SIFAT P-KONVEKS PADA RUANG FUNGSI MUSIELAK-ORLICZ TYPE BOCHNER. Yulia Romadiastri

Transkripsi

1 Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon Vol. 07, No.01, 013, Hal. 1 1 SIFAT P-KONVEKS PADA RUANG FUNGSI MUSIELAK-ORLICZ TYPE BOCHNER Yulia Romadiastri Program Studi Tadris Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Walisongo Semarang astri hlm@yahoo.co.id Abstract. In this paper, we described about Musielak-Orlicz function spaces of Bochner type. It has been obtained that Musielak-Orlicz function space L φ µ, of Bochner type becomes a Banach space. It is described also about P-convexity of Musielak-Orlicz function space L φ µ, of Bochner type. It is proved that the Musielak-Orlicz function space L φ µ, of Bochner type is P-convex if and only if both spaces L φ and are P-convex. Keywords : Musielak-Orlicz function, Musielak-Orlicz function space of Bochner type, and p-convex 1. Pendahuluan Ruang Orlicz diperkenalkan pertama kali pada tahun 1931 oleh W. Orlicz. Teori ruang Orlicz mempunyai peranan yang sangat penting dan telah banyak diterapkan ke dalam berbagai cabang matematika, salah satunya pada masalah Optimal Control. Pengembangan dan penyempurnaan dari ruang Orlicz sendiri juga mngalami kemajuan yang sangat pesat, salah satunya adalah Musielak dan Orlicz yang mengembangkan suatu ruang fungsi yang dibangkitkan oleh modular yang mempunyai sifat konveks. Dalam hal ini, Ĩφf = φ t, ft T dµ yang merupakan modular konveks membangkitkan ruang fungsi Musielak-Orlicz type Bochner L φ µ, = { f L 0 T, : f L φ }, yang juga merupakan ruang Banach. Sifat kekonvekan pada ruang Banach dan sifat refleksif juga telah banyak dikembangkan oleh banyak matematikawan. Ye Yining, He Miaohong dan R. 1

2 Jurnal Matematika Murni dan Terapan, Vol. VII, No Hal. 1 1 Pluciennik 1991 di dalam tulisannya yang berjudul P-convexity and reflexivity of Orlicz spaces menyatakan bahwa sifat refleksif dan sifat P-konveks pada ruang Orlicz adalah ekuivalen. Hal yang sama juga terjadi pada ruang fungsi Musielak-Orlicz maupun ruang barisan Musielak-Orlicz..1. Pengertian Dasar. Tinjauan Pustaka Definisi.1. Suatu himpunan tak kosong disebut ruang linier ruang vektor atas lapangan R jika memenuhi L1., + merupakan grup abelian L. Untuk x, y dan α, β R berlaku αx dan αx + y = αx + αy α + βx = αx + βy αβx = αβx 1x = x dengan 1 merupakan elemen satuan pada R Definisi.. Diberikan ruang linier. Fungsi : R disebut norma jika B1. x 0 untk setiap x x = 0 jika dan hanya jika x = 0 B. αx = α x untuk setiap x dan α R B3. x + y x + y untuk setiap x, y Ruang linier yang dilengkapi dengan suatu norma disebut ruang bernorma dan dilambangkan dengan,. Selanjutnya, jika normanya sudah tertentu, maka ruang bernorma cukup ditulis saja. Setiap ruang bernorma, merupakan ruang metrik terhadap dx, y = x y, x, y. Pada pembahasan selanjutnya, ukuran dan integral yang digunakan adalah ukuran dan integral Lebesgue, kecuali disebutkan lain. Definisi.3. Diberikan ruang bernorma,. i. Barisan {x n } dikatakan konvergen ke x jika untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan asli sehingga untuk bilangan asli n berlaku x n x < ε. Barisan {x n } konvergen ke x dinotasikankan dengan x n x 0, untuk n atau lim n x n = x. ii. Barisan {x n } dikatakan terbatas jika terdapat bilangan M 0 sehingga x n M untuk setiap bilangan asli n.

3 Yulia Romadiastri Sifat P-Konveks Pada Ruang Fungsi 3 iii. Barisan {x n } disebut barisan Cauchy jika untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan asli dengan sifat untuk setiap dua bilangan asli m.n berlaku x n x m < ε. Teorema.4. Diberikan ruang bernorma,. Jika barisan {x n } konvergen maka {x n } merupakan barisan cauchy. Teorema.5. Diberikan ruang bernorma,. Jika barisan {x n } barisan cauchy maka {x n } terbatas. Akibat.6. Diberikan ruang bernorma,. Jika barisan {x n } konvergen maka {x n } terbatas. Definisi.7. Ruang bernorma, dikatakan lengkap jika setiap barisan cauchy di dalam konvergen. Sedangkan ruang bernorma, disebut ruang Banach jika, lengkap... Ruang Lebesgue Definisi.8. Diberikan himpunan T dan himpunan kuasa T, ditulis T, didefinisikan T = {A : A T }. Keluarga himpunan Σ T disebut aljabar himpunan jika 1. A Σ A c Σ. A, B Σ A B Σ Selanjutnya, Σ T disebut aljabar-σ jika 1. Σ aljabar, dan. A 1, A... Σ A i Σ i Definisi.9. Diberikan f : T R fungsi terukur-µ. Fungsi f dikatakan terintegral Lebesgue terhadap ukuran-µ atau dikatakan terintegral-µ, jika terdapat barisan fungsi sederhana {f n } sehingga f n x fx, h.d. pada x T dan untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan n sehingga f i x f j x µdx < ε untuk setiap i, j n. T Selanjutnya, nilai hingga dari lim f n xµdx disebut integral Lebesgue dari fungsi f dan dinotasikan dengan T n T fxµdx atau T fdµ. Diberikan himpunan terukur. Koleksi semua fungsi terukur-µ dari ke R dinotasikan dengan M. Dengan menggunakan sifat-sifat terukur, dapat ditunjukkan bahwa M merupakan ruang linear. Untuk 1 p <, didefinisikan L p = {f M f p dµ < }. Dengan kata lain, L p merupakan koleksi semua fungsi terukur f M, sehingga f p terintegral-µ pada.

4 4 Jurnal Matematika Murni dan Terapan, Vol. VII, No Hal. 1 1 Diberikan fungsi f bernilai riil diperluas pada himpunan terukur. Bilangan real M dikatakan batas essensial untuk fungsi f jika fx M h.d pada. Fungsi f dikatakan terbatas essensial jika f mempunyai batas essensial. Dengan kata lain, fungsi f terbatas essensial pada jika f terbatas, kecuali pada himpunan dengan ukuran nol. Selanjutnya, supremum essensial f pada E didefinisikan sebagai esssup { fx : x } = M A, µa = 0 sup{ fx : x A} = M. Himpunan semua fungsi terukur yang terbatas essensial pada didefinisikan sebagai L, dengan L = {f : esssup { fx : x } < } Dapat ditunjukkan bahwa L p dengan 1 p <, merupakan ruang linear. Ruang L p, dengan 1 p < disebut ruang Lebesgue Umum..3. Ruang Bermodular Definisi.10. Diberikan sebarang ruang linier T atas lapangan R. Fungsi non negatif ρ : T [0, disebut modular pada T jika untuk setiap x, y T berlaku: M1 ρx = 0 x = θ M ρ x = ρx M3 ραx + βy ρx + ρy jika α, β [0, 1] dengan α + β = 1 Ruang linier T yang dilengkapi dengan suatu modular disebut ruang modular dan dilambangkan dengan T, ρ Suatu B Y, dengan Y ruang linier, disebut himpunan konveks jika untuk setiap x, y B dan α, β [0, 1] dengan α + β = 1, berlaku αx + βy B. Fungsi f : B R dikatakan konveks, jika B konveks dan untuk setiap x, y B dan α, β [0, 1] dengan α + β = 1, berlaku fαx + βy αfx + βfy. Selanjutnya, modular ρ dikatakan memenuhi sifat konveks jika ρ merupakan fungsi konveks. Pada pembahasan selanjutnya, yang dimaksud modular adalah modular yang memenuhi sifat konveks, kecuali bila dinyatakan lain. Teorema.11. i Jika α 1, α R denga < α 1 α maka ρα 1 x ρα x untuk setiap x. ii Jika ρx < ε untuk setiap ε > 0, maka x = θ 3. Ruang Fungsi Musielak-Orlicz type Bochner 3.1. Ruang Fungsi Musielak-Orlicz type Bochner Definisi 3.1. Diberikan sebarang ruang linier T. Fungsi φ : T R [0, disebut fungsi Musielak - Orlicz jika:

5 Yulia Romadiastri Sifat P-Konveks Pada Ruang Fungsi 5 1. φt, u = 0 u = 0 untuk setiap t T. φt, u = φt, u 3. φt, fungsi kontinu 4. φt, tak naik pada 0, 5. φ, u terukur untuk setiap u R 6. φt, konveks 7. φt,u u 0 jika u 0 pada T Untuk fungsi Musielak-Orlicz φ, didefinisikan fungsi I φ : L 0 [0, dengan I φ f = φ t, ft dµ untuk setiap f L 0. Dapat ditunjukkan bahwa fungsi I φ T merupakan modular konveks. Kemudian, didefinisikan ruang fungsi Musielak-Orlicz L φ, dengan L φ = { f L 0 : I φ cf < untuk suatu c > 0 } Dapat ditunjukkan bahwa ruang fungsi Musielak-Orlicz L φ merupakan ruang linear. Fungsi Musielak-Orlicz φ dan ψ dikatakan saling berkomplemen jika xy φx + ψy untuk setiap x, y R. Selanjutnya, untuk setiap fungsi Musielak-Orlicz φ, didefinisikan fungsi φ : T R [0,, dengan φ t, v = sup {u v φt, u}, untuk setiap v R dan t T. u>0 Dapat ditunjukkan bahwa fungsi φ juga merupakan fungsi Musielak-Orlicz. Definisi 3.. Fungsi Musielak - Orlicz φ dikatakan memenuhi kondisi-, ditulis φ, jika terdapat konstanta k > 0 dan u 0 0 sehingga φt, u kφt, u, untuk setiap t T dan u u 0. Selanjutnya, didefinisikan suatu fungsi Ĩφ : L 0 T, 0,, dengan Ĩ φ f = φt, ft dµ untuk setiap f L 0 T, T Dapat ditunjukkan bahwa fungsi Ĩφ merupakan modular. Untuk fungsi Musielak-Orlicz φ, didefinisikan L φ µ, = {f L 0 T, : f L φ }. Dapat ditunjukkan bahwa L φ µ, merupakan ruang linear. Didefinisikan : L φ µ, R, dengan f = f φ, untuk setiap f L φ µ,. Dapat ditunjukkan bahwa L φ µ,, merupakan ruang bernorma. Teorema 3.3. Ruang bernorma L φ µ,, merupakan ruang Banach. Selanjutnya, ruang fungsi L φ µ,, disebut ruang fungsi Musielak - Orlicz type Bochner.

6 6 Jurnal Matematika Murni dan Terapan, Vol. VII, No Hal Sifat P-konveks pada Ruang Fungsi Musielak-Orlicz Type Bochner Definisi 3.4. Diberikan ruang bernorma,. Himpunan S = {x : x = 1} disebut luasan dengan pusat O dan himpunan S = {x : x 1} disebut bola satuan tertutup. Definisi 3.5. Ruang Banach disebut refleksif jika untuk suatu ε > 0 terdapat δ sehingga x y < ε, untuk x, y U dengan 1 x + y > 1 δ. Definisi 3.6. Ruang linear bernorma dikatakan P-konveks, jika terdapat ε > 0 dan n N sehingga untuk setiap x 1, x,..., x n S, berlaku min x i x j 1 ε. i j,i,jn Lemma 3.7. Ruang Banach P-konveks jika dan hanya jika terdapat N dan δ > 0 sehingga untuk setiap x 1, x,..., x n {0} terdapat bilangan bulat i 0, j 0 sehingga berlaku x i0 x j0 x i 0 + x j0 1 δ 0 min{ x i0, x j0 } x i0 + x j0 0 Teorema 3.8. Untuk setiap fungsi Musielak-Orlicz φ berlaku, jika φ δ maka untuk sebarang a > 1 terdapat ξ > 1 sehingga φ t, ξ u ξ 1 φt, u untuk setiap u R, t T. a a Lemma 3.9. Diketahui φ dan φ memenuhi kondisi. Untuk setiap ε 0, 1 terdapat fungsi terukur h ε : T R + dengan I φ h ε < ε, bilangan aε 0, 1 dan γ = γaε 0, 1 sedemikian sehingga µ untuk h.d. t T berlaku φ t, v 1 γ φt, u + φt, v untuk setiap u h εt dan v u < a. Lemma Jika φ, maka untuk setiap ε 0, 1 terdapat barisan tak naik dari himpunan-himpunan terukur yang berukuran hingga {Bm}, α sehingga µ T = 0 dan untuk setiap m N terdapat km α > sehingga Bm α m=1 φt, u k α mφt, u untuk µ h.d., t B α m dan untuk setiap u αft, dimana f dari kondisi. Lemma Jika φ, maka untuk setiap ε 0, 1 terdapat fungsi terukur g ε : T R + dan k ε > sehingga I ε g ε < ε dan φt, u k ε φt, u untuk µ h.d., t T, dan u g ε t. Teorema 3.1. Jika ruang Banach P-konveks, maka refleksif. Teorema Diketahui φ fungsi Musielak-Orlicz dan ruang Banach. pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: Maka a. L φ µ, P-konveks b. L φ dan P-Konveks c. L φ refleksif dan P-Konveks

7 Yulia Romadiastri Sifat P-Konveks Pada Ruang Fungsi 7 d. P-konveks, φ dan φ Bukti. a b Diketahui L φ µ, P-konveks. Karena ruang L φ dan embedded isometrically terhadap L φ µ, dan sifat P-konveks juga berlaku pada subruang, maka diperoleh L φ dan P-konveks. b c Diketahui L φ dan P-konveks. Menurut teorema 3.1, diperoleh L φ refleksif. c d Sifat refleksif pada ruang fungsi Musielak-Orlicz L φ ekuivalen dengan φ dan φ. d a Diketahui P-konveks, φ dan φ. Dapat dipilih N. Kemudian, untuk setiap t T didefinisikan ft = max { h 1 4 t, g 1 4 t }, dimana fungsi h 1 dan g 1 adalah fungsi terukur dengan ε = Akibatnya, I φ f < 1. Dipilih α = a. Karena φ maka diperoleh I 1 φ f <. Dipilih himpunan α B a m 0 sehingga memenuhi T \B a m 0 φ t, ft a dµ < 1. Dipilih l N sehingga 1 a l. Terdapat bilangan k a m 0 > sehingga φ t, 1 a v k a m 0 l φt, v untuk µ h.d t B a m0, ketika v aft. Kemudian, dipilih v a = u dan 1 k a m 0 l = βa, m 0 = β m0. Diperoleh φt, au β m0 φt, u, untuk µ-h.d t B a m 0, dan untuk setiap u ft. Selanjutnya, didapat φ t, 1 a v k ε l φt, v untuk µ-h.d t T, dan v ft, dimana k ε = k 1 4. Dengan cara yang sama, diperoleh φt, au βφt, u, untuk µ-h.d t T,dan untuk setiap u ft a. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa terdapat bilangan r 1 0, 1 sehingga untuk setiap x 1, x,..., x n0 anggota ruang Banach dan untuk µh.d.t T diperoleh φ t, x i x j 1 φt, x i, r 1 dengan T M = { t T : max { x i } ft 11n a 0 }. Diambil x 1, x,..., x n0. Misal k adalah indeks sehingga x k = max 1in0 { x i }. I. Dimisalkan terdapat i i {1,, 3..., }\{k} sehingga x i 1 ft a > ft untuk µ, h.d.t T M, maka diperoleh φ t, x i1 x k φ t, x i 1 + x k x k < a. Karena x k 1 1 γ φ t, x i 1 + φ t, x k. Berdasarkan sifat kekonveksan dari φt, untuk µ h.d.t T, diperoleh

8 8 Jurnal Matematika Murni dan Terapan, Vol. VII, No Hal. 1 1 φt, x i x j 1 φt, x i γ φ t, x i 1 +φ t, x k 1 φt, x i γ φ φ t, x k 1 φt, x i γ φt, x i n 0 = n 0 1 γ n0 1 φt, x i 1 untuk µ h.d.t T M II. Diasumsikan bahwa untuk semua i k berlaku x i 1 x k a. Maka x i > 0, untuk setiap i k. Dapat diambil i 0, j 0. Dan diasumsikan bahwa a < x i 1 x j0 1. a Di lain pihak, dipunyai a > x i 1 x j0 min{ x i 0, x j0 } max{ x i0, x j0 } min{ x i 0, x j0 } x k Sehingga kontradiksi. Selanjutnya, diperoleh x i0 x j0 1 δa 1 + a x i0 + x j0. Berdasarkan sifat kekonveksan dari φt, untuk µ h.d.t T, diperoleh φ t, x i0 x j0 1 1 α φt, x i 0 + φt, x j0

9 Yulia Romadiastri Sifat P-Konveks Pada Ruang Fungsi 9 dengan α = δa 1+a φ t, 0, 1. Akibatnya, diperoleh x i x j { = max 1 1 α φ t, x j = 1 Didefinisikan r 1, 1 1 bilangan r 0, 1 sehingga berlaku γ φt, x i α φ t, x i 0 φt, x i αφ t, a x k φt, x i αβ φ x k φt, x i αβ φt, x i αβ n0 1 1 untuk µ.h.d.t T M } αβ 1 φ t, x i x j φt, x i. Maka dapat ditentukan 1 r φt, x i untuk setiap x 1, x,..., x n0 anggota ruang Banach dan untuk µ h.d.t B a m 0 memenuhi max 1i { x i } ft. Maka terbukti benar dengan { γ r = max 1 1, 1 αβ } m 0. 1 Diambil f 1, f,..., f n0 SL φ µ, dan didefinisikan E = {t T : φt, f i t } φt, ft Jelas bahwa max { f i t } ft untuk setiap t E. Selanjutnya himpunan E 1i dibagi menjadi dua himpunan bagian berikut: E 1 = {t T : max { f i t } ft } 1in a 0, dan E = {t T : max { f i t } < ft }. Didefinisikan himpunan E 1in a 1 dan E 0 sebagai berikut E 1 = E Bm a 0, dan E = E \Bm a 0. Diperoleh, φ t, f it f j t 1 n0 n0 n 0 φt, f i t, untuk µ-h.d. t E 1 E, dengan r = max{r 1, r }. Jelas bahwa r 0, 1. Selanjutnya, dari definisi himpunan

10 10 Jurnal Matematika Murni dan Terapan, Vol. VII, No Hal. 1 1 E dan fungsi f, diperoleh Diperoleh Ĩ φ f i χ E = Ĩ φ f i χ T \E < 1. Diambil t E, maka diperoleh < Ĩ φ f i χ = T \E1 E 1 E \B a m 0 φt, f i t dµ φt, max f i t E \Bm a 1i 0 φ t, ft dµ E \B a m a 0 φ t, ft dµ < 1 T \B a m a 0 Ĩ φ f i χ T \E + Ĩ φ f i χ E < 1. Karena f i = 1 untuk i = 1,,..., n dan φ, maka Ĩφf i = 1 untuk i = 1,,...,. Akibatnya, Ĩ φ f i χ E1 E 1 1. Diperoleh j=1 1 Ĩ φ f i f j = = 1 Ĩ φ f i f j χ T \E1 E 1 j=1 1 + Ĩ φ f i f j χ E1 E 1 1 n0 j=1 n0 Ĩ φ f i χ T \E1 E 1 n0 + r n0 Ĩ φ fi χ E1 E 1 1 [ n0 ] Ĩ φ f i Ĩ φ fi χ E1 E 1 n0 + r n0 Ĩ φ fi χ E1 E 1 [ n0 1 1 r ] Ĩ φ fi χ n E1 E 1 0 n0 1 1 rn 0 1 n0 dengan p = 1 r. 1 p Jadi, terdapat i 1, j 1 {1,,..., } sehingga Ĩφ 1 f i 1 f j1 1 p. Akibatnya,

11 Yulia Romadiastri Sifat P-Konveks Pada Ruang Fungsi 11 karena φ, diperoleh 1 f i 1 f j1 1 qp, denga < qp < 1. Diperoleh bahwa ruang L φ µ, P-konveks. 4. Penutup Di dalam pembahasan telah dibuktikan bahwa I φ = φt, ftdµ merupakan T modular konveks. Modular ini membangkitkan ruang fungsi Musielak-Orlicz L φ = {f L 0 : I φ cf < untuk c > 0}. Selanjutnya, untuk setiap fungsi Musielak - Orlicz φ, didefinisikan fungsi φ t, v = sup{u v φt, u}, yang juga merupakan fungsi Musielaku>0 Orlicz dan fungsi φ disebut fungsi komplemen dari φ. Selanjutnya telah ditunjukkan pula bahwa Ĩφ = φt, ft dµ merupakan modular. Modular ini membangkitkan T ruang fungsi Musielak-Orlicz type Bochner L φ µ, = {f L 0 T, : f L φ }. Lebih lanjut, L φ µ, merupakan ruang Banach terhadap f = f φ untuk setiap f L φ µ,. Dalam kaitannya dengan sifat P-konveks, ditemukan bahwa ruang fungsi Musielak-Orlicz L φ µ, type Bochner P-konveks jika dan hanya jika ruang L φ dan keduanya P-konveks. Selanjutnya, juga diperoleh bahwa sifat refleksifitas pada ruang L φ µ, ekuivalen dengan sifat P-konveks. Daftar Pustaka [1] Giesy, Daniel P., 1966, On a Convexity Condition in Normed Linear Spaces. Transactions of the American Mathematical Society Vol. 15 No. 1, , AMS. [] Hudzik, H.,Kaminska, A, Kurc, W., 1987, Uniformly non-ln Musielak-Orlicz Spaces, Bull. Acad. Polon. Sci. Math., 35, 7-8, [3] Hudzik, H. and Chen, S., 1988, On Some Convexities of Orlicz and Orlicz-Bochner Spaces, Comment. Math., Univ. Carolinae 09 No. 1, [4] Kolwicz, P. and Pluciennik, R., 1998, P-convexity of Musielak-Orlicz Function Spaces of Bochner Type, Revista Matematica Complutense Vol. 11 No. 1. [5] Kolwicz, P. and Pluciennik, R., 1995, On P-convex Musielak-Orlicz Spaces, Comment. Math., Univ. Carolinae 36, [6] Kolwicz, P. and Pluciennik, R., P-convexity of Bochner-Orlicz Spaces, Proc. Amer. Math. Soc., [7] Kolwicz, P. and Pluciennik, R., 1997, P-convexity of Musielak-Orlicz Sequence Spaces of Bochner Type, Collect. Math., [8] Orlicz, W, 199, Linear Functional Analysis, World Scientific, London. [9] Royden, H.L., 1989, Real Analysis, MacMillan Publishing Company, New York.

12 1 Jurnal Matematika Murni dan Terapan, Vol. VII, No Hal. 1 1 [10] Suparno, 008, Ruang Bermodular Orlicz, Tesis, Yogyakarta.