KONSTRUKSI ARITMETIKA KURVA ELIPTIK SUPERSINGULAR DAN NON-SUPERSINGULAR UNTUK SKEMA KUNCI PUBLIK ELGAMAL IRSYAD RAMLI

Transkripsi

1 KONSTRUKSI ARITMETIKA KURVA ELIPTIK SUPERSINGULAR DAN NON-SUPERSINGULAR UNTUK SKEMA KUNCI PUBLIK ELGAMAL IRSYAD RAMLI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2011

2 ABSTACT IRSYAD RAMLI. Constructions of Supersingular and Non-Supersingular Elliptic Curve Arithmetics for the ElGamal Public Key Scheme. Supervised by SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS. The ElGamal algorithm is one of the public key algorithms with modular arithmetic, which has the structure of the cyclic group. Security level of this algorithm depends on the solution of discrete logarithm problem. Unfortunately, this security level tends to decline recently because of the increase in ability of solving discrete logarithm. Moreover, to have an adequate level of security, very large value would be required, but this would cause the encryption and decryption process to be slow. In this paper, the Supersingular and Non-Supersingular elliptic curve arithmetics are constructed to replace on ElGamal algorithm. This construction uses both theoretical and computational aspects. Further, the aim of this paper is to apply the arithmetic in the simulation resulted on ElGamal algorithm using Maple 12 software. The success of this simulation is such that a message used in the encryption process will be identical to the message that is used after performing the decryption process. This shows that the arithmetic of ElGamal algorithm, which was originally in, can be changed into elliptic curve arithmetic.

3 ABSTRAK IRSYAD RAMLI. Konstruksi Aritmetika Kurva Eliptik Supersingular dan Non- Supersingular untuk Skema Kunci Publik ElGamal. Dibimbing oleh SUGI GURITMAN dan NUR ALIATININGTYAS. Algoritme ElGamal adalah salah satu algoritme kunci publik dengan aritmetik modular yang mempunyai struktur grup siklik. Tingkat keamanan algoritme ini terletak pada pemecahan masalah logaritme diskret dari. Akan tetapi, tingkat keamanan dari tahun ke tahun semakin menurun yang disebabkan kemampuan pemecahan algoritme diskret semakin meningkat. Untuk memenuhi tingkat keamanan yang memadai dibutuhkan yang cukup besar yang menyebabkan proses enkripsi dan dekripsi menjadi lambat. Pada karya ilmiah ini, dikonstruksi aritmetika kurva eliptik Supersingular dan Non- Supersingular yang diharapkan mampu mengganti pada algoritme ElGamal. Konstruksi ini menggunakan aspek teoretis dan aspek komputasi. Oleh sebab itu, tujuan karya ilmiah ini adalah untuk mengonstruksi aritmetika kurva eliptik Supersingular dan Non-Supersingular sehingga dapat disimulasikan pada algoritme ElGamal dengan menggunakan software Maple 12. Keberhasilan dari simulasi ini, suatu pesan yang digunakan dalam melakukan proses enkripsi identik dengan pesan setelah melakukan proses dekripsi. Semua proses tersebut dilakukan dengan menggunakan aritmetik kurva eliptik. Ini menunjukkan bahwa aritmetik algoritme ElGamal yang semula dalam dapat diganti menjadi aritmetik kurva eliptik.

4 KONSTRUKSI ARITMETIKA KURVA ELIPTIK SUPERSINGULAR DAN NON-SUPERSINGULAR UNTUK SKEMA KUNCI PUBLIK ELGAMAL IRSYAD RAMLI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2011

5 Judul Nama NIM : Konstruksi Aritmetika Kurva Eliptik Supersingular dan Non- Supersingular untuk Skema Kunci Publik ElGamal : Irsyad Ramli : G Menyetujui Pembimbing I, Pembimbing II, Dr. Sugi Guritman NIP : Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si NIP : Mengetahui : Ketua Departemen, Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP : Tanggal Lulus :

6 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan pertolongan-nya sehingga penulisan karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat serta salam tercurah kepada nabi Muhammad SAW sebagai suri tauladan terbaik bagi umatnya hingga akhir zaman. Karya ilmiah ini berjudul Konstruksi Aritmetika Kurva Eliptik Supersingular dan Non-Supersingular untuk Skema Kunci Publik ElGamal Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada 1. Bapak Dr. Sugi Guritman selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 2. Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, dan motivasinya). 3. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya). 4. Terima kasih atas bantuannya kepada Mas Yono, Mas Bono, Mas Deni, Mas Heri, Bu Susi, Bu Ade. 5. Keluargaku tercinta : ayahanda (terima kasih atas doa, dukungan, motivasi, kerja keras dan kesabarannya menyekolahkan ananda. Ayahanda adalah ayah yang penuh semangat walaupun harus membanting tulang untuk menafkahi keluarga. Ayah adalah ayah yang paling terbaik sedunia), Ibunda (terima kasih atas doa, didikan, motivasi dan kasih sayangnya. Ibunda adalah ibu yang paling terbaik sedunia). Kakakku tercinta (Rahmawita) yang tak henti-hentinya memotivasi. Adik-adikku tercinta (Hamdan, Hafizh) yang menjadi motivasiku dan membangkitkan semangatku. 6. Bibi-bibiku : Bibi Risyda, Bibi Arma Suari, Bibi Irawati (terima kasih atas tempat tinggalnya, doa, kasih sayang, dan perhatiannya kepadaku selama di sini). 7. Kakak-kakak sepupuku : Yessi Adjisir, Andry Adjisir, Haryenni Adjisir, Gafrian Abrar, Zamakhsyari Abrar, Amalia Fitri, Haikal Abrar, Denny Ismayadin (terima kasih atas bantuan, motivasi, dan kasih sayangnya). 8. Ro fah Nur Rachmawati (terima kasih atas bimbingan, motivasi, ilmu, dan sarannya). 9. Teman-teman kontrakan Kahfi 43 : Deni Hamdan Permana, Yogi Nur Anggowo, Slamet Riyadi, Slamet Aprian Utomo, Agung Surya Permadi, Martono (terima kasih atas dukungannya). 10. Teman-teman : Retwando, Dorisman, Dian Fernanda, Chawen, Ira, Hanif, Dya, Rezki Anandra. 11. Kakak-kakak Math 41 : Mora, Chubby, Jali, Cumi, dan lainnya (terima kasih atas dukungan dan bantuannya). 12. Kakak-kakak Math 42 : Djawa, Acuy, Iput, Ilyas, Danu, Eko, Eyyi, Zil, Mocco, Sapto, Danu dan lainnya (terima kasih atas dukungannya). 13. Teman-teman Math 43 : Ucok, Andrew, Sabar, Cici, Desi, Gandi, Fitria, Margie, Rias, Erni, Ratna, Sunarsih, Rizki NS, Rizki SN, Zul, Paisol, Nanu, Wira, Sofyan, Nia, Tami, Nenek, Destya, Putri, Vera, Suci, Hermalina, Nurmalina, Kiki, Arif, David, Adi, Fardan dan lainnya (terima kasih atas dukungannya). 14. Adik-adik Math 44 : Cristoper, Fani, Selvie dan lainnya (terima kasih atas dukungannya). 15. Adik-adik Math 45 terima kasih atas bantuannya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan. Bogor, November 2010 Irsyad Ramli

7 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR LAMPIRAN... viii I II III IV PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan... 1 LANDASAN TEORI 2.1 Grup Grup Siklik Ring Lapangan (field) Pengenalan Kurva Eliptik Penyederhanaan Persamaan Weierstrass Hukum Grup Kurva Eliptik Pengenalan Algoritme ElGamal atas... 4 PEMBAHASAN 3.1 Aritmetik Kurva Eliptik Supersingular Algoritme Aritmetik Kurva Eliptik Supersingular Pembangkitan Kurva K(a,b,c) Menentukan Titik P(x,y) Adisi Titik P(, ) + Q(, ) Menentukan Invers Titik Menentukan QP (Kelipatan Sebanyak k) Aritmetik Kurva Eliptik Non-Supersingular Algoritme Aritmetik Kurva Eliptik Non-Supersingular Pembangkitan Kurva K(a,b) Menentukan Titik P(x,y) Adisi Titik P(, ) + Q(, ) Menentukan Invers Titik Menentukan QP (Kelipatan Sebanyak k) ElGamal Kurva Eliptik atas SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN vii

8 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Adisi Doubling... 4 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Program Aritmetika Program Konstruksi Aritmetika Kurva Eliptik Program ElGamal Program ElGamal Kurva Eliptik atas viii

9 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bukittinggi pada tanggal 28 November 1988 sebagai anak kedua dari empat bersaudara, anak dari pasangan Dt. Ramli dan Hanifah. Tahun 2006 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Matur Sumatera Barat dan pada tahun yang sama menempuh pendidikan sarjana melalui Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB. Selama perkuliahan, penulis aktif di UKM Pramuka , Himpunan Profesi Gumatika 2008 sebagai Divisi PSDM Dewan Legislatif Gumatika (DLG) periode , Ketua Badan Pengawas Gumatika (BPG) periode 2009 dan staf pengajar Kalkulus untuk bimbingan belajar Gumatika. Selain itu, penulis ikut sebagai panitia dalam berbagai kegiatan seperti Logstrans Pesta Sains se-indonesia 2008, Logstrans Matematika Ria 2008 dan penulis juga ikut dalam berbagai acara festival musik kampus dengan membentuk grup akustik yang beranggotakan lima orang dari Departemen Matematika dengan nama D Indiependent dan Band HiGrip.

10 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Komputer dan internet merupakan hasil karya manusia yang menggambarkan majunya teknologi saat ini. Komputer yang terhubung dengan internet dapat memberikan berbagai bentuk kemudahan untuk manusia dalam melakukan berbagai aktifitas. Salah satunya untuk berkomunikasi seperti pengiriman pesan penting yang harus dijaga kerahasiaannya. Keadaan ini tentu akan lebih nyaman apabila terdapat keamanan atau kerahasiaan pesan dalam proses tersebut. Hal ini bertujuan agar pesan tidak jatuh ke pihak yang tidak bertanggung jawab sehingga tidak terjadi hal-hal yang tidak diinginkan. Teknik untuk pengamanan tersebut adalah Kriptografi. Kriptografi adalah studi teknik matematika yang berhubungan dengan aspek keamanan informasi seperti kerahasiaan, integritas data, otentikasi entitas, dan otentikasi data asli (Menezes 1997). Fungsifungsi matematika digunakan untuk melakukan penyandian (enkripsi) dan membuka sandi (dekripsi). Dalam melakukan proses enkripsi dan dekripsi tersebut, dibutuhkan suatu prinsip kunci (key). Inilah yang membedakan kriptografi menjadi dua bagian yaitu kunci simetrik dan kunci asimetrik atau yang lebih dikenal dengan kunci publik (public key). Kunci simetrik merupakan jenis kriptografi yang paling umum digunakan. Untuk jenis ini, enkripsi dan dekripsi dilakukan dengan menggunakan kunci yang sama. Permasalahan yang muncul adalah bagaimana menyampaikan kunci tersebut ke penerima agar tidak diketahui oleh pihakpihak yang tidak diinginkan karena siapapun yang memiliki kunci tersebut termasuk pihakpihak yang tidak diinginkan juga dapat menyandi dan membongkar pesan dengan mudah. Oleh sebab itu, pada petengahan tahun 70-an Whitfield Diffie dan Martin Hellman menemukan teknik kunci asimetrik yang merevolusi dunia kriptografi. Kunci asimetrik adalah pasanganpasangan kunci kriptografi yang salah satunya digunakan untuk enkripsi (kunci publik) dan yang satunya lagi untuk dekripsi (kunci pribadi). Orang-orang yang memiliki kunci publik dapat menggunakannya untuk enkripsi, tetapi hanya satu orang (memiliki kunci pribadi) yang dapat membongkar pesan yang telah disandikan tersebut. Jenis ini mempunyai tingkat keamanan yang lebih tinggi dari pada kunci simetrik. Contoh algoritme kunci asimetrik adalah RSA (singkatan Rivest, Shamir, Adleman), Rabin, ElGamal, dan lain-lain. Dalam tulisan ini, penulis menggunakan algoritme ElGamal. Algoritme ElGamal ditemukan oleh Taher ElGamal yang dipublikasikan pada tahun Algoritme ini didasarkan pada aritmetik modular yang mempunyai struktur grup siklik dimana merupakan sembarang bilangan prima. Tingkat keamanannya didasarkan pada pemecahan masalah logaritme diskret. Masalah logaritme diskret didefinisikan dengan dimana yang akan ditentukan adalah nilai. Sekilas, untuk menyelesaikan persamaan di atas terlihat mudah. Kita dapat mencoba menentukan nilai sedemikian sehingga persamaan tersebut dipenuhi. Hal tersebut mungkin saja dengan mudah dilakukan apabila nilai kecil. Oleh sebab itu, untuk meningkatkan keamanan yang memadai dibutuhkan nilai yang cukup besar. Akan tetapi, dengan nilai yang cukup besar, dalam melakukan enkripsi dan dekripsi menjadi lambat, karena membutuhkan memori komputer yang besar. Akhirnya, para pakar Matematika dan Kriptografi untuk mencoba memperbaiki algoritme serta meningkatkan kemampuan komputer agar tingkat keamanan memadai tanpa membutuhkan memori komputer yang sangat besar. Matematikawan asal Prancis yaitu Pierre Galois memperkenalkan konsep field yang dikenal dengan Galois Field dan disingkat dengan atau dengan prima. Kemudian field ini digabungkan dengan prinsip kurva eliptik yang kemudian diistilahkan dengan aritmetika kurva eliptik yang memiliki tiga karakteristik umum. Salah satunya, (dengan 2) yang diharapkan mampu menggantikan struktur grup siklik pada algoritme ElGamal. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan ini adalah untuk mengonstruksi aritmetika kurva eliptik Supersingular dan Non-Supersingular sehingga dapat disimulasikan pada algoritme ElGamal dengan menggunakan software Maple 12.

11 II LANDASAN TEORI 2.1 Grup Definisi Diberikan sebarang himpunan tak kosong dan operasi biner pada. Himpunan disebut grup terhadap operasi biner jika memenuhi a. Operasi bersifat asosiatif.,,, G b. Terdapat unsur identitas untuk pada G sehingga berlaku, c. Untuk setiap terdapat unsur invers, yaitu sehingga berlaku. (Fraleigh 1994) Definisi Suatu grup (G, ) disebut grup komutatif jika operasi binernya bersifat komutatif, yaitu,, G (Fraleigh 1994) Definisi Suatu grup G dikatakan grup berhingga (finite group) jika banyak unsurnya berhingga dan banyaknya unsur G tersebut disebut order G, ditulis o(g) atau G. (Fraleigh 1994) 2.2 Grup Siklik Definisi Misalkan G grup dan G dan n bilangan bulat positif, maka a., (sebanyak n kali) b., (sebanyak n kali). c.. (Aliatiningtyas 2002) Teorema Jika G suatu grup dan a G, maka untuk setiap bilangan bulat m dan n berlaku hukum eksponen : a. b. c. (Guritman 2004) Definisi Misalkan G grup dan sebuah elemen. Jika maka G disebut grup siklik (cyclic group) dan disebut elemen pembangun yang dinotasikan. Jika G berhingga dan berorder m, maka terdapat m kuasa dari a yang masing-masing berbeda, yaitu,,, Jika G adalah grup adisi (operasi penjumlahan), maka dapat dituliskan dan jika berorder m, maka dapat ditunjukkan 00,,2,, 1 (Guritman 2004) 2.3 Ring Definisi Suatu grup dengan operasi + disebut operasi penjumlahan dan operasi disebut operasi perkalian yang dinotasikan (R,+, ), disebut ring jika memenuhi aksiomaaksioma berikut a. (R,+) grup komutatif. b. Operasi perkalian bersifat asosiatif. c. Hukum distributif kiri berlaku,,, d. Hukum distributif kanan berlaku,,, e. Unsur identitas terhadap + dinotasikan dengan 0 dan disebut unsur nol. Selanjutnya, a. Jika operasi perkalian bersifat komutatif,,, maka R disebut ring komutatif. b. Jika ada unsur identitas di bawah operasi perkalian (unsur ini disebut unsur kesatuan, dinotasikan dengan 1 dan disingkat dengan unkes),, 1, 11 maka R disebut ring dengan unsur kesatuan (unkes). (Aliatiningtyas 2002) 2.4 Lapangan (Field) Definisi Suatu ring yang komutatif, ada unkes dan setiap unsur tak nolnya mempunyai invers (perkalian) disebut lapangan (field). (Aliatiningtyas 2002) Salah satu contoh field adalah yang merupakan himpunan semua polinomialpolinomial berderajat paling banyak 1 yang dinyatakan sebagai. Operasi dalam meliputi operasi penjumlahan dan operasi perkalian. Operasi penjumlahan berbentuk penjumlahan antar pasangan elemen, kemudian hasilnya dimodulokan dengan dua atau yang lebih dikenal dengan peng-xor-an dinotasikan. Sedangkan untuk operasi perkalian didefinisikan seperti halnya perkalian umum, tetapi dalam penjumlahannya tetap dilakukan peng-xor-an dan dinotasikan dengan.

12 3 Contoh : 1. Penjumlahan Perkalian Suatu unsur biner di atas merepresentasikan polinomial basis yang di sebelah kanannya. Sehingga terlihat dengan mudah, 1 setara dengan unsur biner yang dimulai dari sebanyak 1 (dalam penjumlahan di atas, unsurnya dimulai dari pangkat tertinggi ke pangkat terendah. Begitu pula dengan binernya). Misalkan, setara dengan 0 0. (Rosdiana 2009) Aritmetik ini dijadikan acuan dalam perhitungan kurva eliptik atas. Teorema merupakan grup siklik multiplikatif berorder 1. (Rosdiana 2009) 2.5 Pengenalan Kurva Eliptik Definisi Suatu kurva eliptik atas field didefinisikan sebagai kurva dengan persamaan (1) dimana,,,, dan Δ 0 merupakan diskriminan dari yang di definisikan sebagai berikut: (2) Persamaan (1) disebut dengan persamaan Weierstrass dan kurva eliptik dinotasikan )., 0 (Hankerson et al. 2004) 2.6 Penyederhanaan Persamaan Weierstrass Definisi Terkait dengan kriptografi, kurva eliptik dikenakan atas field berhingga dimana p prima. Berikut ini diberikan tiga kelompok besar kurva eliptik dibedakan atas field dasar. 1. Jika 2 dan 3, maka persamaan kurva eliptiknya adalah : dimana, dan diskriminan kurva Δ Jika 2, maka terdapat dua kasus a. Non-Supersingular Persamaan kurva eliptiknya adalah : dimana, dan diskriminan kurva Δ. b. Supersingular Persamaan kurva eliptiknya adalah : dimana,, dan diskriminan kurva Δ. 3. Jika 3, maka terdapat dua kasus a. Non-Supersingular Persamaan kurva eliptiknya adalah : dimana, dan diskriminan kurva Δ. b. Supersingular Persamaan kurva eliptiknya adalah : dimana,, dan diskriminan kurva Δ. (Hankerson et al. 2004) 2.7 Hukum Grup Kurva Eliptik Misalkan E adalah kurva eliptik yang didefinisikan atas. Pada E diambil dua titik yang berbeda,,,. Maka garis memotong kurva di titik ketiga, kemudian diperoleh titik,. Titik ini merupakan hasil dari pencerminan titik R terhadap sumbu x. Proses ini disebut dengan proses adisi titik (penjumlahan titik). Adisi titik dari P dan Q dinotasikan,

13 4 pembeda adalah persamaan kurva eliptiknya. (Hankerson et al. 2004) Gambar 1 Adisi Jika sejajar dengan sumbu-y, maka titik yang ketiga didefinisikan sebagai titik di tak-hingga dengan notasi, sehingga Jika, maka kondisi ini disebut adisi titik yang sama dan atau disebut juga pendobelan (doubling). Dinotasikan, Jadi, operasi adisi titik pada himpunan semua titik pada kurva dan titik di tak-hingga mempunyai struktur grup, disebut dengan grup kurva eliptik. Dalam hal ini, adalah unsur identitas. Untuk setiap pada, negatif dari yang dinotasikan dengan yang merupakan hasil pencerminan dari pada terhadap sumbu-x. Gambar 2 Doubling Operasi grup kurva eliptik cukup mudah diilustrasikan secara geometri ketika didefinisikan atas bilangan real seperti gambar di atas. Akan tetapi, jika didefinisikan terhadap field berhingga dimana adalah karakteristik prima, maka secara geometrik, akan tersamarkan dan sulit dibayangkan. Oleh sebab itu, yang hanya bisa dilakukan adalah dengan pendekatan aksiomatik (aljabar). Sedangkan metodenya disebut dengan aritmetik kurva eliptik. Dalam aritmetik pada, terdapat beberapa karakteristik prima yaitu biner 2, terner 3 dan karakteristik 2 dan 3 yang dinotasikan dengan. Sedangkan untuk biner dan terner, akan dibedakan lagi dengan Supersingular dan Non-Supersingular, dimana yang menjadi 2.8 Pengenalan Algoritme ElGamal atas Algoritme ElGamal merupakan salah satu jenis kriptografi kunci publik. Algoritme ini aritmetikanya berbasis integer grup siklik pada grup multiplikatif. Ada tiga algoritme untuk penyandian kunci Publik ElGamal. Algoritme 1 untuk pembangkitan kunci, Algoritme 2 untuk Enkripsi Kunci Publik, dan Algoritme 3 untuk Dekripsi. Misalkan A mengirimkan pesan kepada B. Pesan tersebut ingin disandikan. Maka yang akan dilakukan adalah 1. Algoritme 1 Pembangkitan Kunci B membuat sebuah kunci publik dan kunci pribadi. Hal yang dilakukan adalah a. Dengan prima acak yang besar, kemudian dilakukan pembangkitan generator dari grup dengan integerinteger modulo p. b. Memilih suatu integer acak a, dengan positif. c. Menghitung mod. d. Kunci publik B adalah,, dan kunci pribadi B adalah a. e. Memberikan kunci publik ke A. Dalam algoritme pembangkitan kunci pada penyandian kunci publik ElGamal, dijelaskan membangkitkan suatu bilangan prima p yang besar dan generator dari grup. Ini bertujuan bahwa dengan mendapatkan bilangan yang memenuhi kriteria keamanan, maka p tersebut dapat digunakan untuk grup dari integer-integer suatu prima p (jika prima, maka mempunyai generator dan dikatakan siklik). Semakin besar, maka keamanannya semakin tinggi. 2. Algoritme 2 Enkripsi A menyandikan atau me-enkripsi sebuah pesan m ke B. Langkah-langkah yang harus dilakukan oleh A adalah a. Memperoleh kunci publik,, dan merepresentasikan pesan sebagai suatu integer m pada interval [0,. b. Memilih integer acak k, dimana positif. c. Menghitung mod dan mod. d. Mengirim siferteks, ke B. Pada proses ini, dengan p dan didefinisikan :, sehingga fungsi

14 enkripsi didefinisikan oleh mod dan menghasilkan siferteks c. 3. Algoritme 3 Dekripsi Untuk menemukan kembali m dari c, B harus melakukan hal-hal berikut a. Menggunakan kunci pribadi a untuk menghitung mod. Dengan catatan. b. Menemukan kembali m dengan menghitung mod. Pada proses dekripsi, dengan dan didefinisikan :, sehingga fungsi dekripsi didefinisikan oleh mod. (Menezes et al. 1996) Berikut ini diberikan suatu ilustrasi penyandian yang dihitung dengan menggunakan software Maple 12 dengan PC processor Intel Pentium Dual Core 1,73 GHz, Ram 512 MB. Contoh ElGamal A mengirim pesan kepada B. Pesan tersebut adalah Langkah pertama, B membuat kunci publik dan kunci pribadi. Setelah melalui Algoritme 1 Pembangkitan Kunci, diperoleh kunci publik,, ( , 5, ) dan kunci pribadi ( ). Kemudian, kunci publik tersebut dikirim ke A. Setelah A memperoleh kunci publik,, dari B, kemudian A memilih integer positif acak k dan menghitung mod , dan mod = A mengirim pesan yang telah disandikan tadi (siferteks) kepada B dengan bentuk, = ( , ). Setelah B menerima siferteks tadi, maka B mendekripsikan siferteks tadi untuk menemukan kembali pesan m dengan menggunakan kunci pribadi, mod, dimana pesan yang telah didekripsikan tadi sama dengan pesan yang sebelum dienkripsikan. III PEMBAHASAN Field dengan karakteristik prima 2 merupakan suatu kasus khusus, dimana tidak ada pengurangan pada operasi aljabarnya. Seperti yang telah dipaparkan pada bab 2, di bawah ini akan dibahas struktur grup kurva eliptik Supersingular dengan, 0 dan Non-Supersingular 0 sehingga titik (0,0) berada di luar kurva yang merepresentasikan titik. 3.1 Aritmetika Kurva Eliptik Supersingular. Misalkan adalah field dengan karakteristik prima 2 Supersingular dengan bentuk sederhana dari persamaan kurva eliptiknya adalah : dengan,, dan 0 0. Didefinisikan persamaan kurva eliptik Supersingular,. 1. Misalkan terdapat titik, sembarang. Karena syarat 0 dan dengan 0, maka titik 0,0 dijamin tidak terletak pada kurva dan dapat digunakan untuk merepresentasikan 0,0. Akibatnya, 0,0, 2. Dengan titik 0,0 yang direpresentasikan dengan titik di tak-hingga maka untuk setiap,, terdapat invers dari yang dinotasikan dengan, berlaku, 0,0. dimana. 3. Untuk setiap, dimana,,, dan maka titik yang akan dicari adalah,. Terdapat tiga titik pada E, maka berlaku tiga persamaan (1.1) (1.2) (1.3) Jika dilihat dari definisi secara geometri, maka, dan, adalah segaris. Jika gradiennya

15 6 dimisalkan dengan maka diperoleh persamaan (1.4) Kemudian apabila dari persamaan (1.1) dan (1.3) kita jumlahkan dan dimodulokan dengan dua, akan diperoleh Apabila pada ruas kiri kita tambahkan nilai 2, maka persamaan di atas menjadi 2 Kemudian kedua ruas disederhanakan dan dibagi dengan diperoleh (1.5) Setelah memperoleh persamaan (1.5) dengan dari persamaan (1.4), maka untuk persamaan (1.2), (1.3) akan diperoleh dengan cara yang sama, sehingga didapatkan (1.6) Untuk memperoleh dan, akan dijumlahkan persamaan (1.5), (1.6) sehingga kita peroleh Apabila kita bagi kedua ruas dengan maka didapatkan dan dari dihasilkan. Jadi, dihasilkan, dengan dan dengan. 4. Untuk setiap, dan, titik yang ingin ditentukan adalah,. Apabila diperhatikan secara geometri, titik P dan R berada pada kurva E. Oleh sebab itu, terdapat dua persamaan dan. (1.7) Jika ditarik garis lurus P dan R (titik sebelum dicerminkan terhadap sumbu-x), terlihat merupakan sebuah garis singgung. Dimisalkan gradiennya, maka (1.8) Kemudian, dengan turunan implisit dengan memisalkan,, dapat kita peroleh nilai yaitu 3 2,, (1.9) Sama halnya dengan penurunan kasus (pada persamaan 1.5), diperoleh persamaan Sehingga. Untuk diperoleh dari persamaan (1.8) yaitu dengan. Dari uraian di atas, diperoleh aritmetik pada kurva eliptik Supersingular sebagai berikut 1. Titik di luar kurva yang digunakan adalah 0,0. 2., dan, apabila dijumlahkan menghasilkan titik. 3., dimana,,, dan maka,, dimana dan dengan. 4., dan, berlaku, dimana dan dengan. Di bawah operasi di atas, maka kurva eliptik supersingular merupakan grup dengan unsur identitas 0,0 dan invers dari adalah,.

16 7 3.2 Algoritme Aritmetik Kurva Eliptik Supersingular Pembangkitan Kurva Eliptik K(a,b,c) INPUT : Memasukkan nilai m OUTPUT : nilai kurva,, Mulai 1. Pilih acak,,. 2. Lakukan sampai i proses jika dengan cara a. Mengacak b. Selesai 3. Kemudian lakukan juga sampai i proses jika diperoleh dengan cara a. Mengacak b. Selesai 4. Tampilkan,, Menentukan Titik P(x,y) INPUT : Nilai kurva,, OUTPUT : Titik, Mulai 1. Hitung 2. Lakukan sampai i proses jika diperoleh dengan cara a. Menentukan kembali b. Selesai. 3. Tampilkan nilai, yang memenuhi dengan Adisi Titik,, INPUT : P,,Q, dengan,, OUTPUT : Titik, Mulai 1. Jika atau, maka a. b. 2. Jika dan, maka a. 0 b Jika. Maka a. b. c. 4. Jika tidak, maka : a. b. c. 5. Tampilkan, Menentukan Invers (Negatif) Titik INPUT : Titik P, dengan kurva eliptik,, OUPUT : P, c Mulai 1. Dengan c 2. Tampilakan, Menentukan (Kelipatan sebanyak ) INPUT : Titik P, dan merupakan integer positif acak dengan,, OUPUT : Mulai 1. Pilih suatu integer acak dan diubah menjadi basis 2 2. Misalkan 3. Jika hanya terdapat satu titik P, maka a. Nilai yaitu nilai P b. Selesai 4. Untuk langkah kedua, lakukan sampai i kali apabila terdapat beberapa titik yang sama dengan cara a. Nilai yaitu nilai. Jadi apabila terdapat dua titik yang sama dan masing-masing bisa dipasangkan, titik tersebut digandakan sampai i sehingga ditemukan satu titik. b. Jika operasi ke i kali yang nilai biner 1 (terdapat satu titik yang tidak ada pasangan untuk digandakan), maka lakukan 1. Titik yang digandakan sebelumnya dijumlahkan dengan satu titik yang tidak mempunyai pasangan sehingga proses a 2. Selesai c. Selesai 5. Tampilkan titik 3.3 Aritmetika Kurva Eliptik Non- Supersingular. Misalkan adalah field dengan karakteristik prima 2 Non-Supersingular dengan bentuk sederhana dari persamaan kurva eliptiknya adalah : dengan, dan 0. Didefinisikan persamaan kurva eliptik Non-Supersingular,.

17 8 1. Misalkan terdapat titik, sembarang. Karena syarat 0, maka titik 0,0 dijamin tidak terletak pada kurva dan dapat digunakan untuk merepresentasikan 0,0. Akibatnya, 0,0,. 2. Dengan titik 0,0 yang direpresentasikan dengan titik di tak-hingga maka untuk setiap,, terdapat invers dari yang dinotasikan dengan, berlaku, 0,0. dimana. 3. Untuk setiap, dimana,,, dan maka titik yang akan dicari adalah,. Apabila ditelaah pada tiga titik pada E, maka berlaku tiga persamaan (2.1) (2.2) (2.3) Jika dilihat dari definisi secara geometri, maka P, Q dan, adalah segaris. Jika gradiennya dimisalkan dengan λ maka diperoleh persamaan (2.4) Kemudian dari penjumlahan persamaan (2.1) dan (2.3) yang kemudian dimodulokan dengan dua diperoleh / (2.5) Dengan cara yang sama dari persamaan (2.2), (2.3), dan (2.4) diperoleh (2.6) Dengan nilai gradien seperti pada (2.4), sehingga penjumlahan dari (2.5) dan (2.6) menghasilkan dan dari persamaan (2.4) diperoleh Dengan demikian, diperoleh, dimana dan dengan. 4. Untuk setiap, dan, titik yang ingin ditentukan adalah,. Dilihat secara geometri, titik dan, segaris. Titik dan, merupakan garis singgung kurva pada titik. Maka berlaku persamaan (2.7) (2.8) Dimisalkan gradiennya dengan (2.9) Kemudian, dengan turunan implisit dengan memisalkan,, dapat kita peroleh nilai yaitu (3.0) karena dalam biner, maka (2.8) menjadi, 1, 1 (3.1) Seperti pada penurunan persamaan (2.5), dari persamaan (2.7), (2.8), dan (2.9) diperoleh

18 9 dengan menerapkan persamaan (3.1) maka diperoleh Selanjutnya, dengan membagi kedua ruas dengan dan diterapkan juga persamaan (2.9) diperoleh Untuk mendapatkan nilai digunakan persamaan (2.9), maka diperoleh dengan persamaan (3.1) persamaan di atas menjadi 1 Akhirnya diperoleh, dimana dan 1 dengan. Dari uraian di atas, diperoleh aritmetik pada kurva eliptik Non-Supersingular sebagai berikut a. Titik di luar kurva yang digunakan adalah 0,0. b., dan, apabila dijumlahkan menghasilkan titik. c., sembarang. Misalkan,,, dan maka,, dimana dan adalah dan dengan. d. Untuk setiap, dan, berlaku, dimana dan dengan. Di bawah operasi di atas, maka kurva eliptik Non-Supersingular merupakan grup dengan unsur identitas 0,0 dan invers dari adalah,. 3.4 Algoritme Aritmetika Kurva Eliptik Non-Supersingular Pembangkitan Kurva K(a,b) INPUT : Memasukkan nilai m OUTPUT : Nilai kurva, Mulai 1. Pilih acak,. 2. Lakukan sampai i proses dengan syarat dengan cara a. Mengacak b. Selesai 3. Tampilkan, Menentukan Titik P(x,y) INPUT : Nilai kurva, OUTPUT : Titik, Mulai 1. Hitung 2. Lakukan sampai i proses apabila dengan cara a. Hitung b. Selesai. 3. Tampilkan, dengan dan Adisi Titik,, INPUT : P,, Q, dengan, OUTPUT : Titik, Mulai 1. Jika atau, maka a. b. 2. Jika dan, maka a. 0 b Jika. Maka a. b. c. 4. Jika tidak, maka : a. b. c Tampilkan,

19 Menentukan Invers (Negatif) Titik INPUT : Titik P, dengan, OUPUT : P, Mulai 1. Hitung 2. Tampilkan, Menentukan (kelipatan sebanyak k kali) INPUT : Titik P, dan merupakan integer positif acak dengan,, OUPUT : Mulai 1. Pilih suatu integer acak dan diubah menjadi basis 2 2. Misalkan 3. Jika hanya terdapat satu titik P, maka a. Nilai yaitu nilai P b. Selesai 4. Untuk langkah kedua, lakukan sampai i kali apabila terdapat beberapa titik yang sama dengan cara a. Nilai yaitu nilai. Jadi apabila terdapat dua titik yang sama dan masing-masing bisa dipasangkan, titik tersebut digandakan sampai i sehingga ditemukan satu titik. b. Jika operasi ke i kali yang nilai biner 1 (terdapat satu titik yang tidak ada pasangan untuk digandakan), maka lakukan 1. Titik yang digandakan sebelumnya dijumlahkan dengan satu titik yang tidak mempunyai pasangan sehingga proses a 2. Selesai c. Selesai 5. Tampilkan titik 3.5 ElGamal Kurva Eliptik atas Untuk penerapan kurva eliptik dalam algoritme ElGamal, maka terdapat beberapa perubahan yang terjadi dalam algoritme tersebut. Perubahannya dari grup multiplikatif yang digeneralisasi menjadi aritmetik kurva eliptik. Berikut langkah-langkah penyandian dengan grup multiplikatif digeneralisasi. Diilustrasikan A mengirim pesan kepada B. 1. Algoritme 1 Pembangkitan Kunci B membuat sebuah kunci publik dan kunci pribadi. Hal yang dilakukan adalah a. Memilih suatu grup siklik berorder dengan generator. b. Memilih suatu integer acak a dalam 11. c. Menghitung. d. Kunci publik B adalah, dan kunci pribadi B adalah a. e. Kemudian kunci publik tersebut dikirimkan ke A. 2. Algoritme 2 Enkripsi A menyandikan atau me-enkripsi sebuah pesan m ke B. Langkah-langkah yang harus dilakukan oleh A adalah a. Memperoleh kunci publik,. b. Merepresentasikan pesan tersebut sebagai suatu integer c. Memilih integer acak k, dimana positif. d. Menghitung dan. e. Mengirim siferteks, ke B. 3. Algoritme 3 Dekripsi Untuk menemukan kembali m dari c, B harus melakukan hal-hal berikut a. Menggunakan kunci pribadi a untuk menghitung. Dengan catatan. b. Menemukan kembali m dengan menghitung, sehingga diperoleh. (Menezes et al. 1996) Sedangkan untuk aritmetika kurva eliptik digunakan aturan definisi grup kurva eliptik dengan menggunakan proses adisi. Perubahan yang terjadi adalah a. menjadi Sebanyak kali b. menjadi. Oleh karena itu, algoritme ElGamal dalam grup multiplikatif diatas diganti menjadi aritmetika kurva eliptik (diilustrasikan A mengirim pesan ke B). 1. Algoritme 1 Pembangkitan Kunci B membuat sebuah kunci publik dan kunci pribadi. Hal yang dilakukan adalah a. Memilih suatu generator, yang merupakan titik pada kurva eliptik.. b. Memilih suatu integer acak a dalam 11. c. Menghitung. d. Kunci publik B adalah, dan kunci pribadi B adalah a. e. Mengirim kunci publik ke A.

20 11 2. Algoritme 2 Enkripsi A menyandikan atau me-enkripsi sebuah pesan m ke B. Langkah-langkah yang harus dilakukan oleh A adalah a. Memperoleh kunci publik,. b. Merepresentasikan pesan tersebut sebagai suatu titik. c. Memilih integer acak k, 1 1 d. Menghitung dan. e. Mengirim siferteks, ke B. 3. Algoritme 3 Dekripsi Untuk menemukan kembali m dari c, B harus melakukan hal-hal berikut a. Menggunakan kunci pribadi a untuk menghitung. b. Menemukan kembali pesan m dengan menghitung, sehingga diperoleh. Contoh ElGamal Kurva Eliptik (Lihat Lampiran 4) : Diilustrasikan Andi mengirim pesan kepada Beni. Hal pertama yang dilakukan Beni adalah membuat kunci pribadi dan kunci publik. Dimisalkan menggunakan aritmetik kurva eliptik Non- Supersingular. Hal ini dikarenakan langkahlangkah yang dilakukan sama. 1. Algoritme 1 Pembangkitan Kunci. a. Beni memilih generator yang merupakan suatu titik pada kurva eliptik., 2,5,7,9, 0,1,3, 4,5,7,8. b. Beni memilih integer acak yang nantinya merupakan kunci pribadi 93. c. Kemudian menghitung 2,7,8, 0,1,6,8,9. d. Kunci Publik adalah, dengan nilai 2,5,7,9, 0,1,3,4,5,7,8, 2,7,8, 0,1,6,8,9. 2. Algoritme 2 Enkripsi Setelah menerima kunci publik dari Beni, Andi menyandi pesan tersebut dengan menggunakan kunci tersebut. Kemudian yang dilakukan Andi adalah a. Membangkitkan pesan. Di sini dimisalkan pesan yang dibangkitkan Andi adalah suatu titik 1,2,3,4,5,8, 3,5,8,9. b. Kemudian Andi memilih sembarang integer 53. c. Setelah itu Andi mencari nilai 0,1,2,3,6,7,9, 2,5,6,9. Kemudian, mencari nilai 3,4,5,8,9, 0,2,3,7,9. d. Nilai yang diperoleh tersebut dikirim kepada Beni dalam bentuk siferteks, 0,1,2,3,6,7,9, 2,5,6,9, 3,4,5,8,9, 0,2,3,7,9. 3. Algoritme 3 Dekripsi Setelah Beni menerima siferteks, barulah dia menemukan kembali pesan yang telah disandikan tersebut dengan menggunakan kunci pribadi yang hanya dia sendiri yang mengetahuinya dengan cara a. Mencari dimana a merupakan kunci pribadi, sehingga diperoleh 0,1,3,4,5,7,9, 1,3,5,6. b. Menemukan kembali m dengan menghitung sehingga diperoleh pesan yang sama seperti pesan yang belum disandikan 1,2,3,4,5,8, 3,5,8,9. Terlihat dengan jelas bahwa dalam melakukan penyandian tersebut, digunakan empat prinsip hukum grup dari kurva eliptik. Titik yang diperoleh di atas merupakan suatu himpunan. Himpunan-himpunan tersebut merupakan pangkat dari definisi. Misalkan contoh pesan yang digunakan pada contoh di atas. Pasangan titik 1,2,3,4,5,8, 3,5,8,9 sama dengan pasangan polinomial , Sedangkan untuk nilai 1 merupakan nilai untuk a. Ini dikarenakan berapapun nilai a dan dimodulokan dengan dua, hasilnya hanya mempunyai nilai 0 atau 1.

21 IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan Terdapat dua kasus untuk kurva eliptik dalam field biner yaitu Supersingular dan Non-Supersingular. Aritmetik baru yang diperoleh dari kurva eliptik field biner ini merupakan proses adisi yang disebut dengan hukum grup kurva eliptik. Proses adisi tersebut adalah penjumlahan dengan suatu titik dengan unsur identitas, penjumlahan suatu titik dengan invers titik tersebut, penjumlahan dua titik yang berbeda, dan doubling. Aritmetik yang diperoleh dari penjumlahan tersebut adalah 1. Kurva eliptik Supersingular a. Terdapatnya identitas, sehingga. b. Adanya invers,,. c. Untuk adisi,,, diperoleh dan dengan. d. Untuk doubling,,, nilai dan nilai dengan. 2. Kurva eliptik Non-Supersingular a. Terdapatnya identitas, sehingga. b. Adanya invers,,. c. Untuk adisi,,, nilai dan dengan. d. Untuk doubling,, dimana nilai dan nilai dengan. Dari hukum grup ini dapat dibentuk prosedur dalam Maple 12 dan juga dapat digabung dengan ElGamal. Dalam penggabungan ini, dihasilkan pesan yang sebelum disandikan identik dengan pesan yang telah disandikan. Ini menunjukkan ElGamal yang semula dalam grup multiplikatif digeneralisasi menjadi ElGamal Kurva Eliptik dalam field. 4.2 Saran Dalam karya ilmiah ini, penulis hanya melakukan pencarian titik pada kurva dan melakukan proses adisi struktur grup kurva eliptik. Di samping itu juga, penulis hanya mencoba menggabungkan aritmetik ini dengan ElGamal. Jadi, masih terdapat kekurangan diantaranya membandingkan keamanan suatu pesan pada ElGamal kurva eliptik Supersingular dengan Non- Supersingular. Semoga tulisan ini dapat menjadi inspirasi. DAFTAR PUSTAKA Aliatiningtyas N Struktur Aljabar. Bogor: Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Fraleigh Abstract Algebra. United States of America: Addison-Wesley Publishing Company. Guritman S Struktur Aljabar. Bogor: Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Hankerson, Menezes, Vanstone Guide to Elliptic Curve Cryptography. New York: Springer-Verlag Inc. Menezes, Oorschot Van, Vanstone Handbook of Applied Cyrptography. Massachusetts Institute of Technology. Rosdiana S Konstruksi Algoritme Aritmetik G2 dengan Operasi Perkalian Dibangkitkan dari Sifat Grup Siklik [Tesis]. Bogor: Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

22 LAMPIRAN

23 14 1. Algoritme Aritmetika a. Prosedur UbahBinKeDes Deskripsi : Prosedur mengubah Vektor Biner ke Desimal dari Order Rendah ke Order Tinggi UbahBinKeDes := proc( N::list ) local D1, D2 :: list, Des::integer; D1:=map(x -> 2^x,[seq(i,i=0..(nops(N)-1))]): D2:=[seq(N[j]*D1[j],j=1..nops(N))]: Des:=add( i, i=d2 ); b. Prosedur UbahDesKeBin Deskripsi : Prosedur mengubah Desimal ke Vektor Biner dari Order Rendah ke Order Tinggi UbahDesKeBin := proc(b::integer,m::integer) local K,KVek,Kv::list, i::integer: K := B mod 2^m; Kv:=convert(K,base,2): KVek:=[op(Kv),seq(0*i,i=(nops(Kv)+1)..m)]: c. Prosedur UbahBinKeSet Deskripsi : Prosedur mengubah Vektor Biner ke dalam himpunan (dari Order Rendah ke Order Tinggi) UbahBinKeSet:= proc( Cr::list) local H::set, i,n::integer: n := nops(cr): H:={}: for i from 1 to n do if Cr[i]=1 then H:=H union {i-1}: end if: end do: return(h): d. Prosedur UbahDesKeSet Deskripsi : Prosedur mengubah bilangan desimal ke dalam bentuk himpunan UbahDesKeSet:=proc(n::integer) local X::list: X:=convert(n,base,2): UbahBinKeSet(X); e. Prosedur UbahSetKeDes Deskripsi : Prosedur mengubah bentuk himpunan ke dalam bilangan desimal UbahSetKeDes := proc( N::set ) local D::set, Des::integer; D:=map(x -> 2^x,N): Des:=add( i, i=d ); f. Prosedur UbahSetKeBin Deskripsi : Prosedur mengubah bentuk himpunan ke dalam Vektor Biner UbahSetKeBin := proc( N::set, m::integer ) local D::set, Des::integer; Des:=UbahSetKeDes(N): UbahDesKeBin(Des,m); g. Prosedur AcakSet Deskripsi : Prosedur untuk membangkitkan himpunan acak dalam AcakSet:=proc(m::posint) local AcIn::procedure, p::integer:

24 AcIn := rand(2^m): p:=acin(): UbahDesKeSet(p); h. Prosedur AdisiSet Deskripsi : Prosedur menjumlahkan dua himpunan AdisiSet:=proc(S::set,T::set) return((s union T) minus (S intersect T)); i. Prosedur ReduSet Deskripsi : Prosedur menghilangkan nilai 0 pada vektor biner ReduSet:=proc(n::integer,m::posint) local H,G,K,S::set, i,j,k::integer: S:=DatB[m]: if n<0 or n>(2*m-2) then return(false): elif 0<=n and n<m then return({n}); else H:=map(x->(x+(n-m)),S); end if: return(h): j. Prosedur ModSet Deskripsi : Prosedur untuk menentukan dimana merupakan set ModSet:=proc(T::set,m::posint) local G,K,H,R::set, i::integer: if max(op(t))>(2*m-2) then error end if; R:={seq(i,i=m..(2*m-2))}: K:= T intersect R: G:=T: for i while K<>{} do H:=ReduSet(max(op(K)),m): G:=AdisiSet(G minus {max(op(k))},h): K:= G intersect R: end do: return(g); k. Prosedur KaliSet Deskripsi : Prosedur untuk mengalikan set KaliSet:=proc(A::set,B::set) local H::set, i,j::integer: H:={}: for i in A do H:=AdisiSet(H,map(j->(j+i),B)): end do: return(h): l. Prosedur MultiSet Deskripsi : Prosedur mengalikan set dengan menggunakan modulo MultiSet:=proc(A::set,B::set,m::integer) local H::set: H:=KaliSet(A,B): ModSet(H,m); m. Prosedur BagiSet Deskripsi : Prosedur membagi set BagiSet:=proc(T::set,S::set) local K,Q,R::set, i,r,s,t::integer: R:=T: Q:={}: r:=max(op(r)): s:=max(op(s)): 15

25 for i while r>=s do t:=r-s: Q:=Q union {t}: K:=KaliSet({t},S): R:=AdisiSet(K,R): r:=max(op(r)): end do: return([q,r]); n. Prosedur InvSet Deskripsi : Prosedur mencari invers dari set InvSet:=proc(T::set,m::integer) local QA,QB,RA,RB,R,S,Tmp::set, L::list, i::integer: S:=DatB[m]: if T={} then return("tidak ada invers") end if: RA:=S union {m}: RB:=T: QA:={}: QB:={0}: L:=BagiSet(RA,RB): RA:=RB: RB:=op(2,L): for i while RB<>{} do Tmp:=QA: QA:=QB: R:=KaliSet(QB,op(1,L)): QB:=AdisiSet(Tmp,R): L:=BagiSet(RA,RB): RA:=RB: RB:=op(2,L): end do: return(qb); o. Prosedur DivSet Deskripsi : Prosedur membagi A oleh B modulo m DivSet:=proc(A::set,B::set,m::integer) local ib::set: ib:=invset(b,m); MultiSet(A,iB,m); (Rosdiana 2009) 16

26 17 2. Konstruksi Aritmetika Kurva Eliptik a. Prosedur Menentukan Kurva Eliptik 2^m dengan 1. Supersingular m:=10; ECAcakABCSs:=proc(m::posint) local A,B,C::set,i::integer; A:=AcakSet(m); B:=AcakSet(m); C:=AcakSet(m); for i while B={}do B:=AcakSet(m); end do; for i while C={}do C:=AcakSet(m); end do; return ([A,B,C]); Contoh : K:=ECAcakABCSs(m); 2. Non-Supersingular ECAcakABNs:=proc(m::posint) local A,B::set,i::integer; A:=AcakSet(m); B:=AcakSet(m); for i while B={}do B:=AcakSet(m); end do; return ([A,B]); Contoh : K:=ECAcakABNs(m); b. Prosedur Menentukan Titik-titik Kurva Eliptik 2^m 1. Supersingular AcakPtSs:=proc(K::list,m::posint) local X,Y,H,G,T,U,S::set, i,t::integer: X:=AcakSet(m); Y:=AcakSet(m); H:=MultiSet(K[3],Y,m); G:=MultiSet(Y,Y,m); H:=AdisiSet(G,H); G:=MultiSet(X,X,m); T:=MultiSet(X,G,m); H:=AdisiSet(H,T); U:=MultiSet(K[1],X,m); H:=AdisiSet(H,U); S:=AdisiSet(H,K[2]); for i while S<>{} do X:=AcakSet(m); Y:=AcakSet(m); H:=MultiSet(K[3],Y,m); G:=MultiSet(Y,Y,m); H:=AdisiSet(G,H);

27 18 G:=MultiSet(X,X,m); T:=MultiSet(X,G,m); H:=AdisiSet(H,T); U:=MultiSet(K[1],X,m); H:=AdisiSet(H,U); S:=AdisiSet(H,K[2]); end do: return([x,y]); Contoh : P:=AcakPtSs(K,m); 2. Non-Supersingular AcakPtNS:=proc(K::list,m::posint) local X,Y,H,G,T,U,S::set, i,t::integer: X:=AcakSet(m); Y:=AcakSet(m); H:=MultiSet(X,Y,m); G:=MultiSet(Y,Y,m); H:=AdisiSet(G,H); G:=MultiSet(X,X,m); T:=MultiSet(X,G,m); H:=AdisiSet(H,T); U:=MultiSet(K[1],G,m); H:=AdisiSet(H,U); S:=AdisiSet(H,K[2]); for i while S<>{} do X:=AcakSet(m); Y:=AcakSet(m); H:=MultiSet(X,Y,m); G:=MultiSet(Y,Y,m); H:=AdisiSet(G,H); G:=MultiSet(X,X,m); T:=MultiSet(X,G,m); H:=AdisiSet(H,T); U:=MultiSet(K[1],G,m); H:=AdisiSet(H,U); S:=AdisiSet(H,K[2]); end do: return([x,y]); Contoh : P:=AcakPtNs(K,m); c. Prosedur Aritmetika Kurva Eliptik 2^m 1. Supersingular AddPtBinSs:=proc(X::list,Y::list,K::list,m::posint) local A,B,T,S,L,H,G::set: if X=[{},{}] or Y=[{},{}] then A:=AdisiSet(X[1],Y[1]); B:=AdisiSet(X[2],Y[2]); return([a,b]); end if: T:=AdisiSet(X[2],Y[2]); if X[1]=Y[1] and T=K[3] then return([{},{}]); elif X<>Y then T:=AdisiSet(X[1],Y[1]):

28 19 S:=AdisiSet(X[2],Y[2]): L:=DivSet(S,T,m): H:=MultiSet(L,L,m): H:=AdisiSet(H,T): G:=AdisiSet(H,X[1]): G:=MultiSet(G,L,m); G:=AdisiSet(G,X[2]): G:=AdisiSet(G,K[3]): return([h,g]); else T:=MultiSet(X[1],X[1],m): L:=AdisiSet(K[1],T): L:=DivSet(L,K[3],m): H:=MultiSet(L,L,m): G:=AdisiSet(H,X[1]): G:=MultiSet(G,L,m); G:=AdisiSet(G,X[2]): G:=AdisiSet(G,K[3]): return([h,g]); end if: Contoh : Infinity:=AddPtBinSs(P,nP,K,m); Q:=AcakPtSs(K,m); F:=AcakPtSs(K,m); Periksa Komutatif R:=AddPtBinSs(Q,F,K,m); S:=AddPtBinSs(F,Q,K,m); Periksa Assosiatif M:=AcakPtSs(K,m): V:=AddPtBinSs(F,M,K,m): C:=AddPtBinSs(M,Q,K,m): V:=AddPtBinSs(V,Q,K,m); V:=AddPtBinSs(F,C,K,m); 2. Non-Supersingular AddPtBinNs:=proc(X::list,Y::list,K::list,m::posint) local A,B,T,S,L,U::set: if X=[{},{}] or Y=[{},{}] then A:=AdisiSet(X[1],Y[1]); B:=AdisiSet(X[2],Y[2]); return([a,b]); end if: T:=AdisiSet(X[2],Y[2]); if X[1]=Y[1] and T=X[1] then A:={}: B:={}: return([a,b]); elif X<>Y then U:=AdisiSet(X[1],Y[1]): S:=AdisiSet(X[2],Y[2]): L:=DivSet(S,U,m):

29 20 T:=MultiSet(L,L,m): A:=AdisiSet(L,T): A:=AdisiSet(A,K[1]): A:=AdisiSet(A,U): B:=AdisiSet(X[2],A): S:=AdisiSet(X[1],A): S:=MultiSet(S,L,m): B:=AdisiSet(B,S): return([a,b]); else S:=MultiSet(X[1],X[1],m): T:=DivSet(K[2],S,m): A:=AdisiSet(S,T): T:=DivSet(X[2],X[1],m): L:=AdisiSet(X[1],T): B:=MultiSet(A,L,m): B:=AdisiSet(B,S): B:=AdisiSet(A,B): return([a,b]); end if: Contoh : Q:=AcakPtNs(K,m); F:=AcakPtNs(K,m); Periksa Komutatif R:=AddPtBinNs(Q,F,K,m); R:=AddPtBinNs(F,Q,K,m); Periksa Assosiatif M:=AcakPtNs(K,m): V:=AddPtBinNs(F,M,K,m): C:=AddPtBinNs(M,Q,K,m): V:=AddPtBinNs(V,Q,K,m); V:=AddPtBinNs(F,C,K,m); d. Prosedur Negasi Titik 1. Supersingular NegPtSs:=proc(P::list,K::list,m::posint) local H::set, i::integer: H:=AdisiSet(P[2],K[3]): subsop(2=h,p); Contoh : np:=negptss(p,k,m); P; Infinity:=AddPtBinSs(P,nP,K,m); 2. Non-Supersingular NegPtNs:=proc(P::list,K::list,m::posint) local H::set, i::integer: H:=AdisiSet(P[1],P[2]); subsop(2=h,p);

30 21 Contoh : np:=negptns(p,k,m); P; Infinity:=AddPtBinNs(P,nP,K,m); e. Prosedur Kelipatan titik P sebanya k kali 1. Supersingular MulPtBinSs:=proc(P::list,k::integer,K::list,m::posint) local H,G,X::list, i::integer: X:=convert(k,base,2); G:=P: H:=[{},{}]: if op(1,x)=1 then H:=G: end if: for i from 2 to nops(x) do G:=AddPtBinSs(G,G,K,m); if op(i,x)=1 then H:=AddPtBinSs(H,G,K,m): end if: end do: return(h); Contoh: R:=MulPtBinSs(P,5,K,m): T:=MulPtBinSs(R,6,K,m); S:=MulPtBinSs(P,6,K,m): S:=MulPtBinSs(S,5,K,m); 2. Non-Supersingular MulPtBinNs:=proc(P::list,k::integer,K::list,m::posint) local H,G,X::list, i::integer: X:=convert(k,base,2); G:=P: H:=[{},{}]: if op(1,x)=1 then H:=G: end if: for i from 2 to nops(x) do G:=AddPtBinNs(G,G,K,m); if op(i,x)=1 then H:=AddPtBinNs(H,G,K,m): end if: end do: return(h); Contoh: R:=MulPtBinNs(P,5,K,m): T:=MulPtBinNs(R,6,K,m); S:=MulPtBinNs(P,6,K,m): S:=MulPtBinNs(S,5,K,m);

31 22 3. ElGamal a. Prosedur Yang Digunakan Secara Rutin (mencari,, dan a) p := nextprime(rand(1..10^40)()); p := ; alpha := 5; a := rand(10..p-10)() mod p; a := ; beta := Power(alpha,a) mod p; b. Kunci Publik dan Kunci Privat KunciPublik := [p,alpha,beta]; KunciPribadi := a; c. Enkripsi Pesan := ; k := rand(10..p-10)(); k := ; gama := Power(alpha,k) mod p; Topeng := (Power(beta,k) mod p); delta := Topeng*(Pesan) mod p; Kirim := [gama,delta]; d. Dekripsi Topeng := Power(Kirim[1],a) mod p; BukaTopeng := 1/Topeng mod p; PesanDiTerima := Kirim[2]*BukaTopeng mod p; PesanDiTerima := Kirim[2]*(Power(1/Kirim[1],a) mod p) mod p; (Menezes et al. 1996)

32 23 4. ElGamal Kurva Eliptik a. Prosedur Yang Digunakan Secara Rutin Prosedur yang digunakan sama dengan kurva eliptik, hanya saja ditambah prosedur kasus supersingular dan non-supersingular untuk mencari kurva, titik, proses adisi, dan kelipatan titik untuk masing-masing kasus. b. Pembuatan Kunci with(randomtools): 1. Supersingular Privat:=Generate(integer(range=1..99)); m:=10; K:=ECAcakABCSs(m); alpha:=acakptss(k,m); beta:=mulptbinss(alpha,privat,k,m); Publik:=[alpha,beta]; 2. Non-Supersingular Privat:=Generate(integer(range=1..99)); m:=10; K:=ECAcakABNs(m); alpha:=acakptns(k,m); beta:=mulptbinns(alpha,privat,k,m); Publik:=[alpha,beta]; c. Enkripsi 1. Supersingular Pesan:=AcakPtSs(K,m); k:=generate(integer(range=1..99)); Publik; gama:=mulptbinss(publik[1],k,k,m); N:=MulPtBinSs(Publik[2],k,K,m); delta:=addptbinss(pesan,n,k,m); kirim:=[gama,delta]; 2. Non-Supersingular Pesan:=AcakPtNs(K,m); k:=generate(integer(range=1..99));

33 24 Publik; gama:=mulptbinns(publik[1],k,k,m); N:=MulPtBinNs(Publik[2],k,K,m); delta:=addptbinns(pesan,n,k,m); kirim:=[gama,delta]; d. Dekripsi 1. Supersingular kirim; w:=mulptbinss(kirim[1],privat,k,m); w:=negptss(w,k,m); Terima:=AddPtBinSs(kirim[2],w,K,m); convert(pesan=terima,'truefalse'); # digunakan untuk memastikan apakah Pesan sebelum dienkripsi sama dengan Pesan setelah didekripsikan. 2. Non-Supersingular kirim; w:=mulptbinns(kirim[1],privat,k,m); w:=negptns(w,k,m); Terima:=AddPtBinNs(kirim[2],w,K,m); convert(pesan=terima,'truefalse'); # digunakan untuk memastikan apakah Pesan sebelum dienkripsi sama dengan Pesan setelah didekripsikan.