KONSTRUKSI HUKUM GRUP KURVA ELIPTIK ATAS IBRAHIM AMIN G

Transkripsi

1 KONSTRUKSI HUKUM GRUP KURVA ELIPTIK ATAS IBRAHIM AMIN G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2010

2 ABSTRACT IBRAHIM AMIN. Construction of Group Laws on Elliptic Curves Upon SUGI GURITMAN NUR ALIATININGTYAS. Elliptic curves upon. Supervised by can be divided in two cases, i.e. supersingular and non- supersingular case. Based on group laws on elliptic curves, a new arithmetic upon can be formulated as an addition process of two random points on the curve. This addition process can then be applied to the ElGamal algorithm. Key words : Elliptic curves, algorithm., supersingular, non-supersingular, group laws, ElGamal

3 ABSTRAK IBRAHIM AMIN. Konstruksi Hukum Grup Kurva Eliptik Atas GURITMAN NUR ALIATININGTYAS. Kurva eliptik atas. Dibimbing oleh SUGI dibagi menjadi dua kasus yaitu supersingular non- supersingular. Berdasarkan hukum grup kurva eliptik didapatkan aritmatik baru dari kurva eliptik atas berupa proses adisi pada dua titik acak pada kurva baik pada untuk titik yang sama maupun berbeda. Kemudian dari proses adisi tersebut diaplikasikan pada algoritme ElGamal. Kata Kunci : Kurva eliptik, ElGamal., supersingular, non-supersingular, hukum grup, algoritme

4 KONSTRUKSI HUKUM GRUP KURVA ELIPTIK ATAS Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Oleh : IBRAHIM AMIN G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2010

5 Judul : Konstruksi Hukum Grup Atas Nama : Ibrahim Amin NRP : G Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Dr. Drs. Sugi Guritman, MS NIP Dra. Nur Aliatiningtyas, MS NIP Mengetahui, Ketua Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor Dr. Berlian Setyawati, MS NIP Tanggal Lulus :

6 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tenggarong, Kutai Kartanegara, Kalimantan Timur pada tanggal 17 april 1986 dari pasangan Hadi Haryanto Ema Sahani. Penulis merupakan putra pertama dari lima bersaudara. Penulis menyelesaikan masa studinya di SD Muhammadiyah Kota Tenggarong Kabupaten Kutai Kartanegara, kemudian melanjutkan ke Madrasah Tsanawiyah PPKP(Pondok Pesantren Karya Pembangunan Ribathul Khail Kota Tenggarong Kabupaten Kutai Kartanegara selama tiga tahun, kemudian melanjutkan kembali ke Madrasah Aliyah PPKP(Pondok Pesantren Karya Pembangunan Ribathul Khail Kota Tenggarong Kabupaten Kutai Kartanegara selama tiga tahun. Penulis lulus dari Madrasah Aliyah PPKP(Pondok Pesantren Karya Pembangunan Ribathul Khail pada tahun 2004 pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan sarjana strata satu di Departemen Matematika Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA Institut Pertanian Bogor (IPB melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah (BUD. Selama masa perkuliahan berjalan, penulis pernah mengikuti berbagai pelatihan diantaranya pembelajaran Corel Draw untuk mahasiswa Tingkat Persiapan Bersama (TPB IPB. Penulis juga aktif dalam organisasi kemahasiswaan sebagai anggota departemen Keilmuan Gugusan Mahasiswa Matematika (GUMATIKA IPB tahun 2005/2006,sekretaris umum Dewan Perwakilan Mahasiswa(DPM 2006/2007, anggota divisi keilmuan SERUM-G IPB tahun 2007/2008. Penulis juga tergabung dalam organisasi mahasiswa daerah (OMDA yaitu Forum Mahasiswa Beasiswa Utusan Daerah Kutai Kartanegara (FMBUD KUKAR IPB diantaranya menjadi anggota divisi PSDM pada tahun Selain itu penulis pernah mengikuti berbagai kegiatan seminarseminar di dalam kampus baik yang berupa ilmu pengetahuan umum maupun religi, diantaranya penulis berlaku sebagai panitia dalam pesta Sains di IPB pada tahun 2007.

7 KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah penulis ucapkan kepada Allah SWT yang ilmunya maha luas nikmatnya yang tak terbalas yang dengan izinnya pula lah penulis mampu menyelesaikan skripsi yang merupakan salah satu syarat kelulusan penulis agar penulis dapat lulus dari Departemen Matematika IPB. Dalam penyelesaian skripsi ini, penulis banyak dibantu oleh berbagai pihak. Terima kasih penulis sampaikan kepada kedua orangtua beserta saudara-saudara penulis yang telah memberikan bantuan berupa do a, moril materil. Tak lupa ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada bapak Sugi Guritman ibu Nur Aliatiningtyas sebagai pembimbing tugas akhir yang sangat semangat dalam membimbing penulis. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada seluruh staf Departemen Matematika IPB yang juga berperan dalam penyelesaian tugas akhir ini. Rekan-rekan seperjuangan di Forum Mahasiswa Beasiswa Utusan Daerah Kutai Kartanegara (FMBUD KUKAR IPB. Sahabat-sahabat BBB(Slamet Riyadi, Ecka S, Syahrul Anwar, Nur Azizah, Desi Dwi, Rizki S N DOTA(Deny Irawan, Hery Mulyono, M Izzudin, Tb Gamma, Adung Surya P, Haryanto, dll yang selalu mendukung menyemangati penulis. Teman-teman di Matematika 41 terutama Rangga Nakasumi, Mahar M, Ika yang lainnya yang insya Allah setia selalu menemani menghibur penulis sehingga penulis menjadi semangat luar biasa. Irsyad Ramli rekan sepenelitian yang selalu membantu dalam pembuatan program. Dan juga teman-teman penulis yang lain yang tidak dapat dituliskan satu per satu karena sangat banyak. Demikian skripsi ini penulis buat, semoga dapat bermanfaat untuk kita semua terutama untuk perkembangan teknologi di Indonesia. Kritik saran yang membangun sangat penulis harapkan untuk kemajuan teknologi mengenai aplikasi agar dapat lebih berkembang lagi. Semoga Allah SWT senantiasa melimpahkan rahmat karunianya untuk kita semua. Amiin. Bogor, September 2010 Ibrahim Amin

8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI... vii DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN... 1 Latar Belakang... 1 Tujuan... 1 LANDASAN TEORI... 1 Grup... 1 Grup Siklik... 1 Ring... 2 Lapangan... 2 Pengenalan Kurva Eliptik... 2 Penyederhanaan Persamaan Weierstrass... 3 Hukum Grup Kurva Eliptik... 3 Algoritme ElGamal... 4 PEMBAHASAN... 5 Aritmatik Kurva Eliptik... 5 Penyandian Kunci Publik ElGamal Digeneralisasi... 7 Konversi Algoritme ElGamal Modulo p Kedalam Kurva Eliptik ElGamal... 7 Algoritme Enkripsi Deskripsi Kurva Eliptik ElGamal... 8 Program Enkripsi Dekripsi Kurva Eliptik ElGamal... 8 KESIMPULAN DAN SARAN... 9 Kesimpulan... 9 Saran... 9 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN vii

9 DAFTAR GAMBAR Adisi... 3 Adisi... 4 Sifat asosiatif: (P Q R... 4 Sifat asosiatif: P (Q R... 4 DAFTAR LAMPIRAN 1 Program Aritmatik Program Aritmatik Kurva Eliptik Atas Program Kurva Eliptik ElGamal Atas viii

10 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Keamanan informasi (information security merupakan bagian yang sangat penting dari sebuah sistem dalam sebuah jaringan komputer terutama yang terhubung dengan internet. Suatu sistem yang mempermudah memanjakan pengguna tidak akan berguna tanpa didukung dengan sistem keamanan yang tinggi. Oleh karena itu, informasi atau data rahasia yang akan dikirim harus disandikan agar tidak dapat dibaca oleh orang lain yang tidak berkepentingan. Untuk mengamankan informasi rahasia tersebut diperlukan suatu teknik pengamanan yakni teknik kriptografi. Kriptografi adalah studi teknik matematika yang berhubungan dengan aspek keamanan informasi seperti kerahasiaan, integritas data, otentikasi entitas, otentikasi data asli (Menezes, Algoritme kriptografi adalah suatu fungsi matematika yang digunakan untuk enkripsi (menyandi dekripsi (membuka sandi (Schneier, Salah satu teknik dalam mengamankan suatu informasi atau data rahasia adalah dengan menggunakan algoritme ElGamal. Algoritme ini sebenarnya bekerja dalam grup ℤ, tetapi algoritme ElGamal bisa dikonversi kedalam himpunan yang mempunyai grup siklik. Salah satu himpunan tersebut adalah grup siklik dari kurva eliptik. 1.2 Tujuan Tujuan dari penulisan ini adalah untuk menemukan aritmatik baru dalam kurva eliptik atas mensimulasikannya dalam algoritme ElGamal kurva eliptik. II LANDASAN TEORI 2.1 Grup Definisi Diberikan sebarang himpunan tak kosong G operasi biner pada G. Himpunan G disebut grup terhadap operasi jika memenuhi : a. Operasi biner pada G bersifat asosiatif. ( (,, G, b. Terdapat elemen identitas G untuk pada G sehingga berlaku :, G c. Untuk setiap G terdapat elemen invers, yaitu G sehingga berlaku. (Fraleigh Grup Siklik Definisi Misalkan G grup G n bilangan bulat positif, maka :, (sebanyak n kali a. b., (sebanyak n kali.. c. (Aliatiningtyas 2002 Teorema Jika G suatu grup a G, maka untuk setiap bilangan bulat m n berlaku hukum eksponen : a. b. ( c. ( ( (Guritman 2004 Definisi Misalkan G grup a G. Order dari a (dinotasikan o(a didefinisikan sebagai bilangan bulat, jika positif terkecil m sehingga bilangan tersebut ada. Jika tidak terdapat bilangan m yang demikian, maka order dari a adalah tak hingga atau nol. (Aliatiningtyas 2002 Definisi Misalkan G grup. Jika ada G ( disebut generator elemen sehingga G< > { ℤ} maka G disebut grup siklik (cyclic group. Jika G berhingga berorder m, maka dapat ditunjukkan < > { < > {,,, }. m, ℤ} dapat Jika G adalah grup aditif, maka dapat dituliskan jika berorder ditunjukkan < > {, maka, (,, } (Guritman 2004

11 2 2.3 Ring Definisi Himpunan R dengan operasi penjumlahan operasi perkalian disebut ring jika memenuhi aksioma-aksioma berikut. a. <R,> grup komutatif. b. Operasi perkalian bersifat asosiatif. c. Hukum distributif kiri berlaku,, (, d. Hukum distributif kanan berlaku,, (, Elemen identitas terhadap dinotasikan dengan 0 disebut elemen nol. Selanjutnya, a. Jika operasi perkalian bersifat komutatif,,, maka R disebut ring komutatif. b. Jika ada elemen identitas di bawah operasi perkalian (elemen ini disebut unsur kesatuan, dinotasikan dengan 1 disingkat dengan unkes,, 1, 1 1 maka R disebut ring dengan unkes. (Aliatiningtyas Lapangan (Field Definisi Suatu ring yang komutatif, ada unkes setiap elemen tak nolnya mempunyai invers (perkalian disebut lapangan (field. (Aliatiningtyas 2002 Berdasarkan definisi diatas dapat ditunjukkan sebagai berikut. tak Suatu lapangan adalah himpunan kosong yang dilengkapi dengan dua operasi biner yaitu operasi penjumlahan operasi multiplikasi yang memenuhi a. <, >merupakan grup abelian dengan elemen identitas (penjumlahan 0. b. <, > dimana {0}merupakan grup abelian dengan elemen identitas (multiplikasi 1. c. Untuk setiap a,b,c berlaku sifat distributif, yaitu ( ( Salah satu contoh field adalah. adalah himpunan Dalam teori matematis semua polinomial-polinomial berderajat 1yang dinyatakan secara paling banyak { 0 1 unik sebagai 1 ℤ }. Operasi dalam meliputi 1 3 operasi penjumlahan perkalian. Operasi penjumlahan didefinisikan sebagai penjumlahan antar pasangan elemen dimodulokan dengan 3. Untuk operasi perkalian didefinisikan sebagai perkalian polinomial modulo (, yaitu mengambil ( ( setelah sisa dari perkalian dengan dibagi dengan (.Himpunan definisi operasi diatas merupakan field. Representasi lain adalah field yang elemen-elemennya merupakan vektor dari ℤ yang dapat dinyatakan sebagai ] ℤ }, yang akan {[,,, digunakan untuk konstruksi program kurva eliptik. Contoh operasi penjumlahan adalah berikut. perkalian dalam 1. Operasi Penjumlahan Operasi Perkalian (1 2 2 ( (2 2 ( 2 1 (Ilham 2009 Operasi penjumlahan perkalian akan digunakan dalam program kurva eliptik atas. 2.5 Pengenalan Kurva Eliptik Definisi Suatu kurva eliptik atas field didefinisikan sebagai kurva dengan persamaan.(1,,,, Δ 0 dimana merupakan diskriminan dari yang di definisikan sebagai berikut: Δ Persamaan (1 disebut dengan persamaan Weierstrass kurva eliptik dinotasikan (.

12 3 ( {(, (Hankerson et al 76, Penyederhanaan Persamaan Weierstrass Definisi Dua kurva eliptik atas field dikatakan isomorfik atas jika ada u, r, s,t, u 0 sehingga pengubahan variabel (, (, mentransformasikan. Transformasi yang demikian disebut pengubahan variabel sah. Terkait dengan kriptografi, kurva eliptik dikenakan atas field berhingga dimana p prima. Berdasarkan Definisi 2.5.1, berikut ini diberikan 3 kelompok besar kurva eliptik yang dibedakan atas field dasar. 1. Jika 2 3, maka pengubahan variabel sah dinyatakan (, (, Mentransformasikan menjadi dimana, diskriminan kurva Δ 16( Jika 2, maka diperhatikan 2 kasus: Jika 0, maka pengubahan variable sah dinyatakan (, (, dimana,, diskriminan kurva Δ. Kurva dalam kelompok ini disebut supersingular kasus biner. 0} { } Mentransformasikan menjadi dimana, diskriminan Δ. Kurva dalam kurva nonkelompok ini disebut supersingular kasus biner. Jika 0, maka pengubahan variable sah dinyatakan (, (, Mentransformasikan menjadi 3. Jika 3, maka diperhatikan 2 kasus: Jika, maka pengubahan variable sah dinyatakan (, (, dimana mentransformasikan menjadi dimana, diskriminan. Kurva dalam kurva Δ nonkelompok ini disebut supersingular kasus terner. Jika, maka pengubahan variable sah dinyatakan (, (, mentransformasikan menjadi dimana,, diskriminan kurva Δ. Kurva dalam kelompok ini disebut supersingular kasus terner. (Hankerson et al 78, Hukum Grup Kurva Eliptik Misalkan E adalah kurva eliptik yang didefinisikan atas. Dengan mengambil ℝ, misal E diambil dua titik yang berbeda (,, (,. Maka garis memotong kurva dititik ketiga (, kemudian diperoleh titik (,. Titik ini merupakan hasil dari pencerminan titik R terhadap sumbu x. Proses ini disebut dengan proses adisi titik. Adisi titik dari P Q dinotasikan (, Gambar 1. Adisi Jika sejajar dengan sumbu-y, maka titik yang ketiga didefinisikan sebagai titik di tak-hingga, notasi, sehingga

13 4 Jika, maka kondisi ini disebut Adisi Titik yang sama disebut pendobelan (doubling. Dinotasikan Gambar 2. Doubling Jika diambil titik, akan dibuktikan memenuhi sifat asosiatif. Dalam hal ini akan dilakukan sebanyak dua tahap. Tahap pertama menyelesaikan operasi sisi sebelah kiri yaitu kerjakan. Seperti terlihat pada gambar 3,. Demikian pula dengan tahap kedua yaitu menyelesaikan operasi sisi sebelah kanan yang sama seperti pada tahap pertama, beya yang dilakukan pertama kali adalah. Hasil tahapan ini dapat dilihat pada gambar 4. Dari uraian diatas, operasi adisi titik pada himpunan semua titik pada kurva titik di tak-hingga dibawah operasi penjumlahan merupakan struktur grup yang disebut juga dengan grup kurva eliptik. Dalam hal ini, adalah elemen identitas. Untuk setiap R pada E, negatif dari R yang dinotasikan dengan merupakan titik pada E yang merupakan hasil pencerminan dari R terhadap sumbu- cukup x. Operasi grup kurva eliptik mudah diilustrasikan secara geometri ketika E didefinisikan atas bilangan real seperti gambar di atas. Akan tetapi, jika E didefinisikan terhadap field berhingga dimana p adalah karakteristik prima, maka secara geometri akan tersamarkan sulit dibayangkan. Oleh sebab itu, yang hanya bisa dilakukan adalah dengan pendekatan aksiomatik (aljabar. Segkan metodenya disebut dengan aritmetik kurva eliptik. (Hankerson et al 79, 2004 Gambar 3. Sifat asosiatif: Kemudian tambahkan titik R yang diperoleh dengan titik T dengan menghubungkan kedua titik tersebut akan diperoleh perpotongan dengan kurva eliptik tepat disatu titik, sebut S. Titik S direfleksikan dengan sumbu x diperoleh titik S yang merupakan hasil terakhir dari penjumlahan. Gambar 4. Sifat asosiatif: : 2.8 Algoritme ElGamal Algoritme penyandiann ElGamal merupakan salah satu jenis kriptografi kunci publik. Algoritme ini aritmatiknya berbasis intejer grup siklikk pada grup multiplikatif. Ada tiga algoritma untuk penyandian kunci Publik ElGamal. Algoritma 1 untuk pembangkitan kunci, Algoritma 2 untuk enkripsi kunci publik, Algoritma 3 untuk dekripsi. Misalkan A mengirimkan pesan kepada B. Pesan tersebut ingin disandikan. Maka yang akan dilakukan adalah 1. Pembangkitan Kunci B membuat sebuah kunci publik kunci pribadi. Hal yang dilakukan adalah a. Dengan prima acak yang besar, kemudian dilakukan pembangkitan generator dari grup dengan intejer- intejer modulo p. b. Memilih suatu intejer acak a, dengan c. Menghitung

14 5 d. Kunci publik B adalah (,, kunci pribadi B adalah a. Dalam algoritme pembangkitan kunci pada penyandian kunci public ElGamal, dijelaskan membangkitkan suatu bilangan prima p yang besar generator dari grup. 2. Enkripsi A menyandikan atau me-enkripsi sebuah pesan t ke B. Langkah-langkah yang harus dilakukan oleh A adalah a. Memperoleh kunci publik otentik (,,. b. Merepresentasikan pesan tersebut sebagai suatu intejer t pada interval [0, ]. c. Memilih intejer acak k, dimana. d. Menghitung mod mod. e. Mengirim siferteks (, ke B. 3. Dekripsi Untuk menemukan kembali m dari c, B harus melakukan hal-hal berikut a. Menggunakan kunci pribadi a untuk mod. Dengan menghitung catatan. b. Menemukan kembali t dengan menghitung mod. (Menezes et al 295, 1996 III PEMBAHASAN 3.1 Aritmatik Kurva Eliptik Dalam skripsi ini akan ditunjukkan dari aritmatik kurva eliptik dalam hukum grup yang diberikan pada subbab 2.7. Hukum grup kurva non-supersingular eliptik Persamaan kurva eliptik atas supersingular dengan a,b (2 Dimisalkan himpunan ( {(, } { } atas (3 (4 (5 Di lain pihak, berdasarkan definisi adisi,, titik secara geometri, maka (, adalah segaris. Jika gradiennya dimisalkan dengan, maka diperoleh persamaan non- 0. Penjelasan hukum grup pada ( non-supersingular. 1. Dalam persamaan (2 dilakukan penyederhanaan dengan mengambil 0,maka (0,0 dijamin tidak terletak pada kurva sehingga bisa digunakan untuk merepresentasikan titik di takhingga (0,0. Akibatnya,, (, ( berlaku ( 0, 0 (, 2. Terkait dengan representasi (0,0, (,, (, berlaku ( (0,0 3. Pembuktian (, untuk.perhatikan bahwa,,(, adalah tiga titik pada, maka berlaku tiga persamaan ( (6 kemudian dari persamaan (3, (5 (6 diperoleh ( ( ( ( (7 dari analogi persamaan (7 juga didapat ( ( ( ( ( (8 dari persamaan (7 (8 didapat ( ( ( (9 dari persamaan (6 (9 didapat didapat (

15 6 4. Pembuktian (,, (, terletak pada E, maka (10 (11 Di lain pihak, berdasarkan definisi adisi titik secara geometri, maka garis dari P ke titik (, merupakan garis singgung kurva di titik P. jika gradiennya dimisalkan dengan, maka 3 (, 2 ( 2 (,,, ( (,, (12 dari persamaaan (10, (11 (12 diperoleh ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Dari uraian diatas diperoleh aritmatik sebagai berikut. 1. Titik di tak hingga yang diambil (0,0., (, 2. ( (,,, 3. (, dengan ± ( dimana, i1,2, (, ( dimana, i1,2,3. Berdasarkan aritmatik diatas ( merupakan grup dengan elemen identitas (0,0 elemen invers (,....(13 dengan a, b dimisalkan himpunan {(, ( ( Hukum grup kurva eliptik supersingular Persamaan kurva eliptik atas supersingular atas 0, } { } Penjelasan hukum grup pada ( supersingular. 1. Dalam persamaan (13 dilakukan penyederhanaan dengan mengambil 0, maka (0,0 dijamin tidak terletak pada kurva sehingga bisa digunakan untuk merepresentasikan titik di takhingga (0,0.Akibatnya, (, (,, berlaku ( 0, 0 (, 2. Terkait dengan representasi (0,0, ( untuk setiap berlaku (,,, ( (0,0 3. Pembuktiaan (, untuk.perhatikan bahwa,,(, adalah tiga titik pada, maka berlaku tiga persamaan (14 (15 (16 di lain pihak, berdasarkan definisi adisi,, titik secara geometri, maka (, adalah segaris.jika gradiennya dimisalkan dengan, maka diperoleh persamaan (17 kemudian dari persamaan (14, (16 (17 diperoleh ( ( ( ( ( (18 dari analogi persamaan (18 didapat ( ( (19

16 7 dari persamaan (18 (19 didapat ( ( (20 dari persamaan (17 (20 didapat didapat ( 4. Pembuktian (,, (, terletak pada E, maka (21 (22 di lain pihak, berdasarkan definisi adisi titik secara geometri, maka garis dari P ke titik (, merupakan garis singgung kurva di titik P. jika gradiennya dimisalkan dengan, maka ( ( (, (, (, (,,, (23 dari persamaaan (21, (22 (23 diperoleh ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Dari uraian di atas diperoleh aritmatik sebagai berikut. ( 1. Titik di tak-hingga merupakan unsur identitas (, merupakan titik acak pada kurva. ( 0, 0 (,, (, 3 2. Dengan representasi (0,0 (,. ( (0,0,, 3. Untuk setiap (,, (, dengan ( ± maka (, ( dimana i1,2,3.., 4. Untuk setiap (, (, berlaku (, ( dimana, i1,2, Penyandian Kunci Publik ElGamal Digeneralisasi Setelah kita menemukan aritmatik baru, saatnya mensimulasikan aritmatik tersebut kedalam algoritme ElGamal kurva eliptik. Algoritme tersebut dijelaskan bekerja dalam grup multiplikatif dapat digeneralisasi dengan mudah untuk bekerja dalam grup siklik berhingga G. Seperti halnya dengan penyandian ElGamal, keamanan dari algoritme penyandian ElGamal digeneralisasi didasarkan pada kekuatan MLD(Masalah Logaritma Diskret di grup G. Grup G harus dipilih secara cermat untuk memenuhi dua kondisi berkut ini: 1. Untuk efisiensi, operasi grup pada G harus relative mudah diaplikasikan. 2. Untuk keamanan, MLD pada G harus menjadi tidak layak/mungkin secara komputasional. Salah satu grup yang memenuhi dua kondisi di atas adalah grup dari titik kurva eliptik atas lapangan berhingga. 3.3 Konversi Algoritme ElGamal Modulo p Kedalam Kurva Eliptik ElGamal Dalam bagian ini hanya di ambil dua proses dalam ElGamal modulo P yaitu pembangkitan kunci enkripsi segkan untuk proses dekripsi akan sama penjelasannya. Pembangkitan kunci dalam ElGamal modulo p dimulai dengan pengambilan integer positif acak a yang merupakan generator dari ℤ kemudian didapat kunci publik (,. Segkan kurva eliptik merupakan grup yang terdefinisi dalam operasi penjumlahan sehingga dalam definisi kita bisa tulis (sebanyak a kali jadi untuk kurva eliptik dalam pembangkitan untuk kunci kita dapatkan (,

17 8 Algoritma Dekripsi Kurva ElGamal Input : Parameter domain (3, kunci pribadi, siferteks (,. Output : pesan. merupakan integer positif acak merupakan titik acak pada kurva eliptik. Selanjutnya untuk proses enkripsi dalam modulo p kita membuat pesan chipherteks [, ( ], t merupakan pesan yang akan dikirimkan representasi dari integer modulo p. Jika proses perkalian pesan t dengan ( dalam notasi penjumlahan maka bisa ditulis ( sehingga kita dapatkan chiperteks untuk, ( ]. Untuk t kurva eliptik yaitu [ merupakan pesan yang direprsentasikan sebagai titik pada kurva eliptik. Berikut adalah algoritme enkripsi deskripsi kurva eliptik ElGamal. 1. Hitung dari. 2. Hasil (. 3.4 Algoritme Enkripsi Deskripsi Kurva Eliptik ElGamal Grup kurva eliptik melibatkan operasi penjumlahan pada semua titik kurva tersebut termasuk sebuah titik tertentu (titik infinity. Algoritma Pembangkitan Kunci Enkripsi Kurva Eliptik ElGamal Input : Parameter domain (3,,,, Output : Kunci Publik kunci pribadi. 1. Pilih [1, 1].. 2. Hitung 3. Hasil (,. Parameter-parameter domain umum kurva eliptik (3,,, menjelaskan bahwa adalah suatu kurva eliptik yang misalkan didefinisikan atas lapangan berhingga adalah sebuah titik pada (. Algoritma Enkripsi Kurva ElGamal Input : Parameter domain (3, kunci public, pesan. Output : Siferteks (,. 1. Representasikan pesan titik pada (.. 2. Pilih [1, 1]. 3. Hitung. 4. Hitung 5. Hasil (,., sebagai sebuah,,, diperoleh 3.5 Program Enkripsi Dekripsi Kurva Eliptik ElGamal Sebelum kita memasuki proses enkripsi kita terlebih dahulu membuat kunci publik dengan mengambil titik secara acak pada ( yaitu [1, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 2], [2, 2, 2, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 2] suatu positif integer acak yang bernilai 93. Nilai didapat dari mengalikan 93 dengan titik kemudian didapat [2, 2, 1, 0, 2, 0, 2], [0, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 2], sehingga kita dapatkan kunci publik (,. Proses Enkripsi. Dalam proses enkripsi kita mula-mula merepresentasikan pesan ( pada bagian ini saya mengambil titik acak pada kurva sebagai pesan t yaitu [1, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 1], [1, 2, 2, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 2] mengambil yang bernilai 38. positif integer acak kemudian hitung [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2], [0, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 2, 1] [2, 0, 2, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2], [2, 2, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 2], sehingga kita dapatkan siferteks (,. Proses Dekripsi. Dalam proses ini kita hanya mengembalikan pesan yang telah dikirimkan melalui siferteks dengan cara hitung akhirnya kita dapatkan kembali pesan dari hasil perhitungan tersebut. Eliptik, Eliptik, Operasi aritmatik perhitungan ElGamal di atas menggunakan aritmatik kurva eliptik (lihat lampiran.,

18 IV Kesimpulan Dan Saran Kesimpulan 1. Aritmatik baru dalam kurva eliptik merupakan proses adisi yang didapat dari. persamaan kurva eliptik atas Terdapat dua kasus untuk kurva eliptik dalam field terner yaitu supersingular non-supersingular. 2. Dalam kasus supersingular kita dapatkan untuk (,, dengan ( dimana. Selanjutnya untuk 2 ( dimana. (,, dengan 3. Dalam kasus non-supersingular kita (,, dengan dapatkan untuk ( dimana. Selanjutnya untuk 2 (, ( dimana, dengan Saran 1. Dalam skripsi ini untuk program kurva, penulis hanya eliptik atas mengambil aritmatik dari kasus supersingular, jika ada yang mau meneruskan mungkin bisa dicoba untuk kasus non-supersingular, kemudian bandingkan antara 2 kasus tersebut dalam algoritme ElGamal yang memenuhi kriteria keamanan. 2. Sebenarnya kurva eliptik tidak hanya bisa di aplikasikan dalam ElGamal saja tapi bisa dalam system keamanan lain yang berdasarkan pada grup siklik seperti ECDSA, ECESA, DSA, dll.mungkin bisa dicoba salah satunya.

19 V Daftar Pustaka Hankerson, Menezes, Vanstone Guide to Elliptic Curve Crypthography. Springer-Verlag. New York, Inc. Ilham Konstruksi Algoritma (3 Dengan Operasi Aritmatik Dibangkitkan Dari Sifat Grup Siklik.IPB, Bogor. Is Esti Firmanesa Konstruksi Algoritme Penandaan Dijitel ElGamal Berbasis Grup Kurva Eliptik. IPB, Bogor. Menezes,van Oorschot, Vanstone Handbook of Applied Cyrptography. Massachusetts Institute of Technology. Klima, Sigmon, Stitzinger Applications of Abstract Algebra with MAPLE. CRC Press LLC. New York, Washington, D.C. Blake, Seroussi, Smart Advances in Elliptic Curve Cryptography. Cambridge University Press. New York, US.

20 LAMPIRAN

21 LAMPIRAN I Program Aritmatik UbahBinKeDes adalah Prosedur yang mengubah Vektor Biner ke Desimal dari Order Rendah ke Order Tinggi. > UbahTerKeDes : proc( N::list local D1, D2 :: list, Des::integer; D1:map(x -> 3^x,[seq(i,i0..(nops(N-1]: D2:[seq(N[j]*D1[j],j1..nops(N]: Des:add( i, id2 ; UbahDesKeTer adalah Prosedur yang mengubah Interjer Desimal ke Vektor Terner. UbahDesKeTer : proc(b::integer local Kv::list: Kv:convert(B,base,3: Acak Ter adalah membangkitkan vektor terner dimensi m tit secara acak. AcakTer:proc(m::posint local AcIn::procedure, p::integer: AcIn : rand(3^m: p:acin(: UbahDesKeTer(p; AcakTerX adalah membangkitkan vektor terner dimensi m bit dengan bit pertama tak nol secara acak. AcakTerX:proc(m::posint local AcIn::procedure, p,q,i::integer: AcIn : rand(3^m: p:acin(: q:p mod 3: for i while q0 do p:acin(: q:p mod 3: end do: UbahDesKeTer(p; ReduNol:proc(R::list local T::list, j,t::integer: T:R: t:nops(t: for j while T[t]0 and t>1 do T:subsop(tNULL,T: t:t-1: end do:

22 13 return(t; AdisiT adalah penjumlahan vector. AdisiT:proc(S::list,T::list local R::list, s,j,t::integer: s:nops(s: t:s: if S[0] then return(t; elif T[0] then return(s; elif snops(t then R:[seq((op(i,Sop(i,T mod 3,i1..s]; R:ReduNol(R; elif nops(s<nops(t then subsop(seq(i(op(i,sop(i,t mod 3,i1..nops(S,T; else subsop(seq(i(op(i,top(i,smod 3,i1..nops(T,S; Negasi Vektor NegT:proc(L::list map(x->(-x mod 3,L; Kelipatan Vektor KVekT:proc(L::list,n::integer if n0 then return([0]; elif n1 then return(l; else return(negt(l end if; GSatuT:proc(T::list,m::posint local R,H,L::list, t::integer: L:DatT[m]: t:nops(t: if t<m then R:[0,op(T]; else R:[0,op(subsop(mNULL,T]: R:ReduNol(R; H:KVekT(L,op(t,T: AdisiT(R,H;

23 14 MultiT adalah kali A B mod 3^m-3. MultiT:proc(A::list,B::list,m::posint local R,U,V,S,T::list, s,j,t,a::integer: if A[0] or B[0] then return([0] end if; s:nops(a: t:nops(b: S:A: T:B: if t<s then S:B: T:A: a:s: s:t: t:a: R:KVekT(T,op(1,S; for j from 1 to (s-1 do T:GSatuT(T,m: V:KVekT(T,op(j1,S: R:AdisiT(R,V: end do: return(r; KaliT adl kali A B tanpa mod KaliT:proc(A::list,B::list local R,U,V,S,T::list, s,j,t,a::integer: if A[0] or B[0] then return([0] end if; s:nops(a: t:nops(b: S:A: T:B: if t<s then S:B: T:A: a:s: s:t: t:a: R:KVekT(T,op(1,S; for j from 1 to (s-1 do T:[0,op(T]; V:KVekT(T,op(j1,S: R:AdisiT(R,V: end do: return(r; BagiT:proc(T::list,S::list local K,Q,R,H::list, i,g,r,s,k,h,t::integer: if S[0] then return(false R:T: r:nops(r: s:nops(s: k:r-s: Q:[seq(0,j1..k1]: g:op(s,s: if s1 then Q:KVekT(R,op(S:

24 15 R:[0]: return([q,r]; for i while r>s do k:r-s: t:op(r,r: h:(t/g mod 3: if k0 then K:KVekT(S,h: Q:subsop(k1h,Q: else H:KVekT(S,h: K:[seq(0,j1..k,op(H]: Q:subsop(k1h,Q: K:NegT(K: R:AdisiT(K,R: r:nops(r: end do: return([q,r]; InvT:proc(T::list,m::integer local QA,QB,RA,RB,R,S,L,Tmp,H::list, i::integer: S:NegT(DatT[m]: if T[0] then return(false if nops(t1 then return(t RA:[op(S,seq(0,j1..(m-nops(S,1]: RB:T: QA:[0]: QB:[1]: L:BagiT(RA,RB: RA:RB: RB:op(2,L: for i while RB<>[0] do Tmp:QA: QA:QB: H:KaliT(QB,op(1,L: R:NegT(H: QB:AdisiT(Tmp,R: L:BagiT(RA,RB: RA:RB: RB:op(2,L: end do: H:KVekT(QB,op(RA: return(h;

25 16 Divisi adl bagi A oleh B mod m. DivT:proc(A::list,B::list,m::integer local ib::list: ib:invt(b,m; MultiT(A,iB,m; ModI adalah Prosedur yang menghitung a mod n dalam rentang negatif. ModN: proc(a::integer, n::posint local b, c::integer: b : a mod n: c : floor(n/2: if b > c then b : -(n-b return(b: Exp adl A pangkat ke x mod m. ExpT:proc(A::list,x::integer,m::integer local H,G,X::list, i,p,k,n::integer: p:3^m-1: k:modn(x,p: if k>0 then X:convert(k,base,2; G:A: H:[1]: if op(1,x1 then H:G: for i from 2 to nops(x do G:MultiT(G,G,m: if op(i,x1 then H:MultiT(H,G,m: end do: else n:-k: X:convert(n,base,2; G:InvT(A,m: H:[1]: if op(1,x1 then H:G: for i from 2 to nops(x do G:MultiT(G,G,m: if op(i,x1 then H:MultiT(H,G,m: end do: return(h;

26 17 AkarT menghitng akar kuadrat dalam GF(3^m. AkarT:proc(A::list,m::posint local R,H,G,S,T::list, d,q,n,i,s,u,k::integer: q:3^m-1: d:q/2: n:1: for i while d mod 2 0 do d:d/2: n:n1: end do: R:ExpT(A,d,m: k:0: for i while R<>[1] do R:ExpT(R,2,m: k:k1: end do: if kn then return(false: elif k0 then s:(d1/2: H:ExpT(A,s,m: return(h: else u:2^(n-k: H:ExpT([0,1],u/2,m: G:ExpT(H,2,m: T:G: S:ExpT(T,2,m: for i from 1 while G<>A do H:MultiT(H,T,m; G:MultiT(G,S,m; end do: return(h; (Ilham,2009 LAMPIRAN II Program Aritmatik Kurva Eliptik Atas ECAcakTs adalah Prosedur untuk membangkitkan parameter A B (persamaan kurva dengan A tidak nol. > ECAcakTs:proc(m::posint local A,B::list, i::integer: A:AcakTerX(m: B:AcakTerX(m: for i while B{} do B:AcakTerX(m: end do: return([a,b]:

27 18 AcakPtTn adalah Prosedur untuk memilih serta satu titik P (X,Y pada kurva, secara acak pada kurva K[A,B]. AcakPtTn:proc(K::list,m::posint local X,Y,H,G,T,M,V,C,D::list, i::integer: X:AcakTerX(m: D:MultiT(X,X,m: H:MultiT(X,D,m: T:MultiT(X,K[1],m: T:AdisiT(H,T: C:AdisiT(T,K[2]: V:AkarT(C,m: for i while V'false' do X:AcakTerX(m: D:MultiT(X,X,m: H:MultiT(X,D,m: T:MultiT(X,K[1],m: T:AdisiT(H,T: C:AdisiT(T,K[2]: V:AkarT(C,m: end do: V:AkarT(C,m: M:NegT(V,m: return([x,v],[x,m]; AddPtTerSs adalah prosedur menjumlahkan dua titik X Y pada kurva eliptik A, dengan unsur identitas [0,0] (titik di tak hingga. AddPtTerSs:proc(X::list,Y::list,K::list,m::posint local A,B,E,M,R,N,H,T,S,L,Q,V::list: if X[[0],[0]] or Y[[0],[0]] then A:AdisiT(X[1],Y[1]; B:AdisiT(X[2],Y[2]; return([a,b]; T:AdisiT(X[2],Y[2]; if X[1]Y[1] and T[0] then A:[0]: B:[0]: return([a,b]; elif XY then S:NegT(K[1]: E:NegT(X[2]: V:DivT(S,X[2],m: H:MultiT(V,V,m: H:AdisiT(H,X[1]: L:NegT(H: R:AdisiT(X[1],L: R:MultiT(R,V,m: R:AdisiT(R,E:

28 19 return([h,r]; else M:NegT(X[1]: E:NegT(X[2]: N:NegT(Y[1]: Q:AdisiT(Y[1],M: S:AdisiT(Y[2],E: V:DivT(S,Q,m: H:MultiT(V,V,m: H:AdisiT(H,N: H:AdisiT(H,M: L:NegT(H: R:AdisiT(X[1],L: R:MultiT(R,V,m: R:AdisiT(R,E: return([h,r]; MulPtTerSs adalah Prosedur untuk menghitung kelipatan titik sebanyak k kali. MulPtTerSs:proc(P::list,k::integer,K::list,m::posint local H,G,X::list, i::integer: X:convert(k,base,2; G:P: H:[[0],[0]]: if op(1,x1 then H:G: for i from 2 to nops(x do G:AddPtTerSs(G,G,K,m; if op(i,x1 then H:AddPtTerSs(H,G,K,m: end do: return(h; LAMPIRAN III Program Kurva Eliptik ElGamal Atas Pembangkitan Kunci Enkripsi Kurva Eliptik ElGamal > d:generate(integer(range1..99; > m:10: > K:ECAcakTs(m;

29 20 > P:AcakPtTn(K,m; > P1:P[1]: > Q:MulPtTerSs(P1,d,K,m; > A:([Q,d]; Proses Enkripsi Kurva Eliptik ElGamal > t:acakpttn(k,m; > k:generate(integer(range1..99; > P1:P[1]: > C1:MulPtTerSs(P1,k,K,m; > t1:t[1]: N:MulPtTerSs(Q,k,K,m: C2:AddPtTerSs(t1,N,K,m; Proses Dekripsi Kurva Eliptik ElGamal > B:MulPtTerSs(C1,d,K,m: Y:NegT(B[2]: L:[B[1],Y]:

30 X:AddPtTerSs(N,L,K,m: M:AddPtTerSs(t1,X,K,m; 21