Bab II Kajian Teori Copula

Transkripsi

1 Bab Kajian Teori Copula.1 Pendahuluan Copula Tesis ini mengacu pada terminologi copula sebagai fungsi yang menghubungkan fungsi distribusi multivariat terhadap fungsi distribusi marginal uniform. Misalkan variabel acak X dan Y, dengan fungsi distribusi masing-masing adalah F(x) = P(X x) dan G(y) = P(Y y), serta fungsi distribusi gabungannya H(x,y) = P(X x,y y). Untuk setiap ( x, y) ; x, y R, diperoleh tiga bilangan yaitu F(x), G(y), dan H(x,y), yang ketiganya jatuh dalam interval [0,1]. Dengan kata lain, tiap ( x, y) ; x, y R menghasilkan titik (F(x),G(y)) di dalam persegi satuan [0,1] [0,1], dan pasangan terurut ini berkorespondensi dengan bilangan H(x,y) dalam interval [0,1]. Korespondensi terakhir inilah yang menjadi karakteristik untuk copula. Definisi.1.1 Misalkan A, B subhimpunan tak kosong di R dan fungsi sedemikian sehingga r b = ( x, y) t di { } H : R R\, adalah r Dom( H ) = A B. Pandang a = ( x1, y1) t dan r R, definisikan a b r, jika x1 x dan y1 y. R Misalkan pula suatu persegi panjang di dinyatakan sebagai Q = x,x r y,y a b r, (.1) [ ] [ ] 1 1, sedemikian sehingga Q Dom( H). Maka a. Volume-H terhadap persegi panjang Q didefinisikan oleh: V Q = H( x, y ) H( x, y ) H( x, y ) + H( x, y ). (.) H 4

2 5 b. H disebut -increasing jika VH ( Q ) 0 untuk semua persegi panjang Q di Dom( H ). c. Misalkan A, B mempunyai elemen terkecil masing-masing a dan b. Maka H dikatakan grounded jika H ( ay, ) = 0 = Hxb (, ), untuk setiap x Ay, B, (.3) akibatnya kita dapat mengatakan jika H grounded, maka V ( Q) = H( x, y), untuk setiap Q = [ a, x] [ b, y] Dom( H). (.4) H lustrasi: Y y Q b a x X Gambar.1. Persegi panjang Q= [ a, x] [ b, y] Maka, VH ( Q) = H( x, y) H( x, b) H( a, y) + H( a, b), (.5) = H( x, y) karena H( x, b) = H( a, x) = H( a, b) = 0. Lemma.1. Misalkan AB, subhimpunan tak kosong di R dan H : R R\, adalah fungsi sedemikian sehingga { } Dom( H ) = A B dan H bersifat -increasing. Misalkan pula x1, x A dengan x1 x, dan y1, y B dengan y1 y. Maka pemetaan

3 6 (, ) t H t y H t, y non-decreasing di A, dan (.6) a 1 t H x t H x, t non-decreasing di B. (.7) a, 1 Jika H fungsi -increasing yang grounded maka sifat diatas masih dipenuhi. Bukti : Diketahui x1, x A dengan x1 x. Karena H bersifat -increasing maka berlaku Hty (, ) Hty (, ) 0 1 Hty (, ) Hty (, ) 1 Akibatnya pemetaan t H( t, y ) H( t y ) yang serupa akan diperoleh a 1, non-decreasing di A. Dengan cara t H x t H x, t non-decreasing di B. a, 1 Definisi.1.3 Misalkan b1, b berturut-turut merupakan elemen terbesar untuk H dikatakan memiliki marginal yaitu fungsi F dan G yang memenuhi ( ) Dom( F) = A, F x = H x, b x A Dom( G) = B, G x = H b, y y B 1 A dan B. Maka (.8) Lemma.1.4 Misalkan AB, subhimpunan tak kosong di R dan H : R R\ {, } adalah fungsi sedemikian sehingga Dom( H ) = A B dan H bersifat -increasing yang grounded dan memiliki marginal. Misalkan pula (, ),(, ) x y x y A B. Maka 1 1 H( x, y ) H( x, y ) F x F x + G y G y (.9) Bukti : Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga diperoleh H( x, y ) H( x, y ) H( x, y ) H( x, y ) + H( x, y ) H( x, y ) Asumsikan x1 x. Karena H bersifat -increasing yang grounded dan memiliki marginal maka menurut Lemma.1. 0 H( x, y ) H( x, y ) F x F x 1 1

4 7 Asumsikan x x1 analog dengan sebelumnya diperoleh Akibatnya x1, x A berlaku Hal yang sama berlaku y1, y B 0 H( x, y ) H( x, y ) F x F x 1 1 H( x, y ) H( x, y ) F x F x 1 1 H( x, y ) H( x, y ) G y G y Dengan mensubstitusikan dua persamaan terakhir ke dalam ketaksamaan segitiga yang ditulis di awal, maka pembuktian lengkap.. Copula dan Sifat-sifatnya Definisi..1 Subcopula dua dimensi (-subcopula) adalah fungsi yang memenuhi sifatsifat: C ' a. Dom( C ') = A B, di mana A dan B adalah subhimpunan dari = [0,1], b. C ' grounded dan -increasing, c. Untuk setiap u A dan v B, berlaku C'( u,1) Perhatikan bahwa untuk setiap ( uv, ) Range( C ') juga merupakan subhimpunan dari. = u dan C'(1, v) = v. (.10) DomC ( '), maka 0 C'( u, v) 1, sehingga Definisi.. Copula dua dimensi (-copula) adalah subcopula dimensi (-subcopula) C dengan Dom( C ') =. Ekivalen dengan mengatakan bahwa Copula dua dimensi (-copula) adalah fungsi C: yang memenuhi sifat-sifat: a. Untuk setiap ( uv, ), maka berlaku Cu (,0) = 0 = C(0, v), (.11a)

5 8 dan juga Cu (,1) = udan C(1, v) = v. (.11b) b. Untuk setiap u 1, u, v 1, v sedemikian sehingga u 1 u, v 1 v, maka berlaku Cu (, v) Cu (, v) Cu (, v) + Cu (, v) 0. (.1) Himpunan dari semua copula dua dimensi didefinisikan sebagai Χ. Tulis, Cuv (, ) = Cuv (, ) Cu (,0) C(0, v) + C(0,0) C ([ 0, ] [ 0, ]) = V u v maka hal ini akan menunjukkan bahwa di terhadap persegi panjang [ 0, u] [ 0, v]. Cuv (, ) (.13) sebagai pengaitan suatu bilangan Beberapa sifat dasar yang penting dari copula akan dibahas berikut ini. Akibat..3 Misalkan C Χ dan 0 x x 1, maka pemetaan monoton naik di, 1 ya C( x, y) C( x, y), untuk setiap y (.14) 1 dan hal yang sama misalkan C Χ dan 0 y1 y 1, maka pemetaan monoton naik di. Bukti: Misalkan peroleh x Cxy1 Cxy a (, ) (, ), untuk setiap x (.15) 0 y1 y 1 dan 0 x1 x 1. Karena C bersifat -increasing, kita ([ ] [ ]) V x, x y, y = Cx (, y) Cx (, y) Cx (, y) + Cx (, y) 0 C C( x, y ) C( x, y ) C( x, y ) C( x, y ) Akibat..4

6 9 Copula bersifat kontinu Lipchitz artinya untuk setiap C Χ dan 0 x x 1, 1 0 y y 1 1 berlaku 0 (, ) (, ) Cx y Cx1 y x x1 dan (.16a) 0 Cxy (, ) Cxy (, ) y y, jadi (.16b) 1 1 Cx (, y) Cx (, y) x x + y y (.17) Jika x sehingga x1 dan y y 1, maka dari persamaan (.14) akan kita peroleh: Cx (, y) Cx (, y) lim x x + y y = 0, (.18) x x1, y y1 lim Cx (, y) = Cx (, y). (.19) x x1, y y1 Akibatnya copula C kontinu. 1 1 Akibat..5 Misalkan C Χ, maka ya C( x, y) monoton naik untuk setiap x, dan hal yang serupa x a Cxy (, ) monoton naik untuk setiap y. Teorema..6 Misalkan C Χ, maka untuk setiap uv, berlaku Wuv (, ) = max( u+ v 1,0) Cuv (, ) min( uv, ) = Muv (, ), (.0) di mana fungsi W dan M disebut batas bawah dan batas atas Fréchet dari copula C. Fungsi W dan M sendiri juga merupakan copula. Bukti: Berdasarkan kemonotonan copula, kita peroleh: Cuv (, ) Cu (,1) = udan Cuv (, ) C(1, v) = v, Maka Cuv (, ) min( uv, ) = Muv (, ). Jelas Cuv (, ) 0 dan VC ([ u,1 ] [ v,1]) 0 artinya C(1,1) C(1, v) C( u,1) + C( u, v) 0 atau 1 v u+ C( u, v) 0. Sehungga Cuv (, ) u+ v 1

7 10 Akibatnya Cuv (, ) max u+ v 1,0 = Wuv (, )..3 Copula dan Variabel Acak Variabel acak merupakan suatu pemetaan dari ruang sample ke bilangan real. Misalkan X menyatakan suatu variabel acak. Peluang bahwa variabel acak X lebih kecil atau sama dengan x, ditulis P(X x) adalah F(z) dengan 0 F(x) 1, selanjutnya F(x) disebut dengan fungsi distribusi. Definisi.3.1 Fungsi distribusi (marginal) adalah suatu fungsi F dengan Dom( F) = R sedemikian sehingga: 1. F fungsi tak turun.. F( ) = 0 dan F( ) = 1 Definisi.3. Fungsi distribusi gabungan adalah suatu fungsi H dengan Dom( H ) = R sedemikian sehingga: 1. H fungsi -increasing.. H( x, ) = H(, y) = 0 dan H (, ) = 1 Lemma.3.3 Misalkan H adalah fungsi distribusi gabungan dengan fungsi distribusi marginalnya masing-masing F dan G, maka terdapat subcopula sehingga: 1. Dom( C ') = Rank( F) Rank( G),. Untuk setiap x, y R, H( x, y) = C' ( F( x), G( y) ) Lemma.3.4 C ' tunggal sedemikian Misalkan C ' adalah subcopula. Maka terdapat copula C sedemikian sehingga

8 11 Cuv (, ) = C'( uv, ) untuk setiap ( uv, ) di dom( C '), artinya setiap subcopula dapat diperluas menjadi suatu copula. Pada umumnya perluasan ini tidak tunggal. Teorema.3.5 Misalkan H adalah fungsi distribusi gabungan dari variable X dan Y, dengan F dan G masing-masing adalah fungsi distribusi marginal dari X dan Y. Maka terdapat sebuah copula C sedemikian sehingga untuk setiap x, y R berlaku dengan u = F( x) dan v= G( y). H( x, y) = C F( x), G( y) = C( u, v), (.1) Jika F dan G kontinu, maka copula C tunggal, jika F dan G tidak kontinu, maka copula C tunggal pada Range( F) Range( G). Sebaliknya, jika C adalah sebuah copula, F dan G masing-masing adalah fungsi distribusi marginal dari X dan Y. Maka terdapat fungsi distribusi gabungan H sedemikian sehingga untuk setiap x, y R berlaku H( x, y) = C F( x), G( y) = C( u, v). Teorema ini pertama kali dikemukakan oleh Sklar pada tahun 1959, sehingga disebut sebagai Sklar s Theorem. Bukti: Jika F dan G kontinu, berdasarkan lemma.3.3, maka terdapat subcopula tunggal dengan Dom( C ') = Range( F) Range( G) C ', karena F dan G kontinu maka Range( F) = Range( G) = atau Dom( C ') =, ini berarti subcopula tersebut merupakan copula yang tunggal. Jika F dan G tidak kontinu, maka terdapat subcopula Dom( C ') = Range( F) Range( G) tersebut dapat diperluas menjadi suatu copula. C ' tunggal dengan, maka berdasarkan lemma.3.4 subcopula

9 1 Copula C pada teorema.3.5 akan dinamakan copula dari X dan Y, dan di notasikan C XY, di mana copula tersebut dapat digunakan untuk mengidentifikasi dependensi dari variabel acak X dan Y. Teorema berikut akan menunjukkan bahwa copula Π ( uv, ) = uv. menyatakan karakteristik keindependenan dari dua variable acak, di mana fungsi distribusinya kontinu. Teorema.3.6. Misalkan X dan Y adalah variabel acak kontinu. Maka X dan Y independen jika jika dan hanya jika C XY =Π. Bukti: Misalkan X dan Y adalah variabel acak kontinu, ( ) misalkan X dan Y independent dan misalkan F dan G masing-masing menyatakan fungsi distribusi marginal dari X dan Y, maka fungsi distribusi gabungannya adalah H( x, y) = F( x). G( y), maka berdasarkan teorema Sklar, terdapat copula C = H( x, y) = F( x). G( y) = uv. =Π ( u, v), di mana u = F( x) dan v= G( y), ( ) misalkan CXY XY =Π ( u, v) =uv., misalkan F dan G masing-masing menyatakan fungsi distribusi marginal dari X dan Y, maka untuk setiap uv,, maka terdapat suatu x, y R sedemikian sehingga F( x) = u dan Gy H( x, y) = v, jadi C = uv. = F( x). G( y) = H( x, y), berdasarkan teorema Sklar independen. XY adalah fungsi distribusi gabungan dari X dan Y. Jadi X dan Y Pada subbab., telah dijelaskan mengenai batas-batas Fréchet-Hoeffding sebagai batas umum untuk setiap copula, yaitu untuk setiap C Χ dan uv, berlaku Wuv (, ) = max( u+ v 1,0) Cuv (, ) min( uv, ) = Muv (, ). (.)

10 13 Sebagai konsekuensi dari teorema Sklar, jika X dan Y adalah variabel acak dengan fungsi distribusi gabungan H dan mempunyai fungsi distribusi marginal masingmasing adalah F dan G, maka untuk setiap x, y R berlaku ( F x G y ) H x y ( F x G y ) max + 1,0 (, ) min,. (.3).4 Survival Copula Dalam banyak aplikasi, cukup menarik untuk dikaji adalah mengenai waktu hidup individu atau barang dalam suatu populasi. Peluang seseorang bertahan hidup lebih dari x didefinisikan sebagai Fungsi survival dengan X 1 S x = P X > x = F x (.4) F menyatakan fungsi distribusi dari X. Karena berkaitan dengan waktu hidup, maka secara alami akan diperoleh Range dari peubah acak adalah [ 0, ). Untuk peubah acak berpasangan (, ) X Y dengan fungsi distribusi gabungan H, maka fungsi survival gabungan dinyatakan sebagai berikut, dengan batas dari (, ) (, ) S x y = P X > x Y > y (.5) S adalah (, ) S x dan (, ) X Y S y, dimana S dan S berturutturut menyatakan fungsi marginal untuk X dan Y. Pertanyaan yang sewajarnya muncul adalah apakah ada hubungan antara fungsi marginal dengan fungsi survival gabungan analog terhadap adanya hubungan antara fungsi marginal dengan fungsi distribusi gabungan? Untuk menjawab pertanyaan ini, misalkan copula dari X dan Y disebut C. Maka kita punya (, ) 1 F( x) G( y) H( x, y) SX ( x) SY ( y) 1 C( F( x), G( y) ) S ( x) S ( y) 1 C 1 S ( x),1 S ( y) S x y = + = + + = + + X Y X Y

11 14 sehingga jika didefinisikan suatu fungsi C dari akan diperoleh ke oleh C( u, v) u v 1 C( 1 u,1 v) = + + (.6) ( X Y ) (, ), S x y = C S x S y (.7).5 Copula Archimedean Dalam subbab ini akan dibahas sebuah kelas Copula yang cukup penting, yaitu Copula Archimedean. Copula ini memiliki aplikasi yang cukup luas dengan beberapa alasan, yaitu 1) copula ini mudah dibangun, ) keluarga copula ini sangat banyak variasinya, dan 3) memiliki sifat-sifat penting yang diperlukan. Copula Archimedean pada awalnya muncul dalam kajian ruang probabilistik, di mana copula ini merupakan bagian dari pengembangan mengenai ketaksamaan segitiga. Untuk membangun copula Archimedes ini, akan diperkenalkan suatu fungsi yang biasa disebut dengan fungsi pembangkit Φ yang merupakan fungsi kontinu dan monoton turun kuat dari ke [0, ] sedemikian sehingga Φ (1) = 0. Teorema berikut merupakan teorema dasar dalam membangun copula Archimedean. Teorema.5.1 Misalkan Φ: [0, ] fungsi kontinu, monoton turun kuat sedemikian sehingga Φ (1) = 0, dan misalkan [ 1] Φ adalah generalized invers dari Φ yang didefinisikan oleh 1 [ 1] Φ () t, 0 t Φ(0) Φ = 0, Φ (0) < t < (.8)

12 15 Maka fungsi C: yang diberikan oleh [ 1 C u,v =Φ ] Φ u +Φ v (.9) { } adalah sebuah copula jika dan hanya jika Φ konvex. Φ disebut pembangkit dari copula. Selanjutnya copula pada persamaan (.9) disebut copula Archimedean. Catatan: a. Jika Φ (0) =, Φ [ 1] 1 dikatakan pembangkit kuat jika Φ =Φ yang merupakan invers yang lazim. Copula yang dibangun dari pembangkit seperti ini disebut copula kuat. b. Pembangkit dari copula Archimedean tidak tunggal, sebagai contoh copula dengan pembangkit cφ, c> 0 memberikan hasil yang sama dengan copula dengan pembangkit Φ. Berikut disajikan dua contoh copula yang termasuk dalam Copula Archimedean. Tabel 1 Contoh Copula Archimedean Famili Φ Range α C( u, v ) Clayton ( 1) t α α 0, 1 u + v 1 α α α α + { } 1 Gumbel log () t [ 0, ) α α (( u) ( v) ) exp log + log 1 α Lemma.5. (Lihat [4]) Misal : [0, ] memenuhi Φ Φ 1 = 0. Misalkan pula X dan Y adalah peubah acak uniform yang memenuhi C ( x, y) 1 { ( x) ( y) } Definisikan Φ =Φ Φ +Φ.

13 16 Maka : a. U berdistribusi uniform pada ( 0,1 ), U V λ = Φ ( X ) Φ ( X) +Φ ( Y) = C( X, Y) Φ ( v) ( v) v ' Φ ( v) { } =,0< 1 = b. V dan K v v λ v mengikuti distribusi yang sama pada 0,1, c. U dan V saling bebas Untuk copula pada tabel 1 maka diperoleh λ untuk masing-masing copula sebagai berikut. Famili Tabel λ ( v) Clayton v( 1 v α ) Gumbel λ α vlog v ( α + 1) λ ( v) berkorespondensi satu-satu terhadap Φ. Akibatnya jika dipilih suatu copula Archimedean, ekivalen dengan memilih suatu fungsi λ yang bersesuaian dengan copula tersebut. Estimator non parametrik untuk λ didefinisikan sebagai berikut, λ ( v) = v K ( v);0 < v< 1 (.30) n n 1 n dengan Kn( v) = δ ( v V i) dan n i= 1 i {( X j Yj) X j < Xi Yj < Yi} #, :, V = ;1 i n ( n 1).

14 17.6 Kendall s Tau Pada subbab ini akan dijelaskan bentuk kuantifikasi dependensi statistik Kendall s τ, yaitu kuantifikasi dependensi yang didasarkan atas data rangking. Tetapi, terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai konsep konkordan yang akan digunakan dalam menjelaskan statistik Kendall s τ..6.1 Konkordan Secara tidak resmi, pasangan variabel acak X dan Y disebut concordance jika salah satu variabel bernilai besar, maka akan berkorespondensi dengan nilai yang besar juga di variabel yang lain, begitu juga sebaliknya untuk nilai yang kecil. Untuk lebih tepatnya, misalkan ( X, Y ) adalah vektor dari dua variabel acak dan ( x 1, y 1 ), ( x, y ) sampel dari ( X, Y ). Kita akan mengatakan bahwa ( x1, y 1) dan ( x, y ) konkordan jika ( x 1 x )( y 1 y ) > 0, dan sebaliknya disebut diskordan jika ( x1 x)( y1 y) < 0. ni jelas bahwa kita dapat mendefinisikan konkordan dari dua vektor ( x1, y 1) dan ( x, y ) tanpa menggunakan definisi variabel acak. Perlu diingat bahwa PX ( 1 = X) = 0, jika X 1 dan X kontinu. Oleh karena itu, jika X dan Y di atas kontinu bagian dari konkordan dan diskordan memisahkan ruang sample sebagai subhimpunan dari bebas yang mempunyai ukuran peluang 1. R menjadi dua bagian yang saling.6. Kendall s Tau dan Copula Definisi.6..1 (Kendall s τ) Misalkan ( X1, Y 1) dan ( X, Y ) dua vektor acak. Kendall s τ didefinisikan sebagai. ( 0 ) ( ) τ τ XY. = P X1 X Y1 Y > P X1 X Y1 Y <0 (.31)

15 18 Selanjutnya kita menyebut bentuk di atas adalah definisi Kendall s τ untuk populasi. Jadi, Kendall s τ adalah perbedaan antara peluang dari konkordan dan peluang dari diskordan. Dalam prakteknya, kita dapat mendefinisikan ukuran dependensi Kendall s τ berdasarkan sampel. Misalkan {(, ),...,(, )} x y x y, n adalah sampel 1 1 berukuran n dari vaktor acak kontinu {( i, i),( j, j) } n n ( X, Y ). Setiap pasang sampel x y x y, i, j {1,..., n}, i j merupakan suatu diskordan atau konkordan. Maka jelas terdapat n 1 pasangan berbeda dari sampel yang ada. Misalkan K menyatakan banyaknya pasangan konkordan, dan D menyatakan banyaknya pasangan diskordan. Maka Kendall s τ untuk sampel didefinisikan menjadi K D K D τ= ˆ = K + D n (.3) Dengan definisi Kendall s τ di atas, kita dapat menunjukkan bahwa copula mempunyai hubungan dengan Kendall s τ, untuk menunjukkan hubungan tersebut, sebelumnya perlu didefinisikan terlebih dahulu suatu fungsi konkordan Q, yang menyatakan perbedaan peluang dari konkordan dan peluang diskordan antara dua vektor ( X1, Y 1) dan ( X, Y ) dari variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi gabungan (yang mungkin) berbeda dan H, tetapi dengan fungsi distribusi marginal yang sama F dan G. Kemudian akan ditunjukkan bahwa fungsi konkordan ini bergantung pada distribusi dari copula. H1 ( X1, Y 1) dan ( X, Y ) melalui n = k k!( n k)! 1 n!

16 19 Teorema.6.. (Fungsi Konkordan Q) Misalkan ( X1, Y 1) dan ( X, Y ) adalah dua vektor random dengan fungsi distribusi gabungan masing-masing dan H, di mana X ~ F dan Y ~ G, i = 1,. H1 Lebih lanjut, misalkan dan menyatakan copula dari C1 C 1 1 sedemikian sehingga H ( x, y) C ( F( x), G( y) ) 1 1 i i ( X, Y ) dan ( X, Y ), = dan H ( x, y) = C F( x), G( y). Jika Q menyatakan perbedaan antara peluang dari konkordan dan peluang diskordan dari ( X1, Y 1) dan ( X, Y ), yang didefinisikan sebagai ( 0 ) ( ) Q= P X X Y Y > P X X Y Y <0 maka kita peroleh: Bukti: , (.33) Q= Q( C1, C) = 4. C( u, v) dc1( u, v) 1. (.34) Karena variabel acak X dan Y kontinu, maka ( 0) 1 ( ) P X X Y Y < = P X X Y Y >0 (.35) dan oleh karena itu, Akan tetapi, Q=. P ( X X )( Y Y ) > 0 1 (.36) 1 1 ( 0 ) (, ) (, ) P X X Y Y > = P X > X Y > Y + P X < X Y < Y, (.37) dan peluang di atas dapat dihitung dengan mengintegralkan (Riemann-Stieltjes) terhadap distribusi dari salah satu vektor ( X 1, Y 1 ) atau ( X, Y ). Misalkan terhadap ( X1, Y 1), kita peroleh: ( 1 >, 1 > ) = ( < 1, < 1), = ( < < ) P X X Y Y P X X Y Y = = R R R P X x, Y y dh ( x, y), 1 H ( x, y) dh ( x, y), 1 C ( F( x), G( y)) dc ( F( x), G( y)), 1 jadi dengan menggunakan transformasi distribusi u = F( x) dan (.38) v= F( y) menghasilkan P X > X, Y> Y = C( uv, ) dc( uv, ) (.39)

17 0 Hal yang serupa, ( 1<, 1< ) = ( > 1, > 1), = ( > > ) P X X Y Y P X X Y Y R R P X x, Y y dh ( x, y), 1 [ ] = 1 F( x) G( y) + C ( F( x), G( y)) dc ( F( x), G( y)), [ ] 1 1 = 1 u v C ( u, v) dc ( u, u). (.40) Karena adalah fungsi distribusi gabungan dari pasangan variabel acak( UV), C 1 yang masing-masing berdistribusi uniform (0,1), EU [ ] = EV [ ] = 1/, dan dengan demikian Jadi, 1 1 P( X1 < X, Y1< Y) = 1 + C( u, v) dc1( u, u), = C ( u, v) dc ( u, u). 1 P ( X X )( Y Y ) > 0 =. C ( u, v) dc ( u, u), (.41) dan dengan mensubstitusikan persamaan (.40) kedalam persamaan (.35), diperoleh: Q=. P ( X X )( Y Y ) > =. C( u, v) dc1( u, u) 1 = 4 C ( u, v) dc ( u, u) 1. 1 Berdasarkan definisi fungsi konkordan pada teorema.6.., maka kita dapat mendefinisikan Kendall s τ untuk X dan Y melalui copula dengan teorema berikut: Teorema.6..3 (Kendall s τ dengan copula) Misalkan X dan Y variabel acak kontinu dengan copula C. Maka Kendall s τ untuk X dan Y diberikan oleh τxy. τ C= QCC (, ) = 4. CuvdCuv (, ) (, ) 1. (.4)

18 1 Perhatikan bahwa bentuk integral yang ada pada persamaan (.41) dapat diinterpretasikan sebagai ekspektasi dari fungsi variabel acak yang berdistribusi Bukti: U (0,1) CUV (, ), atau dengan kata lain [ C U V ], di mana U dan V τ = 4. E (, ) 1. (.43) C C Dengan memilih C = C = C, maka diperoleh 1 τ τ = QC (, C) = QCC (, ) = 4. CuvdCuv (, ) (, ) 1 XY. C 1. Untuk copula pada tabel 1 maka diperoleh τ untuk masing-masing copula sebagai berikut. Tabel 3 τ Famili τ Clayton Gumbel α ( α + ) α ( α + 1)