Tugas Statistika Matematika TEORI PELUANG

Transkripsi

1 Lusi Agustin Ria Ammelia Wahyu Atiqoh Hani R Tugas Statistika Matematika TEORI PELUANG Percobaan acak menjadi percobaan yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan pasti (dalam probabilitas dasar). Misalkan Ω himpunan bilangan-bilangan / sub interval garis real /semua hasil yang mungkin dari percobaan acak, maka Ω sering disebut ruang hasil (pada teori probabilitas), dan disebut ruang sampel (pada teori statistik). Diberikan ruang sampel Ω, ukuran adalah fungsi himpunan yang telah ditetapkan secara pasti mana yang merupakan himpunan bagian dari Ω yang memenuhi syarat tertentu, yang diberikan dalam definisi berikut: Definisi 1.1 Diberikan f himpunan subset ruang sampelω. f disebut bidang-σ (atau aljabar-σ) jika dan hanya jika memenuhi syarat berikut: (i) Himpunan kosong Ø ϵ f. (ii) Jika A ϵ f, maka komplemennya, A c ϵ f. (iii) Jika A i ϵ f, i=1,2,, makagabungkannya A i ϵ f. Sebuah pasangan (Ω, f) terdiri dari himpunan Ω dan bidang-σ f merupakan subsets dari Ω disebut ruang terukur. Anggota f disebut himpunan terukur dalam teori ukuran atau kejadian di probabilitas dan statistik. Menggunakan hukum D Morgan, didapat: ( A i ) c = A i c. Untuk sembarang Ω yang diberikan, ada 2 bidang-σ trivial. Pertama adalah himpunan yang mengandung 2 anggota pasti, Ø danω. Ini kemungkinan terkecil bidang-σ pada Ω. Kedua adalah himpunan semua subset dari Ω, yang disebut power set dan adalah terbesar bidang-σ padaω. Oleh karena itu,bidang-σ di (1.1) adalah σ ({A}). Perhatikan bahwa σ({a,a c }), σ({a,ω}), dan σ({a, })semua sama dengan σ({a}). Tentu saja, jika C itu sendiri adalah bidang-σ, maka σ(c) = C. Biarkan C menjadi kumpulan semua interval terbuka terbatas pada R. Lalu B = σ(c) disebut Borel σ-bidang. Unsur-unsur dari B disebut Borel set. The Borel bidang-σ B k pada ruang Euclidk-dimensi R k dapat didefinisikan secara sama. Hal ini dapat menunjukkan bahwa semua interval (terbatas atau tak terbatas), set terbuka, dan set tertutup adalah himpunan Borel.

2 Misalkan C R k menjadi set Borel dan dimisalkankan B C ={C B: B B k }. maka (C, B C ) adalah ruang terukur dan B C disebut Borel bidang-σ pada C. Definisi 1.2. misalkan (Ω,f) menjadi ruang yang terukur. Fungsi set ν didefinisikan pada f disebut ukuran jika dan hanya jika memiliki syarat berikut: (i) 0 ν (A) untuk setiap A F. (ii) ν ( ) = 0. (iii) Jika A i F, i = 1, 2,..., dan A i adalah terpisah, yaitu, A i A j = untuk setiap i j, makaν v( i=1 Ai) = i=1 v(ai) Tripel (Ω,F,v) disebut ruang terukur. Jikav(Ω) = 1, maka v disebut ukuran probabilitas dan (Ω,F,P) disebut ruang probabilitas. Terkadang ukuran bisa menjadi sangat abstrak, walaupun ukuran adalah perpanjangan panjang, A F, A luas atau volume. Contohnya v(a) = { (1.2) 0 A = Jika Ω adalah dihitung dalam arti bahwa ada satu-ke-satu korespondensi antara Ω dan himpunan semua bilangan bulat, maka kita biasanya dapat mempertimbangkan σ-bidang trivial yang berisi semua himpunan bagian dari Ω dan ukuran yang memberikan suatu Nilai setiap bagian dari Ω. Ketika Ω adalah terhitung (misalnya, Ω = R atau [0,1]), Tidak mungkin untuk menentukan ukuran yang wajar untuk setiap subset dari Ω. Proposisi 1.1 Misal (Ω,F,v)menjadi ruang terukur. (i) Monotonisitas. Jika A B, maka v(a) v(b). (ii) Subadditifitas. Untuk barisana 1, A 2,, (iii) v( i=1 Ai) i=1 v(ai) Kontinuitas. Jika A 1 A 2 A 3 (or A 1 A 2 A 3 and ν(a 1 ) <), maka v (lim n An) = lim n v(an), dimana lim n An = i=1 Ai (or = Ai i=1 ). Ada korespondensi satu-satu diantara himpunan semua ukuran probabilitas pada (R,B) dan sebuah fungsi pada R. Misal P adalah ukuran probabilitas. Fungsi distribusi kumulatif (c.d.f) dari P didefinisikan F(x) = P ((, x]), x R. (1.4) Proposisi 1.2 (i) Misal F(c.d.f.) pada R. Maka (a) F( ) = lim x F(x) = 0; (b) F() = lim x F(x) = 1; (c) F tidak meningkat F(x) F(y) if x y; (d) F is kontinu, lim y x,y>x F(y) = F(x). (ii) Misalkan fungsi F bernilai real pada memenuhi R (a) - (d) di bagian (i). Maka F adalah(c.d.f.)dariukuranprobabilitas yang unikpada (R, B).

3 Proposisi 1.3 (Mengukur Hasil kali teorema) diberikan (Ω i, F i, V i )i = 1, k, menjadi ruang ukuran dengan langkah-langkah σ- menghitung terbatas, di mana k 2 adalah bilangan bulat. Kemudian terdapat σ- terbatas ukuran yang tunggal pada hasil kali σ-field (F 1. F k ), yang disebut ukuran produk dan dilambangkan dengan V 1. V k, sehingga Untuk semua A i F i, i = 1, k. V 1 V k (A 1 A k ) = V 1 (A 1 ) V k (A k ) Di R 2, ada ukuran yang tunggal, hasil ukuran m m, dimana m m ([a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]) adalah sama dengan nilai yang diberikan oleh (1,5). langkah ini disebut ukuran Lebesgue pada (R 2, B 2 ). The Lebesgue mengukur pada (R 3, B 3 ) adalah m m m, yang sama dengan volume biasa untuk subset dari bentuk [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. The Lebesgue mengukur pada (R k, B k ) untuk setiap bilangan bulat positif k adalah sama. Konsep c.d.f. dapat diperpanjang untuk R k. Misalkan P probabilitas Teori 6 1. Probabilitas mengukur pada (R k, B k ). c.d.f. dari P, didefinisikan oleh : F(x 1,..., x k ) = P ((,x 1 ] (,x k ]), x i R. (1.6) ada korespondensi satu-ke-satu antara ukuran probabilitas dan sendi cdf di R k. Beberapa properti dari c.d.f. F i (x) =lim xj,j=1, i 1,i+1, k F(x 1, x i 1, x, x i + 1, x k ) disebut c.d.f. marjinal i Rupanya, c.d.f s marjinal yang ditentukan oleh cdf bersama mereka Tapi c.d.f. bersama tidak dapat ditentukan oleh k marjinal c.d.f s itu. Ada satu yang istimewa, tapi yang penting kasus di mana seorang c.d.f bersama F ditentukan oleh k c.d.f. marjinal Melalui F i s F(x 1,..., x k ) = F 1 (x 1 ) F k (x k ), (x 1,..., x k ) R k, (1.7) Proposisi 1.3 dapat diperluas untuk kasus yang melibatkan jauh lebih banyak-langkah ruang yakin (Billingsley, 1986). Secara khusus, jika (R k, B k, P i ), i = 1,2,..., adalah ruang probabilitas, maka ada P ukuran probabilitas produk pada i=1 (R k, B k ) sehingga untuk setiap bilangan bulat positif l dan B i B k, i = 1,, l, P(B 1 B l R k R k ) = P 1 (B 1 ) P l (B l ) fungsi terukur dan distribusi Sejak Ω bisa sewenang-wenang, untuk mempertimbangkan fungsi (Mapping) f dari Ω ke Λ ruang sederhana (sering Λ = R k ). Biarkan B Λ. Kemudian gambar invers dari B di bawah f adalah f 1 (B) = {f B} = {ω Ω f(ω) B}.

4 Fungsi invers f 1 kebutuhan tidak ada untuk f 1 (B) didefinisikan untuk memverifikasi sifat sebagai berikut: a) f 1 (B c ) = (f 1 (B)) c untuk setiap B Λ; b) f 1 ( B i ) = f 1 (B i ) untuk setiap B i Λ, i = 1,2,.... Diberikan C subset himpunan dari Λ f 1 (C) = {f 1 (C) C C}. Definisi 1.3. diberikan (Ω, F) dan (Λ, G) menjadi ruang terukur dan f sebuah Fungsi dari Ω untuk Λ. Fungsi f disebut fungsi terukur dari (Ω, F) ke (Λ, G) jika dan hanya jika f 1 (G) F. Jika Λ = R dan G = B (Borel σ-field), maka f dikatakan Borel terukur atau disebut fungsi Borel pada (Ω, F) (atau sehubungan dengan F). Dalam teori peluang fungsi terukur disebut elemen acak dan dilambangkan oleh salah satu X, Y, Z,... Jika X diukur dari (Ω, F) untuk (R, B), maka disebut sebagai variabel acak; jika X diukur dari (Ω, F) ke (R k, B k,), maka disebut k-vektor acak. Jika X 1,..., X k adalah variabel acak yang didefinisikan pada ruang peluang umum, maka vector (X 1,..., X k ) adalah k-vektor acak. (Sebagai konvensi notasi, vektor setiap c R k dinotasikan dengan (c 1,..., c k,), di mana c i, adalah komponen i dari c.) Jika f diukur dari (Ω, F) ke (Λ, G), maka f 1 (G) adalah sub-σ-bidang F (verifikasi). Hal ini disebut σ-bidang yang dihasilkan oleh f dan dinotasikan dengan σ (f). Secara umum, σ (X) adalah antara sepele σ-bidang {, Ω} dan F, dan berisi lebih subset jika X lebih rumit. Untuk fungsi sederhana IA, kami telah menunjukkan bahwa σ (IA) hanya empat elemen. Kelas fungsi sederhana diperoleh dengan mengambil kombinasi linear. indikator himpunan terukur, yaitu, k φ(ω) = i=1 a i IA i (ω) (1.8) di mana A 1,, A k adalah set terukur pada Ω dan a 1,..., a k adalah bilangan real. Satu dapat menunjukkan secara langsung bahwa fungsi tersebut adalah fungsi Borel, Dari Proposisi 1.4. Misalkan A 1,, A k menjadi partisi Ω, yaitu, A i s yang saling lepas dan A 1.. A k = Ω. Maka fungsi sederhana φ diberikan oleh (1,8) dengan berbeda ai 's persis ciri partisi ini dan σ (φ) = σ ({A 1,, A k }). Proposisi 1.4. Biarkan (Ω, F) menjadi ruang terukur. i. f adalah Borel jika dan hanya jika f 1 (a, ) F untuk semua a R. ii. Jika f dan g adalah Borel, maka begitu juga fg dan af + bg, di mana a dan b adalah real nomor; juga, f / g yaitu Borel disediakan g (ω) 6 = 0 untuk setiap Ω ω. iii. Jika f 1, f 2,... adalah Borel, maka begitu juga sup n f n, inf n f n, lim sup n f n, dan Lim inf n f n. Selain itu, himpunan

5 A = {ω Ω: lim n f n (ω)exists} Merupakan kejadian dari fungsi Borel h(ω) = { lim n f n (ω) ω A f 1 (ω) ω bukan A iv. Misalkan f diukur dari (Ω, F) ke (Λ, G) dan g diukur dari (Λ, G) ke (Δ, H). Maka fungsi g f komposit dapat diukur dari (Ω, F) ke (Δ, H). v. Mari Ω menjadi set Borel dalam R p. Jika f adalah fungsi kontinu dari Ω ke R q, maka f dapat diukur. Proposisi 1.4 menunjukkan bahwa ada banyak fungsi Borel. Faktanya, sulit untuk menemukan fungsi non-borel. Hasil berikut ini sangat berguna dalam bukti teknis. Biarkan f menjadi non Fungsi Borel negatif pada (Ω, F). Maka terdapat urutan sederhana fungsi {φ n} memuaskan 0 φ 1 φ 2 f dan lim n φ n = f Biarkan (Ω, F, ν) menjadi ruang ukuran dan f menjadi fungsi terukur dari (Ω, F) ke (Λ, G). Ukuran disebabkan oleh f, dinotasikan dengan ν f -1, adalah ukuran pada G didefinisikan sebagai Jika ν = P adalah ukuran probabilitas dan X adalah variabel random atau vektor acak, maka P X -1 disebut hukum atau distribusi X dan dilambangkan dengan P X. C.d.f. The P X didefinisikan oleh (1.4) atau (1.6) disebut juga c.d.f. yang atau c.d.f. bersama X dan dilambangkan dengan F X. Di sisi lain, untuk c.d.f. setiap atau c.d.f. bersama F, terdapat setidaknya satu variabel acak atau vektor (biasanya ada banyak) didefinisikan pada beberapa ruang probabilitas untuk berikut ini yang FX = F. adalah beberapa contoh variabel acak dan c.d.