METODE POST-NEWTONIAN

Transkripsi

1 Bab 3 METODE POST-NEWTONIAN Karena persamaan medan Einstein merupakan persamaan yang tidak linear, maka diperlukan adanya suatu metode lain yang dapat memberikan solusi yang tepat untuk persamaan ini. Salah satu metode yang bermanfaat adalah pendekatan post-newtonian. Pendekatan ini digunakan pada suatu sistem partikel yang terikat satu sama lain dan bergerak lambat. Contohnya adalah sistem tata surya. 3.1 Pendekatan Post-Newtonian Misalkan ditinjau sistem partikel seperti tata surya. Dimisalkan M, r, dan v adalah besaran dari massa, jarak, dan kecepatan dari komponen-komponen tata surya. Maka dengan menggunakan Mekanika Newton, di mana energi kinetik suatu benda sebanding dengan energi potensialnya, akan diperoleh: v G M r. 3.1 Pendekatan post-newtonian merupakan metode untuk memperoleh gerak suatu sistem dengan orde yang lebih tinggi dari suatu dari parameter kecil G M/ r dan v. Persamaan Post-Newtonian dimulai dari persamaan gerak partikel: d x b dτ + Γb ca dx c dτ pembahasan pada bagian ini merujuk pada [0] dx a dτ = 0. 0

2 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN 1 Dari persamaan diatas, percepatan dapat dihitung sebagai berikut: d x i [ dt 1 ] d dt 1 dx i dt = dτ dτ dτ dτ dt d x i dt 3 = dτ dτ d t dx i dτ dτ dτ atau dapat juga ditulis = Γ i ca dx c dt d x i dt = Γ i 00 Γ i 0j [ + Γ Γ 0 0j dx a dt + dx c Γ0 ca dt dx j dt dx j Γi jk dt dx a dt dx k dt dx j dt dx j Γ0 jk dt dx k dt dx i dt ] dx i dt. 3. Karena dalam pendekatan Newtonian, kecepatan dianggap sangat kecil dan suku yang disimpan hanyalah sampai dengan orde pertama maka, d x i dt Γi 00 1 ig 00. Dengan demikian, pendekatan Newtonian memberikan nilai d x i /dt sampai dengan orde G M/ r atau v sehingga tujuan dari penggunaan pendekatan post newtonian adalah untuk menghitung d x i /dt sampai dengan orde yang diinginkan. Dari solusi Swarzschild, diketahui bahwa suatu koordinat yang tensor metriknya hampir sama dengan tensor Minkowski η ab dapat ditentukan. Koordinat ini dapat diekspansi dalam orde v G M/ r. Secara khusus untuk tensor metrik, maka ekspansinya adalah g 00 = 1 + g g , g ij = δ ij + g ij + 4 g ij +..., 3.3 g i0 = 3 g i0 + 5 g i Invers dari tensor metrik didefinisikan sebagai berikut: g ia g 0a = g i0 g 00 + g ij g j0 = 0, g 0a g 0a = g 00 g 00 + g 0i g 0i = 1, g ia g ja = g i0 g j0 + g ik g jk = δ ij. 3.4

3 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN Dengan mensubtitusi persamaan 3.3 ke dalam persamaan 3.4, diperoleh: g 00 = g 00, g ij = g ij, 3 g i0 = 3 g i0, dst. 3.5 Koneksi affine juga dapat dapat diekspansi ke dalam suku-suku dengan orde yang lebih tinggi melalui persamaan koneksi affine Γ a bc = 1 { cg db + b g dc d g bc } 3.6 Karena differensiasi terhadap ruang dan waktu bergantung pada r dan v/r, maka differensiasi ini akan memiliki orde sekitar i 1 r t v r Sehingga dengan mensubtitusikan persamaan 3.3 ke dalam persamaan 3.6, maka ekspansi untuk koefisien affine akan terbagi menjadi ekspansi dengan orde genap untuk komponen Γ i 00, Γ i jk, dan Γ 0 0i sebagai berikut Γ a bc = Γ a bc + 4 Γ a bc dan ekspansi dengan orde ganjil untuk komponen Γ i 0j, Γ 0 00, dan Γ 0 ij Γ a bc = 3 Γ a bc + 5 Γ a bc Ekspansi komponen dari tensor Ricci juga dapat ditentukan dengan mensubtitusikan persamaan 3.7 dan 3.8 ke dalam persamaan kurvatur Riemann R ab = R c acb = b Γ c ac c Γ c ab + Γ d acγ c bd Γ d abγ c dc sehingga diperoleh, R 00 = R R , R i0 = 3 R i0 + 5 R i0 +..., 3.9 Melalui persamaan R ij = R ij + 4 R ij R ab = 8πG T ab 1 g abt c c 3.10

4 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN 3 komponen tensor tekanan dan energi dapat diekspansi sebagai berikut: T 00 = 0 T 00 + T , T i0 = 1 T i0 + 3 T i0 +..., 3.11 T ij = T ij + 4 T ij dengan, 0 T 00 : densitas massa diam T 00 : bagian nonrelativistik dari densitas energi Yang diperlukan adalah: S ab = T ab 1 g abt c c. 3.1 Dengan mensubtitusi persamaan 3.3 dan 3.11 ke persamaan 3.1 diperoleh S 00 = S S , S i0 = 1 S i0 + 3 S i0 +..., 3.13 S ij = 0 S ij + S ij Secara khusus, 0 S 00 = 1 0 T 00, S 00 = 1 [ T 00 g 00 0 T 00 + T ii ], 1 S i0 = 1 T 0i, 0 S ij = + 1 δ 0 ij T Penyelidikan dari persamaan 3. menunjukkan bahwa berbagai komponen affine dibutuhkan sampai dengan orde-orde berikut: Γ i 00 Γ i 0j Γ i jk Γ 0 00 Γ 0 0j sampai dengan orde ke- v4 r, sampai dengan orde ke- v3 r, sampai dengan orde ke- v r, sampai dengan orde ke- v3 r, sampai dengan orde ke- v r, Γ 0 jk sampai dengan orde ke- v r. 3.15

5 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN 4 Dengan mensubtitusikan persamaan 3.7 dan 3.8, maka komponen yang dibutuhkan untuk persamaan 3.15 adalah Γ i 00 = 1 i g 00, 4 4 Γ i 00 = 1 3 i g 00 + t g i0 + 1 g ij i g 00, 3 Γ i 0j = 1 ] 3 3 [ j g i0 + t g ij j g j0, Γ i jk = 1 ] [ k g ij + j g ik i g jk, Γ 0 00 = 1 t g 00, Γ 0 0i = 1 i g 00, 1 Γ 0 ij = 0. Dengan memanfaatkan komponen affine di atas, maka tensor Ricci yang dapat dihitung adalah: R 00 = i Γ i 00, R 00 = t Γ i 0i i Γ i 00 + Γ 0 0i Γ i 00 Γ i 00 Γ j ij, 3 R i0 = t Γ j ij j 3 Γ j 0i, R ij = i Γ 0 i0 + j Γ k ik k Γ k ij yang memberikan R 00 = 1 g 00, 4 R 00 = 1 t 3 g ii t i g i0 + 1 g g ij i j g 00 1 j g ij i g 00, i g 00 i g i g 00 i g jj, R i0 = 1 t i g jj 1 i j 3 g j0 1 t j g ij g i0, R ij = 1 i j g i j g kk 1 k j g ik 1 1 k i g kj g ij. Bentuk tensor ricci di atas dapat disederhanakan dengan cara memilih suatu sistem koordinat yang sesuai. x a dapat didefinisikan sedemikian sehingga memenuhi kondisi koordinat harmonik g ab Γ c ab =

6 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN 5 Dengan menggunakan persamaan 3.4 dan 3.5, diperoleh bahwa suku dengan orde ke-3 dari g ab Γ 0 ab = 0 adalah dan suku dengan orde ke- dari g ab Γ i ab adalah Dan diperoleh bahwa 0 = 1 3 t g 00 + i g 0i t g ii = 1 i g 00 + j g ij i g jj t g ii i t 3 g i0 + 1 t g 00 = 0, t j g ii i j g i0 i t g ij = 0, k j g ij + j i g kj i k g jj + i k g 00 = 0. sehingga persamaan sekarang memberikan formula yang lebih sederhana dari tensor Ricci sebagai berikut R 00 = 1 g 00, 4 R 00 = 1 4 g 00 1 t 3 R i0 = 1 3 g i0, 3 g i0 1 g ij i j g i g 00, 3. R ij = 1 g ij. dan, g 00 = 8πG 0 T 00, g 00 = t g 00 + g ij i j g 00 i g 00 8πG[ T 00 0 g 00 0 T 00 ] + T ii, g i0 = +16πG 1 T i0, 3.5 g ij = 8πGδ ij 0 T Dari persamaan 3.3 diperoleh g 00 = φ 3.7

7 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN 6 dimana, φ adalah potensial Newtonian yang didefinisikan oleh persamaan Poisson φ = 4πG 0 T Karena g 00 menghilang pada tak hingga, maka solusinya adalah φx, t = G Dan dari persamaan 3.6, solusi untuk g ij adalah d 3 x T 0 00x, t x x. 3.9 g ij = δ ij φ, 3.30 Sedangkan g 3 i0 merupakan vektor baru yang didefinisikan sebagai 3 g i0 = ζ i 3.31 yang solusinya diberikan oleh ζ i x, t = 4G d 3 x T 1 i0x, t x x. 3.3 Dengan menggunakan identitas i φ i φ = 1 φ φ φ 3.33 dan persamaan 3.7 dan 3.8, maka persamaan 3.4 disederhanakan menjadi 4 g 00 = φ ψ 3.34 dengan ψx, t = d 3 x [ ] 1 x x 4π t φx, t + G T 00 x, t + G T ii x, t, 3.35 ψ = t φx, t + 4π[G T 00 + G T ii ] Dari persamaan diatas, terbukti bahwa kondisi koordinat yang dinyatakan oleh persamaan 3.1 telah dipenuhi. Ketika sebuah sistem bintang ganda akan mengalami tumbukan, maka pada tahap awal, kedua bintang ini mengalami fase inspiral yang panjang adiabatik yang didorong oleh emisi radiasi gravitasi, atau oleh gaya reaksi radiasi yang diaplikasikan pada orbit. Pada tahap inspiral ini, gerak dinami-

8 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN 7 ka dua objek kompak kemudian menghasilkan gelombang gravitasi. Dinamika kedua bintang dapat didekati dengan sangat baik melalui ekspansi post- Newtonian dari relativitas umum. Karena kecepatan orbit yang dapat mencapai 0.3c pada putaran-putaran terakhir dan menyebabkan sistem menjadi sangat relativistik[9], maka dalam kasus inspiral dari sistem bintang ganda, ekspansi post-newtonian harus dilakukan sampai dengan orde 3PN. Dalam kasus inspiral, struktur internal bintang tidak memainkan peranan karena sistem bintang ganda dapat dianggap sebagai dua partikel titik yang hanya dipengaruhi oleh massa. Perhitungan post-newtonian untuk sistem bintang ganda yang berada pada tahap inspiral dimulai dengan mengimplementasikan rumusan umum untuk dinamika dan emisi gelombang gravitasi dari sumber terisolasi yang bergerak dengan sangat pelan walaupun masih cukup relativistik. Karena geraknya yang sangat pelan maka sumber tersebut memiliki parameter post-newtonian yang kecil, dan dapat dituliskan sebagai berikut { T 0i ε = max, T ij 1/ }, U, 3.37 T 00 di mana, batas atas dari ε = 0.3c karena fase inspiral dari sistem bintang. Pada daerah near-zone dimana r/λ = Oε, pengabaian beberapa suku dari medan gravitasi berdasarkan orde formalnya di ε dapat dilakukan. Hanya pada daerah near-zone inilah pendekatan post-newtonian dapat diaplikasikan, dan karenanya ekspansi post-newtonian harus didukung oleh kondisi yang T 00 menyamakan medan near-zone dan medan radiasi. Dengan menggunakan pendekatan kuadrupol, formalisme pembangkitan gelombang pers..65 dengan orde yang paling rendah dinyatakan oleh formalisme kuadrupol Einstein dimana medan gravitasi h T T ij jauh dari sumber. Formalisme ini diberikan oleh h TT ij c mencakup daerah = G c 4 P ijkln [ I kl + Oc 1 ] 3.38 di mana, R jarak ke pengamat, P ijkl adalah operator proyeksi P ijkl = P ik P jl 1 P ijp kl, dengan P ij = δ ij N i N j, dan N = N i arah radial dari sumber ke pengamat Permasalahan yang dihadapi oleh formulasi post-newtonian yang ada saat

9 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN 8 ini adalah bahwa formalisme ini hanya berlaku untuk distribusi massa yang kontinu saja. Formalisme ini juga mencakup aplikasi terhadap partikel dengan gravitasi diri dan bukan hanya partikel uji. Karena adanya faktor gravitasi diri ini, maka perlu dilakukan suatu regularisasi untuk menghilangkannya. Regularisasi yang akan dilakukan untuk menghilangkan secara sistematis medan gravitasi-diri tak hingga dari partikel dikenal dengan nama regularisasi Hadamard. Dengan mengasumsikan adanya regularisasi, maka T ab yang mengandung fungsi delta-dirac dapat digunakan. Penghilangan suku divergen dilakukan hanya sebagai ansatz tanpa adanya justifikasi yang lebih lanjut, walaupun metode ini pada akhirnya memberikan hasil perhitungan yang cukup konsisten pada beberapa kasus Sumber Umum Dari persamaan medan relativitas umum, amplitudo gelombang gravitasi sebagai variabel dasar dalam koordinat harmonik didefinisikan sebagai h ab = gg ab η ab, 3.39 di mana g ab menyatakan metrik kovarian; g menyatakan determinan dari metrik kovarian; dan η ab menyatakan metrik Minkowski. Kondisi koordinat-harmonik yang memenuhi persamaan.48 menghasilkan b h ab = Persamaan 3.39 dan 3.40 memberikan definisi struktur sistem koordinat Minkowski, dengan metrik Minkowski η ab. Kondisi koordinat pada persamaan 3.40 akan menjadi sangat berguna jika gelombang gravitasi di-tinjau sebagai perturbasi dari ruang waktu yang berpropagasi pada manifold Minkowski tertentu dengan metrik latar belakang η ab. Persamaan medan Einstein pada koordinat harmonik dapat ditulis dalam bentuk persamaan d Alembertian inhomogen h ab = 16πG c 4 g T ab + Λ ab h, h, h, 3.41

10 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN 9 di mana, Λ ab merupakan fungsi dari medan, turunan pertama, dan turunan keduanya. Λ ab dinyatakan sebagai berikut[8] Λ ab = h cd cd hab + c ad dh bc + 1 gab g cd e h cf f h de g ac g df e h bf c h de g bc g df e h af c h de + g cd g ef e h ac f h bd gac g bd g ab g cd g ef g pq g fp g eq c h eq d h fp. 3.4 Untuk menggunakan ekspansi post-newtonian sampai dengan orde yang paling tinggi 3PN, maka diperlukan bagian kuadratis, kubik, dan kuartik dari Λ ab yang dinotasikan sebagai[] Λ ab = N ab [h, h] + M ab [h, h, h] + L ab [h, h, h, h] + Oh Dari persamaan gravitasi diri tak terabaikan[13], h ab = 16πT ab + τ ab, 3.44 diperoleh suatu pseudo-tensor τ ab dari materi dan medan gravitasi yang didefinisikan sebagai τ ab = g T ab + c4 16πG Λab di mana, τ ab bukanlah tensor kovarian yang umum, namun merupakan tensor Lorentz terhadap latar belakang Minkowski. Karena semua benda bergerak di dalam geodesik dari metrik Minkowski, dan dengan demikian ekivalen dengan kekekalan T ab, b τ ab = 0 T ab = Solusi yang diperoleh pada bahasan ini diperoleh dengan mengambil hipotesishipotesis berikut: 1. Tensor tegangan-energi dapat merupakan tensor dari penyongkong yang kompak secara spasial. Di luar dari domain ini, saat r > a, suku sumber gravitasi menurut persamaan 3.46 bebas-divergensi c Λ ac = 0 saat r > a Distribusi materi di dalam sumber smooth : T ab C R 3.

11 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN Sumber adalah sumber post-newtonian di mana di dalam sumber tersebut terdapat parameter kecil yang didefinisikan oleh persamaan Medan gravitasi tidak bergantung waktu pada masa lalu, [ ] h ab x, t = 0 saat t T. t 3.48 Suatu kondisi awal pada masa lalu perlu dipilih untuk menjelaskan perambatan h ab pada persamaan medan Einstein Pada kondisi awal ini, diasumsikan sistem stasioner sehingga tidak ada radiasi dari sumber-sumber yang jauh yang masuk ke dalam sistem. Karena adanya kemungkinan bahwa kondisi stasioner pada masa lalu terlalu kuat, maka formula yang diperoleh perlu diperiksa untuk menilai apakah formula ini masih berlaku pada situasi fisika yang lebih umum. Kondisi di mana tidak ada radiasi yang datang menyebabkan persamaan 3.41 bertransformasi menjadi h ab = 16πG c 4 4G c 4 1 R τ ab d 3 x x x τ ab x, t x x /c, 3.49 dengan, notasi indeks R pada 1 R menyatakan integral retarded d lambertian, dan notasi x, t x x /c menyatakan fungsi dari bagian ruang dan bagian waktu yang retarded Pada persamaan di atas, dengan menemukan solusi pada bagian eksterior maka masalah pembangkitan gelombang dapat dipecahkan dengan menggunakan deret momen multipol tak hingga dari h ab yang dinotasikan sebagai Mh ab, di mana momen multipol harus bisa dihubungkan dengan susunan materi sumber yang dapat dilakukan melalui pendekatan post-newtonian pada kasus sumber bergerak lambat. Momen multipol berpropagasi sampai dengan jarak yang cukup jauh melalui ekspansi post-minkowskian dan kemudian berhubungan dengan momen multipol radiatif yang dapat ditinjau oleh pengamat jarak jauh. Karena ekspansi multipol Mh ab berlaku di daerah manapun di luar sumber r > a, sedangkan h ab hanya berlaku pada daerah near-zone r λ, maka

12 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN 31 untuk kasus sumber bergerak lambat, keberlakuan kedua domain dari multipol dan ekspansi akan saling bertumpukan dalam daerah yang disebut sebagai daerah near-zone eksterior dan dapat dituliskan hubungan a < r λ : Mh ab = h ab Hubungan ini dapat ditransformasikan ke dalam persamaan antara dua deret dengan sifat yang sama, yang secara formal berlaku "dimanapun" yang disebut sebagai "matching equation". Dengan mengekspansi kedua ruas, maka ruas kanan akan menjadi ekspansi dari ekspansi multipol Mh ab dan ruas kiri menjadi ekspansi multipol dari ekspansi post-newtonian M h ab sehingga matching equation dapat ditulis sebagai berikut: Mh ab = M h ab 3.51 dan menyatakan bahwa ekspansi formal near-zone dari dekomposisi multipol adalah identik suku demi suku dengan ekspansi multipol dari ekspansi post- Newtonian. Dengan memenuhi persamaan ini, maka solusi fisis yang unik dari persamaan medan yang berlaku di dalam dan di luar sumber Momen Multipol Sumber Pernyataan persamaan Mh ab yang memenuhi persamaan Einstein yang awalnya vakum tanpa adanya radiasi datang dan persamaan 3.51 adalah Mh ab = FP 1 ret [Mλab ] 4G + c 4 l=0 l l! { } 1 L r F L ab t r/c 3.5 dengan fungsi multipol STF adalah 1 FL ab u = FP d 3 x x L dzδ 1 z τ ab x, u + z x /c B=0 1 Integrasi dari z mengandung fungsi "weighting", yaitu fungsi yang mendekati fungsi Delta-Dirac pada limit dari multipol yang besar: lim l + δ l z = δz. Dengan demikian, sumber terlihat semakin besar dan semakin seperti partikel titik saat orde multipol l ditambah. Fungsi ini dinyatakan sebagai δ l z = l + 1!! l+1 1 z l, 3.54 l!

13 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN 3 yang ternormalisasi sedemikian sehingga 1 1 dzδ l z = Luc Blanchet [3] mengajukan sebuah teorema berdasarkan dekomposisi dari fungsi multipol 3.53 menjadi bagian-bagian yang tidak bisa direduksi. Teorema 6 Momen multipol STF I L dan J L dari sumber post-newtonian diberikan, secara formal sampai dengan sembarang orde post-newtonian, oleh l I L u = FP 1 { d 3 x dz δ lˆx L Σ 1 l c 4 l + 1l + l + 5 δ l+ˆx ijl Σ ij 1 J L u = FP d 3 x dzε ab il {δ lˆx L 1 a Σ b 1 x, u + z x /c. 4l + 1 c l + 1l + 3 δ l+1ˆx il Σ 1 i } x, u + z x /c, 3.56 } l + 1 c l + l + 3 δ l+1ˆx L 1 ac Σ 1 bc Kedua momen ini merupakan momen-momen yang harus dimasukkan ke dalam metrik terlinearisasi h ab 1 yang merepresentasikan pendekatan paling rendah terhadap medan post-minkowki h ab ext = n 1G m h ab n. Beberapa kerapatan sumber didefinisikan dari ekspansi post-newtonian dari pseudotensor τ ab oleh Σ = τ 00 + τ ii c, τ 00 Σ i = c, Σ ij = τ ij, 3.57 di mana, τ ii δ ij τ ij. Untuk melengkapi formulasi momen multipol, maka empat momen sumber lainnya W L,..., Z L yang diparameterisasi oleh vektor gauge ϕ a 1 yang di-

14 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN 33 nyatakan sebagai berikut: 1 { W L u = FP d 3 l + 1 x dz 1 l + 1l + 3 δ l+1ˆx il Σ i l + 1 c l + 1l + l + 5 δ l+ˆx ijl Σ 1 ij 1 { X L u = FP d 3 l + 1 x dz 1 l + 1l + l + 5 δ l+ˆx ijl Σ ij 1 { Y L u = FP d 3 3l + 1 x dz δ lˆx L Σ ii + l + 1l + 3 δ l+1ˆx il Σ 1 i 1 }, 3.58 l + 1 c l + 1l + l + 5 δ l+ˆx ijl Σ ij 1 Z L u = FP d 3 l + 1 x dzε ab il { l + l + 3 δ l+1ˆx L 1 bc Σ ac 1 }, 3.59 }, 3.60 } di mana semua momen sumber 3.56, 3.58, 3.59, 3.60, 3.61 ini hanya dapat dihitung saat pendekatan post-newtonian digunakan. Integral z diekspansi sebagai deret saat c + sebagai berikut: 1 1 dzδ l zτx, u + z x /c = = k=0 l + 1!! x k k τx, u. 3.6 k!l + k + 1!! c u Selain momen sumber, terdapat juga momen massa M ij yang mengandung momen kuadrupol dari massa I ij. Momen tersebut dapat dituliskan sebagai berikut M ij = I ij 4G [ ] 1 c 5 W I ij W 1 I ij + O c 7, 3.63 dimana W adalah W L yang diberikan pada persamaan 3.63 untuk kasus Newtonian l = 0. Pada persamaan di atas perbedaan antara kedua momen M ij dan I ij adalah sekitar.5 PN. Momen spin dari suatu sumber juga dapat dihitung dengan cara yang sama dengan persamaan 3.63, yang berbeda adalah bahwa momen spin akan mengandung momen J ij dan momen Z L. Momen ini dapat dituliskan sebagai berikut S ij = J ij 4G [ ] 1 c 5 Z J ij Z 1 J ij + O c Momen M L dan S L perlu dijabarkan pada bagian ini karena peranannya yang lebih praktis dalam perhitungan karena menghasilkan iterasi post-minkowskian yang lebih sederhana. Walaupun demikian, momen multipol sumber I L, J L,..., Z L dapat ditinjau sebagai momen yang lebih "mendasar" dibandingkan dengan M L

15 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN 34 dan S L karena keenam momen multipol ini mengambil bentuk pernyataan tertutup sebagai suatu integral eksplisit di sepanjang sumber, sehingga momenmomen multipol ini terhubung dengan lebih baik terhadap deskripsi sumber. Perhitungan momen multipol sumber dan momen multipol akan sangat berguna pada saat perhitungan laju energi yang hilang akibat gelombang gravitasi yang disebabkan oleh interaksi antara dua bintang atau lebih Momen Multipol Radiatif Selain momen sumber dan multipol sumber, terdapat juga momen radiatif kuadrupol. Dalam momen radiatif ini, terdapat ekor gelombang gravitasi kuadratik pada orde 1.5PN. Peristiwa yang dikenal sebagai "ekor gelombang" ini terjadi karena pada orde kuadratik non-linear, terjadi interaksi antara dua multipol yang memiliki peranan yang sangat penting dalam penentuan formulasi momen radiatif sampai dengan orde 3.5 PN. Interaksi yang pertama berasal hanya dari momen kuarupol massa yang mendominasi medan radiasi untuk sumber yang bergerak lambat, dan interaksi yang kedua berasal dari interaksi antara M ij dan momen monopol massa statik M, atau yang lebih dikenal sebagai massa ADM. Secara fisis, interaksi M ij t M disebabkan oleh hamburan dari gelombang linear ke kurvatur ruang waktu yang dibangkitkan oleh total massa-energi sumber, yang lebih dikenal dengan nama ekor gelombang. Ekor gelombang ini merupakan bagian dari medan yang bergantung pada parameter sumber pada setiap waktu dari sampai dengan waktu retarded T R/c Terdapat juga suatu interaksi kubik antara momen kuadrupol massa M ij dan dua momen monopol massa M. Secara fisis, interaksi "monopol-monopolkuadrupol" ini menyebabkan peristiwa hamburan dari gelombang kuadrupol linear M ij sampai dengan orde kedua rintang potensial dari metrik Schwarzschild, dan untuk peristiwa hamburan dari ekor kuadratik M M jk sendiri sampai dengan orde pertama rintang potensial. Efek yang terakhir kemudian menyebabkan peristiwa yang dikenal dengan istilah "ekor dari ekor" gelombang gravitasi. Istilah ini kemudian digunakan untuk semua interaksi M ij t M. [] Dengan demikian, formulasi lengkap dari U ij sampai dengan orde 3PN []

16 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN 35 adalah,. U i ju = M GM ij U + + G c 5 { 7 c dτm 4 cτ ij [ln U τ + 11 ] r 0 1 dτm 3 a<i U τm3 j>a U τ 7 M3 a<i M j>a 5 7 M4 a<i M1 j>a M5 a<i M j>a ε ab<im 4 j>a S b + G M + [ c 6 dτm 5 cτ ij U τ ln + 57 cτ 0 r 0 70 ln ] r O c Dari persamaan 3.65, terlihat bahwa semua momen multipol radiatif akan mendapatkan kontribusi ekor-terinduksi, yang dihitung pada orde 1.5PN sebagai berikut: U L U = M l LU + GM c [ ] dτm l+ cτ L U τ ln + κ l r 0 1 +O c 5, 3.66 V L U = S l LU + GM c [ ] dτs l+ cτ L U τ ln + π l r 0 1 +O c 5, 3.67 di mana konstanta κ l dan π l diberikan oleh κ l = l l + 5l + 4 ll + 1l k, π l = k=1 l 1 l 1 ll k Ekspansi momen multipol dalam medan radiasi didefinisikan sebagai, h T T ij U, N = 4G c R P ijabn l= k=1 1 c l l! {N L U abl U l } cl + 1 N cl ε cd<a V b>dl U } 1 + O R.3.69 Dekomposisi multipol ini menyatakan formalisme momen kuadrupol yang

17 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN 36 diperumum, dan fluks gravitasi yang berhubungan dapat diturunkan sebagai[19] { G l + 1l + LU = c l+1 l 1ll!l + 1!! U1 L UU1 L U l= } 4ll + + c l 1l + 1!l + 1!! V1 L UV1 L U Persamaan 3.70 memberikan pernyataan umum untuk L dari semua momen radiatif U L dan V L. Walaupun hubungan momen radiatif dan parameter sumber belum diketahui, namun melalui persamaan 3.67 dan 3.67 kebergantungan eksplisit dari momen multipol sumber sebagai fungsi dari parameter yang terisolasi dapat diturunkan. Dengan adanya penyataan umum dari L, maka energi yang dibangkitkan oleh momen sumber dapat dihitung Persamaan Gerak dan Energi untuk Orbit Lingkaran Parameter massa adalah total massa m = m 1 + m, perbedaan massa δm = m 1 m, massa tereduksi µ = m 1 m /m dan rasio massa simetris ν µ m m 1 m m 1 + m Rasio ini sangat berguna dalam pendekatan post-newtonian karena memiliki variasi: 0 < ν < 1/4, dengan ν = 1/4 akan diperoleh untuk kasus sistem bintang ganda yang memiliki massa yang sama, dan ν 0 untuk limit massa dari salah satu bintang. Sebagian besar sistem bintang ganda komapak yang mengalami fase inspiral akan bergerak melingkar saat sistem bintang ini mulai dapat dideteksi oleh LIGO ataupun VIRGO. Dalam kasus orbit berbentuk lingkaran, persamaan gerak menjadi sederhana secara drastis, karena ṙ = n v = O 1 c 5, dan suku-suku sisanya dapat diabaikan pada orde 3PN. Untuk menuliskan pendekatan post-newtonian yang baik, maka diperlukan adanya suatu parameter post-newtonian γ Gm 1 rc = O c. 3.7 Percepatan relatif dari dua bintang yang bergerak dalam orbit lingkaran pada orde 3PN diberikan oleh a i = ω x i 3 5 G 3 m 3 ν 1 c 5 r 4 v i + O c 7, 3.73

18 3.1. PENDEKATAN POST-NEWTONIAN 37 di mana a i a i 1 ai, xi y1 i yi, dan ω menyatakan kecepatan sudut dari gerak melingkar. Hubungan antara ω dan r pada persamaan 3.73, didapatkan dari Hukum III Keppler [11] yang dituliskan sebagai ω = Gm { r νγ O c ν + ν r [ π + ln r 0 γ ] ν + 19 ν + ν 3 γ 3 } di mana r 0 diberikan oleh konstanta gauge melalui ln r 0 = X 1 ln r 1 + X ln r. Persamaan energinya diberikan oleh { E = µc γ ν γ [ π + 3 ln +O 1 c 8 8 ν ν r r 0 γ ] ν ν ν3 γ 3 } Pada persamaan di atas terlihat bahwa E bergantung pada sistem koordinat dengan adanya faktor ln r/r 0. Namun nilai numerik E seharusnya tidak bergantung pada sistem koordinat, oleh karena itu maka E perlu dinyatakan dalam suatu parameter, selain γ yang invarian terhadap kerangka sistem. Parameter tersebut diberikan Gmω /3 1 x c 3 = O c, 3.76 Dengan mensubtitusi persamaan 3.76 ke persamaan 3.74, maka diperoleh { γ = x ν x ν x [ π + ] r 3 ln r 0 ν ν + 1 } 81 ν3 x 3 1 +O c

19 3.. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA KOMPAK 38 Persamaan 3.77 kemudian disubtitusi ke persamaan 3.75 dan diperoleh { E = µc x ν [ O 1 c 8 x + ] π x 8 ν 1 4 ν } x 3 ν ν ν Dari persamaan di atas terlihat bahwa faktor ln r/r 0 telah menghilang dari persamaan dan didapatkan pernyataan E yang invarian terhadap kerangka sistem 3. Radiasi Gravitasi Sistem Bintang Ganda Kompak Pada subbab sebelumnya, telah diberikan persamaan gerak dan energi untuk orbit lingkaran 3.73, Namun persamaan yang diberikan baru dihitung sampai orde ke.5pn, sehingga persamaan tersebut perlu diekspansi sampai dengan orde 3.5PN untuk memberikan hasil yang lebih tepat dari gaya reaksi radiasi. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan formaslisme pada subbab 3. untuk menghitung reaksi radiasi L sebagai fluks energi total. Hubungan antara energi dan fluks total diberikan oleh persamaan kesetimbangan, de dt = L Dengan demikian, persamaan 3.78 belum memberikan solusi yang sepenuhnya dari permasalahan reaksi radiasi gravitasi. Sehingga, solusi lengkap yang perlu dicari adalah dengan menghitung laju penurunan de/dt atau total fluks L. Untuk menemukan L, maka terlebih dahulu harus dilakukan perhitungan momen multipol sumber I L dan J L dari sistem bintang ganda kompak, dan yang kedua adalah dengan pengaturan dan penentuan ekor gelombang gravitasi dan efek non-linear yang terjadi dalam hubungan antara momen sumber dan momen radiatif U L, V L dari sistem bintang ganda.

20 3.. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA KOMPAK Total Fluks yang Dibangkitkan oleh Momen Multipol Sumber Salah satu input yang paling penting untuk menghitung fluks total pada orde 3PN adalah momen kuadrupol massa I ij karena momen ini memberikan presisi sampai dengan 3PN. Momen kuadrupol untuk orbit lingkaran diberikan sebagai berikut [8]: I ij = µ Ax <ij> + B r3 1 Gm v <ij> G m ν 1 c x <i v j> + O r 1 c di mana x i = x i y1 i dan v i = v i v1 i. Suku ketiga dari persamaan 3.80 merupakan suku dengan orde.5pn dan tidak berpengaruh pada fluks energi. Koefisisen A dan B yang dinyatakan dalam parameter γ dari persamaan 3.77 sampai dengan orde 3PN diberikan oleh: A = 1 + γ ν + γ { +γ ln r 1 B = γ + r ν } 3364 ν3, ν ν ν [ ξ 88 3 κ 44 3 ln r 1 r 0 + γ ν + 9 +γ 3 { ln r ν ν3 378 ν [ ζ ] ν ] ν + r 0 } dimana, ξ, κ, ζ merupakan parameter regularisasi Hadamard yang diberikan sebagai berikut[6],[7], [5], [4]: ζ = 7/33 saat m 0 κ = ξ = 9871/940 Selain massa kuadrupol dari persamaan 3.80, 3.81, diperlukan juga momen oktopol I ijk dan momen kuadrupol arus J ij pada orde PN, momen 4 -pol massa I ijkl dan momen oktopol arus J ijk pada orde 1PN, momen 5 -pol massa I ijklm dan 4 -pol arus J ijkl pada orde Newtonian untuk menghitung bagian

21 3.. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA KOMPAK 40 instan dari fluks energi total, atau L inst. Momen massa dan arus diberikan sebagai berikut: I ijk = µ δm [ 139 m ˆx ijk 1 + γν + γ ν + 9 ] 110 ν +µ δm m x r [ <iv jk> c 1 + ν + γ ν 1 ] 1 55 ν + O c 5, J ij = µ δm m ε ab<ix j>a v b [ 1 + γ ν +γ ν + 1 ] ν + O c 5, 3 I ijkl = µˆx ijkl [1 3ν + γ ν + 69 ] ν µx r 1 1 <ijv kl> c 1 5ν + 5ν + O c 3, J ijk = µε ab<i x jk>a v b [1 3ν + γ ν + 13 ] 18 ν µ1 5ν + r 5ν 1 ε ab<i x jk>b x a c I ijklm = µ δm m 1 + νˆx ijklm + O 1 c J ijkl = µ δm m 1 + νε ab<ix j>a v b + O, 1 c. + O 1 c 3 Fluks instan dapat diturunkan dengan mensubtitusi suku U L dan V L ke dalam pernyataan umum fluks L yang diberikan oleh persamaan Dengan mengganti suku U L dan V L dengan momen U L dan V L yang berhubungan dengan momen multipol sumber U L dan V L melalui persamaan 3.63 dan 3.64, diperoleh L inst = G c 5 { 1 5 M 3 ij M 3 ij + 1 c [ M 4 ijk M 4 ijk [ 1 c M 5 [ 1 c 6 ijkm M 5 ijkm S4 ijk S4 ijk ] S3 ij S3 ij M 6 ijkmn M 6 ijkmn S5 ijkm S5 ijkm ] ] } 1 + O c Dengan memasukkan persamaan 3.80, 3.81, dan 3.83 ke dalam per-

22 3.. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA KOMPAK 41 samaan 3.84, maka diperoleh { L inst = 3c5 5G ν γ [ ln + + O c ν r1 r γ ν γ r1 ν 383 ] 9 ν γ π ln r 0 } Kontribusi Ekor Gelombang Gravitasi Terhadap Total Fluks Energi Selain bagian instan dari fluks, terdapat juga kontribusi dari interaksi momen multipol non-linear yang terkandung di dalam hubungan antara momen sumber dan radiatif. Sehingga momen multipol total merupakan penjumlahan antara fluks yang dibangkitkan oleh momen multipol sumber, momen sumber, dan momen multipol radiatif. Dengan demikian, maka fluks energi total dapat dijabarkan sebagai L = L inst + L tail + L tail + L tailtail 3.86 dimana, L inst merupakan total fluks yang dibangkitkan oleh sumber seperti yang dijabarkan pada persamaan L tail mengandung informasi tentang semua suku yang merupakan cross product dari momen M L dan S L dan juga integral ekor kuadratik yang berhubungan pada orde 1.5PN L tail merupakan kuadrat dari ekor kuadrupol orde 1.5PN pada persamaan Secara fisis, L tail menyatakan fluks energi yang disebabkan oleh bagian ekor dari gelombang, pada situasi dimana ekor gelombang dapat dipisahkan dari komponen medan lainnya. L tailtail merupakan ekor kuadrupol dari ekor pada persamaan 3.65 dan mengandung cross product dari momen kuadrupol dan integral ekor dari ekor pada orde 3PN. Dengan menggunakan formulasi pada bagian 3..1 untuk momen sumber, persamaan 3.67, 3.65 tereduksi menjadi kasus orbit lingkaran. Total massa yang terdapat di depan integral ekor merupakan massa ADM dari bintang ganda yang diberikan oleh penjumlahan kedua massa m = m 1 + m ditambah

23 3.. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA KOMPAK 4 dengan koreksi relativistik. Pada orde PN dimana integral ekor perlu dihitung, didapatkan [ M = m 1 ν γ + ν ] νγ + O c Dengan menggunakan integral dτ ln τe στ = 1 C + ln σ, σ dτ ln τe στ = 1 [ π ] C + ln σ σ dimana, C = menyatakan konstanta Euler dan σ C. Karena integral ekor ini tereduksi menjadi persamaan gerak melingkar, maka diperoleh suku ekor kuadratik, kontribusi 1.5PN,.5PN, dan 3.5PN sebagai berikut: { L tail = 3c5 5G ν γ 5 4πγ 3/ + Karena L tail ν πγ 7/ + O c 8 8 ν 9005 πγ 5/ ν } dan L tailtail berkontribusi pada fluks energi pada orde 3PN yang sama, maka kontribusi "tail " dapat diperlakukan dalam indeks bawah yang sama dengan kontribusi "tailtail". Sehingga, penjumlahan dari "ekor kuadrat" dan "ekor dari ekor" diberikan sebagai berikut: { L tail +tailtail = 3c5 5G ν γ π C ln } ln16γ γ 3 + O 1 c 8 r1 r Dengan membandingkan persamaan 3.90 dengan persamaan 3.85 maka dengan jelas terlihat bahwa konstanta r 0 akan saling menghilangkan. Penjumlahan persamaan 3.85, 3.89, dan 3.90 memberikan { L = 3c5 5G ν γ ν γ + 4πγ 3/ ν γ [ ν πγ 5/ π C ln16γ ln r1 r π ν 383 ] 9 ν γ ν } ν πγ 7/ + O c

24 3.. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA KOMPAK 43 Persamaan 3.91 masih dinyatakan dalam parameter post-newtonian γ dan dengan demikian tidak invarian terhadap kerangka sistem. Karena itu persamaan 3.91 perlu dinyatakan dalam parameter yang bergantung pada frekuensi x. Subtitusikan persamaan 3.77 ke dalam persamaan 3.91 menghasilkan { L = 3c5 5G ν γ ν ν πx 5/ [ π C ln16x π ν ν 775 ] 34 ν ν ν πx 7/ + O 3..3 Evolusi Fase Orbit x + 4πx 3/ ν ν x x 3 } 1 c Pada bagian ini, akan diturunkan pernyataan parameter x sebagai fungsi turunan waktu dengan menggunakan persamaan 3.9, 3.78, dan menggunakan variabel waktu yang tidak berdimensi, Θ νc3 5Gm t c t, 3.93 dimana, t c menyatakan waktu tumbukan antara kedua bintang di dalam sistem bintang ganda kompak. Dengan mentransformasikan persamaan 3.80 sebagai persamaan diferensial biasa untuk parameter x, yang kemudian diintegrasikan untuk menghasilkan x = {1 4 Θ 1/ [ ν πθ 5/8 190 ν π C 107 Θ 3360 ln π ν ν ] ν3 Θ 3/ ν ν πθ 7/8 + O Θ 1/ πθ 3/ ν ν Θ 1/ } 1 c 8 Kecepatan frekuensi orbit ω dan periode orbit P b dapat diturunkan dari per- 3.94

25 3.. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA KOMPAK 44 samaan 3.94 dan 3.76 sebagai dan ω = c3 x 3/ Gm, 3.95 P b = π ω Fase orbit, yang dinotasikan sebagai sudut φ, berorientasi pada gerak antara separasi kedua bintang dan dalam arah dari node ascending N pada bidang langit, yang disebut sebagai titik pada orbit di mana benda melintasi bidang langit bergerak menuju detektor. Karena dφ dt persamaan 3.94, 3.93, dan 3.95, maka diperoleh φ = {1 ν Θ5/ ν = ω, maka dengan memanfaatkan Θ 1/ πθ 3/8 + Θ ν πθ 5/8 ln Θ 0 [ π C Θ 448 ln π ν ν ] ν ν ν πθ 7/8 + O c ν ν Θ 3/4 Θ 1/ } Polarisasi Gelombang Gravitasi Definisikan suatu triad ortonormal, dimana P dan Q adalah vektor unit polarisasi transvers terhadap arah propagasi. Polarisasi gelombang dihitung dari persamaan 3.38 dan didefinisikan sebagai[1] h + = 1 P ip j Q i Q j h ij T T, 3.98 h = 1 P iq j + P j Q i h ij T T Jika bidang orbit dipilih sebagai bidang x-y dengan fase orbital φ mengukur arah dari unit vektor n = x/r sepanjang vektor separasi relatif, maka n = cos φˆx + sin φŷ

26 3.. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA KOMPAK 45 Misalkan dipilih vektor polarisasi P yang terletak di sepanjang sumbu-x dan pengamat berada pada sumbu y-z dengan N = sin iŷ + cos iẑ, dimana i adalah sudut inklinasi orbit 0 i π. Dengan definisi ini, maka P terletak di sepanjang titik potong bidang orbit dengan bidang langit dalam arah ascending node, dan fase orbital φ merupakan sudut antara ascending node dengan arah dari, misalkan, bintang pertama. Triad ortonormal n, λ, ẑ yang berotasi mengandung informasi tentang gerak sistem bintang ganda kemudian dihubungkan dengna triad polarisasi N, P, Q n = cos φp + sin φcos iq + sin in, λ = sin φp + cos φcos iq + sin in, ẑ = cos iq + sin in Persamaan 3.80 kemudian diturunkan dua kali terhadap t dan disubtitusikan ke dalam persamaan 3.38 dan polarisasi dalam arah +, dihitung, sehingga diperoleh h +, = G c 4 R P i P j Q i Q j P i Q j +P j Q i Ï ij Sehingga persamaan post-newtonian dalam parameter x pers. 3.76untuk polarisasi gelombang sampai dengan orde.5pn, dapat dituliskan sebagai berikut h +, = Gνmx c R { H 0 +, + x1/ H 1/ +, + xh1 +, + x3/ H 3/ +, + x H +, } +x 5/ H 5/ 1 +, + O c Suku post-newtonian bergantung pada fase sistem bintang ganda sampai dengan orde 3.5PN melalui variabel fase ψ = φ GMω c 3 ω ln, ω 0 dimana, M = m[1 νγ/ + O 1/c 4 adalah massa ADM, dan ω 0 adalah konstanta frekuensi yang dapat dipilih sebagai frekuensi input dari detektor laser

27 3.. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA KOMPAK 46 interferometer misalkan ω 0 /π = 10Hz. Untuk polarisasi + diperoleh, H 0 + = 1 + cos i cos ψ, H 1/ + = sin i δm [ 5 + cos i cos ψ 91 + cos i cos 3ψ ], m H 1 + = 1 [ cos i cos 4 i ν19 11 cos i 6 cos 4 i ] cos ψ sin i1 + cos i1 3ν cos 4ψ, = sin i δm { [ cos i cos 4 i ν49 1 cos i cos 4 i] cos ψ 19 m 7 [ cos i 9 cos 4 i ν5 8 cos i 9 cos 4 i] cos 3ψ + 65 } 1 ν sin i1 + cos i cos 5ψ π1 + cos i cos ψ3.109 H 3/ H + = 1 [ cos i cos 4 i 5 cos 6 i ν cos i 51 cos 4 i + 15 cos 6 i 5ν cos i + 7 cos 4 i + 5 cos 6 i ] cos ψ [ 15 sin i cos i 8 cos 4 i 5 3 ν cos i 4 cos 4 i +5ν 1 3 cos i 8 cos 4 i ] cos 4ψ ν 5ν sin 4 i1 + cos i cos 6ψ sin i δm { [ cos i cos i ln ] sin ψ 5π5 cos i cos ψ 40 m 7[7 10 ln3/]1 + cos i sin 3ψ + 135π1 + cos i cos 3ψ } 3.110

28 3.. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA KOMPAK 47 H 5/ + = sin i δm m cos ψ [ ν +π cos ψ cos i cos4 i cos6 i cos i cos4 i ν cos i cos4 i 1 [ cos i 3 cos4 i + ν ] 307 cos6 i cos i + cos 4 i + sin i δm [ 3537 m cos 3ψ cos i cos4 i cos6 i +ν cos i cos4 i cos6 i 917 +ν cos i cos4 i ] 510 cos6 i [ + cos 4ψ 16 ] cos i sin i1 3ν + sin i δm [ m cos 5ψ cos i cos4 i cos6 i 815 +ν cos i cos4 i cos6 i +ν cos i cos4 i 1565 ] 307 cos6 i + δm [ ] m cos 7ψ sin5 i1 + cos i1 4ν + 3ν [ + sin ψ cos i cos4 i + ν cos i 8 ] 5 cos4 i + sin i1 + cos i sin 4ψ [ ln 3 Sedangkan untuk polarisasi dalam arah, diperoleh ] ] ν ln, H 0 = cos i sin ψ, 3.11 H 1/ = 3 4 sin i cos iδm [sin ψ 3 sin 3ψ], m H 1 = cos3 i [ 17 4 cos i ν13 1 cos i ] sin ψ sin i cos i1 3ν sin 4ψ, 3.114

29 3.. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA KOMPAK 48 H 3/ = sin i cos i δm { [63 5 cos i ν3 5 cos i] sin ψ 96 m 7 [ cos i ν19 15 cos i] sin ψ + 65 } sin i1 ν sin 5ψ 4π cos i sin ψ, H = cos i [ cos i 15 cos 4 i ν cos i +45 cos 4 i 5ν cos i + 15 cos 4 i ] sin ψ 4 [ 15 cos i sin i 55 1 cos i 5 3 ν cos i +5ν 17 1 cos i 8 cos 4 i ] sin 4ψ ν + 5ν cos i sin 4 i sin 6ψ 3 0 sin i cos iδm m {[ ln ] cos ψ + 5π sin ψ 9[7 10 ln3/] cos 3ψ 45π sin 3ψ}, 3.116

30 3.. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA KOMPAK 49 H 5/ = 6 5 sin i cos i ν + sin i cos i δm m sin ψ [ 913 +ν cos i cos4 i cos i cos4 i +ν π cos i sin ψ cos i 7 ] 1536 cos4 i [ cos i ν cos i + sin i cos i δm [ 1501 m sin 3ψ cos i cos4 i +ν cos i cos4 i ν cos i ] 560 cos4 i [ + sin i cos i sin 4ψ 3π ] 1 3ν + sin i cos i δm [ m sin 5ψ cos i cos4 i ν cos i cos4 i +ν cos i 1875 ] 1536 cos4 i + δm [ ] m sin5 i cos i sin 7ψ ν + 3ν [ + cos ψ 5 cos i + ν ] 5 cos i [ + sin i cos i cos 4ψ 11 ] 64 ln + + ν ln, ]