dipantulkan ke dalam laut untuk mengetahui topografi dasar laut ataupun untuk mengetahui lokasi ikan lumba-lumba yang juga memancarkan gelombang suara, dan masih banyak lagi aplikasi dari gelombang akustik ini. Solusi dari penelitian persamaan gelombang akustik ini untuk melihat gelombang tekanan p dan kecepatan gelombang u pada titik x tertentu dan nilai waktu t tertentu.

45 BAB III HASIL PENELITIAN Bab ini berisi tentang hasil-hasil penelitian yang telah dikerjakan, yaitu penyelesaian persamaan air dangkal, gelombang akustik, gelombang elastik, gelombang difusi, dan gelombang kinematik dengan metode dekomposisi Adomian. A. Solusi Persamaan Gelombang Air Dangkal Gelombang air dangkal merupakan gelombang dimana kedalaman air ataupun amplitudonya sangat kecil dibandingkan dengan panjang gelombangnya. Referensi utama yang digunakan penulis pada bagian ini adalah Al-Khaled dan Allan (2004) dan Wazwaz (2009). Persamaan air dangkal biasa disebut sebagai sistem Saint-Venant. Persamaan ini diturunkan dari hukum kekekalan massa dan momentum. Sistem dari persamaan air dangkal merupakan persamaan yang saling simultan yang berasal dari persamaan hukum kekekalan massa dan persamaan kekekalan momentum. Oleh karena itu, variabel yang paling berpengaruh dalam persamaan air dangkal adalah variabel h(x, t) yaitu kedalaman air dan variabel u(x, t) yaitu variabel kecepatan air, sedangkan, x merupakan arah aliran air dan t adalah variabel waktu. Persamaan air dangkal dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan banjir, bendungan bobol dan beberapa permasalahan lain terkait gelombang air dangkal. Beberapa manfaat dari aplikasi persamaan air dangkal antara lain dapat memprediksi perilaku fisis (kecepatan air, kedalaman air, dan letak) terjadinya banjir. 31

46 32 Perlu diketahui bahwa persamaan aliran air dangkal tidak memiliki solusi eksak secara umum sehingga dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian dapat ditemukan solusi pendekatan dari persamaan air dangkal. Persamaan air dangkal yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan air dangkal dimensi satu dimana hanya ada satu variabel ruang (x) yang terlibat dalam persamaan ini. Bagian ini memuat perhitungan serta penyelesaian persamaan air dangkal dengan metode dekomposisi Adomian. Penulisan dalam bagian ini sebagai berikut. Pertama dijelaskan bagaimana Al-Khaled dan Allan (2004) memperluas pendekatan Adomian untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan diferensial, yang mana adalah persamaan air dangkal. Pekerjaan dari Al-Khalled dan Allan (2004) kemudian diaplikasikan untuk menyelesaikan sebuah permasalahan aliran yang tidak tenang dan mendiskusikan hasil solusi dari persamaan air dangkal apakah memiliki perilaku fisis yang sesuai atau tidak. Persamaan gelombang air dangkal dimensi-1 pada aliran fluida direpresentasikan sebagai berikut: (h t u ) + ( hu 1 x 2 u2 + h ) = ( 0 ), x ε R, t > 0. (3.1) z Disini z(x) adalah topografi tanah, h(x, t) menunjukkan ketinggian (kedalaman air) di atas topografi tanah, u(x, t) adalah kecepatan air, dan untuk menyederhanakan persamaan maka diasumsikan bahwa akselerasi yang disebabkan oleh gravitasi adalah satu. Dua variabel bebas x dan t secara berturutturut adalah jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Kondisi awalnya adalah:

47 33 h(x, 0) ( u(x, 0) ) = (g 1 (x) ), x ε R. (3.2) g 2 (x) Disini g 1 dan g 2 adalah sebarang fungsi. Dengan kata lain, persamaan gelombang air dangkal dengan masalah nilai awal dapat direpresentasikan dengan: h t + uh x + hu x = 0, h(x, 0) = g 1 (x), (3.3) u t + h x + uu x = z (x), u(x, 0) = g 2 (x). (3.4) Kedua persamaan tersebut kemudian dituliskan kembali dalam bentuk operator, lalu didapatkan: L t h + ul x h + hl x u = 0, h(x, 0) = g 1 (x), (3.5) L t u + L x h + ul x u = z (x), u(x, 0) = g 2 (x), (3.6) dimana L t = t, L x = x dan operator invers L 1 t t = (. )dt. Dengan 0 mengaplikasikan operator invers pada kedua ruas maka didapatkan, L 1 t (L t h) + L 1 t (ul x h) + L 1 t (hl x u) = L 1 t 0, h(x, 0) = g 1 (x), (3.7) L 1 t L t u + L 1 t (L x h) + L 1 t (ul x u) = L 1 t z (x), u(x, 0) = g 2 (x), (3.8) atau h(x, t) = g 1 (x) L 1 t [ 1 (h, u) + 2 (h, u)], (3.9) u(x, t) = g 2 (x) L 1 t (z (x) + [L x h + 3 (u)]). (3.10) Disini 1 (h, u) = uh x, 2 (h, u) = hu x dan 3 (u) = uu x. Metode dekomposisi Adomian mengasumsikan sebuah solusi deret tak hingga untuk fungsi yang tidak diketahui h(x, t) dan u(x, t) dalam bentuk: h(x, t) = h n (x, t), u(x, t) = u n (x, t), (3.11) n=0 n=0

48 34 dan operator nonlinier 1, 2 dan 3 dengan deret tak hingga dari polinomial Adomian dalam bentuk: 1 (h, u) = A n, 2 (h, u) = B n, 3 (u) = C n, (3.12) n=0 n=0 n=0 A n (h 0, h 1,, h n, u 0, u 1,, u n ) d n = 1 n! dλ n [ 1 ( λ k h k, λ k u k )] k=0 k=0 λ=0, n 0, (3.13) B n (h 0, h 1,, h n, u 0, u 1,, u n ) d n = 1 n! dλ n [ 2 ( λ k h k, λ k u k )] k=0 k=0 λ=0, n 0, (3.14) Didapatkan: d n C n (u 0, u 1,, u n ) = 1 n! dλ n [ 3 ( λ k u k )] k=0 λ=0, n 0. (3.15) dan 1 = uh x, 2 = hu x dan 3 = uu x,, (3.16) A 0 = u 0 h 0x, (3.17) A 1 = u 1 h 0x + u 0 h 1x, (3.18) A 2 = u 2 h 0x + u 1 h 1x + u 0 h 2x, (3.19) A 3 = u 3 h 0x + u 2 h 1x + u 1 h 2x + u 0 h 3x, (3.20) B 0 = h 0 u 0x, (3.21) B 1 = h 1 u 0x + h 0 u 1x, (3.22) B 2 = h 2 u 0x + h 1 u 1x + h 0 u 2x, (3.23)

49 35 B 3 = h 3 u 0x + h 2 u 1x + h 1 u 2x + h 0 u 3x, (3.24) C 0 = u 0 u 0x, (3.25) C 1 = u 1 u 0x + u 0 u 1x, (3.26) C 2 = u 2 u 0x + u 1 u 1x + u 0 u 2x, (3.27) C 3 = u 3 u 0x + u 2 u 1x + u 1 u 2x + u 0 u 3x, (3.28) Dengan menggunakan hasil tersebut, dengan mempertimbangkan penelitian Al- Khaled dan Allan (2004) serta penelitian yang dilakukan penulis, ditemukan fungsi iterasi pada metode dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal adalah: h 0 (x, t) = g 1 (x), h n+1 (x, t) = L t 1 [A n + B n ], n 0, (3.29) u 0 (x, t) = g 2 (x), u n+1 (x, t) = L t 1 (z (x) + [L x h n + C n ]), n 0, (3.30) dimana solusi eksak dapat ditulis dengan: lim n = h(x, t), n lim n ψ n = u(x, t). (3.31) Pendekatan suku ke-n dari kedalaman air (h) dan kecepatan (u) adalah n 1 n 1 n [h] = h k (x, t), ψ n [u] = u k (x, t), n 0. (3.32) k=0 k=0 Pada bagian ini, akan dipaparkan hasil penelitian dari metode dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal. Diberikan kondisi awal untuk kedalaman dan kecepatan seperti dibawah ini.

50 36 dan h(x, 0) = sech(x) + exp( x2 ) 1 + exp( x 2 ), (3.33) dengan fungsi topografi tanah: u(x, 0) = 0, (3.34) z(x) = exp( x2 ) 1 + exp( x 2 ). (3.35) Dengan menggunakan kondisi awal dan fungsi topografi tanah, akan didapatkan setiap suku ke-n dari kedalaman air (h) dan kecepatan (u) sebagai berikut: h n+1 (x, t) = L t 1 [A n + B n ], n 0, (3.36) u n+1 (x, t) = L t 1 (z (x) + [L x h n + C n ]), n 0. (3.37) Digunakan software MAPLE untuk membantu perhitungan dalam mencari sukusuku untuk kedalaman air (h) seperti berikut ini. h 0 = sech(x) + exp( x2 ) 1 + exp( x 2 ), (3.38) h 1 = 0, (3.39) h 2 = cosh(x) 4 (1 + e x2 ) 2 (t2 (22e 2x2 cosh(x) e x2 sinh(x)x cosh(x) e x2 cosh(x) e 2x2 cosh(x) 2 + 2cosh(x) e x2 cosh(x) 2 44e 2x2 cosh(x) (3.40) + 10cosh(x) 2 48e x2 cosh(x) 15e 2x2 4cosh(x) 30e x2 15)),

51 37 h 3 = cosh(x) 2 (1 + e x2 ) 4 (e x2 t 2 (44x 2 e 2x2 cosh(x) 2 80x 2 e x2 cosh(x) x 2 e 2x2 cosh(x) + 22e 2x2 cosh(x) 2 4x 2 cosh(x) 2 5e 2x2 sinh(x)x + 24e x2 cosh(x) 2 + 5e 2x2 cosh(x) 10x 2 cosh(x) 10e x2 sinh(x)x + 2cosh(x) e x2 cosh(x) (3.41) 5sinh(x)x + 5cosh(x))). Suku-suku untuk kecepatan (u) adalah: u 0 = 0, (3.42) u 1 = 1 sech(x) tanh(x) t, (3.43) 4 2xe x2 t u 2 = (1 + e x2 ) 2, (3.44) u 3 = cosh(x) 5 (1 + e x2 ) 3 (t( 40e 2x2 sinh(x)t 2 x 2 cosh(x) e 2x2 t 2 x cosh(x) e 3x2 sinh(x)t 2 cosh(x) e x2 sinh(x)t 2 x 2 cosh(x) 3 480e 2x2 x cosh(x) e x2 t 2 x cosh(x) 4 + 3e 2x2 sinh(x)t 2 cosh(x) e 3x2 sinh(x)t 2 cosh(x) 2 480xe x2 cosh(x) 5 7e x2 sinh(x)t 2 cosh(x) e 2x2 sinh(x)t 2 cosh(x) 2 80e 2x2 t 2 x cosh(x) 2 66e 3x2 sinh(x)t 2 cosh(x) + sinh(x)t 2 cosh(x) e x2 sinh(x)t 2 cosh(x) 2 80e x2 t 2 x cosh(x) 2 138e 2x2 sinh(x)t 2 cosh(x) 40e 3x2 sinh(x)t sinh(x)t 2 cosh(x) 2 78e x2 sinh(x)t 2 cosh(x) 120e 2x2 sinh(x)t 2 6sinh(x)t 2 cosh(x) 120e x2 sinh(x)t 2 40sinh(x)t 2 )). (3.45) Perlu diingat bahwa h = n=0 h n dan u = n=0 u n sehingga ditemukan solusi pendekatan untuk kedalaman H[h] = h 0 + h 1 + h 2 + h 3 dan solusi pendekatan untuk kecepatan U[u] = u 0 + u 1 + u 2 + u 3. Pada tesis ini,

52 38 perhitungan ini tidak dilanjutkan pada suku selanjutnya karena hasilnya lebih rumit dan memerlukan waktu yang panjang untuk mendapatkan dan menuliskan pada tesis ini. Gambar 1.1. Solusi berdasarkan metode dekomposisi Adomian untuk (kiri) kedalaman h(x, t) dan (kanan) kecepatan u(x, t). Gambar 1.1 merupakan grafik solusi pendekatan untuk kedalaman air dan kecepatan air dari persamaan air dangkal dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian ketika t = 0 sampai t = 2.3. Di bawah ini akan diberikan grafik solusi pendekatan dari kedalaman dan kecepatan pada skala waktu tertentu. Gambar 1.2. Hasil untuk kedalaman h(x, t) dari metode dekomposisi Adomian pada saat waktu t = 0 (kiri) dan t = 2.3 (kanan).

53 39 Gambar 1.3. Hasil untuk kecepatan u(x, t) dari metode dekomposisi Adomian pada saat waktu t = 0 (kiri) dan t = 2.3 (kanan). Hasil dari H[h] dan U[u] telah di-plot di Gambar 1.1, Gambar 1.2, dan Gambar 1.3. Pada kondisi awal, permukaan air membentuk gundukan dan kecepatannya nol di manapun. Semakin waktu bertambah, permukaan air mulai berubah bentuk, yang mana secara fisis sesuai dengan gravitasi. Bagaimanapun juga, jika nilai waktu terlalu besar, solusinya menjadi tidak sesuai dengan keadaan fisis di alam, yang mana, permukaan air di pusat dari gundukan sebelumnya meningkat terlalu tinggi. Permukaan air di sisi kiri dan kanan dari gundukan menurun dan mencapai topografi tanah saat t = 2.3. Ini berarti bahwa jika diinginkan solusi yang akurat untuk waktu yang besar, dibutuhkan suku yang lebih besar juga (n lebih banyak) di pendekatan H[h] dan U[u] untuk solusi eksak. Pada penelitian ini ditemukan bahwa metode dekomposisi Adomian relevan untuk nilai waktu yang kecil dan tidak relevan untuk nilai waktu yang besar untuk permasalahan aliran yang tidak tenang. Diharapkan penelitian selanjutnya yang berhubungan dengan metode dekomposisi Adomian adalah

54 40 untuk menemukan error atau kesalahan dari solusi metode dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal. B. Solusi Persamaan Gelombang Elastik Gelombang elastik merupakan gelombang yang menyebabkan deformasi elastik tanpa menyebabkan perubahan struktur. Persamaan gelombang elastik erat kaitannya dengan teori elastisitas gelombang. Dalam elastisitas gelombang, dikenal sifat elastisitas benda, yaitu sifat suatu benda untuk mempertahankan bentuknya pada keadaan semula. Contoh fenomena yang ada pada kehidupan sehari-hari adalah ketika menekan senar gitar maka akan terjadi regangan yang diakibatkan oleh tekanan dan regangan tersebut lama-kelamaan akan berhenti. Persamaan elastik yang diteliti dalam tesis ini adalah persamaan elastik dimensi satu. Oleh karena itu, variabel yang paling dominan dalam persamaan elastik dimensi satu adalah tegangan, regangan, dan kecepatan. Tegangan adalah gaya per satuan luas, sedangkan regangan adalah perbandingan antara perubahan bentuk dan ukuran benda setelah dikenai gaya dari keadaan semula. Berdasarkan hukum Hook, regangan yang dihasilkan berbanding lurus dengan tegangannya (berlaku untuk tegangan yang tidak terlalu besar). Persamaan elastik non-linear diberikan sebagai berikut. ε t (x, t) u x (x, t) = 0, (3.46) (ρ(x)u(x, t)) t σ(ε(x, t), x) x = 0. (3.47) ε(x, t) dan u(x, t) secara berturut-turut adalah regangan dan kecepatan. m = ρu adalah momentum dengan ρ adalah massa jenis, sedangkan σ(ε, x) = K(x)ε

55 41 adalah tegangan. Asumsikan ρ = 1 dan K(x) = 1 untuk mendapatkan persamaan elastik non-linier paling sederhana, maka didapatkan: ε t u x = 0, (3.48) u t (ε + ε 2 ) x = 0. (3.49) Untuk mempermudah perhitungan, diberikan contoh kondisi awal: u(x, 0) = 0, (3.50) ε(x, 0) = 0.1 sech 2 (0.2x). (3.51) Persamaan (3.48) dan (3.49) dapat ditulis kembali menjadi: ε t u x = 0, (3.52) u t ε x 2εε x = 0 (3.53) Dengan mendefinisikan operator derivatif L t = t dan L x = x dan kemudian mengaplikasikannya maka persamaan (3.52) dan (3.53) akan menjadi: L t ε L x u = 0, (3.54) L t u L x ε 2ε L x ε = 0. (3.55) Didefinisikan operator invers L 1 t 1 t = (. ) dt, dan dengan mengaplikasikan L 0 t kedua ruas dari persamaan-persamaan sebelumnya untuk mendapatkan: L t 1 L t ε L t 1 L x u = 0, (3.56) L t 1 L t u L t 1 (L x ε + 2ε L x ε) = 0. (3.57) Persamaan diatas dapat ditulis kembali menjadi L t 1 L t ε L t 1 L x u = 0, (3.58) L t 1 L t u L t 1 (L x ε + 2 (ε)) = 0, (3.59) dimana (ε) = εε x. Maka akan didapatkan ε(x, t) dan u(x, t) seperti dibawah ini.

56 42 ε(x, t) ε(x, 0) = L t 1 L x u, (3.60) u(x, t) u(x, 0) = L t 1 (L x ε + 2 (ε)), (3.61) atau ε(x, t) = ε(x, 0) + L 1 t L x u, (3.62) u(x, t) = u(x, 0) + L 1 t (L x ε + 2 (ε)). (3.63) Metode dekomposisi Adomian mengasumsikan sebuah deret tak hingga dalam: u(x, t) = u n (x, t), (3.64) n=0 ε(x, t) = ε n (x, t), (3.65) n=0 (ε) = A n. (3.66) n=0 Jadi, didapatkan persamaan-persamaan dibawah ini: dimana ε n (x, t) = ε 0 + L 1 t L x u n (x, t), (3.67) n=0 n=0 u n (x, t) = u 0 + L 1 t (L x ε n (x, t) + 2 A n ), (3.68) n=0 n=0 n=0 d n A n (ε 0, ε 1, ε 2,, ε n ) = 1 n! dλ n [ ( λn ε n )] k=0 λ=0, n 0. (3.69) Polinomial Adomian A n untuk kasus ini diberikan oleh: A 0 = ε 0 ε 0x, (3.71) A 1 = ε 1 ε 0x + ε 0 ε 1x, (3.72)

57 43 A 2 = ε 2 ε 0x + ε 1 ε 1x + ε 0 ε 2x, (3.73) A n = ε n ε 0x + ε n 1 ε 1x + + ε 0 ε nx. (3.74) Hasil dari masing-masing komponen dari dekomposisi adalah: ε 0 + ε 1 + ε 2 + = ε 0 + L 1 t (L x (u 0 + u 1 + u 2 + )), (3.75) u 0 + u 1 + u 2 + (3.76) = u 0 + L 1 t (L x (ε 0 + ε 1 + ε 2 + ) + 2(A 0 + A 1 + A 2 + )), yang berarti bahwa untuk suku ε ke-n adalah ε 0 = 0.1 sech 2 (0.2x), (3.77) ε 1 = L 1 t L x u 0, (3.78) ε 2 = L 1 t L x u 1, (3.79) ε 3 = L 1 t L x u 2, (3.80) Sedangkan untuk suku u ke-n adalah u 0 = 0, (3.81) u 1 = L 1 t (L x ε 0 + 2A 0 ), (3.82) u 2 = L 1 t (L x ε 1 + 2A 1 ), (3.83) u 3 = L 1 t (L x ε 2 + 2A 2 ), (3.84) Jadi kita dapatkan suku ε n+1 dan u n+1 untuk n 0 adalah

58 44 Di sini solusi eksaknya diberikan oleh ε n+1 = L t 1 L x u n, n 0, (3.85) u n+1 = L t 1 (L x ε n + 2A n ), n 0. (3.86) lim n E n = ε(x, t), (3.87) lim n U n = u(x, t). (3.88) Pendekatan suku ke n dari tekanan ε dan kecepatan u adalah n 1 E = E n [ε] = ε k (x, t), k=0 n 0, (3.89) n 1 U = U n [u] = u k (x, t), k=0 n 0. (3.90) Dengan menggunakan software MAPLE, hasil dari suku-sukunya dihitung sampai iterasi keempat. ε 1 = 0, (3.91) ε 2 = 1 t 2 (10 cosh ( 1 5 x)4 19 cosh ( 1 5 x)2 + 5), (3.92) 1250 cosh ( 1 5 x)6 ε 3 = 0, (3.93) ε 4 1 t 4 (50 cosh ( 1 5 x)8 495cosh ( 1 5 x)6 ) = cosh ( 1 5 x)10 (3.94) 1 t 4 (+921 cosh ( 1 5 x)4 542 cosh ( 1 5 x)2 + 90) cosh ( 1 5 x)10 Suku-suku untuk tekanan u berdasarkan perhitungan dengan MAPLE adalah

59 45 u 1 = 1 t sinh ( 1 x) (5cosh 5 (1 5 x)2 1), (3.95) 125 cosh ( 1 5 x)5 u 2 = 0, (3.96) 2t 3 sinh ( 1 x) (25 cosh 5 (1 5 x)6 105 cosh ( 1 5 x)4 ) u 3 = cosh ( 1 5 x)9 + 2t 3 sinh ( 1 5 x) (+66 cosh (1 5 x)2 10) cosh ( 1 5 x)9, (3.97) u 4 = 0. (3.98) Oleh karena itu, didapatkan: 1 1 E = (50 cosh ( 1 t4 cosh ( 1 5 x) 5 x) t 2 cosh ( x) 495 t 4 cosh ( x) cosh ( x) 7125 t 2 cosh ( x) (3.99) t 4 cosh ( x) t 2 cosh ( x) 542 t 4 cosh ( 1 5 x) t 4 ),

60 46 U = 1 t sinh ( 1 x) (50 cosh ( 1 t2 cosh ( x) cosh ( x) 5 x)9 210 t 2 cosh ( x) 375 cosh ( x) (3.100) t 2 cosh ( 1 5 x) 2 20 t 2 ). Berikut ini adalah grafik-grafik solusi pendekatan dari persamaan elastik dimensi satu dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. Penulis menggunakan MAPLE dan MATLAB untuk mempermudah pekerjaan. Gambar 2.1. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan u(x, t) pada persamaan elastik menggunakan metode dekomposisi Adomian

61 47 Gambar 2.2. Grafik solusi pendekatan dari regangan ε(x, t) pada persamaan elastik menggunakan metode dekomposisi Adomian Dengan menggunakan MATLAB, maka didapatkan hasil simulasi seperti tampak dalam Gambar 2.1 hingga gambar 2.4. Gambar 2.3. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan pada persamaan elastik menggunakan metode dekomposisi Adomian

62 48 Gambar 2.4. Grafik solusi pendekatan dari regangan pada persamaan elastik menggunakan metode dekomposisi Adomian Dari grafik-grafik tersebut, dapat dilihat bahwa nilai regangan tertinggi adalah ketika t = 0 dan pada posisi awal x = 0. Semakin waktu bertambah, maka regangan dari titik asal merambat ke arah kiri dan ke arah kanan. Pada t = 0 sampai t = 0.4. Kecepatan berhubungan dengan perambatan regangan. Ketika kecepatannya negatif, perambatan gelombang regangan ke kanan dan positif ketika ke kiri. Pada grafik kecepatan, kecepatan cenderung menuju 0 (nol) untuk x tak hingga dan t tak hingga, hal ini juga berlaku pada grafik regangan. Hal ini relevan dengan sifat elastisitas suatu benda untuk mempertahankan bentuk seperti keadaan semula. Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa untuk nilai t yang kecil maka MDA akurat dalam menyelesaikan persamaan elastik dimensi satu, namun kurang akurat untuk t yang besar. Untuk menambah keakuratan pada nilai t yang besar maka dibutuhkan iterasi yang lebih banyak lagi.

63 49 C. Solusi Persamaan Gelombang Akustik Penelitian ini bertujuan untuk meneliti penggunaan metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan akustik dimensi satu. Persamaaan akustik dapat diturunkan dari persamaan elastik nonlinier, seperti yang dideskripsikan oleh LeVeque (2002). Penelitian ini adalah pengaplikasian pertama kali dari metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan akustik. Susunan dalam bagian ini adalah sebagai berikut. Pertama, akan dideskripsikan permasalahan yang akan diteliti. Kemudian, akan dijelaskan sedikit tentang metode dekomposisi Adomian. Setelah itu, akan dipaparkan hasil-hasil komputasional beserta pembahasannya. Terakhir, akan ditulis kesimpulan dari bagian ini. Pada bagian ini, dideskripsikan permasalahan (model matematika) yang akan diselesaikan. Dimulai dari model umum, simplifikasi dari model menjadi bentuk paling sederhana dari persamaan akustik. Bentuk umum dari persamaan akustik adalah (Supriyadi dan Mungkasi (2016), Mungkasi dan Ningrum (2016)): p t + K(x)u x = 0, (3.101) ρ(x)u t + p x = 0. (3.102) Di sini p(x, t) menunjukkan tekanan, u(x, t) menunjukkan kecepatan, x adalah variabel ruang dimensi satu, dan t adalah variabel waktu. Sebagai tambahan, K(x) adalah bagian terpenting dari modulus yang dapat dimampatkan, dan ρ(x) adalah massa jenis. Digunakan operator turunan p t = p t, p x = p x, u t = u t, dan u x = u x. Dengan mengambil K(x) = 1 dan ρ(x) = 1, didapatkan persamaan akustik dalam bentuk paling sederhana.

64 50 p t + u x = 0, (3.103) u t + p x = 0. (3.104) Tujuan dari penelitian di bagian ini adalah untuk menyelesaikan persamaan (3.103) dan (3.104) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian. Selanjutnya, akan ditunjukkan bagaimana metode dekomposisi Adomian menyelesaikan persamaan akustik. Diawali dengan menotasikan operator derivatif L t = dan L t x =, sehingga persamaan (3.103) dan (3.104) menjadi: x L t p + L x u = 0, (3.105) L t u + L x p = 0. (3.106) Invers dari operator derivatif untuk L t dan L x adalah L 1 t t = (. )dt 0 t 0 dan L x 1 = (. )dx. Dalam tesis ini, hanya akan diambil invers terhadap variabel waktu t. Dengan mengaplikasikan operator L t 1 pada kedua ruas dari persamaan (3.105) dan (3.106), didapatkan: atau L t 1 L t p + L t 1 L x u = 0, (3.107) L t 1 L t u + L t 1 L x p = 0, (3.108) p(x, t) = p(x, 0) L t 1 L x u, (3.109) u(x, t) = u(x, 0) L t 1 L x p. (3.110) Variabel p(x, t) dan u(x, t) dapat ditulis dalam deret: p(x, t) = p n (x, t), (3.111) n=0 u(x, t) = u n (x, t). n=0 (3.112)

65 51 Dengan mengaplikasikan polinomial Adomian pada kedua ruas, dimana p 0 = p(x, 0) dan u 0 = u(x, 0), kita dapatkan: p n n=0 u n n=0 = p(x, 0) L 1 t L x u n, (3.113) n=0 = u(x, 0) L 1 t L x p n, (3.114) n=0 atau p 0 + p 1 + p 2 + p 3 + = p(x, 0) L t 1 (L x (u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + )), (3.115) u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + = u(x, 0) L 1 t (L x (p 0 + p 1 + p 2 + p 3 + )). (3.116) Hasil dari masing-masing komponen dari dekomposisi p dan u adalah p 0 (x, t) = p(x, 0), (3.117) p 1 (x, t) = L 1 t L x (u 0 (x)), (3.118) p 2 (x, t) = L 1 t L x (u 1 (x)), (3.119) p 3 (x, t) = L 1 t L x (u 2 (x)), (3.120) u 0 (x, t) = u(x, 0), (3.121) u 1 (x, t) = L 1 t L x (p 0 (x)), (3.122) u 2 (x, t) = L 1 t L x (p 1 (x)), (3.123) u 3 (x, t) = L 1 t L x (p 2 (x)), (3.124) Untuk perhitungan komputasional pada bagian selanjutnya, diberikan kondisi nilai awal:

66 52 p(x, 0) = 0.1 sech 2 (0.2x), (3.125) u(x, 0) = 0. (3.126) Didefinisikan untuk persamaan akustik (3.103) dan (3.104). Dipilih fungsi secan hiperbolik karena fungsinya halus, sehingga memiliki derivatif yang kontinu. Amplitudo dan fase diambil konstan, yaitu 0.1 dan 0.2, secara berturut-turut. Metode dekomposisi Adomian membutuhkan beberapa iterasi berulang untuk mendapatkan pendekatan solusi eksak. Catatan bahwa semakin banyak iterasi yang digunakan, maka semakin akurat pula solusi dengan metode ini jika deret yang dihasilnya belum konvergen kepada solusi eksak. Dengan menggunakan kondisi nilai awal (3.126) dan (3.125), metode dekomposisi Adomian menggunakan formula deret seperti berikut: p k+1 (x, t) = L t 1 L x u k k=0 u k+1 (x, t) = L t 1 L x p k k=0, k 0, (3.127), k 0, (3.128) dimana solusi eksak diberikan dengan lim n P n = p(x, t), (3.129) lim n U n = u(x, t). (3.130) Pendekatan suku ke-n dari tekanan p dan kecepatan u adalah n 1 P n [h] = p k (x, t), (3.131) n 1 k=0 U n [u] = u k (x, t), n 0. (3.132) k=0

67 53 Dengan menggunakan software MAPLE, didapatkan hasil dari iterasi (sampai p 4 ) untuk solusi tekanan untuk permasalahan yang ada dalam penelitian ini, dituliskan seperti berikut: u 0 = 0, (3.133) u 1 = 1 2) 25 (sech (1 5 x) tanh ( 1 x) t, (3.134) 5 u 3 = (sech (1 5 x) 2 ) (tanh ( 1 5 x) 3) t 3 u 2 = 0, (3.135) (sech (1 5 x) 2) (tanh ( 1 5 x)) t3 ( 1 5 (3.136) 1 5 (tanh (1 5 x) 2)), u 4 = 0, (3.137) p 0 = 1 10 sech (1 5 x) 2, (3.138) p 1 = 0, (3.139) p 2 = (sech (1 5 x) 2 ) (tanh ( 1 5 x) 2) t (sech (1 5 x) 2 ) ( (tanh (1 5 x) 2)) t 2, (3.140) p 3 = 0, (3.141)

68 54 p 4 = (sech (1 5 x) 2 ) (tanh ( 1 5 x) 4) t (sech (1 5 x) 2 ) (tanh ( 1 5 x) 2 ) t 4 ( 1 5 (3.142) 1 5 (tanh (1 5 x) 2)) (sech (1 5 x) ) ( )) 5 (tanh (1 5 x) t 4, Lebih jauh lagi, didapatkan hasil dari iterasi untuk solusi dari kecepatan pada permasalahan dalam penelitian ini, dituliskan sebagai berikut ini: U = 1 (2t 2 (cosh ( 1 5 x)2 ) + 75 (cosh ( 1 5 x)2 ) 6t 2 ) t (sinh ( 1 x)) 5 (3.143) 1875 (cosh ( 1 5 x)5 ) P = (cosh ( 1 5 x)6 ) (2t 4 (cosh ( 1 5 x) 4 ) + 150t 2 (cosh ( 1 5 x) 4) 15t 4 (cosh ( 1 5 x) 2 ) (cosh ( 1 5 x) 4) (3.144) 225t 2 (cosh ( 1 5 x) 2) + 15t 4 ). Dilanjutkan dengan perhitungan P[p] = p 0 + p 1 + p 2 + p 3 + p 4 dan U[u] = u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4 dengan menggunakan hasil di atas sehingga, didapatkan pendekatan dari kecepatan dan tekanan sampai pada suku keempat adalah:

69 55 Gambar 3.1. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan pada persamaan akustik menggunakan metode dekomposisi Adomian. dan Gambar 3.2. Grafik solusi pendekatan dari tekanan pada persamaan akustik menggunakan metode dekomposisi Adomian. Secara berturut-turut. Selain itu, digunakan pula program MATLAB untuk melihat grafik dalam 2 dimensi.

70 56 Gambar 3.3. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan pada persamaan akustik menggunakan metode dekomposisi Adomian. Gambar 3.4. Grafik solusi pendekatan dari tekanan pada persamaan akustik menggunakan metode dekomposisi Adomian. Hasil dari tekanan P dan kecepatan U diplot dalam Gambar 3.1 dan Gambar 3.3 serta Gambar 3.2 dan Gambar 3.4, berturut-turut. Dari gambargambar tersebut, bersamaan dengan pertambahan waktu, tekanan dari titik awal merambat kearah kiri dan ke kanan. Kecepatannya sesuai dengan perambatan

71 57 gelombang tekanan karena kecepatannya negatif ketika gelombang tekanannya merambat ke kiri dan positif ketika ke kanan. Hal ini sesuai dengan perilaku yang sudah diduga sebelumnya. Pada Gambar 3.2, kecepatannya cenderung menuju nol untuk nilai x dan t yang besar. Persamaan akustik telah diselesaikan dengan metode dekomposisi Adomian. Solusi dari dekomposisi Adomian mendekati solusi eksak untuk sebarang titik ruang dan waktu (Wazwaz, 2009). Metode dekomposisi Adomian dapat ddiimplementasikan pada software komputer dengan komputasi yang tidak mahal. Metode ini dapat menyelesaikan persoalan-persoalan multi-dimensi dari persamaan akustik. D. Solusi Persamaan Gelombang Difusi Difusi adalah perpindahan molekul dari konsentrasi tinggi menuju ke konsentrasi rendah. Peristiwa difusi akan berlangsung sampai partikel menyebar secara merata. Peristiwa difusi terjadi dalam kehidupan sehari-hari, misalnya penyebaran parfum yang disemprotkan, pelarutan gula, penyebaran limbah cairan dalam sungai. Penelitian pada persamaan gelombang difusi disini merupakan penelitian tentang gelombang difusi itu sendiri atau bisa disebut dengan gelombang penyebaran, sehingga yang diteliti merupakan gelombang yang menyebabkan penyebaran pada fluida, misalnya gelombang penyebaran konsentrasi larutan. Persamaan gelombang difusi diberikan oleh: q t + q x = q 2 q x 2 + x, (3.146)

72 58 dimana q(x, t) merupakan konsentrasi larutan, sedangkan x dan t berturut-turut adalah variabel ruang (posisi) dan waktu. Dengan kondisi nilai awal: Persamaan (3.145) dapat ditulis kembali menjadi q(x, 0) = q 0 = 1. (3.146) q t + q x = qq xx + x. (3.147) Metode dekomposisi Adomian menggunakan operator diferensial L t dan L x dalam proses perhitungan. Persamaan (3.147) dapat ditulis menjadi: L t q + L x q = ql xx q + x, (3.148) dimana operator diferensial L t dan L x serta L xx didefinisikan sebagai menggunakan operator integral L t = t, L x = x, L xx = 2 x 2, (3.149) L 1 t t (. ) = (. )dt. (3.150) 0 Dengan mengaplikasikan operator invers pada kedua ruas maka persamaan (3.148) menjadi: L t 1 L t q + L t 1 L x q = L t 1 (ql xx q) + L t 1 x. (3.151) Persamaan (3.151) akan menghasilkan persamaan (3.152) seperti di bawah ini. q(x, t) = q(x, 0) L t 1 L x q + L t 1 (ql xx q) + L t 1 x. (3.152) Asumsikan bahwa (q) = qq xx untuk menyederhanakan perhitungan: q(x, t) = q(x, 0) + L t 1 x + L t 1 (( (q)) L x q). (3.153) Metode dekomposisi menggunakan jumlahan dari komponen-komponennya, didefinisikan dengan:

73 59 q(x, t) = q n (x, t), (3.154) n=0 (q) = A n. (3.155) n=0 Dengan mengaplikasikan (3.154) dan (3.155) kepada persamaan (3.153) maka akan terbentuk persamaan: q n (x, t) = q(x, 0) + L 1 t x + L 1 t ( A n L x q n (x, t) ), (3.156) n=0 n=0 n=0 dimana A n adalah d n A n (ε 0, ε 1, ε 2,, ε n ) = 1 n! dλ n [ ( λn ε n )] k=0 λ=0, n 0. (3.157) Polinomial Adomian A n untuk kasus ini diberikan oleh: A 0 = q 0 q 0xx, (3.158) A 1 = q 1 q 0xx + q 0 q 1xx, (3.159) A 2 = q 2 q 0xx + q 1 q 1xx + q 0 q 2xx, (3.160) A n = q n q 0xx + q n 1 q 1xx + + q 0 q nxx. (3.161) Hasil dari setiap komponen dari dekomposisi adalah q 0 + q 1 + q 2 + = q(x, 0) + L t 1 x (3.162) + L t 1 ((A 0 + A 1 + A 2 + ) L x (q 0 + q 1 + q 2 + )), q 0 = q(x, 0) + L t 1 x, (3.163)

74 60 Solusi eksak diberikan oleh: q 1 = L t 1 ((A 0 ) L x (q 0 )), (3.164) q 2 = L t 1 ((A 1 ) L x (q 1 )), (3.165) q 3 = L t 1 ((A 2 ) L x (q 2 )), (3.166) q n+1 = L t 1 ((A n ) L x (q n )), n 0. (3.167) lim n q n = q(x, t). (3.168) Suku ke n dari pendekatan dari konsentrasi q adalah n 1 R n [q] = q k (x, t) k=0, (3.169) dengan menggunakan program MAPLE maka didapatkan suku-suku dari debit q n (x, t) sebagai berikut. q 0 = xt + 1, (3.170) q 1 = 1 2 t2, (3.171) q 2 = 0, (3.172) q 3 = 0, (3.173) q 4 = 0. (3.174) Setelah dilakukan penelitian dan perhitungan dengan menggunakan bantuan MAPLE, maka didapatkan solusi eksak dari konsentrasi q yaitu: R = 1 + xt 1 2 t2. (3.175)

75 61 Solusi tersebut digambar grafiknya untuk melihat perilaku fisis dari konsentrasi q pada persamaan gelombang difusi. Berikut merupakan grafik dari konsentrasi q, seperti tampak pada Gambar 4.1. Gambar 4.1. Grafik solusi pendekatan dari konsentrasi pada persamaan difusi menggunakan metode dekomposisi Adomian. Selain menggunakan MAPLE untuk menggambar grafik konsentrasi, digunakan pula program MATLAB untuk mengetahui perilaku dari konsentrasi q, seperti tampak pada Gambar 4.2 dan Gambar 4.3. Gambar 4.2. Grafik solusi pendekatan dari konsentrasi pada persamaan difusi menggunakan metode dekomposisi Adomian.

76 62 Gambar 4.3. Grafik solusi pendekatan dari konsentrasi pada persamaan difusi menggunakan metode dekomposisi Adomian (versi zoom) Gradien dari garis-garis pada persamaan difusi (Gambar 4.2 dan Gambar 4.3) merupakan perubahan q terhadap perubahan x dilambangkan m = R x = t. Dengan R adalah jumlahan hasil dari setiap komponen q. Grafik membentuk suatu garis lurus, sehingga semakin t bertambah maka gradien dari q akan semakin besar, dimana gradien dari q sebesar t (waktu). Semakin t membesar maka perubahan konsentrasi (q) terhadap perubahan ruang akan semakin cepat. Jika ditinjau dari titik posisi atau titik ruang sama, di titik awal x = 0, semakin t bertambah maka konsentrasi akan semakin berkurang karena pada posisi awal, konsentrasi akan mulai menyebar dan pada posisi akhir, semakin bertambahnya waktu maka konsentrasi akan meningkat karena telah tersebarnya konsentrasi dari posisi awal ke posisi akhir. Peristiwa penyebaran konsentrasi pada persamaan difusi ini relevan dengan keadaan fisis dalam kehidupan nyata.

77 63 E. Solusi Persamaan Gelombang Kinematik Persamaan gelombang kinematik (Miller, 1983) adalah penyederhanaan dari persamaan gelombang air dangkal. Gelombang kinematik mendeskripsikan fenomena dari limpasan air pertanian kecil dan DAS (Daerah Aliran Sungai) perkotaan. DAS adalah suatu daerah sebagai tempat berkumpulnya air hujan yang dibatasi titik-titik tinggi. Ketika menerapkan teori gelombang kinematik untuk aliran di atas permukaan tanah, aliran lateral harus diperhatikan. Aliran di atas permukaan tanah adalah air hujan yang meninggalkan daerah aliran sungai (DAS) setelah terjadi hujan. Aliran di atas permukaan tanah terjadi ketika hujan yang jatuh melebihi tingkat infiltrasi sehingga membentuk suatu aliran di atas permukaan tanah. Gambar Daerah Aliran Sungai (gambar diambil dari ) Persamaan gelombang kinematik berasal dari penggabungan persamaan Manning: dengan persamaan kontinuitas: Q = h m, (3.176)