BAB IV KURVA ELIPTIK DAN ID BASED CRYPTOSYSTEM
|
|
- Sugiarto Sutedja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB IV KURVA ELIPTIK DAN ID BASED CRYPTOSYSTEM 4.1. Kurva Eliptik Misalkan p adalah bilangan prima yang lebih besar dari 3. Sebuah kurva eliptik atas lapangan hingga dengan ukuran p dinotasikan dengan GF(p) dan diberikan oleh sebuah persamaan dalam bentuk y 2 = x 3 + ax + b, dimana a, b GF(p). (Persamaan atas lapangan hingga dengan ukuran 2 n dinotasikan sebagai GF(2 n ) akan sedikit berbeda, dan akan dibahas nanti.) Himpunan titik-titik pada kurva adalah kumpulan pasangan terurut (x, y) yang merupakan koordinat pada lapangan sehingga x dan y memenuhi persamaan yang mendefinisikan kurva tersebut, ditambah dengan titik tambahan O yang disebut sebagai titik tak hingga. Titik-titik ini membentuk sebuah grup abelian E dengan operasi khusus atas GF(p). E = {(x, y) O (x, y) memenuhi persamaan y 2 = x 3 + ax + b, x, y GF(p)} Operasi Grup Pada Kurva Eliptik Misalkan P, Q E, l adalah garis yang mengandung P dan Q (garis singgung jika P = Q) dan R, titik ke tiga perpotongan l dengan E. Misalkan l adalah garis yang menghubungkan R dengan O. Maka P + Q adalah titik sehingga garis l memotong E di R, O, P + Q. Catatan : untuk selanjutnya operasi penjumlahan pada grup ini akan dilambangkan dengan lambang + Asumsikan bahwa P = (x P, y P ) dan Q = (x Q, y Q ) berada dalam kurva, λ adalah gradien garis yang melalui P dan Q, maka koordinat dari P + Q = (x P+Q, y P+Q ) adalah x P+Q = λ 2 x P x Q dan y P+Q = λ x P x P+Q y P, di mana λ = y Q y P x Q x P, jika P Q 3x 2 P + a, jika P = Q 2y P 21
2 Titik tak hingga memainkan peranan sebagai elemen identitas, yaitu, P + O = O + P = P untuk sebarang titik P E. Setiap titik memiliki elemen invers tunggal P sehingga P + ( P) = O. Untuk P = (x P, y P ) pada kurva eliptik E atas GF(p), invers penjumlahan tersebut didefinisikan dengan P = (x P, y P ). Kategori lain dari kurva eliptik didefinisikan atas lapangan hingga dengan ukuran 2 n dinotasikan dengan GF(2 n ). Persamaan yang mendefinisikan eliptic curve atas GF(2 n ) adalah dalam bentuk y 2 + xy = x 3 + ax 2 + b, dimana a, b GF(2 n ). Operasi penjumlahan terhadap titik P dan Q adalah sebagai berikut : x P+Q = λ 2 + λ + x P + x Q + a dan y P+Q = λ x P + x P+Q + x P+Q + y P, di mana λ = y Q + y P x Q + x P jika P Q x P + y P x P jika P = Q Invers dari titik P = (x P, y P ) E atas lapangan biner GF(2 n ) didefinisikan oleh P = (x P, x P + y P ). Untuk kurva eliptik, operasi pada grup ditulis sebagai penjumlahan bukan perkalian. Jadi pemangkatan pada grup multiplikatif secara umum dapat disebutkan sebagai perkalian dengan skalar dalam grup kurva eliptik. Yang mana kita nyatakan sebagai rp yaitu P + P + + P sebanyak r kali, untuk sebuah integer r Zero dan Pole Dari Fungsi Rasional Misalkan f x, y adalah sebuah fungsi rasional pada kurva eliprik E x, y = 0, dimana 0 GF(p), atau secara umum pada lapangan tempat kurva eliptik berada. Untuk titik P f E, P disebut zero jika f P = 0 dan pole jika f x, y =, kita dapat tuliskan = 0 1. Dalam lapangan hingga, sebuah zero f P = 0 dapat difaktorisasi menjadi f P = 0 i g(p) sedemikian sehingga i adalah sebuah bilangan bulat positif dan g adalah fungsi rasional yang memenuhi g(p) 0 dan g(p). Jelas, bahwa dalam faktorisasi ini, jika g P = 0 maka kita dapat menaikkan nilai i sampai g(p) 0; jika 22
3 g P = maka kita dapat mengurangi i sampai g(p). Hal ini memungkinkan karena pada lapangan hingga tidak memiliki pembagi nol. Jika kita menuliskan sebagai 0 1, kita dapat memfaktorisasi f P = menjadi 0 i g(p) untuk sebuah bilangan bulat i dan sebuah fungsi rasional g yang memenuhi g P 0 dan g(p). Misalkan ord P menunjukkan bilangan bulat i atau i, saat f(p) difaktorisasi dengan metode di atas. Nilai dari ord P menunjukkan seberapa kuat sebuah zero atau pole tersebut. Kita dapat menyatakan seperti ini : ord P > 0 jika P adalah sebuah zero ord P < 0 jika P adalah sebuah pole ord p = 0 jika P bukan zero atau pole (di mana E dan f tidak berpotongan) Orde Zero pada Fungsi Linear Misalkan L: y ux + v = 0 adalah sebuah garis (u 0). Sebuah zero P = (x 0, y 0 ) dari L = 0 adalah solusi terbatas yang diselesaikan dari bentuk L E: (ux + v) 2 = y 2 = x 3 + ax + b Kita bisa melihat bahwa x 0 adalah akar dari persamaan (ux + y) 2 x 3 + ax + b = 0. Jelas, bahwa 0 dapat difaktorisasi menjadi (x x 0 ) d g dengan g(x 0 ) 0 dan d = 2 1, 2 jika P titik singgung dan 1 untuk P yang lain. Karena itu ord P L = 1 jika L memotong E di P 2 jika L menyinggung E di P. 23
4 Orde Pole pada Fungsi Linear Sebuah garis L = ux + vy + w = 0 memotong E tidak hanya di titik ketika L pada E menghasilkan zero, tetapi juga di titik infinity O di mana L pada E menghasilkan pole. Kita dapat menuliskan E menjadi Karena itu 1 y 2 = 1 x 3 (1 + a/x 2 + b/x 3 ) x = x y 2 1 (1 + a/x 2 + b/x 3 ) Kita tahu bahwa x y = 0 pada titik O; dan 1 mendapatkan ord O x = 2. Lebih jauh karena (1+ ) = 1 pada titik O; karena itukita y = x y 1 x = x y 3 1 (1 + a/x 2 + b/x 3 ) Kita mendapatkan ord O y = 3. Dengan mudah dapat dicek bahwa ord O ux = 2 dan ord O vy = 3 dan berlaku untuk sebarang u 0 dan v 0. Selain itu ord O ux + vy + w = 3 asalkan v 0. ord O ux + vy + w = 3 jika v o 2 jika v = 0, u 0 0 untuk keadaan lain 24
5 Divisor Divisor adalah sebuah bentuk formal : D = n P P E [P] di mana n P adalah sebuah bilangan bulat yang merupakan orde dari titik P dan [P] adalah simbol formal. Tanda kurung siku pada P hanyalah cara agar tidak terjadi kebingungan membedakan [P] dengan titik P. Sebagai contoh, i P + j[q] adalah sebuah divisor (bentuk formal) sedangkan ip + jq adalah sebuah titik di E. Dengan pertidaksamaan n P > 0 menyatakan bahwa titik P adalah sebuah zero dan n P < 0 menyatakan bahwa titik P adalah sebuah pole. Sebagai contoh, untuk P, Q, R E, D 1 = 2 P + 3 Q 3[R] menyatakan bahwa divisor D 1 memiliki zero di P dan Q dengan orde 2 dan 3, selanjutnya sebuah pole di R dengan orde 3. Dan D 2 = 2 P + 2P 3[O] menyatakan bahwa P dan 2P adalah zero dengan orde 2 dan 1, dan O adalah pole dengan orde 3 untuk divisor D 2. Kita dapat melihat bahwa tanda kurung siku berguna untuk memisahkan orde dengan titik yang dimaksud. Grup divisor pada E, dinyatakan sebagai Div(E), membentuk sebuah grup abelian dengan operasi penjumlahan berikut. Untuk D 1, D 2 Div(E), jika D 1 = P E n P [P], D 2 = P E m P [P], lalu D 1 + D 2 = P E n P [P] + P E m P [P] = P E (n P + m P )[P]. Untuk sebuah divisor D = P E n P [P] kita definisikan supp D = P E n P 0 sebagai pendukung dari divisor D, dan deg D = P E n P menyatakan derajat dari divisor D. Sebagai contoh, jika D 1 = 2 P + 3 Q 3[R], D 2 = 2 P + 2P 3[O], maka supp D 1 = P, Q, R, supp D 1 = P, 2P, O dan deg D 1 = = 2, deg D 1 = = 0. Mulai sekarang kita membahas hanya himpunan divisor yang berderajat nol, dilambangkan sebagai Div 0 (E). Misalkan f adalah fungsi rasional dari K K ke K, di mana K adalah lapangan hingga. Sebagai contoh, f x, y = 3y 2x 5. Evaluasi fungsi 5y +3y 2 rasional f pada titik P = (x P, y P ) di definisikan oleh f P = f(x P, y P ) dan evaluasi f 25
6 pada sebuah divisor D = n P [P] P E di definisikan sebagai f D = f(p) n P P supp (D). Divisor dari Fungsi Rasional Sebuah divisor menyediakan representasi untuk mengindikasikan apakah sebuah titik adalah zero atau pole beserta ordenya masing-masing terhadap sebuah fungsi rasional atas kurva eliptik. Misalkan f adalah sebuah fungsi rasional di E. Divisor dari f adalah div f = P E n P,f P, dengan n P,f adalah orde dari zero atau pole dari titik P di f. Derajat divisor dari sebuah fungsi rasional adalah nol; oleh karena itu div(f) Div 0 (E) untuk sebarang fungsi rasional f. Contoh: Misalkan P = (x P, y P ) E, f x, y = x x P, maka div f = div x x P = P + P 2[O]. P dan P adalah zero dari f karena hanya 2 titik tersebut yang berada di garis vertikal x x P = 0 dan di kurva eliptik E. Titik tak hingga O adalah pole dengan orde 2 karena div(f) Div 0 (E). Untuk 2 fungsi rasional, fungsi f 1 dan f 2, berlaku sifat : 1. div f 1 + div f 2 = div f 1 f 2 dan 2. div f 1 div f 2 = div(f 1 /f 2 ). Contoh : Misalkan E adalah kurva eliptik dengan persamaan y 2 = x 3 + 7x atas GF(13). Kita punya P = 4,1, Q = (5,2) E dan P + Q = (5,11). Ambil f x, y = y x+3. Karena P, Q, P + Q = 5,2 = Q terdapat di garis y x + 3 = 0, maka div y x + 3 = P + Q + P + Q 3 O = P + 2 Q 3[O]. Dan juga div x 5 = Q + Q + 2 O = Q + P + Q 2[O] karena Q, Q = 5,11 = P + Q berada di garis x 5 26
7 x 5 = 0. Karena itu, kita mendapatkan div f = div y x + 3 div x 5 = P + Q P + Q [O]. Sebuah divisor D Div 0 E dikatakan principal jika D = div(f) untuk sebuah fungsi rasional f. Divisor principal D = 0. P E n P (P) mempunyai ciri-ciri P E n P P = Contoh : misalkan D 3 = P + P 2[O], maka D 3 memenuhi deg D 3 = 0 dan P + P 2O = P P = O. Oleh karena itu D 3 adalah principal. Faktanya D 3 = div(x x P ) untuk fungsi x x P. Dua buah divisor D 1, D 2 Div 0 (E) dikatakan ekivalen (dinotasikan D 1 ~D 2 ) jika D 1 D 2 adalah principal. Untuk sebarang divisor D = terdapat sebuah titik unik P = R E n R (R) Div 0 (E), R E n R R E sedemikian sehingga D~ P [O]. Dengan kata lain D dapat selalu dituliskan dalam bentuk kanonik D = P O + div(f), di mana f adalah sebuah fungsi rasional. Sekarang kita akan memperkenalkan sebuah rumus untuk menambahkan dua buah divisor dalam bentuk kanonik. Rumus ini menyediakan sebuah metode untuk menemukan fungsi rasional dengan div f = D untuk sebuah divisor D, dan sangat berguna untuk menghitung Pasangan Weil. Misalkan D 1, D 2 Div 0 (E) dengan D 1 = P 1 O + div(f 1 ) dan D 2 = P 2 O + div(f 2 ). Kita asumsikan bahwa P 1 + P 2 = P 3. Misalkan P1,P 2 x, y = ay + bx + c adalah persamaan garis lurus yang melalui P 1 dan P 2, dan P3 (x, y) = x + d sebuah persamaan garis vertikal yang melalui P 3. (Dengan catatan bahwa jika P 1 = P 2, P1,P 2 x, y adalah garis singgung di P 1. Dan jika P 3 = O, maka P3 x, y = 1.) Lalu kita dapatkan div P1,P 2 = P 1 + P 2 + P 3 3[O] di mana P 1, P 2, dan P 3 adalah zero karena ketiga titik itu berada pada garis P1,P 2, dan div( P3 = P 3 + P 3 2[O]) di mana P 3, P 3 adalah zero karena keduanya berada pada garis P3. Dari persamaan-persamaan di atas, jumlah dari divisor D 1 + D 2 dapat dituliskan : 27
8 D 1 + D 2 = P 1 + P 2 2 O + div f 1 f 2 = P 3 O + div f 1 f 2 + div P1,P 2 div( P3 ) = P 3 O + div(f 1 f 2 P1,P 2 / P3 ) Persamaan akhir ini akan digunakan untuk menghitung pasangan weil Pasangan bilinear Misalkan G 1 adalah sebuah grup siklis yang dibangun oleh O, dengan orde prima q, dan G 2 adalah grup multiplikatif siklis dengan orde sama q. e: G 1 G 1 G 2 adalah pasangan bilinear jika memenuhi sifat-sifat berikut : 1. Bilinear e P, Q + R = e P, Q e P, R dan e P + R, Q = e P, Q e R, Q untuk setiap P, Q, R G Computability Terdapat algoritma yang efisien untuk menghitung e(p, Q) untuk semua P, Q G Non-degenerate Terdapat P G 1 dan Q G 1 sedemikian sehingga e(p, Q) Pasangan Weil Diberikan sebuah kurva eliptik E atas lapangan hingga K, misalkan m adalah sebuah bilangan bulat prima adalah car(k), karakteristik dari K. Sebagai contoh, car GF p = p dan car GF 2 m = 2. Pasangan weil adalah fungsi e = E[m] E[m] U m di mana E m = {P mp = O, P E}, U m adalah grup yang anggotanya akar dari x m = 1 di K. Pasangan weil e(p, Q) didefinisikan sebagai berikut. Diberikan P, Q E[m], terdapat divisor D P, D Q Div 0 E sedemikian sehingga D P ~ P [O] dan D P ~ Q [O]. Kemudian kita memilih titik T, U E[m] secara acak dan menetapkan D P = 28
9 P + T [T] dan D Q = Q + U [U]. Dengan mudah kita bisa mengetahui bahwa D P ~ P [O] dan D Q = Q [U]. Karena mp = mq = O, maka divisor md P dan md Q adalah principal dan terdapat fungsi rasional f P, f Q sedemikian sehingga div f P = md P dan div f Q = md Q. Misalkan supp D P supp D Q =, maka pasangan weil dari titik P dan Q didefinisikan : e P, Q = f P (D Q ) f Q (D P ). Pasangan weil memiliki sifat bilinear : untuk P, Q, R E[m], berlaku e P + Q, R = e P, Q e(q, R) dan e P, Q + R = e P, Q e(p, R). Algoritma pertama untuk menghitung e(p, Q) adalah sebagai berikut. Algoritma Miller INPUT OUTPUT Langkah 1. : P, Q E[m] : E(P, Q) Pilih sebarang titik T, U E sedemikian sehingga P + T, T, Q + U, U berbeda. Lalu buat D P = P + T [T] dan D Q = Q + U [U]. Langkah 2. Gunakan algoritma untuk menghitung f P Q + U, f P U, f Q P + T, f Q (T), di mana f P dan f Q memenuhi div f P = md P dan div f Q = md Q. Langkah 3. Hitung e P, Q = f P (D Q ) = f P Q+U f Q (T) f Q (D P ) f Q P+T f P (U) Bagian yang sangat penting dalam Algoritma Miller adalah algoritma menghitung fungsi evaluasi f P dan f Q di Langkah 2. Algoritma untuk menghitung f P (S) menghasilkan f P sedemikian sehingga div f P = md P, dan menghitung f P (x S, y S ) untuk S = (x S, y S ). Kita lihat kembali D P = P + T [T]. Untuk setiap integer k, terdapat sebuah fungsi rasional f k yang memenuhi div f k = k P + T k T kp + [O]. 29
10 Jika k = m, maka div f m = m P + T m T mp + O = m P + T m[t], dan f P = f m. Untuk sebarang titik R, S, misalkan R,S dan R adalah fungsi linear, di mana R,S x, y = 0 adalah garis lurus yang melewati R, S, dan R x, y = 0 adalah garis vertikal yang melalui R. Selanjutnya kita memiliki dan karenanya div f k1 +k 2 = k 1 + k 2 P + T k 1 + k 2 T k 1 + k 2 P + O = k 1 P + T k 1 T k 1 P + O +k 2 P + T k 2 T k 2 P + O + k 1 P + k 2 P + k 1 + k 2 P 3[O] { (k 1 + k 2 P + k 1 + k 2 P 2[O]} = div f k1 + div f k2 + div k1 P,k 2 P div( (k1 +k 2 )P) f k1 +k 2 = f k 1 f k2 k1 Pk 2 P. (k1 +k 2 )P Persamaan di atas adalah persamaan rekursif dengan kondisi awal f 0 = 1 dan f 1 = P+T P,T karena div f 1 = P + T T P + [O] = P + T + P + T 2 O { P + T + P + T 3[O]} = div P+T div P,T. Berdasarkan persamaan rekursif di atas, cara konvensional dengan metode double and add adalah metode yang diusulkan untuk mengevaluasi fungsi rasional f P pada titik S yang diberikan, di mana f P memenuhi div f P = m P + T m T. Algoritma yang dimaksud dengan algoritma double and add adalah sebagai berikut : 30
11 Algoritma Double and Add (Langkah 2, Algoritma Miller) INPUT : titik P, T, S dan ordenya m = n 1 i=0 b i 2 i dengan b i 0,1, b n 1 = 1 OUTPUT f 1 P+T(S) P,T (S) ; f f 1 ; Z P; : f m S = f P (S) for j n 2, n 3,,0 do endfor f f Z,Z(S) 2 ; Z 2Z; 2Z (S) if b i = 1 then endif return f f f 1 f Z,P (S) ; Z Z + P; Z+P (S) 4.4. ID Based Cryptosystem Skema ID based encryption (IBE) dengan menggunakan pemetaan bilinear yaitu pasangan weil atas kurva eliptik pertama kali dicetuskan oleh Boneh dan Franklin. Pemetaan bilinear mentransformasi sepasang anggota di grup G 1 dan memetakannya ke sebuah anggota di G 2 dalam sebuah cara yang memenuhi beberapa kriteria. Kriteria yang paling penting adalah kebilinearan itu sendiri, di mana ia haruslah bilinear untuk setiap pasangan anggota dari domain yang dimasukkan. Untuk membuat sebuah ID based cryptosystem diperlukan sebuah Private Key Generator yang berfungsi untuk menentukan s yaitu master key yang dijaga kerahasiaannya, lalu mengumumkan informasi-informasi yang diperlukan termasuk persamaan kurva eliptik yang akan dipakai, titik basis P, kunci publik sp, dan beberapa fungsi hash yang dipakai. Setiap pemakai memiliki kunci publik dinotasikan K U = Q ID yaitu sebuah titik pada kurva eliptik yang berkorespondensi dengan ID nya dan diketahui oleh semua pengguna. Kunci pribadi dinotasikan K R = sq ID, dimana s diperoleh dari PKG. 31
12 Misalkan Anita ingin mengirimkan pesan M kepada Budi maka enkripsi dan dekripsinya adalah sebagai berikut : Anita ingin mengirim pesan M. Ia memilih integer r random lalu mengirim : (U, V) = (rp, M (e(q ID, sp) r )) Ketika Budi menerima (U, V) kemudian dia menghitung : M = V (e(sq ID, U)). Dengan merupakan fungsi hash yang diumumkan PKG dan e adalah pasangan weil. Hal ini dapat terjadi karena sifat kebilinearan dari pasangan weil, yaitu e sq ID, U = e sq ID, rp = e(q ID, P) sr = e(q ID, sp) r. 32
ELLIPTIC CURVE CRYPTOGRAPHY. Disarikan oleh: Dinisfu Sya ban ( )
ELLIPTIC CURVE CRYPTOGRAPHY Disarikan oleh: Dinisfu Sya ban (0403100596) SEKOLAH TINGGI SANDI NEGARA BOGOR 007 A. Fungsi Elliptic Curves 1. Definisi Elliptic Curves Definisi 1. : Misalkan k merupakan field
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. enkripsi didefinisikan oleh mod dan menghasilkan siferteks c.
enkripsi didefinisikan oleh mod dan menghasilkan siferteks c 3 Algoritme 3 Dekripsi Untuk menemukan kembali m dari c, B harus melakukan hal-hal berikut a Menggunakan kunci pribadi a untuk menghitung mod
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Universitas Sumatera Utara
5 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Kriptografi Kriptografi adalah ilmu yang mempelajari bagaimana mengirim pesan secara rahasia sehingga hanya orang yang dituju saja yang dapat membaca pesan rahasia tersebut.
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperinciSkema Boneh-Franklin Identity-Based Encryption dan Identity-Based Mediated RSA
Skema Boneh-Franklin Identity-Based Encryption dan Identity-Based Mediated RSA Dedy Sutomo, A.Ais Prayogi dan Dito Barata Departemen Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung Jalan Ganesha 10 Bandung
Lebih terperinciBab 2: Kriptografi. Landasan Matematika. Fungsi
Bab 2: Kriptografi Landasan Matematika Fungsi Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi f dari A ke B adalah sebuah fungsi apabila tiap elemen di A dihubungkan dengan tepat satu elemen di B. Fungsi juga
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciKRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ELGAMAL UNTUK PROSES ENKRIPSI- DEKRIPSI CITRA DIGITAL BERWARNA
SEMINAR HASIL TUGAS AKHIR KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ELGAMAL UNTUK PROSES ENKRIPSI- DEKRIPSI CITRA DIGITAL BERWARNA Elliptic Curve ElGamal Cryptography For Encvryption- Decryption Process of Colored Digital
Lebih terperinciLAPORAN PENELITIAN EFISIENSI ALGORITME ARITMETIK ( ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK PADA KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK
LAPORAN PENELITIAN EFISIENSI ALGORITME ARITMETIK ( ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK PADA KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK Oleh : Dra. Eleonora Dwi W., M.Pd Ahmadi, M.Si FAKULTAS KEGURUAN DAN
Lebih terperinciKRIPTOSISTEM KURVA ELIPS (ELLIPTIC CURVE CRYPTOSYSTEM) Disarikan oleh: Dinisfu Sya ban ( )
KRIPTOSISTEM KURVA ELIPS (ELLIPTIC CURVE CRYPTOSYSTEM) Disarikan oleh: Dinisfu Sya ban (040100596) SEKOLAH TINGGI SANDI NEGARA BOGOR 007 PENDAHULUAN Pada tahun 1985, Neil Koblitz dan Viktor Miller secara
Lebih terperinciBAB V PROTOKOL PEMILIHAN ELEKTRONIK DENGAN MENGGUNAKAN PASANGAN BILINEAR
BAB V PROTOKOL PEMILIHAN ELEKTRONIK DENGAN MENGGUNAKAN PASANGAN BILINEAR Dalam Protokol ini ada 3 user yang terlibat, yaitu : 1. P: Pollster. Pollster atau pengumpul suara adalah satu set perangkat keras
Lebih terperinciElliptic Curve Cryptography (Ecc) Pada Proses Pertukaran Kunci Publik Diffie-Hellman. Metrilitna Br Sembiring 1
Elliptic Curve Cryptography (Ecc) Pada Proses Pertukaran Kunci Publik Diffie-Hellman Metrilitna Br Sembiring 1 Abstrak Elliptic Curve Cryptography (ECC) pada Proses Pertukaran Kunci Publik Diffie-Hellman.
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. membahas tentang penerapan skema tanda tangan Schnorr pada pembuatan tanda
BAB II DASAR TEORI Pada Bab II ini akan disajikan beberapa teori yang akan digunakan untuk membahas tentang penerapan skema tanda tangan Schnorr pada pembuatan tanda tangan digital yang meliputi: keterbagian
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciKriptografi Elliptic Curve Dalam Digital Signature
Kriptografi Elliptic Curve Dalam Digital Signature Ikmal Syifai 13508003 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Penyampaian pesan dapat dilakukan dengan media telephone, handphone,
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Sekarang ini teknologi untuk berkomunikasi sangatlah mudah. Penyampaian pesan dapat dilakukan dengan media telephone, handphone, internet, dan berbagai macam peralatan
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, penjelasan, dan teorema yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang diberikan diantaranya adalah definisi
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna. Seperti, teori keterbagian bilangan bulat, bilangan prima, kongruensi
Lebih terperinciMatematika
Fungsi dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain,
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi
MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi Skema Himpunan Kompleks Real Rasional Bulat Cacah Asli Genap Ganjil Prima Komposit Nol Bulat Negatif Pecahan Irasional Imajiner Pengertian
Lebih terperinciFungsi Grafik Fungsi. Kalkulus 1. Fungsi dan Grafik Fungsi. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Kalkulus 1 Fungsi dan Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu
Lebih terperinciLOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K.
LOGO MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K. BAB I. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK PERTAKSAMAAN SISTEM KOORDINAT GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA www.themegallery.com
Lebih terperinciKRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ELGAMAL UNTUK PROSES ENKRIPSI-DEKRIPSI CITRA DIGITAL BERWARNA
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2014) 1-6 1 KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ELGAMAL UNTUK PROSES ENKRIPSI-DEKRIPSI CITRA DIGITAL BERWARNA Gestihayu Romadhoni F. R, Drs. Daryono Budi Utomo, M.Si
Lebih terperinciPenggabungan Algoritma Kriptografi Simetris dan Kriptografi Asimetris untuk Pengamanan Pesan
Penggabungan Algoritma Kriptografi Simetris dan Kriptografi Asimetris untuk Pengamanan Pesan Andreas Dwi Nugroho (13511051) 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut
Lebih terperinciPenerapan Algoritma Elliptic Curve Cryptography Untuk Enkripsi dan Penandatanganan Data Pada Sistem Informasi Geografis (SIG)
Penerapan Algoritma Elliptic Curve Cryptography Untuk Enkripsi dan Penandatanganan Data Pada Sistem Informasi Geografis (SIG) Eric Cahya Lesmana (13508097) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik
Lebih terperinciKRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ELGAMAL UNTUK PROSES ENKRIPSI- DEKRIPSI CITRA DIGITAL BERWARNA
KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ELGAMAL UNTUK PROSES ENKRIPSI- DEKRIPSI CITRA DIGITAL BERWARNA Daryono Budi Utomo, Dian Winda Setyawati dan Gestihayu Romadhoni F. R Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Lebih terperinci4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4.1 Persamaan Garis a. Bentuk umum persamaan garis Garis lurus yang biasa disebut garis merupakan kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Misalnya titik A(2,1)
Lebih terperinciPERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
Lebih terperinciMBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari
MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi
Lebih terperinciRANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
RANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Universitas Negeri Surabaya Oleh Siti Rohmawati
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat dimengerti
BAB II LANDASAN TEORI A. Teori Bilangan Teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat dimengerti sekalipun
Lebih terperinciBEBERAPA FUNGSI KHUSUS
BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis sebagai landasan teori dalam penelitian ini yaitu teori bilangan, bilangan bulat modulo?, struktur aljabar dan masalah logaritma
Lebih terperinciHyperelliptic Curve Cryptography dan Penggunaannya pada Digital Signature
Hyperelliptic Curve Cryptography dan Penggunaannya pada Digital Signature Alwi Alfiansyah Ramdan 135 08 099 Program Studi Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha 10, Bandung e-mail: alfiansyah.ramdan@gmail.com
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Teori Bilangan 2.1.1 Keterbagian Jika a dan b Z (Z = himpunan bilangan bulat) dimana b 0, maka dapat dikatakan b habis dibagi dengan a atau b mod a = 0 dan dinotasikan dengan
Lebih terperinciy
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Grafik Menyesaikan persamaan ax 2 +bx+c=0. Berarti menentukan nilai-nilai x bila f(x) = 0, dimana f(x) = ax 2 +bx+c. apabila grafik fungsi f(x) telah dilukis, maka
Lebih terperinciPerbandingan Sistem Kriptografi Kunci Publik RSA dan ECC
Perbandingan Sistem Kriptografi Publik RSA dan ECC Abu Bakar Gadi NIM : 13506040 1) 1) Jurusan Teknik Informatika ITB, Bandung, email: abu_gadi@students.itb.ac.id Abstrak Makalah ini akan membahas topik
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang
BAB II KAJIAN TEORI Pada Bab II ini berisi kajian teori. Di bab ini akan dijelaskan beberapa definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang mendasari teori kode BCH. A. Grup
Lebih terperinciBab 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
Bab 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Data atau informasi tidak hanya disajikan dalam bentuk teks, tetapi juga dapat berupa gambar, audio (bunyi, suara, musik), dan video. Keempat macam data atau informasi
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)
Lebih terperinciPenerapan ECC untuk Enkripsi Pesan Berjangka Waktu
Penerapan ECC untuk Enkripsi Pesan Berjangka Waktu Dinah Kamilah Ulfa-13511087 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperincifungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi teorema sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan integer modulo aljabar abstrak masalah logaritma diskret
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Seiring dengan perkembangan teknologi informasi secara tidak langsung dunia komunikasi juga ikut terpengaruh. Dengan adanya internet, komunikasi jarak jauh dapat dilakukan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Kriptografi Berikut ini akan dijelaskan sejarah, pengertian, tujuan, dan jenis kriptografi.
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Kriptografi Berikut ini akan dijelaskan sejarah, pengertian, tujuan, dan jenis kriptografi. 2.1.1 Pengertian Kriptografi Kriptografi (cryptography) berasal dari bahasa yunani yaitu
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas)
I PENDAHULUAN Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di sehingga., maka disebut grup periodik dan disebut periode dari. Serta fakta bahwa
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar
4 II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar yang menunjang dan disajikan
Lebih terperinciLembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan
Lembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan N a m a : NIM/Kelas : Waktu Kuliah : Kompetensi Dasar dan Indikator: 1. Memahami pengertian faktor dan kelipatan bilangan bulat. a) Menuliskan denisi faktor suatu
Lebih terperinciPengantar Teori Bilangan
Pengantar Teori Bilangan Kuliah 2 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 1 Materi Kuliah 2 Teori Pembagian dalam Bilangan Bulat Algoritma Pembagian Pembagi Persekutuan Terbesar 2/2/2014 2 Algoritma Pembagian
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinciG.Hanaoka menjelaskan tentang skema hirarkis non-interaktif dengan ukuran memori yang rendah dan ketahanan yang tinggi terhadap serangan kolusi.
Rangkuman Liang Yan, Dalam tulisan ini, dia menggambarkan prinsip prinsip kriptografi berbasis identitas dan kriptografi hirarki berbasis identitas dan menemukan sifat sifat HIBC yang cocok dengan tuntutan
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI
SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciAlgoritma Pendukung Kriptografi
Bahan Kuliah ke-20 IF5054 Kriptografi Algoritma Pendukung Kriptografi Disusun oleh: Ir. Rinaldi Munir, M.T. Departemen Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung 2004 20. Algoritma Pendukung Kriptografi
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Kriptografi Kriptografi berasal dari bahasa Yunani. Menurut bahasa tersebut kata kriptografi dibagi menjadi dua, yaitu kripto dan graphia. Kripto berarti secret (rahasia) dan
Lebih terperinciBAB 2. FUNGSI. Program Studi Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember. 15th March 2017
BAB 2. FUNGSI Program Studi Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember 15th March 2017 Ilham Saifudin (TM) BAB 2. FUNGSI 15th March 2017 1 / 24 Outline 1 Fungsi Definisi Fungsi Fungsi
Lebih terperinciVolume 9 Nomor 1 Maret 2015
Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciBAB 3 ANALISIS DAN PERANCANGAN. Perancangan program aplikasi dalam skripsi ini menggunakan aturan linear sequential
BAB 3 ANALISIS DAN PERANCANGAN Perancangan program aplikasi dalam skripsi ini menggunakan aturan linear sequential (waterfall). Metode ini terdiri dari empat tahapan yaitu analisis, perancangan, pengkodean/pembuatan,
Lebih terperinciStudi dan Implementasi Sistem Kriptografi Rabin
Studi dan Implementasi Sistem Kriptografi Rabin Anugrah Adeputra Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung, Jl.Ganesha No.10 Email: if15093@students.if.itb.ac.id Abstraksi Sistem Kriptografi
Lebih terperinciAnalisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Analisis Fungsional Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Lingkup Materi Ruang Metrik dan Ruang Topologi Kelengkapan Ruang Banach Ruang Hilbert
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciBAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN
BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB TINJAUAN PUSTAKA.1 Kriptografi Kriptografi pada awalnya dijabarkan sebagai ilmu yang mempelajari bagaimana menyembunyikan pesan. Namun pada pengertian modern kriptografi adalah ilmu yang bersandarkan
Lebih terperinciHASIL KALI TENSOR: KONSTRUKSI, EKSISTENSI DAN KAITANNYA DENGAN BARISAN EKSAK
HASIL KALI TENSO: KONSTUKSI, EKSISTENSI AN KAITANNYA ENGAN BAISAN EKSAK Samsul Arifin samsul_arifin@mail.ugm.ac.id Mahasiswa S Matematika FMIPA UGM alam tulisan ini akan dibahas mengenai konstruksi hasil
Lebih terperinciPERTIDAKSAMAAN
PERTIDAKSAMAAN A. Pengertian 1. Notasi Pertidaksamaan Misalnya ada dua bilangan riil a dan b. Ada beberapa notasi yang bisa dibuat yaitu: a. a dikatakan kurang dari b, ditulis a b jika dan hanya jika a
Lebih terperinciBAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Lebih terperinciMatematika
dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain, dengan sebuah
Lebih terperincia home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus TIK : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu
Lebih terperinciRekursif. Rekursif adalah salah satu metode dalam dunia matematika dimana definisi sebuah fungsi mengandung fungsi itu sendiri.
Rekursif Rekursif adalah salah satu metode dalam dunia matematika dimana definisi sebuah fungsi mengandung fungsi itu sendiri. Dalam dunia pemrograman, rekursi diimplementasikan dalam sebuah fungsi yang
Lebih terperinciALGORITMA DAN BILANGAN BULAT
ALGORITMA DAN BILANGAN BULAT A. ALGORITMA Sebuah masalah dipecahkan dengan mendeskripsikan langkah-langkah penyelesaiannya. Urutan penyelesaian masalah ini dinamakan Algoritma. Definisi 5.1 : Algoritma
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciKOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS
1 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciFUNGSI Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu
FUNGSI FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke
Lebih terperinciI. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)
I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,
Lebih terperinciNAMA : KELAS : SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com
1 NAMA : KELAS : 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciMata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
Lebih terperinciFUNGSI. setiap elemen di dalam himpunan A mempunyai pasangan tepat satu elemen di himpunan B.
FUNGSI Dalam matematika diskrit, konsep fungsi sangat penting, dimana fungsi merupakan relasi yang mempunyai syarat setiap anggota dari daerah definisi (domain) mempunyai pasangan tepat satu anggota dari
Lebih terperinciPemfaktoran prima (2)
FPB dan KPK Konsep Habis Dibagi Definisi: Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi habis b (dinyatakan dengan a b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan bulat c demikian
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. Key Words Tanda Tangan Digital, , Steganografi, SHA1, RSA
Analisis dan Implementasi Tanda Tangan Digital dengan Memanfaatkan Steganografi pada E-Mail Filman Ferdian - 13507091 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut
Lebih terperinciBagian 1 Sistem Bilangan
Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori dalam aljabar dan teori bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan carmichael akan dibutuhkan definisi
Lebih terperinciBAB V BILANGAN BULAT
BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Kriptografi Kriptografi berasal dari bahasa Yunani. Menurut bahasa tersebut kata kriptografi dibagi menjadi dua, yaitu kripto dan graphia. Kripto berarti secret (rahasia) dan
Lebih terperinciAPLIKSASI TES BILANGAN PRIMA MENGUNAKAN RABIN- MILLER, GCD, FAST EXPONENSIAL DAN FAKTORISASI PRIMA UNTUK DASAR MATEMATIS KRIPTOGRAFI
APLIKSASI TES BILANGAN PRIMA MENGUNAKAN RABIN- MILLER, GCD, FAST EXPONENSIAL DAN FAKTORISASI PRIMA UNTUK DASAR MATEMATIS KRIPTOGRAFI Budi Triandi STMIK Potensi Utama, Jl. K.L Yos Sudarso Km.6.5 No.3A Tanjung
Lebih terperinciMatematik Ekonom Fungsi nonlinear
1 FUNGSI Fungsi adalah hubungan antara 2 buah variabel atau lebih, dimana masing-masing dari dua variabel atau lebih tersebut saling pengaruh mempengaruhi. Variabel merupakan suatu besaran yang sifatnya
Lebih terperinciSYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH. Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstact. Keywords : extension fields, elemen algebra
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciFungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.
Pertemuan 6 Fungsi Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi
Lebih terperinciProtokol Kriptografi
Bahan Kuliah ke-22 IF5054 Kriptografi Protokol Kriptografi Disusun oleh: Ir. Rinaldi Munir, M.T. Departemen Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung 2004 22. Protokol Kriptografi 22.1 Protokol Protokol:
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
Lebih terperinciDASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING
DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:
Lebih terperinciMatematika Semester IV
F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.. Kriptografi Kriptografi adalah ilmu mengenai teknik enkripsi, di mana naskah asli diacak menggunakan suatu kunci enkripsi menjadi sesuatu yang sulit dibaca oleh seseorang yang
Lebih terperinci