PENGANTAR UJI STABILITAS UNTUK MODEL KOMPETISI ANTARA DUA POPULASI

Transkripsi

1 PEGATAR UJI STABILITAS UTU MODEL OMPETISI ATARA DUA POPULASI Edag Warsiki da Haa A Parhusip Program Studi Matematika Idustri da Statistika Fakultas Sais da Matematika Uiversitas riste Satya Wacaa Jl Dipoegoro 5-6- Salatiga Abstract The stability aalysis for a competitio model betwee two populatios is the mai topic i this paper Stability is studied by cosiderig the eigevalues of system differetial equatios accordig to the logistic equatios which are developed for two populatios This paper ca also be used as a itroductio of the qualitative theory through a stability aalysis Additioally, this paper is proposed to the begiers i differetial equatios eywords: competitio, coditio umber, eigevalue, stability PEDAHULUA Masalah aplikasi dapat diyataka dalam betuk persamaa differesial jika dikehedaki kajia terhadap adaya perubaha Berbagai masalah aplikasi dapat diyataka dalam betuk sistem persamaa differesial, misal pada masalah mekaik, diamika molekul, reaksi kietik kimia da ragkaia elektroik [5], resesi ekoomi [9] Sebagai cotoh yag sederhaa yaitu jika diketahui kecepata partikel maka aka dicari posisi partikel pada suatu waktu Hal ii berarti aspek perubaha diketahui yaitu perubaha posisi terhadap waktu (kecepata) Persamaa yag memuat turua disebut persamaa differesial Sedagka turua tertiggi yag mucul dalam persamaa itu disebut tigkat dari persamaa differesial tersebut Peyelesaia persamaa differesial tigkat tiggi yag ada tidak dapat diselesaika dega mudah secara aalitik Salah satu cara yag diguaka adalah meyataka persamaa differesial tigkat tiggi mejadi sistem persamaa differesial tigkat satu Selajutya, kajia dilakuka pada sistem persamaa differesial tigkat satu Pada masa peemua persamaa differesial pada abad 7 oleh ewto, Leibiz, Beroulli, Euler, Lagrage, da Laplace [0], diketahui bahwa tidak mugki mecari peyelesaia semua jeis persamaa differesial Salah satu cara kajia yag dilakuka sebagai peggati adalah mempelajari stabilitas sistem Selai itu, sagat sulit utuk meyataka sifat umum dari peyelesaia persamaa differesial Oleh karea itu, kajia dibatasi pada masalah persamaa differesial liear elieara dari persamaa differesial dijelaska sebagai berikut Persamaa differesial yag dibahas dalam makalah ii berbetuk ɺ ( t) = A, () dega A adalah matriks, = (,,, ) da T d d d d ɺ ( t) = =,,, Matriks dt dt dt dt A adalah matriks yag setiap kompoeya kosta (tidak tergatug pada peubah tak bebas da peubah bebas t) Persamaa differesial di atas dikeal sebagai sistem persamaa differesial liear Hal iilah yag aka diperkealka peulis Pada teori stabilitas, masalah utama yag dikaji adalah mempelajari perilaku peyelesaia persamaa differesial pada t Hal ii dapat dilakuka dega 54

2 Edag Warsiki da Haa A Parhusip (Pegatar Uji Stabilitas utuk Model ompetisi ) megetahui akar-akar karakteristik dari matriks A pada persamaa () Akar-akar karakteristik merupaka peyelesaia dari persamaa karakteristik yag diperoleh dega meyelesaika det A λ I = 0 Makalah ii terlebih dahulu membahas betuk umum persamaa differesial Hal ii ditujukka pada Subbab Adapu peyajia teori utuk stabilitas dilakuka dega mempelajari model kompetisi yag ditujukka pada Bab Beberapa peyelesaia secara umerik ditujukka pada bab berikutya Pegatar Persamaa Differesial Autoomous Bagia ii merupaka cuplika ulag dari [9] Persamaa differesial tigkat- dapat ditulis d d d = F,,,, t, () dt dt dt dega adalah peubah tak bebas da t adalah peubah bebas Persamaa () dapat ditulis sebagai sistem persamaa tigkat- sebagai berikut d = f (, t), (3a) dt atau ɺ i = fi (,,,, t), (3b) dega adalah vektor kolom dega kompoe i da dot (titik diatas peubah meyataka turua terhadap t Utuk meyelesaika persamaa (3a) atau (3b) diberika ilai awal da diotasika sebagai ( t =, (4) 0 ) 0 dega t 0 adalah waktu awal Persamaa (3a) mempuyai peyelesaia tuggal jika di sekitar ( t, 0 0 ) f kotiu da turuaya ( cotiuously differetiable ) ada utuk di suatu daerah asal D Daerah D tersebut merupaka daerah asal yag memuat 0 da I adalah iterval terbuka yag memuat t 0 [0] Secara rigkas dapat ditulis f C( D, R ) dega data awal ( t, 0 0 ) otasi C meyataka ruag kotiu Cotoh Cotoh ii tidak memuat ketuggala peyelesaia ɺ =, (0) = 0 (5) Dega megikuti atura itegral utuk masalah / d = dt diperoleh t = + k, dega k adalah kostata itegrasi yag dapat diperoleh jika ilai awal diketahui Dega megguaka ilai awal (0)= 0, diperoleh = ( t / ), dega (0) = 0 Disii D = { = ( t / ) utuk t I, (0) = 0} da I = { t t0 t T}, T adalah waktu maksimum pegamata etaktuggala dikareaka adaya ketidakkotiua dari turua pada t = 0 Gambar Grafik ( t) = ( t / ), ( 0 ) = 0 Suatu sistem yag tidak bergatug secara eksplisit pada t disebut sistem autoomous Jika sistem dapat diperluas utuk semua sistem autoomous pada < t <, sistem dikataka sistem diamik Sistem autoomous dapat ditulis sebagai ɺ = f (), ( 0) = 0 (6) Disii diasumsika bahwa waktu awal adalah t 0 = 0 Peyelesaia (t) dari persamaa (6) dapat dipadag sebagai suatu kurva di ruag -dimesi (disebut ruag fase) da kurva 55

3 Jural Matematika Vol 8, o, Agustus 005: tersebut diamaka kurva itegral/orbit/ trayektori melalui 0 Defiisi Jika pada suatu = dipeuhi c f ( c ) = 0, maka = disebut titik kritis c /titik setimbag /titik sigular atau titik statioer Peryataa f ( c ) = 0 berarti pula ɺ 0 = Berikut ii diberika beberapa sifat-sifat peyelesaia sistem autoomous a Jika (t) adalah peyelesaia sistem (6), maka ( t + a) adalah peyelesaia utuk sebarag kosta a Suatu trayektori meyataka beberapa peyelesaia yag berbeda satu sama lai oleh karea adaya traslasi t b Trayektori tidak melalui titik setimbag Jika suatu trayektori berakhir pada suatu titik, maka titik tersebut adalah titik setimbag c Trayektori tidak perah bersilaga d Trayektori suatu peyelesaia periodik adalah kurva tertutup Sifat-sifat ii petig karea dega mempelajari sifat trayektori secara geometri, kita dapat mejelaska sifat-sifat kualitatif seperti keterbatasa da periodisitas suatu peyelesaia Selajutya, masalah kompetisi dari dua macam populasi dibahas pada bab berikut ii utuk mejelaska hal-hal terpetig dalam teori kualitas MODEL OMPETISI ATARA DUA MACAM POPULASI Model ii dapat diterapka utuk berbagai macam masalah kompetisi Beberapa cotoh masalah aplikasi yag telah dibahas dapat dilihat pada referesi [8] yag membahas tetag kompetisi atara dua spesies da pada referesi [7] yag membahas tetag model utri Model kompetisi dikeal juga sebagai Lotka- Volterra, dijelaska di [8] da [9] Berikut ii peulis mejelaska model kompetisi utuk sebarag populasi Misal ada macam populasi da berkompetisi utuk sumber daya yag terbatas Diasumsika bahwa utuk masig-masig jeis populasi tidak memagsa satu sama lai Tiap populasi tumbuh tapa ada pegaruh kehadira populasi lai Populasi tumbuh megikuti persamaa logistik Pegaruh kompetisi membuat peurua dalam laju da Diasumsika bahwa laju yaitu da laju yaitu d dt d yag diberika dt oleh [9] d = a b, () dt d = a b () dt Dari model ii, laju dari populasi da laju dari populasi diketahui ita igi megetahui perilaku da utuk t Utuk meyelesaika masalah ii, maka persamaa ()-() ditulis dalam betuk tak berdimesi dega trasformasi sebagai berikut =, =, = a t τ, ρ = a / a, (3a) = b /, (3b) = b / (3c) Dega mesubstitusi persamaa (3a)- (3c) ke persamaa ()-() diperoleh d = ( ), dτ (4a) d = ( ) dτ (4b) Titik setimbag adalah titik yag memeuhi ɺ = 0 Diperoleh titik setimbag dari sistem (4a)-(4b) adalah (0,0), (0,), da (,0) da peyelesaia dari sistem persamaa tersebut adalah + =, (5a) + = (5b) Peyelesaia (4a)-(4b) adalah 56

4 Edag Warsiki da Haa A Parhusip (Pegatar Uji Stabilitas utuk Model ompetisi ) =, = (6) Peyelesaia da releva jika tidak egatif Hal ii berarti,, >,, < Utuk selajutya kualitas dari sistem dipelajari dega memilih = 5 da = ilai ii dipilih utuk mempermudah perhituga ualitas sistem dipelajari dega melihat stabilitas dari sistem itu Hal ii dilakuka dega melihat sifat dari titik setimbag (0,0), (0,), (,0) da titik setimbag pada persamaa (0) Lagkah yag dilakuka adalah meliearka sistem persamaa (4a)-(4b) disekitar titik setimbag dega deret Taylor asus Titik setimbag (0,0) Diperoleh sistem persamaa liear d 0 = d d τ (7) 0 ρ dτ Dega meyelesaika determia A λ I = 0 da A adalah matriks dari sistem persamaa (7) da I adalah matriks idetitas diperoleh akar-akar karakteristik λ = da λ = ρ Disii λ, λ positif sehigga titik setimbag (0,0) adalah titik setimbag tidak stabil asus Titik setimbag (0,) Utuk mempelajari stabilitas titik setimbag (0,) diguaka trasformasi * =, (8a) * = (8b) Substitusika persamaa (8a)-(8b) kedalam persamaa (4a)-(4b) serta megguaka = 5, =, da liearka persamaa (4a)-(4b) da hilagka tada * diperoleh d 05 0 = d d τ (9) ρ ρ dτ Dega cara yag sama seperti di atas, diperoleh λ = 0 5, λ = ρ edua akar karakteristik bertada egatif Titik setimbag (0,) disebut titik stabil asimtotik asus 3 Dega cara sama dega kasus dapat diperoleh bahwa titik (,0) adalah titik setimbag stabil asimtotik asus 4 Titik setimbag (05, 05) Titik ii ditrasformasika ke (0,0) dega atura * = 05, (0a) * = 05 (0b) Dega trasformasi (0a)-(0b) pada sistem (4a)-(4b) da diliearka, serta meghilagka tada * diperoleh d = d d τ () ρ 05ρ dτ Dega cara yag sama seperti di atas, diperoleh akar-akar karakteristik λ = [ ( 05ρ + 0 5) ± 05ρ ρ () ( ) Peubah ρ selalu positif, maka ekspresi didalam akar meghasilka bilaga riil Selajutya, akar-akar karakteristik berbeda tada Oleh karea itu, titik setimbag (05, 05) adalah titik pelaa tidak stabil ( ustable saddle poit ) 3 PEMBAHASA DEGA SIMULASI UMERI Peyajia di atas dilakuka secara maual da studi stabilitas secara maual Pada makalah ii ditujukka simulasi umerik utuk masalah di atas, yaitu dega membuat bidag fase dari persamaa differesial (4a)-(4b) Dega megguaka pplae5 dapat diperoleh diagram fase seperti yag ditampilka pada Gambar Metode umerik yag diguaka pada program pplae5 adalah metode Ruge- utta tigkat- da tolerasi 0000 Teori tetag metode ii dapat dilihat di [4] 57

5 Jural Matematika Vol 8, o, Agustus 005: Gambar Grafik peyelesaia sistem persamaa differesial (4a)- (4b) dega = 5 da =, ρ = Besarya parameter ρ sagat mempegaruhi peyelesaia dari sistem differesial liear yag meetuka stabilitas dari titik setimbag Hal ii dapat dijelaska dega memperhatika bilaga bersyarat dari matriks A yag dicari akarakar karakteristikya Bilaga bersyarat dari suatu matriks A didefiisika sebagai κ ( A) = A A, dega A j = ma = a ij i Jika bilaga bersyarat κ ( A) =, maka sistem dikataka bagus (well defied) da jika κ ( A) >>, sistem dikataka sakit (ill coditioed) Berbagai masalah aplikasi serig megalami keadaa ii Aka tetapi selama perubaha dari sistem tetap memberika peyelesaia terbatas, maka kodisi ii masih dapat diterima Pada bahasa berikut ii diberika cotoh aalisa matriks stabilitas pada Bab dega mempelajari besarya bilaga bersyarat dari matriks Perlu diigat bahwa komputasi telah dilakuka utuk betuk persamaa differesial yag tidak berdimesi yaitu persamaa (4a)-(4b) asus Sistem persamaa differesial (7) Tampak bahwa jika 0 < ρ <<, maka sistem dapat dikataka sakit (ill coditioed) Hal ii dapat ditujukka dega melihat bilaga bersyarat dari matriks 0 A = yag jauh lebih besar dari 0 ρ Studi tetag hal ii dapat dilihat di [0] Secara aplikatif, besarya ρ meetuka besarya faktor kompetisi, karea ρ = a / a (lihat 3a) Jika ρ = maka faktor kompetisi dapat dikataka sebadig atara kedua populasi Dari aspek sistem persamaa liear, matriks A mejadi matriks idetitas, da sistem dikataka bagus (well defied) Hal ii dapat dilihat bahwa bilaga bersyarat dari matriks A adalah asus Sistem persamaa differesial (9) Utuk ρ =, bilaga bersyarat dari matriks A adalah Bilaga bersyarat ii dapat dikataka tidak terlalu besar (masih O()) Secara sama dapat diamati utuk 0 < ρ << diperoleh bilaga bersyarat yag besar, sehigga sistem dikataka sakit Secara aplikasi keadaa 0 < ρ <<, meujukka bahwa faktor kompetisi utuk populasi jauh lebih besar dibadigka faktor kompetisi 4 PEUTUP Stabilitas utuk model kompetisi atar dua populasi telah disajika dalam makalah ii Faktor kompetisi atara kedua populasi merupaka faktor utama Hal ii dikaji dega megamati akar-akar karakteristik dari matriks kestabila estabila matriks dihubugka dega besarya bilaga bersyarat matriks tersebut Pada hasil studi di atas, besar tidakya bilaga bersyarat ditetuka oleh perbadiga faktor kompetisi atara kedua populasi yag ditujukka oleh parameter ρ Utuk 0 < ρ <<, faktor kompetisi populasi jauh lebih besar dari populasi 5 DAFTAR PUSTAA [] Aleei, S (996) Lotka-Volterra Model, dow- 58

6 Edag Warsiki da Haa A Parhusip (Pegatar Uji Stabilitas utuk Model ompetisi ) load pada taggal 8 September 005 [] Apostol, TM (997), Liear Algebra, A first Course with Applicatios to Differetial Equatios, Joh Wiley & Sos, Ic [3] Beals, M, Gross, L, Harrell, S (999), Iterspecific competitio : Lotka-Volterra, edu/~gross/bioed/bealsmodules/comp etitiohtml, dowload pada taggal 8 September 005 [4] Cha Ma Fog, CF, De ee, D (999) Perturbatio Methods, Istability, Catastrophe ad Chaos, World Scietific [5] Deufhard, P, Borema, F (00) Scietific Computig with Differetial Equatios, Spriger-Verlag ew York, Ic [6] Gail, S, Wolkowicz, X, Huaig, Rua, S (997), Competitio i the Chemostat: A Distributed Delay Model ad Its Global Asymptotic Behavior, SIAM Joural o Applied Mathematics, 57(5): 8-30, Society for Idustrial ad Applied Mathematics [7] Golubitsky, M, Dellitz, M (999) Liear Algebra ad Differetial Equatios Usig MATLAB, Brooks/ Cole Publishig Compay [8] ordzakhia,g, Lalley, SP (005), A two species competitio model o D Z, competitio%0model', dowload pada taggal 8 September 005 [9] Mathews, JH (987) umerical Methods, Pretice-Hall, Ic [0] Watkis, DS (99) Fudametals of Matri Computatios, Joh Wiley & Sos 59