BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI 1 Data Katgor Data statst yang dprhatan dalam stap analss atau pnltan pada umumnya mmuat banya varabl numr maupun varabl atgor Shngga analss data uga dapat dlauan dngan mmaa dua macam uuran varabl trsbut Aan ttap, dngan mntransformasan smua varabl numr mnad varabl atgor (ordnal maa ta aan mmpunya suatu data baru dngan smua varabl atgor, yang aan dsbut data atgor Manfaat atau untungan yang dapat dprolh dngan mmaa data atgor antara lan: a Ruang yang dprluan untu mnympan data mnad sangat smpt/cl dbandngan dngan data aslnya atau data prmrnya b Watu yang dprluan untu mlauan analss data aan mnad auh lbh sngat darpada mmaa data prmr mnad sangat cl c Ahrnya, hasl analss data atgor dapat dlauan atau dprtanggungawaban atas dasar pmran sbaga brut 1 Pada dasarnya, analss statst dlauan dngan tuuan untu mmplaar prbdaan atau samaan lompo-lompo ndvdu yang dbntu brdasaran atgor sbuah varabl atau lbh, antara lan prbdaan propors (prsntas, prvalns atau nsdn suatu prstwa trtntu antara lompo ndvdu yang dtnau mmplaar asosas ganda antar varabl atgor dngan mnrapan modl log lnr, atau modl rgrs logst yang mlput pnrapan statst Raso Ksamaan atau Raso Kcndrungan (RK 3 Modl asosas (orlas antara varabl atgor, sprt modl rgrs logst t dnyataan tlah mmpunya pola yang standard atau bau Shngga lbh mudah dapat dpaham dan dulang mbal dngan mmaa brbaga macam data atgor ssua dngan bdangnya masng-masng Unvrstas Sumatra Utara

2 4 d pha lan, smpulan yang dprolh brdasaran modl asosas (mprs antara varabl numr rap al tda dapat dprtanggungawaban, arna data yang dpaa pada umumnya buanlah data yang ssua Data srng trdr dar sumlah ob yang trhtung dngan atrbut trtntu yang dml olh atgor-atgor trtntu yang dsusun dalam tabl satu dmns, dua dmns, tga dmns atau bahan dalam tabl brdmns lbh tngg lag, basanya dsbut tabl ontngns satu arah, dua arah dan tga arah Masng-masng dmns atau arah brhubungan dngan sbuah lasfas dalam atgor-atgor yang mnyaan satu atrbut Tabl satu arah, pngatgorannya mungn tda rlvan untu stap analss statst Ssorang dapat mmsalan prnyataan yang dbuat-buat bahwa datanya mrupaan sampl aca dan mmprolh sbuah prraan dar mdan atau rata-rata ttap haslnya tda nformatf atau sah arna datanya tda dplh scara aca, dsn urang pngacaan uga dapat mnmbulan prtanyaan bagamana (dalam art statst stap smpulan populas yang dtrapan Pnguan n sbnarnya buan non paramtr a pnguannya mngna sbuah paramtr p yang mrnc fruns tradnya stap anga In adalah sbuah u cocoan dan goodnss of ft tst Tabl dua arah, sama formatnya ttap brbda dalam status loganya Datanya trdr dar dua sampl bbas Namun dman dalam dua asus trsbut mash dgambaran bahwa pmbdaannya dapat dabaan untu uuran sampl yang cuup yang bsar, dan dapat dgunaan u untu sampl bsar yang sama tanpa mmandang apaah pmlhannya mntapan hanya umlah sluruhan yang aan dambl samplnya dan mudan mncatat umlah masng-masng las Pada suatu adaan, ta hanya mntapan total sluruhannya pada adaan lan ta mntapan tabl sluruhan dan total bars Hal n uga mungn untu mntapan total sluruhan dan total olom, dan sama dngan prtuaran bars dan olom Pndatan u sampl bsar untu bbasan antara lasfas bars dan olom adalah sama pada sluruh Unvrstas Sumatra Utara

3 adaan trsbut, dan mrupaan u trpntng yang trgantung pada total bars dan olom pngamatan U sampl bsar yang coco dgunaan adalah u Q Cochran Tabl multarah, bla tabl dua arah dngan mudah dsaan pada rtas, tabl tga arah atau lbh palng ba dsaan dngan subtabl-subtabl dan lbh dar satu pnyaan slalu mungn Stlah data trsbut dbran dalam tabl lbh ba untu analss slanutnya dngan mmasuan tabl margnal yang dtunuan Pmbaca dapat mnyusun data n dngan susunan loga yang brbda mspun pnguan untu bbasan dapat dprluas dar tabl dua arah sampa mult arah, dan u brpasangan mngna bbasan dapat dgunaan, shngga analssnya basanya tda cuup( tda fsn dan ta srng trtar dalam mngu dngan lbh mngmbangan hpotss-hpotss, atau bahan srangaan hpotss Banya sprmn scara smultan mmplaar lbh dar dua ndpndn varabl atau lbh dar dua fator Msalnya sprmn bas mlbatan dua atgor atau dua tngatan dar satu fator, tga atgor dar fator yang dua, 5 atgor atau lma tngat dar fator yang tga, dngan sumlah n sub yang dtar scara aca dar masng-masng x3x5 lompo sprmn trsbut Eprmn sprt tu dnal dngan nama x3x5 fatoral sprmn Data yang dprolh dar sprmn sprt tu dapat donsptualsasan sbaga ubus brtga dmns, yang trdr dar bars, 3 olom dan 5 laps, dngan masng-masng n sub dar 30 sl yang brbda dalam sprmn trsbut Analss dan ntrprtas dar data yang dhaslan dar sprmn sprt tu adalah mrupaan prluasan langsung dar analss dan ntrprtas dar lasfas dua arah Dalam suatu sprmn dua-fator dngan n sub dalam stap sl, umlah uadrat total trbag dalam mpat bagan, yatu: umlah uadrat antar bars, umlah uadrat antar olom, umlah uadrat ntras dan umlah uadrat sl dalam Stap umlah uadrat mmpunya sbuah anga yang mnad anga draat bbasan Jumlah uadrat dbag dngan anga draat bbasan untu mmprolh tasran varans Unvrstas Sumatra Utara

4 atau rata-rata uadrat yang dgunaan untu mngu sgnfans pngaruh utama dan ntras Umpamaan sumlah sprmn yang mlbatan sumlah R tngatan dar fator prtama, sumlah C tngatan dar fator dua, dan sumlah L tngatan dar fator tga Jumlah sl mnad sbanya RxCxL yang dsngat mnad RCL Msalan husus dalam asus n ta mmpunya satu alat pnguuran untu stap ombnas RCL, umlah total hasl pnguuran mnad N data untu laps prtama dar angaanga hasl pnguuran tu dapat dtulsan sbaga brut: Tabl 1 Tabl Data Untu Laps Prtama Varabl L A P Varabl C Rata-rata bars E 131 1C E C 1 I S E C R 11 R 1 E R 31 RC 1 Jumlah C 1 1 Unvrstas Sumatra Utara

5 Dalam subsrp d atas ddntfasan, yang prtama sbaga bars, yang dua sbaga olom dan yang tga sbaga laps Dngan dman, msalnya 31 mnunuan obsrvas pada bars tga olom dua dar laps prtama 11 adalah rata-rata dar olom prtama dar laps ptama, sdang 1 rata-rata dar smua obsrvas yang ada pada laps prtama Adapun notas pada laps dua adalah sbaga brut: Tabl Tabl Data Untu Laps Kdua Varabl L A P Varabl C Rata-rata 11 1 E 13 1C 1 E 3 bars 1 C I S 31 3 E 33 3C 3 R 1 R E R 3 RC Jumlah 1 3 C Ktrangan: C= Column (olom R=Row (bars L= Layr (laps Unvrstas Sumatra Utara

6 Dman uga halnya dapat dtunuan laps yang tga, mpat sampa laps yang -L scara umum rc1 mnunuan yang mnunuan hasl pnguuran bars yang -r, pada olom yang -c dan pada bars yang -1harus dpaham bahwa R mnunuan anga dar bars, C mrupaan anga dar olom dan L mrupaan anga dar laps Jumlah r mnunuan bars yang -r, dmana r bas saa brupa anga 1,, R dman uga dngan c dan 1 mnunuan olom yang c dan laps yang -1 Rata-rata dar smua RCL= N adalah Χ umlah uadrat smpangan total dar ratarata umum tad dapat dtulsan: R r= 1 C c= 1 L l= 1 ( rcl Analss Brdasaran Tabl IxJxK Brdasaran data trvarat (V1, V,V3 dngan brbaga sala uuran, slalu dapat dbntu tabl brdmns tga, trmasu tabl xx Dngan sndrnya langah prtama yang harus dlauan adalah mntransformasan atau mngubah tga varabl yang dtnau mnad varabl atgor, brdasaran rtra yang dspaat atau dtntuan Dsn aan dprhatan tga varabl satu-nol, dmana smbol Y dpaa untu mnyataan varabl ta bbas atau varabl rspon dan dua varabl lannya sbaga varabl bbas yang aan dnyataan dngan smbol 1 dan Pnntuan varabl ta bbas dan varabl bbas dantara omponn trvarat (V1,V,V3 haruslah dduung olh landasan tor dan substans, arna pola asosas antar varabl dtntuan scara torts Dpha lan, scara statst ofsn asosas atau orlas antara varabl slalu dapat dhtung walaupun varabl trsbut tda brasosas scara substans Shngga, analss statsta brdasaran data trvarat mmpunya tuuan antara lan untu mnntuan modl uanttatf atau modl Unvrstas Sumatra Utara

7 statst yang ssua dngan pola hubungan torts antar tga varabl yang dtnau, yang aan dsbut modl torts 3 Uuran Asosas Brdasaran Tabl xx 31 Slsh Prvalns atau Propors Brsyarat Tabl brut mnunuan suatu bntu tabl xx tabl n mnyaan banyanya obsrvas mnurut varabl 1, dan Y yang masng-masng mrupaan varabl satu- nol Prhatanlah tabl n mmpunya mpat buah bars dan dua buah olom dan banyanya obsrvas dalam tap-tap sl dnyataan dngan smbol O untu stap, dan sama dngan satu atau nol Tabl 3 Banyanya Rspondn Mnurut Varabl 1, dan 3 Varabl Y 1 =1 Y=1 Y=0 Jumlah = = = = Jumlah N= Unvrstas Sumatra Utara

8 Sbnarnya tabl n mnggambaran ruang bdmns tga (ubus dngan sumbu 1, dan Y, yang dbag mnad 8 (xx buah ubus cl yang mmbntu dlapan buah sl yang dmuaan d atas 4 Modl Log Lnr Dalam atgor bvarat dmana dprolh nla statst Ch-uadrat dar parson (Parson Ch-Kuadrat dan Raso Ksamaan Aan ttap untu mmplaar pola asosas ganda brdasaran data trvarat atau lbh harus dtrapan Modl Log Lnr, trlbh-lbh a modl yang dtnau scara torts mnunuan hubungan antara dman banyanya varabl Modl statst Modl Log Lnr aan dpaa untu mmplaar apaah data sampl yang aan dpaa mnduung atau tda mnduung modl asosas ganda yang dhpotssan dnyataan atau dasumsan brlau untu tga varabl yang dtnau Analss yang lbh trnc mngna tabl ontngns tga dmns atau yang basanya mnggunaan pnguan pasangan yang tda sdrhana dar bbasan yang dapat dlauan pada bagan-bagan dar tabl-tabl dua arah Sumlah bsar dar modl-modl yang brbda adalah mungn dan tn analt yang modrn srng ddasaran pada modl log-lnr Dalam sbuah buu dasar-dasar statst, hal n coco hanya untu mmbran pngnalan sngat untu modl dan pnguan, dan dlasan dngan satu contoh sdrhana Tn-tn analt adalah data dsrt yang analog dngan analss varans untu data ontnu Pmbaca yang blum nal dngan analss varans modl lnr untu rancangan prcobaan dngan strutur prcobaan fatoral mungn sult untu mngut bagan n, ttap dharapan sbuah pnlasan yang mndasar aan mmbran bbrapa ndas tntang uatan modl lnr sbaga sbuah alat analt Pnrapan yang lbh sult dar mtod n mmbutuhan pngtahuan yang luas mngna statst dan trsdanya program omputr yang coco Msalan { m } mrupaan fruns harapan, dugalah smua m >0 dan msalan η = log m Tanda dot dbawah mrupaan rata-rata, sprt: η = ( η / I D dapatan: Unvrstas Sumatra Utara

9 µ = η x λ Y Z = η η, λ = η η, λ = η η Y λ + = η η η η = η η η η Z λ + YZ λ + = η η η η λ YZ = η η η η + η + η + η η Jumlah smua paramtr d atas sama dngan nol, yatu: x Y Z Y Y YZ λ = λ = λ = λ = λ = = λ = 0 Shngga bntu umum modl log lnr untu tabl ontngns tga dmns, adalah: log m = µ + λ + λ + λ + λ + λ + λ + λ Y Z Y Z YZ YZ Dalam hal pnguan n uga sama dngan analss varans tga dmns Bbrapa modl log lnr untu tabl tga dmns: Modl log-lnr smbol log m = µ + λ + λ + λ (,Y,Z Y Z log m = µ + λ + λ + λ + λ (Y,Z Y Z Y log m = µ + λ + λ + λ + λ + λ (Y,YZ Y Z Y YZ log m = µ + λ + λ + λ + λ + λ + λ (Y,YZ,Z Y Z Y YZ Z log m = µ + λ + λ + λ + λ + λ + λ + λ (YZ Y Z Y YZ Z YZ Unvrstas Sumatra Utara

10 Untu mnunuan modl log-lnr ta car bntu margnal dan partalnya dngan mnggunaan odds ratos -Y tabl margnal {π + } dngan (I-1(J-1 odds ratos, bntunya: π + π Y + 1, θ =, 1 I 1,1 J 1 π π + 1,, +, +, + Dngan dalam Z, hubungan odds ratosnya: π π + 1, + 1, θ ( =, 1 I 1,1 J 1 π π, + 1, + 1,, Mnunuan hubungan -Y Sama halnya antara dan Y ddapatan dar (I-1(K-1 Odds ratos θ } untu stap J pada Y, dan hubungan antara Y dan Z ddapatan { ( dar (J-1(K-1 odds ratos { θ } untu stap I pada Untu tabl tga dmns ( log m dalam log odds ratos, ddapat: 1 θ11(1 1 θ1(11 1 θ = = = 111 log( log log 8 θ 11( 8 θ1(1 8 θ λ YZ (111 (11 Dngan umlah nol batasannya { λ YZ } Masng-masng { λ YZ } adalah nol ta odds ratos antara dua varabl sama dngan tga varabl Bntu umumnya YZ { λ = 0} dalam tabl x x K, ta θ 11 (1 = = θ11(, shngga: Y 1 λ 11 = logθ11( untu =1 K 4 Sprt dalam asus dua dmns paramtrnya sbandng pada log odds ratos Modl Log lnr dapat dnal dngan mnggunaan hubungan odds ratos Dalam hal hubungan ndpndnt antara dan Y quvalnt trhadap { θ ( = 1 = 1,, I 1, = 1,, J 1, = 1,, K } Unvrstas Sumatra Utara

11 Knudan ta bran satu adaan yang cuup trhadap -Y odds ratos mnad sama dalam tabl parsal sprt pada tabl margnal Kta adaan sama ta dapat mmplaar gabungan -Y dngan cara mnydrhanaan mnylsaan dmns Z slanutnya, Z aan mnad varabl tunggal atau multdmns θ = θ = θ = = θ, 11 I 1,1 J 1 Y ( 1 ( ( θ 1, 1 I 1,1 J 1,1 K 1 ( = θ 1, 1 I 1,1 J 1,1 K 1 ( = Dngan ata lan, gabungan margnal da parsal -Y dsamaan a Z dan bbas (, dsmbolan dngan (Y,YZtrat, atau a Z dany bbas (, bntunya (Y,Ztrat 41 Pnrapan Modl Log Lnr Data Trvarat Dalam sbuah tabl ontngns dua dmns, nla harapan untu sl dngan hpotss bbasan atau tda ada asosas adalah = ( n + ( n+ N n slanutnya mngut 11 = ( n1 + n+ 1n+ n+ / N = 11 yatu bahwa produ slang atau dagonal adalah sama, atau = 1 Sfat pralan dan harapan untu bbasan n dapat dbandngan dngan sfat harapan adtf bla tda ada ntras dalam modl lnrnya Sbnarnya ada samaan modl-modl a ta mngambl logartma dan mnuls mrupaan dasar modl log lnr arna prsamaan ~ x = ln n Unvrstas Sumatra Utara

12 = 1 adalah sbuah onds yang dprluan untu bbasan, maa slanutnya stap hpotss yang mnybutan trgantungan mnyataan sbuah hubungan yang lbh umum = 1 1 Dngan mngambl logartmanya ta mmpunya analog modl yang brntras Prluasan untu tabl tga dmns, modlnya dapat dprluas untu tabl r x c dan lbh pntng untu tabl mult arah Prtama, ta mmbuat prluasan dar modl lnr untu tga fator masng-masng dngan dua lvl dalam onts analss varans Pnguuran ntras tlah dprnalan dalam modl dua fator yang dsbut sbuah ord prtama atau adang-adang dsbut sbuah ntras dua fator Ja ta mmpunya tga fator masng-masng pada dua lvl, ta dapat mnyaan hasl yang dharapan dalam sbuah prluasan yang las dar notas x ~,, = 1, Ja ta mmprtmbangan dua fator prtama pada lvl prtama dar fator tga (dtunuan dngan =1 ta aan mmpunya sbuah ntras prtama antara fator 1 dan fator pada lvl ttap fator 3 n a x + x x x = Ι, Ι sbaga tambahan, a ta mmpunya sbuah ntras ord prtama antara fator 1 dan fator pada lvl dua dar fator 3 ( =, n mnyataan ~ x 11 + ~ x - ~ x 1 - ~ x 1 = J, J=0 a I J ta ataana tda ada ntras ord dua antara tga fator Ja I J ta ataan tda ada sbuah ntras ord dua atau ord tga Ja I= J= 0 mmpunya modl tda ada ntras Dalam onts dar modl log-lnr dmana ta tuls x ~ =ln dmana adalah harapan untu lvl - lasfas 1, untu lvl - lasfas, untu lvl - lasfas 3, modl dngan tda ada ntras brhubungan dngan bbasan dan mnad: ( ( ( = ( = 1 Unvrstas Sumatra Utara

13 Ktrgantungan dapat mnad ord prtama atau dua (dtunuan untu ntras ord prtama atau dua dalam modl log-lnr Untu ntras modl prtama: ( ( ( = ( = Dmana 1, dan untu modl ntras ord dua: ( ( ( ( Modl log-lnr mngznan pnguan untu mnntuan apaah data dapat mnad coco dgambaran olh bbrapa modl trtntu Untu contoh lustras, ta mngut prosdur yang rlvan untu pnguan modl ntras ord prtama Dalam asus dalam sbuah tabl ontngns tga dmns, pnduga masmum llhood dar, yang aan dnotasan dngan ^ harus mmnuh onds: (ẽ 111 ẽ 1 /(ẽ 11 ẽ 11 = (ẽ 11 ẽ /(ẽ 1 ẽ 1 Dngan batasan bahwa ^ harus uga umlah untu total margnal yang damat stap ahran Pada umumnya, pnduga masmum llhood hanya dapat dprolh dngan mtod yang brulang-ulang( salah satunya dnal dngan tratv scalng procdur; aan ttap dalam asus husus dar tabl tga dmns dngan modl ntras ord prtama, prhtungan prtama adalah langsung Sal ^ tlah dhtung, statst T atau T 1 untu tabl tga dmns dgunaan untu pnguan nyata T 1 srng lbh dsua arna dar sfat adtf trtntu yang mmungnan trbag dalam omponn-omponn, analog dngan cara yang dlauan untu umlah uadrat orthogonal dalam analss varans Suatu pnltan yang mnlt tga fator (, Y dan Z yang masng-masng dcobaan dalam brbaga tngatan Fator dalam x tngatan, fator Y dalam y Unvrstas Sumatra Utara

14 tngatan dan fator Z dalam z tngatan Prcobaan trsbut mrupaan prcobaan fatoral xxyxz Dngan dman banya prlauan yang dcobaan adalah t=xyz Andaan bahwa tap prlauan dulang dngan ulangan yang sama sbanya n (uuran contohnya n tntu saa pada prcobaan dman, data yang dprolh aan bragam yang dapat datan dngan tngat masng-masng fatornya Dngan dman dapat dtulsan: l = µ + α + β + Γ + ( αβ + ( αγ + ( βγ + ( αβγ + ε l Dngan: = pngamatan 1 (1=1,,,n untu fator yang (=1,,,n, fator Y l yang (=1,,,b, dan fator z yang (=1,,,c µ = rata-rata α = pngaruh fator yang β = pngaruh fator Y yang Γ = pngaruh fator Z yang (αβ = ntras fator yang dngan fator Y yang (α Γ = ntras fator yang dngan fator Z yang ( β = ntras fator Y yang dngan fator Z yang Γ ( αβ = ntras fator yang, fator Y yang dngan fator Z yang Γ ε = ssatan pngamatan yang brsangutan l Pnduga masng-masng omponn dalam modl d atas dduga dngan cara yang sama sprt yang sudah basa dlauan Pnduga yang ddapat adalah: ^ µ = ^ α = ^ β = Γ = Unvrstas Sumatra Utara

15 ^ αβ ( = ( α ^Γ = ^ β Γ ( = ^ Γ ( αβ = + ^ ε = l l Brbaga pnduga n dngan mudah dapat ta prolh apabla ta lhat pola untu mndapatannya Pnduga pngaruh suatu tngat suatu fator mrupaan slsh antara rrata tngat fator trsbut dngan rata-rata sluruhan data Prhatan notasnya yang trnyata brupa satu nds saa yang lannya tt ( atau atau saa, yang lannya brupa tt dan pngurangnya mmpunya nds yang brupa tt smua Pada ntras dua fator, pnduganya ddapat dngan alan mngurang ratarata gabungan tngat dua fatornya dngan rata-rata tngat masng-masng fator dan mudan dtambah dngan rata-rata sluruhan data Mnyma ndsnya, pnduga ntras dua fator n ddapat dngan alan mngurang rata-rata yang brnds dua ( dan, dan, atau dan sdangan lannya brupa tt dngan rata-rata yang brnds satu yang prss dngan nds duanya dan mudan dtambah rata-rata sluruhan data yang smua ndsnya brupa tt Sprt halnya dngan analss varan yang trdahulu, brbaga umlah uadrat ddapat tda dngan mnggunaan brbaga pnduga datas ttap dalam bntu yang tlah dsdrhanaan trlbh dahulu Untu umlah uadrat JK = Σ ( = yzn Σ yzn Σ + xyzn = yzn Σ xyzn Unvrstas Sumatra Utara

16 Karna Σ = x shngga JK = Σ yzr FK dngan FK = xyzn prhatan bahwa JK ddapat dngan mnumlahan uadrat umlah masng-masng tngat fator (dumlah trhadap yang dbag dngan ssuatu yang bsarnya sama dngan batas nds yang brubah mnad tt Dalam hal n nds yang brubah mnad tt adalah,, dan l yang mmpunya batas nla y, z dan n prhatan bahwa rumus untu umlah uadrat n brtalan dngan rumus untu pnduganya Pnduga untu pngaruh yang adalah rata-rata dngan nds ( yang lannya brupa tt durang dngan rata-rata dngan smua ndsnya brupa tt rumus JK uga mmpunya nds yang durang dngan ssuatu yang tanpa nds, yatu FK Maa dngan mudah dprolh JKY dan JKZ, sbaga brut: JKY = Σ yzr FK JKZ = Σ yzr FK Sarang aan ta lhat bagamana pnydrhanaan umlah uadrat ntras dua fator Kta aan sma trlbh untu ntras antara dan Y: JKY = + ΣΣ( Yang apabla dsdrhanaan aan dprolh: JKY = ΣΣ Σ Σ + xy zn yzn xzn Unvrstas Sumatra Utara

17 Dalam atannya dngan rumus untu pnduganya, lhat tratan antara rumus pnduga dan umlah uadrat suatu omponn Rumus pnduga omponn ntras Y ddapat dngan mngurang rata-rata brnds dua ( yatu dan untu dan Y dngan rata-rata brnds satu untu dan brds satu untu Y, dan ahrnya dtambah dngan rata-rata yang smua ndsnya brupa tt ( tda brnds Pnydrhanaan lbh lanut aan mnghaslan: JKY = ΣΣ zn FK JK JKY Prhatan bahwa umlah uadrat ntras dan Y ddapat dngan mnumlahan smua umlah pada ombnas dan Y yang dbag dngan ssuatu yang mrupaan nla batas nds yang brupa tt dalam hal n nds yang brupa tt adalah untu dan l yang mmpunya batas z dan n shngga sbaga pmbag adalah zn, durang dngan fator ors dan durang lag dngan umlah uadrat fatorfator yang mnyusun ntrasnya Jumlah uadrat ntras tga fatornya ddapat dar: JKYZ = ΣΣΣ Yang apabla dsdrhanaan aan mnghaslan: ΣΣΣ ΣΣ n zn JKYZ = + Σ xyzn xyn Σ Σ yn Σ Σ xn + Σ + Σ yzn xzn JKYZ = ΣΣΣ n JK JKY JKZ JKY JKZ JKYZ Draat bbas brbaga umlah uadrat datas dapat dngan mudah dprolh dngan mmprhatan bbrapa al pnguadratan yang ta umlahan dan urangan Untu fator, ta mnguadrat a al yang dumlahan dan mnguadratan Unvrstas Sumatra Utara

18 sal untu mmprolh fator ors yang mudan ta gunaan untu mngurang Dngan dman draat bbas adalah ( x-1 Analog dngan adalah untu Y dan Z Untu ntras dua fator, Y msalnya ta mnguadratan sbanya xy al yang mudan ta umlahan, mudan durang dngan FK (yang dprolh dngan sal mnguadratan dan durang lag dngan JK dan JKB yang mmpunya draat bbas (x-1 dan (y-1 Dngan dman draat bbas Y adalah: xy-1-(x-1-(y-1=(x-1(y-1 dngan cara yang sama ta dapatan bahwa ntras Z mmpunya draat bbas (x-1(z-1 dan ntras YZ mmpunya draat bbas (y-1(z-1 Draat bbas ntras tga fator Y pun dprolh dngan cara yang sama Suu prtama pada rumus umlah uadrat YZ mnunuan bahwa ta harus mnguadratan xyz al, sdangan draat bbas suu-suu pngurangannya tlah ta tahu Dngan dman draat bbas untu ntras YZ adalah: xyz-1-(x-1(y-1-(x-1(z-1-(y-1(z-1-(x-1-(y-1-(z-1 yang tlah dsdrhanaan aan brubah mnad (x-1(y-1(z-1 hasl-hasl prhtungan d atas dapat dsusun dalam suatu tabl anava Unvrstas Sumatra Utara