BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori graf Defenisi graf Graf G adalah pasangan {,} dengan adalah himpunan terhingga yang tidak kosong dari objek-objek yang disebut titik (vertex) dan adalah himpunan pasangan tidak berurutan dari titik-titik berbeda di yang disebut sisi (edge). Misalkan graf G yang memuat himpunan titik dan himpunan sisi seperti berikut ini. ={,,,,} ={,,,,,,,,,,,,,} Graf G tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.1 (Munir 2009). a b G: b d e Gambar 2.1 Graf G Graf Terhubung (Connected Graph) Graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap pasangan verteks dalam G terdapat paling sedikit satu lintasan (path). Gambar 2.2 di bawah ini menggambarkan graf terhubung.

2 8 b a d Gambar 2.2 Graf Terhubung c Graf Berbobot (Weighted Graph) Graf berbobot adalah graf yang setiap nilainya diberi sebuah nilai atau bobot. Bobot pada setiap sisi graf dapat berbeda-beda bergantung pada masalah yang dimodelkan. Dalam tugas akhir ini, bobot pada setiap graf menyatakan jumlah permintaan pelanggan. Contoh graf berbobot dapat dilihat pada Gambar 2.3. a 9 b e 6 c 9 d Gambar 2.3 Graf Berbobot Graf Berarah (Directed Graph) Graf berarah adalah graf yang setiap edge nya memiliki orientasi arah atau panah. Pada graf berarah,,. Contoh graf berarah dapat dilihat pada Gambar 2.4.

3 9 a b e c d Gambar 2.4 Graf Berarah Graf Tidak Berarah (Undirected Graph) Graf tidak bearah adalah graf yang edge nya tidak mempunyai orientasi arah atau panah. Pada graf ini, urutan pasangan verteks yang dihubungkan oleh edge tidak diperhatikan. Jadi, =,. Contoh graf tak berarah dapat dilihat pada Gambar 2.5. a b e c d Gambar 2.5 Graf Tidak Berarah 2.2 Vehicle Routing Problem (VRP) VRP diperkenalkan pertama kali oleh Dantziq dan Ramser pada tahun 1959 dan semenjak itu dipelajari secara luas. VRP didefnisikan sebagai sebuah pencarian

4 10 atau penggunaan yang efisien untuk sejumlah kendaraan (vehicle) dimana kendaraan tersebut harus mengunjungi sejumlah tempat untuk mengantar dan/atau menjemput orang/barang. Istilah pelanggan digunakan untuk menunjukkan tempat pemberhentian. Dan seorang pelanggan hanya boleh dilayani oleh sebuah kendaraan (vehicle) saja. Hal ini dilakukan untuk meminimalkan biaya yang diperlukan dengan mempertimbangkan kapasitas sebuah kendaraan dalam satu kali pengantaran. Bentuk dasar VRP berkaitan dengan masalah penentuan suatu himpunan kendaraan (vehicle) yang melayani satu himpunan konsumen yang diasosiasikan dengan vertex dan demand (permintaan) yang diketahui dan rute yang menghubungkan depot dengan satu konsumen dengan konsumen yang lain. VRP sering disebut sebagai Multi Traveling Salesman Problem (MTSP) di mana VRP merupakan masalah kombinatorial dari dua masalah, yaitu Traveling Salesman Problem (TSP) dan Bin Packing Problem (BPP) (Toth dan Vigo 2002). BPP dan TSP dikategorikan sebagai permasalahan NP-hard problem, sehingga VRP juga dapat dikategorikan sebagai NP-hard problem, dalam optimasi kombinatorial yang mungkin belum ditemukan metode eksak untuk mencari nilai optimalnya. Untuk memecahkan VRP berskala kecil dengan beberapa pelanggan dan semua kendaraannya mempunyai kapasitas yang sama, algoritma branch and bound terbukti sebagai metode terbaik dalam mencari solusi optimal. Dan untuk memecahkan VRP berskala besar dapat diselesaikan secara heuristik. Heuristik adalah algoritma berbasis kira-kira, yang berusaha mencari solusi optimal secepat mungkin. Metaheuristik adalah aturan-aturan penyelesaian secara umum yang memperluas ruang solusi untuk mengidentifikasi solusi yang baik dan sering menyimpan beberapa susunan rute standar serta perbaikan heuristik. Tujuan yang ingin dicapai dalam VRP, antara lain: 1. Meminimalkan biaya perjalanan secara keseluruhan yang dipengaruhi oleh keseluruhan jarak yang ditempuh dan jumlah kendaraan yang digunakan. 2. Meminimalkan jumlah kendaraan yang digunakan untuk melayani semua konsumen.

5 11 3. Menyeimbangkan rute. 4. Meminimalkan keluhan pelanggan. Secara matematis VRP dapat dinyatakan sebagai suatu graf =, dengan ={0,1,,} menyatakan himpunan vertex yang menunjukkan lokasi konsumen dan ={,,, } yaitu himpunan sisi berarah yang menyatakan jalan penghubung antar lokasi konsumen. Vertex 0 menunjukkan depot, yaitu tempat menyimpan kendaraan yang digunakan untuk distribusi dan merupakan tempat dimulainya suatu rute kendaraan. Banyaknya kendaraan yang tersedia di depot adalah K dengan kapasitas kendaraan ke-k adalah. Setiap konsumen i memiliki permintaan sebanyak. Jarak/biaya perjalanan dari konsumen i ke konsumen j adalah. Model VRP dapat dipresentasikan sebagai berikut: min= 2.1 Kendala-kendala, antara lain: 1. Konsumen =1; =1; =2,3,, =2,3,, Depot 3. Kekontinuan rute =1; =1,2,, 2.4 =1; =1,2,, 2.5

6 12 = ; =1,2,, =1,2,, Kapasitas ; {0,1}; =1,2,, =1,2,, =1,, Fungsi objektif dari VRP (2.1) adalah meminumkan total biaya perjalanan, dengan adalah biaya perjalanan dari konsumen i menuju konsumen j. Variabel keputusan bernilai 1 jika rute dari konsumen i menuju konsumen j dilayani oleh kendaraan k dan bernilai nol jika selainnya. Pada kendala (2.2) dan (2.3) dipastikan tepat satu kendaraan yang datang dan pergi dari konsumen i, sedangkan kendala (2.4) dan (2.5) memastikan bahwa tepat satu kendaraan yang pergi dan tiba di depot untuk satu rute. Kendala (2.6) memastikan kekontinuan rute dari setiap kendaraan yang beroperasi. Kendala (2.7) memastikan total permintaan ( ) pada satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang beroperasi pada rute tersebut (Kritikos & Ioannou 2004). Menurut Agus Purnomo (2010), variasi dari VRP antara lain: 1. Capasitated VRP (CVRP) Faktor: Setiap kendaraan punya kapasitas yang terbatas 2. VRP with Time Windows (VRPTW) Faktor: Setiap pelanggan harus disuplai dalam jangka waktu tertentu 3. Multiple Depot VRP (MDVRP) Faktor: Distributor memiliki banyak depot untuk menyuplai pelanggan 4. VRP With Pick-up and Delievering (VRPPD) Faktor: Pelanggan mungkin mengembalikan barang pada depot asal. 5. Split Delievery VRP (SDVRP) Faktor: Pelanggan dilayani dengan kendaraan berbeda 6. Stochastic VRP (SVRP)

7 13 Faktor: Munculnya random values (seperti jumlsh pelanggan, jumlah permintaan, waktu pelayanan atau waktu perjalanan. 7. Periodic VRP Faktor: Pengantaran hanya dilakukan di hari tertentu. 2.2 Capasitated Vehicle Routing Problem (CVRP) CVRP adalah sebuah VRP di mana diberikan sejumlah kendaraan dengan kapasitas tersendiri yang harus melayani sejumlah permintaan pelanggan yang telah diketahui untuk satu komoditas dari sebuah depot dengan biaya transit minimum. Oleh karena itu, CVRP sama seperti VRP dengan faktor tambahan yaitu tiap kendaraan punya kapasitas tersendiri untuk satu komoditas. CVRP dapat dijabarkan sebagai berikut: 1. Tujuan: Meminimalisasi jumlah kendaraan dan total waktu perjalanan, dan total permintaan barang untuk tiap rute tidak boleh melebihi kapasitas kendaraan yang melewati rute tersebut. 2. Kelayakan: Solusi dikatakan layak jika jumlah total barang yang diatur untuk tiap rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang melewati rute tersebut. 3. Perhitungan: Misalkan K melambangkan kapasitas sebuah kendaraan. Secara matematis, solusi untuk CVRP sama dengan VRP, tapi dengan batasan tambahan total permintaan pelanggan pada rute tidak boleh melebihi kapasitas kendaraan atau, di mana merupakan rut ke-i. Tonci Caric and Hrvoje Gold, (2008) mendefinisikan CVRP sebagai suatu graf berarah =, dengan ={,,,,, } adalah himpunan node (vertex), menyatakan depot dan merupakan depot semu dari yaitu tempat kendaraan memulai dan mengakhiri rute perjalanan. Sedangkan =,, adalah himpunan sisi berarah yang merupakan himpunan sisi yang menghubungkan antar node. Setiap node V memiliki permintaan (demand)

8 14 sebesar. Himpunan ={,,, } merupakan himpunan kendaraan dengan kapasitas yang terbatas yaitu Q, sehingga panjang setiap rute dibatasi oleh kapasitas kendaraan. Setiap node, memiliki jarak tempuh yaitu jarak dari node ke node. Jarak perjalanan ini diasumsikan simetrik yaitu = dan =0. Permasalahan dari CVRP adalah menentukan himpunan dari K rute kendaraan yang memenuhi kondisi berikut: 1. Setiap rute berawal dan berakhir di depot 2. Setiap konsumen harus dilayani tepat satu kali oleh satu kendaraan 3. Total permintaan konsumen dari setiap rute tidak melebihi kapasitas kendaraan 4. Total jarak dari semua rute diminimumkan. 2.3 Algoritma Clarke and Wright s Savings Clarke dan Wright (1964) menemukan sebuah metode sederhana untuk mengoptimalkan rute pengiriman, di mana terdapat banyak kendaraan pengangkut dengan berbagai kapasitas yang berasal dari satu pusat yang akan mengirimkan barang-barang ke banyak tempat. Rute terpendek antara dua titik diberikan pada sistem. Tujuan yang ingin dicapai adalah bagaimana mengalokasikan kendaraan pengangkut, sehingga semua barang dapat terkirim dengan biaya pengirirman serta operasional minimal. Algoritma ini didasari pada suatu konsep savings. Algoritma ini adalah sebuah algoritma heuristik, di mana terjadi perubahan prosedur dalam setiap langkah sehingga menghasilkan yang lebih baik. Formulasi dari algoritma Clarke and Wrigh s Savings yaitu sejumlah kendaraan dengan kapasitas dan jumlah permintaan untuk didistribusikan ke beberapa titik berawal dari depot, dengan jarak antar node, di antara beberapa titik diharuskan memenuhi yang terdekat untuk meminimalkan total jarak yang ditempuh kendaraan.

9 15 Algoritma Clarke and Wright s Savings melakukan perhitungan penghematan yang diukur dari seberapa banyak dapat dilakukan pengurangan jarak tempuh dan waktu yang digunakan dengan mengaitkan node-node yang ada dan menjadikannya sebuah rute berdasarkan nilai penghematan yang terbesar yaitu jarak tempuh antara node awal dan node tujuan. Untuk proses perhitungannya, metode ini tidak hanya menggunakan jarak sebagai parameter, tetapi juga waktu untuk memperoleh nilai penghematan yang terbesar kemudian disusun menjadi sebuah rute yang terbaik. Langkah-langkah pada metode ini adalah sebagai berikut (Clarke and Wright, 1964): 1. Menentukan jumlah kapasitas maksimum kendaraan yang tersedia dan alokasi kendaraan yang digunakan untuk pengiriman barang ke pelanggan, mengasumsikan bahwa setiap node permintaan pada rute awal suatu kendaraan secara terpisah. Di mana setiap node membentuk rute tersendiri yang dilayani oleh kendaraan yang berbeda. Seperti pada Gambar 2.6 yaitu rute 0-i-0 dilayani oleh satu kendaraan, dan rute 0-j-0 dilayani oleh kendaraan lain yang berbeda, dalam hal ini 0 untuk depot, i dan j untuk node yang lain. 2. Membuat matriks jarak yaitu matriks jarak antara depot dengan node dan antar node. Matriks jarak ini termasuk matriks simetrik karena pengukuran jari dari node A ke node B sama dengan jarak dari node B ke node A. Bentuk umum matriks jarak ini dapat dilihat pada Tabel 2.1. Tabel 2.1 Bentuk Umum Matriks Jarak di mana :

10 16 = depot = node ke i = node ke j = jarak dari depot ke node i = jarak dari depot ke node j = jarak dari node i ke node j 3 Menghitung nilai penghematan berupa jarak tempuh dari satu kendaraan yang menggantikan dua kendaraan untuk melayani node i dan j. ilustrasi konsep penghematan dapat dilihat pada Gambar 2.6. i j i j 0 (a) 0 (b) Gambar 2.6 Ilustrasi Konsep Penghematan Nilai penghematan adalah jarak yang dapat dihemat jika rute 0-i-0 digabungkan dengan rute 0-j-0 menjadi rute tunggal 0-i-j-0 yang dilayani oleh satu kendaraan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.6 (b). Berdasarkan Gambar 2.6 (a) node i dan j dikunjungi dengan rute yang terpisah. Untuk mendapatkan penghematan, node i dan j akan dikunjungi dengan rute yang sama seperti yang terlihat pada Gambar 2.6 (b). Rute kendaraan yang ditunjukkan diantara node i dan j adalah. Rute kendaraan pada Gambar 2.6 (a) = Ekuivalen dengan rute kendaraan pada Gambar 2.6 (b) = Dengan menggabungkan kedua rute diperoleh nilai penghematan: = =

11 = + + = = = Membuat matriks penghematan, di mana bentuk umum dari matriks penghematan yang dikembangkan oleh Clarke dan Wright dapat dilihat pada Tabel 2.2. Tabel 2.2 Bentuk umum Matriks Penghematan di mana: = nilai penghematan jarak dari node i ke node j 5 Memilih sebuah jalur dimana 2 rute yang dapat dikombinasikan menjadi satu rute tunggal. Nilai penghematan tertinggi diambil, kemudian memilih jarak yang terdekat dengan jalur sebelumnya. Iterasi akan berhenti apabila semua entri dalam baris dan kolom sudah terpilih. Langkah-langkah algoritma Clarke and Wright s Savings dapat digambarkan dalam flowchart, yang dapat dilihat pada Gambar 2.7.

12 18 Mulai A Input data jarak dan permintaan Buat matriks jarak Buat matriks penghematan Pengelompokan rute tidak Apakah semua node telah terkunjungi? ya Rute optimal telah terbentuk Pilih nilai penghematan tertinggi Selesai Gabungkan node i dan j menjadi 1 rute tidak Permintaan < kapasitas ya A Gambar 2.7 Flowchart Pengerjaan Algoritma Clarke and Wright s Savings