BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 6 BAB LADASA TEORI.. Persamaan Integral Pengintegrasian (integration), bersama dengan pendierensiasian (dierentiation), merupakan konsep matematika yang menadi antung dari kalkulus. Berdasarkan Microsot Encarta Premium 006 Dictionary Tools, mengintegrasikan (to integrate) berarti membawa seluruhnya, bagian per bagian, menadi sebuah bentuk utuh; menyatukan; untuk mengindikasikan umlah total... Secara matematik, pengintegrasian dilambangkan dengan: I ( x) dx Pers. (.) = b a yang berarti integral dari ungsi (x) dengan variabel bebas x, dievaluasi berdasarkan batas x = a dan x = b. Fungsi (x) dalam pers. (.) disebut integran (integrand). Berdasarkan deinisi yang diberikan oleh kamus bahasa, arti dari pers. (.) adalah nilai total atau penumlahan (summation) dari (x) dx dalam angkauan x = a hingga b. Berdasarkan aktanya, simbol sebenarnya merupakan sebuah huru kapital S yang diberi sentuhan gaya yang dituukan untuk menandakan hubungan tertutup antara pengintegrasian dan penumlahan. Gambar. berikut merupakan sebuah penggambaran secara graik dari konsep tersebut. Untuk ungsi yang terletak di atas sumbu x, integral yang dinyatakan oleh pers. (.) mengacu kepada area di bawah kurva (x) antara x= a dan b.

2 7 Gambar. Penggambaran secara graik dari integral (x) antara batas x = a dan b. Integral tersebut ekivalen dengan daerah di bawah kurva ini: Fungsi yang diintegrasikan akan memiliki satu dari tiga bentuk khusus berikut Sebuah ungsi kontinu sederhana, seperti sebuah polinomial, sebuah eksponensial, atau sebuah ungsi trigonometri. Sebuah ungsi kontinu yang rumit, yang sulit atau tidak mungkin diintegralkan secara langsung.. Sebuah ungsi yang ditabulasikan, di mana nilai-nilai dari x dan (x) diberikan pada seumlah titik tertentu (diskrit), sebagaimana seringkali teradi pada kasus dengan data lapangan atau data hasil eksperimen. Pada kasus pertama, integral dari sebuah ungsi sederhana mungkin dapat dievaluasi secara analitik menggunakan kalkulus. Untuk kasus kedua, solusi analitik seringkali tidak praktis, dan terkadang mustahil, untuk diperoleh. Dalam hal ini, demikian uga dengan kasus ketiga dari data diskrit, metode pendugaan/perkiraan harus

3 8 digunakan. Pendekatan berorientasi visual digunakan untuk mengintegrasikan data tertabulasi dan ungsi yang rumit pada masa sebelum komputer ditemukan. Sebuah pendekatan berdasarkan intuisi yang sederhana adalah dengan menempatkan ungsi tersebut pada sebuah kisi-kisi (grid) (Gambar.) dan menghitung umlah kotak-kotak yang digunakan sebagai penduga dari daerah tersebut. Jumlah tersebut dikalikan dengan daerah di mana setiap kotak memberikan sebuah perkiraan kasar mengenai daerah total di bawah kurva. Perkiraan ini dapat diperhalus, dengan usaha tambahan, menggunakan sebuah kisi-kisi yang lebih baik. Gambar. Penggunaan dari sebuah kisi-kisi (grid) untuk menaksir sebuah integral

4 9 Pendekatan yang masuk akal lainnya adalah dengan membagi daerah tersebut menadi bagian-bagian berbentuk vertikal, atau strips, dengan tinggi yang setara dengan nilai ungsi pada titik tengah setiap bagian (Gambar.3). Daerah dari persegi panang tersebut dapat kemudian dihitung dan diumlahkan untuk memperkirakan.umlah total dari daerah tersebut. Pada pendekatan ini, diasumsikan bahwa nilai pada titik tengah setiap bagian memberikan sebuah pendugaan yang sah dari rata-rata tinggi dari ungsi untuk setiap strip. Sebagaimana dengan metode kisi-kisi, perkiraan yang diperhalus adalah mungkin dengan menggunakan lebih banyak (dan lebih tipis) strips untuk menaksir integral tersebut. Gambar.3 Penggunaan dari persegi panang atau strips untuk menaksir sebuah integral.. Metode dan Integrasi umerik Walaupun pendekatan sederhana yang demikian memiliki sarana untuk pendugaan yang cepat, teknik numerik alternati uga tersedia untuk tuuan yang sama. Tidak mengeutkan, cara yang paling sederhana dari metode ini mirip dalam hal iwa dari teknik nonkomputer.

5 0 Integrasi numerik atau metode kuadratur (quadrature) tersedia untuk memperoleh integral-integral. Metode-metode ini, yang mana lebih mudah untuk diimplementasikan dibandingkan dengan pendekatan kisi-kisi, sangat mirip iwanya dengan metode strip. Yaitu, tinggi ungsi dikalikan dengan lebar strip dan diumlahkan untuk memperkirakan integral tersebut. Bagaimanapun, melalui pemilihan yang cerdas dari aktor pembobot (weighting actor), perkiraan yang dihasilkan dapat dibuat lebih akurat dibandingkan dengan metode strip yang sederhana. Sebagaimana dalam metode strip sederhana, integrasi numerik menggunakan data pada titik-titik tertentu. Karena inormasi berbentuk tabel sudah berbentuk demikian, maka hal itu dapat cocok dengan banyak dari pendekatan-pendekatan numerik. Sebagaimana ditunukkan oleh gambar.4, tabel tersebut dapat kemudian dievaluasi dengan sebuah metode numerik. Gambar.4 Aplikasi dari sebuah metode integrasi numerik: (a) Fungsi kontinu yang rumit. (b). Tabel nilai diskrit dari (x) yang dihasilkan dari sebuah ungsi. (c). Penggunaan salah satu metode numerik (metode strip) untuk menaksir integral yang berdasarkan kepada titik-titik diskrit. Untuk sebuah ungsi berbentuk tabel, data sudah dalam bentuk tabel (b); untuk itu, langkah (a) tidak diperlukan

6 .3. Integrasi Romberg Pada subbab.., diketahui bahwa ungsi-ungsi yang akan diintegrasikan secara numerik memiliki dua bentuk yang khas: sebuah tabel berisi nilai-nilai atau sebuah ungsi. Bentuk dari data memiliki pengaruh terhadap pendekatan yang dapat digunakan untuk mengevaluasi integralnya. Untuk inormasi berbentuk tabel (yang tidak dibahas dan digunakan dalam skripsi ini), kita dibatasi oleh umlah dari titik-titik yang diberikan. Berlawanan dengan hal itu, Jika sebuah ungsi tersedia, maka kita dapat menghasilkan sebanyak mungkin nilai dari (x) yang dibutuhkan untuk mencapai tingkat akurasi yang dapat diterima (seperti gambar.4). Integrasi Romberg merupakan teknik yang digunakan dalam integrasi numerik untuk menganalisis kasus di mana ungsi yang akan diintegrasikan tersedia. Teknik ini memiliki keunggulan untuk menghasilkan nilai-nilai dari ungsi untuk mengembangkan skema yang eisien bagi pengintegrasian secara numerik. Integrasi Romberg didasarkan pada ekstrapolasi Richardson (Richardson s extrapolation), yang mana merupakan metode untuk mengkombinasikan dua perkiraan integral secara numerik untuk memperoleh nilai ketiga, yang lebih akurat. Integrasi Romberg merupakan algoritma komputasi untuk mengimplementasikan ekstrapolasi Richardson melalui sebuah cara yang sangat eisien. Teknik ini bersiat rekursi dan dapat digunakan untuk menghasilkan sebuah perkiraan integral dalam batas toleransi kesalahan (error tolerance) yang sudah ditentukan terlebih dahulu. Integrasi Romberg didasarkan pada aplikasi beturut-turut (rekursi) dari aturan trapesium (trapezoidal rule). Walau bagaimanapun, melalui manipulasi secara

7 matematik, hasil yang superior dapat dicapai dengan sedikit usaha..3.. Ekstrapolasi Richardson Ekstrapolasi Richardson merupakan metode yang menggunakan dua perkiraan dari sebuah integral untuk mengkomputasi pendugaan ketiga, yang lebih akurat. Perkiraan dan kesalahan (error) yang diasosiasikan dengan aturan trapesium multi-aplikasi (multiple-application trapezoidal rule) dapat digambarkan secara umum sebagai I = I( h) + E( h) Pers. (.) di mana I adalah nilai yang sebenarnya dari integral tersebut, I(h) adalah pendugaan dari sebuah aturan trapesium dengan aplikasi bersegmen n dengan lebar langkahnya h = (b a)/n, dan E(h) adalah kesalahan pemotongan (truncation error). Jika kita membuat dua perkiraan yang berbeda menggunakan lebar langkah h dan h dan memiliki nilai yang sebenarnya untuk error-nya, I h ) + E( h ) = I( h ) + E( ) Pers. (.3) ( h Sekarang ingat bahwa error dari aturan trapesium multi-aplikasi dapat diperkirakan sebagai E a 3 ( b a) = " Pers. (.4) n Dengan n = (b - a)/h menadi

8 3 E b a h " Pers. (.5) Jika diasumsikan bahwa " adalah konstan, tidak dipengaruhi oleh lebar langkah. Pers. (.5) dapat digunakan untuk menentukan bahwa rasio dari kedua error adalah E( h ) E( h ) h h Pers. (.6) Perhitungan ini memiliki eek penting dalam penghilangan bagian " dari perhitungan. Dengan demikian, hal itu memungkinkan kita untuk menggunakan inormasi yang dinyatakan oleh pers. (.5) tanpa terlebih dahulu mengetahui turunan kedua dari ungsi tersebut. Untuk melakukan hal itu, kita ubah pers. (.6) menadi ( ) ( ) h h E h E h Pers. (.7) yang mana dapat disubstitusikan ke dalam pers (.3): h I ( h ) + E( h ) I( h ) + E( h ) h Pers. (.8) yang dapat disederhanakan menadi E( h ) I( h ) I( h ) Pers. (.9) ( h / h ) Hasilnya, kita telah mengembangkan sebuah perkiraan dari error pemotongan

9 4 dalam hal pendugaan integral dan lebar langkahnya. Perkiraan ini dapat disubstitusikan ke dalam I = I h ) + E( ) Pers. (.0) ( h untuk menghasilkan sebuah pendugaan integral yang telah diperbaiki: I I( h ) + [ I( h ) I( h )] Pers. (.) ( h / h ) Hal ini menunukkan (Ralston dan Rabinowitz, 978) bahwa error dari pendugaan ini adalah O(h 4 ). Hasilnya, kita telah mengkombinasikan dua perkiraan aturan trapesium dari O(h ) untuk menghasilkan sebuah penduga yang baru dari O(h 4 ). Untuk kasus khusus di mana intervalnya dibagi dua (h = h /), persamaan ini menadi I I( h ) + [ I( h ) I( h )] Pers. (.) atau, dibentuk menadi, 4 I I( h ) I( h ) Pers. (.3) 3 3 Pers. (.4) memberikan sebuah cara untuk mengkombinasikan dua aplikasi dari aturan trapesium dengan error O(h ) untuk menghitung penduga ketiga dengan error O(h 4 ). Pendekatan ini adalah sebuah subhimpunan dari sebuah metode yang lebih umum untuk mengkombinasikan integral-integral dari O(h4) pada basis dari tiga penduga aturan trapesium. Kedua penduga tersebut dapat,

10 5 dalam perubahannya, dikombinasikan untuk menghasilkan sebuah nilai yang lebih baik dengan O(h 6 ). Untuk kasus khusus di mana penduga trapesium yang asli didasarkan kepada pembagian terus-menerus dari lebar langkah, persamaan yang digunakan untuk keakuratan O(h 6 ) adalah 6 I I m I l Pers. (.4) 5 5 di mana I m dan I l masing-masing adalah penduga yang lebih (more) dan kurang (less) akurat. Dengan cara yang sama, dua hasil O(h 6 ) dapat dikombinasikan untuk menghitung sebuah integral O(h 8 ) menggunakan 64 I I m I l Pers. (.5) Algoritma Integrasi Romberg Perhatikan bahwa koeisien dari masing-masing persamaan ekstrapolasi (Pers. (.3), Pers. (.4), dan Pers. (.5)) bertambah hingga mendekati satu. Hasilnya, mereka merepresentasikan aktor-aktor pembobot yang, sealan dengan meningkatnya akurasi, menempatkan bobot yang secara relati lebih besar pada penduga integral superior. Formulasi-ormulasi tersebut dapat diekspresikan dalam bentuk yang umum yang cocok untuk diimplementasikan pada komputer:, k 4 k I +, k k 4 I, k I Pers. (.6) di mana I +,k dan I,k, masing-masing adalah integral yang lebih dan kurang

11 6 akurat, dan I,k adalah integral yang diperbaiki. Indeks k menandakan tingkat dari pengintegrasian, di mana k = mengacu kepada penduga aturan trapesium yang asli, k = mengacu kepada O(h 4 ), k = 3 kepada O(h 6 ), dan seterusnya. Indeks digunakan untuk membedakan antara penduga yang lebih akurat ( + ) dan penduga yang kurang akurat (). Sebagai contoh, untuk k = dan =, pers..6) menadi I, 4I, I, Pers. (.7) 3 yang ekivalen dengan pers. (.3). Gambar.5 Penggambaran secara graik dari barisan penduga integral (x) = 0, + 5x 00x + 675x 3 900x x 5 dari a = 0 hingga b = 0,8, yang dihasilkan menggunakan integrasi Romberg. (a) Iterasi pertama. (b) Iterasi kedua. (c) Iterasi ketiga Bentuk umum yang direpresentasikan oleh pers. (.6) merupakan hasil karya Romberg, dan aplikasi sistematik untuk mengevaluasi integralnya dikenal dengan nama Integrasi Romberg. Gambar.5 merupakan penggambaran secara graik dari barisan penduga integral yang dihasilkan menggunakan pendekatan ini. Setiap matriks mengacu kepada sebuah iterasi tunggal. Kolom pertama mengandung evaluasi terhadap aturan trapesium yang menggambarkan I,i, di

12 7 mana = adalah untuk sebuah aplikasi bersegmen tunggal (lebar langkahnya adalah b a), = adalah untuk sebuah aplikasi dengan segmen dua (lebar langkahnya adalah (b a)/), = 3 adalah untuk sebuah aplikasi bersegmen empat (lebar langkahnya adalah (b a)/4), dan seterusnya. Kolom matriks lainnya dihasilkan oleh pengaplikasian pers. (.6) secara sistematis untuk memperoleh penduga yang lebih baik dari suatu integral secara berturut-turut. Sebagai contoh, iterasi pertama (Gambar.5a) melibatkan perhitungan penduga aturan trapesium bersegmen satu dan dua (I, dan I, ). Pers. (.6) kemudian digunakan untuk mencari elemen I, = , yang merupakan sebuah error dari O(h 4 ). Sekarang, kita harus memeriksa untuk menentukan apakah hasil ini cukup untuk keperluan kita. Sebagaimana dengan metode pendugaan lainnya, sebuah kriteria pengakhiran (termination) atau penghentian (stopping) dibutuhkan untuk menentukan keakuratan dari suatu hasil. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk tuuan ini adalah sebagai berikut a perkiraan saat ini perkiraan sebelumnya = 00% perkiraan saat ini ε Pers. (.8) atau a = I, k I I, k, k 00% ε Pers. (.9) di mana ε a adalah sebuah penduga dari persen error relati. Hasilnya,

13 8 sebagaimana telah dilakukan sebelumnya pada proses iterasi lainnya, kita membandingkan penduga yang baru dengan nilai sebelumnya. Ketika pergantian antara nilai yang lama dan baru sebagaimana direpresentasikan oleh ε a, berada di bawah kriteria error ε s yang telah ditentukan sebelumnya, maka perhitungan dihentikan. Untuk gambar.5a, evaluasi ini menandakan perubahan sebanyak,8% terhadap hasil iterasi pertama. Tugas dari iterasi kedua (Gambar.5b) adalah untuk memperoleh penduga O(h 6 ) I,3. Untuk itu, sebuah penduga aturan trapesium tambahan, I 3, =,4848, ditentukan. Kemudian penduga tersebut dikombinasikan dengan I, menggunakan pers. (.6) untuk menghasilkan I. =, Hasilnya, pada gilirannya, dikombinasikan dengan I, untuk menghasilkan I,3 =, Pers. (.7) dapat diaplikasikan untuk menentukan bahwa hasil tersebut merepresentasikan sebuah perubahan sebanyak.0% ketika dibandingkan dengan hasil I, sebelumnya. Iterasi ketiga (Gambar.5c) melanutkan proses tersebut dengan cara yang sama. Pada kasus ini, sebuah penduga trapesium ditambahkan ke dalam kolom pertama, dan kemudian pers. (.6) diaplikasikan untuk menghitung secara berturut-turut integral yang lebih akurat sepanang diagonal yang lebih rendah. Setelah hanya tiga kali iterasi, karena mengevaluasi sebuah polinomial berordo lima, hasilnya (I,4 =,640533) adalah tepat. Integrasi Romberg lebih eisien dibandingkan dengan aturan trapesium dan aturan Simpson (tidak dibahas dalam skripsi ini). Sebagai contoh, untuk

14 9 menentukan integral yang ditunukkan oleh (x) = 0, + 5x 00x + 675x 3 900x x 5 dari a = 0 hingga b = 0,8, aturan Simpson /3 membutuhkan sebuah aplikasi dengan segmen sebanyak 56 untuk menghasilkan sebuah penduga dari, Penaksiran yang lebih baik mustahil dilakukan karena error yang disebabkan oleh pembulatan angka (di belakang koma). Berlawanan dengan hal itu, integrasi Romberg mencapai hasil yang tepat (hingga tuuh angka yang signiikan) dengan menggunakan aturan trapesium bersegmen satu, dua, empat, dan delapan; yaitu, dengan pengevaluasian ungsi sebanyak 5 kali saa. Perlu diingat bahwa integrasi Romberg dirancang untuk kasus di mana ungsi yang akan diintegrasikan sudah diketahui. Hal ini disebabkan karena pengetahuan ungsi tersebut mengiinkan pengevaluasian yang dibutuhkan untuk implementasi pertama dari aturan trapesium..4. Kuadratur Gauss dan Gauss-Legendre Kuadratur Gauss merupakan pendekatan metode numerik yang digunakan untuk mengatasi kelemahan yang dimiliki oleh persamaan ewton-cotes, yaitu di mana persamaan ewton-cotes ini (contoh: aturan trapesium) melakukan pendugaan terhadap suatu integral dengan berdasarkan kepada ungsi bernilai genap. Akibatnya, nilai dasar yang digunakan dalam persamaan ini sudah ditentukan sebelumnya atau bersiat tetap. Sebagai contoh, seperti pada gambar.6, aturan trapesium didasarkan kepada pengambilan daerah pendugaan di bawah garis lurus yang menghubungkan nilai ungsi pada akhir interval integrasi. Rumus yang digunakan untuk menghitung area ini adalah

15 0 ( a) + ( b) I ( b a) Pers. (.0) di mana a dan b adalah batas integrasi dan b a adalah arak/lebar dari interval integrasi. Karena aturan trapesium harus melewati titik akhir, maka akan muncul kasus-kasus seperti gambar.6 di mana rumus tersebut menghasilkan error yang tinggi. Gambar.6 (a) Penggambaran secara graik dari aturan trapesium sebagai daerah di bawah garis lurus yang menghubungkan titik-titik akhir. (b) Sebuah pendugaan integral yang lebih baik yang diperoleh dengan cara mengambil area di bawah garis lurus yang melewati dua titik yang ada di antaranya. Dengan memposisikan titik-titik tersebut dengan biak, maka error positi dan negati menadi berimbang, dan sebuah pendugaan integral yang lebih baik akan dihasilkan. Sekarang, seandainya halangan titik dasar yang tetap tersebut dihilangkan dan kita dengan bebas menempatkan titik-titik tersebut dengan biak, maka kita dapat menghasilkan sebuah garis lurus yang akan menyimbangkan error positi dan negati. Seperti gambar.6, kita akan melihat sebuah pendugaan integral yang telah diperbaiki. Kuadratur Gauss adalah nama untuk sebuah teknik untuk mengimplementasikan strategi tersebut. Rumus kuadratur Gauss ini disebut rumus Gauss-Legendre. Rumus

16 Gauss-Legendre dikembangkan dengan menggunakan teknik yang dapat menurunkan rumus integrasi numerik seperti aturan trapesium yang menggunakan metode koeisien tak tertentu..4.. Metode Koeisien Tak Tertentu Metode koeisien tak tertentu memberikan sebuah pendekatan yang memiliki perangkat untuk menurunkan teknik integrasi lainnya seperti kuadratur Gauss. Gambar.7 Dua integral yang dievaluasi dengan tepat oleh aturan trapesium: (a) sebuah konstan dan (b) sebuah garis lurus. Sebagai contoh, pers. (.0) dinyatakan sebagai ( a) c ( b) I c0 + Pers. (.) di mana c adalah konstan. Ingat bahwa aturan trapesium akan menghasilkan hasil yang tepat ketika ungsi yang diintegrasikan adalah sebuah konstan atau garis lurus. Dua persamaan sederhana yang menggambarkan kasus tersebut adalah y = dan y = x. Keduanya diilustrasikan pada gambar.7. Karena itu, persamaan

17 berikut akan menadi c ( b ) + = a / 0 c / ( b a) dx dan c 0 b a + c b a = ( b a) ( b a) / / x dx atau, dengan mengevaluasikan integral, c 0 + c = b a dan c b a 0 + c = b a 0 Berikut adalah dua persamaan dengan dua variabel yang tidak diketahui yang dapat diselesaikan dengan c 0 = c b a = yang mana, ketika disubstitusikan kembali ke dalam pers. (.), sehingga memberikan b a I = b a ( a) + ( b) yang sama dengan aturan trapesium.

18 3.4.. Penurunan Rumus Gauss-Legendre Dua Titik Seperti halnya penurunan aturan trapesium di atas, tuuan kuadratur Gauss adalah untuk menentukan koeisien dari sebuah persamaan dari bentuk I c + ( x ) c ( ) Pers. (.) 0 0 x di mana c adalah koeisien yang tidak diketahui. Walau bagaimanapun, berlawanan dengan aturan trapesium yang menggunakan titik-titik akhir a dan b yang tetap, argumen ungsi x 0 dan x yang tidak tetap pada titik akhir, namun tidak diketahui (Gambar.8). Dengan demikian, kita sekarang memiliki empat variabel yang tidak diketahui yang harus dievaluasi, dan akibatnya, kita membutuhkan empat kondisi untuk menentukan variabel yang tidak diketahui tersebut secara tepat. Gambar.8 Penggambaran secara graik dari variabel x 0 dan x untuk pengintegrasian dengan menggunakan kuadratur Gauss Seperti halnya aturan trapesium, kita dapat memperoleh dua dari kondisi tersebut dengan mengasumsikan bahwa pers. (.) cocok dengan integral dari sebuah konstan dan sebuah ungsi linier secara tepat. Kemudian, untuk sampai

19 4 pada kedua kondisi lainnya, kita hanya melanutkan argumen ini dengan mengasumsikan bahwa kondisi ini uga cocok dengan integral dari sebuah ungsi parabolik (y = x ) dan ungsi kubik (y = x 3 ). Dengan melakukan hal itu, kita menentukan keempat variabel yang tidak diketahui dan sebagai pertukarannya menurunkan sebuah rumus integrasi linier dua titik yang tepat untuk kubikkubik. Keempat persamaan yang akan diselesaikan adalah ( x ) + c ( x ) = dx c Pers. (.3) 0 0 = ( x ) + c ( x ) = x dx 0 c Pers. (.4) 0 0 = ( x ) c ( x ) = x dx = 3 c Pers. (.5) 3 ( x ) + c ( x ) = x dx 0 c Pers. (.6) 0 0 = Pers. (.4) hingga pers. (.6) dapat diselesaikan secara simultan dengan c = c Pers. (.7) 0 = x 0 = = Pers. (.8) 3 x = = Pers. (.9) 3 yang mana bisa disubstitusikan ke dalam pers. (.) untuk menghasilkan rumus Gauss-Legendre dua titik

20 I Pers. (.30) Dengan demikian, kita sampai pada hasil yang menarik bahwa penambahan yang sederhana nilai ungsi pada x =/ 3 dan / 3 menghasilkan sebuah pendugaan integral yang memiliki keakuratan ordo ketiga. Ingat bahwa batas integrasi pada pers. (.3) hingga (.6) adalah dari - hingga. Hal ini dilakukan untuk menyederhanakan perhitungan dan untuk rumus tersebut seumum mungkin. Sebuah penggantian sederhana terhadap variabel dapat digunakan untuk meneremahkan batas lainnya dari integrasi ke dalam bentuk ini. Hal ini dilakukan dengan mengasumsikan bahwa sebuah variabel baru x d dihubungkan dengan variabel asli x dengan cara yang linier, sebagaimana dalam x a0 + ax d = Pers (.3) Jika batas bawah, x = a, sama dengan x d = -, nilai ini dapat disubstitusikan ke dalam pers. (.3) untuk menghasilkan ( ) a = a a Pers (.3) 0 + Dengan cara yang sama, batas atas, x = b, sama dengan x d =, untuk memberikan b a 0 + a () = Pers (.33) Pers. (.3) dan (.33) dapat diselesaikan secara simultan menadi

21 6 a 0 b+ a = Pers (.34) dan a b a = Pers (.35) yang dapat disubstitusikan ke dalam pers. (.3) untuk menghasilkan x ( b+ a) + ( b a) x d = Pers. (.36) Persamaan ini dapat diturunkan untuk memberikan dx b a dx d = Pers. (.37) Pers. (.36) dan (.37) dapat disubstitusikan untuk x dan dx, masing-masing, dalam persamaan yang akan diintegrasikan. Penyubstitusian ini secara eekti mengubah interval integrasi tanpa mengubah nilai dari integrasi tersebut Rumus dengan Jumlah Titik yang Lebih Banyak Lebih auh dibandingkan rumus dua titik dideskripsikan dalam subbab sebelumnya, versi umlah titik yang lebih banyak dapat dikembangkan dalam bentuk umum ( x ) + c x ) d ( x ) I c Pers. (.38) 0 0 ( n n di mana n adalah umlah dari titik. ilai untuk c dan x untuk ( ) enam titik dirangkum dalam tabel..

22 7 Karena kuadratur Gauss memerlukan evaluasi ungsi pada titik dengan arak yang tidak seragam pada interval integrasi, hal ini tidak dituukan untuk kasus ungsi yang tidak diketahui. Oleh karena itu, metode ini tidak cocok untuk permasalahan teknik yang berhubungan dengan data berbentuk tabel. Bagaimanapun, ketika ungsinya diketahui, keeisienannya dapat menadi sebuah keuntungan. Hal ini sangat benar ketika seumlah besar evaluasi integral harus dilakukan. Tabel. Faktor pembobot c dan argumen ungsi x yang digunakan dalam Gauss-Legendre.4.4. Analisis Error untuk Gauss-Legendre Error dari rumus Gauss-Legendre dispesiikasikan secara umum oleh (Carnahan et al., 969)

23 8 n [( n + )!] ( n + 3) [( n + )!] + 3 ( n ) ( ξ ) E = Pers. (.39) t di mana n adalah umlah titik dikurangi satu dan (n + ) (ξ) adalah turunan ke (n + ) dari ungsi setelah perubahan terhadap variabel dengan ξ terletak di suatu tempat pada interval - hingga. Perbandingan terhadap pers. (.38) dengan tabel. menandakan kelebihan dari kuadratur Gauss dibandingkan dengan rumus ewton-cotes, menyediakan turunan dengan ordo yang lebih tinggi yang tidak meningkat secara nyata dengan meningkatnya n..5. Metode Simulasi Monte Carlo Metode simulasi Monte Carlo merupakan sebuah kelas dari algoritma komputer untuk melakukan simulasi terhadap siat-siat dari sistem keisikaan dan kematematikaan. Metode simulasi Monte Carlo sangat penting dalam perkomputasian isika dan bidang terapan yang berhubungan. Metode ini sudah terui dalam menyelesaikan persamaan integro-dierensial yang mendeinisikan bidang radiasi, dan metode ini telah digunakan dalam perhitungan global illumination yang menghasilkan citra yang terlihat nyata dari model buatan berdimensi tiga, untuk penerapan pada permainan video, arsitektur, desain, ilm yang dihasilkan dengan komputer, eek khusus dalam ilm, bidang bisnis, ekonomi, dan bidang lainnya. Metode ini terutama sangat berguna untuk sistem pembelaaran dengan seumlah besar deraat bebas berpasangan, seperti cairan, material tidak teratur, dan benda padat yang berpasangan sangat kuat. Lebih auh, metode Monte Carlo berguna untuk memodelkan enomena dengan ketidakpastian yang signiikan pada input, seperti penghitungan dari resiko pada bisnis.

24 9 Yang menarik, metode Monte Carlo tidak memerlukan bilangan acak yang seati agar beralan dengan baik. Banyak dari teknik-teknik yang sangat berguna menggunakan barisan bilangan acak palsu (pseudo-random sequences) yang bersiat deterministik (tanpa keacakan), membuatnya mudah untuk diui dan melakukan simulasi ulangan. Satu-satunya kualiikasi yang dibutuhkan untuk membuat simulasi yang baik adalah agar barisan bilangan pseudo-random itu terlihat cukup acak dalam beberapa hal. Gambar.9 Hasil plotting menggunakan R Language terhadap 000 bilangan pseudo-random Proses membuat bilangan tersebut tampak acak disebut proses pseudo-random, sebuah proses yang terlihat acak tetapi tidak. Barisan pseudo-random secara khusus memperlihatkan keacakan secara statistik yang dihasilkan oleh sebuah proses komputasi yang seluruhnya bersiat deterministik/tanpa keacakan. Apa arti dari hal ini tergantung pada penerapannya, namun secara khusus hal tersebut harus melewati sebuah tes

25 30 statistik berseri. Mengui apakah bilangan-bilangan tersebut terdistribusi secara seragam atau mengikuti distribusi lainnya yang diinginkan ketika umlah elemen yang cukup besar dari barisan tersebut dipertimbangkan, merupakan salah satu yang paling sederhana dan yang paling umum. Sebuah algoritma Monte Carlo merupakan metode Monte Carlo yang digunakan untuk mencari solusi dari permasalahan matematik (yang mungkin memiliki banyak variabel) yang tidak mudah untuk dihitung dengan integral kalkulus atau metode numerik lainnya. Keeisienannya secara relati meningkat dibandingkan dengan metode numerik lainnya bila dimensi dari permasalahan tersebut meningkat. Karena perulangan dari algoritma dan seumlah besar perhitungan dilibatkan, Monte Carlo merupakan sebuah metode yang cocok untuk melakukan perhitungan dengan komputer, dengan menggunakan banyak teknik dari simulasi komputer. Bagian ini akan menelaskan tentang teori probabilitas di balik integrasi Monte Carlo. Oleh karena itu akan digunakan contoh hypercube C = [0,) d dengan unit dimensi d. Integrannya adalah sebuah ungsi ( x r ) yang diasumsikan real dan tidak negati dan tentunya dapat diintegrasikan terhadap C. Dengan demikian akan dideinisikan sebagai berikut: I m r m d r ( x) d x =,,3,... = m C Pers (.40) sehingga I adalah integral yang dibutuhkan. Perlu diingat bahwa I m tidak selalu harus tertentu (inite) untuk m. Dalam Monte Carlo, diasumsikan bahwa titik-titik integrasi sebanyak dipilih secara bebas, dari distribusi peluang seragam terhadap C. Hal itu

26 3 r r r berarti bahwa himpunan titik X = { x, x,..., x } di mana integrasi didasarkan, diasumsikan menadi sebuah anggota yang khas dari kelompok himpunan titik-titik tersebut, sedemikian rupa sehingga distribusi peluang yang dikombinasikan menunuk ke kelompok himpunan titik-titik tersebut bersiat seragam, bebas, dan bersitribusi identik. P x, x,...,, ) Pers. (.4) ( x = Rata-rata dari kelompok himpunan di atas akan diambil, diasumsikan bahwa sebuah himpunan titik dari X telah dihasilkan, dan nilai-nilai dari integran ( x r ) sudah dihitung. Hal ini dilambangkan dengan ( x r ), =,,...,. Dari sini kita dapat menghitung analogi diskrit dari integral I m yang dapat dihitung dalam waktu linier: m S m = ( ) Pers. (.4) = Penduga Monte Carlo dari integral tersebut menadi E = S Pers. (.43) ilai harapan E dari himpunan kelompok titik-titik di atas adalah r d r = i = ( x d x = I d E ) i C Pers. (.44) yang mana merupakan integral yang dibutuhkan. Ini adalah basis dari metode Monte Carlo. Kegunaannya terlihat ika kita menghitung ragam dari E

27 3 σ ( E) = E E = ( I I ) Pers. (.45) Karena nilai di atas menurun sealan dengan -, metode Monte Carlo sebenarnya konvergen untuk yang besar. Ingat bahwa O( 0 ), hubungan E, dan E saling menghilangkan: hal ini merupakan sebuah enomena biasa dalam pendugaan ragam enis ini. Ragam σ (E ) diduga dengan penduga error ordo pertama E = S S 3 Pers. (.46) sehingga kita memiliki ( E ) = ( I 4I I I + 8I I I ) σ Pers. (.47) yang mana penduganya adalah E 3 4 ( S 4 S S S + 8S S S ) = Pers. (.48) yang uga dapat dihitung dalam waktu linier; maka kita memiliki 4 4 ( E ) + O( ) E = σ Pers. (.49) Galat dari metode Monte Carlo ini adalah Perlu diketahui bahwa apa yang diduga adalah rata-rata dari squared error, bukan error itu sendiri, dan penguadratan dan perataan tidak menyebabkan perubahan. Karena itu, inilah alasan mengapa penduga berordo dua dikatakan relevan.

28 33 ε = Pers. (.50) n ( x) dx d C i = ( x ) i Jika nilai besar, maka / ε ( ) ( ) n = x x dx dx Pers. (.5) s d c C.6. Metode Simulasi Quasi-Monte Carlo Dalam analisis numerik, sebuah metode quasi-monte Carlo merupakan metode untuk perhitungan integral (atau permasalahan lainnya) yang didasarkan pada barisan bilangan dengan ketidakcocokan/ketidaksesuaian yang rendah (low-discrepancy sequences). Hal inilah yang membedakan metode quasi-monte Carlo dengan metode Monte Carlo yang menggunakan barisan bilangan acak palsu (pseudo-random). Gambar.0 Hasil plotting menggunakan R Language terhadap 000 bilangan quasirandom menurut barisan Sobol (Sobol sequence)

29 34 Monte Carlo dan quasi-monte Carlo dinyatakan dengan cara yang sama. Masalahnya adalah untuk menduga ungsi sebagai rataan dari ungsi yang dievaluasi pada sehimpunan titik-titik x,..., x. d C ( u) du ( x) Pers. (.5) i = di mana C adalah kubus dengan dimensi d, C d = [0,] x... x [0,]. Sehingga masingmasing x i adalah sebuah vektor dari elemen sebanyak d. Dalam metode Monte Carlo, x i adalah bilangan-bilangan pseudo-random. Dalam metode quasi-monte Carlo, himpunan tersebut adalah akibat dari sebuah barisan low-discrepancy atau disebut dengan bilangan quasi-random. Error pendugaan dari metode di atas dibatasi dengan sebuah syarat yang proporsional terhadap ketidaksesuaian (discrepancy) dari himpunan x,..., x, oleh pertidaksamaan Koksma-Hlawka. i = ( x ) ( x) dx V ( ) D ( x ) C d HK Pers. (.53) di mana D ( x ) adalah discrepancy dan ( ) V HK adalah variasi (Hardy Krause). Discrepancy adalah ukuran simpangan dari keseragaman suatu barisan titik-titik dalam D [0,] d =. Discrepancy menyebabkan galat dalam metode quasi-monte Carlo. Discrepancy suatu barisan secara khusus yang digunakan untuk metode quasi-monte Carlo dibatasi oleh sebuah waktu konstan

30 35 ( log ) d Pers. (.54) Sebagai perbandingan, dengan peluang bernilai satu, discrepancy yang diharapkan dari barisan acak seragam (seperti yang digunakan dalam metode Monte Carlo) memiliki ordo konvergensi log log Pers. (.55) menurut hukum dari algoritma teriterasi. Hal ini memperlihatkan bahwa keakuratan dari metode quasi-monte Carlo meningkat lebih cepat dibandingkan dengan metode Monte Carlo. Walau bagaimanapun, menurut Moroko and Calisch (995, p8-30), keuntungan dari quasi-monte Carlo masih di bawah harapan dibandingkan dengan teorinya. amun, masih menurut penelitian Moroko and Calisch, metode quasi-monte Carlo dapat menghasilkan hasil yang lebih akurat dibandingkan dengan metode Monte Carlo dengan umlah titik yang sama. Moroko and Calisch menambahkan bahwa keuntungan dari quasi-monte Carlo auh lebih baik ika integrannya halus (smooth) dan umlah dimensi d dari integral adalah kecil. Untuk memperelas, katakanlah terdapat sebuah ungsi D(x) dari himpunan titik yang bertambah dengan ketidakseragamannya. D(x) = 0 teradi ika himpunan titik tersebut seragam sempurna dalam semua pernyataan, situasi yang ideal yang tidak pernah dapat diperoleh untuk himpunan titik apapun. Metode quasi-monte Carlo didasarkan pada penggunaan himpunan titik x yang mana D(x) memiliki beberapa nilai s

31 36 (sangat banyak) yang lebih kecil dari s, nilai yang mungkin diharapkan untuk titik yang bebas, terdistribusi identik, dan seragam yang sebenarnya. Bagaimana menggunakan himpunan titik quasi-random setelah kita memperolehnya? Hal yang pasti adalah dengan terlebih dahulu menentukan di kelompok manakah himpunan quasi-random dari titik x menadi anggota yang khas. Distribusi dengan banyak titik dari himpunan titik P yang demikian tidak lagi merupakan kesatuan yang sederhana, yang akan berarti kebebasan dari titik-titik tersebut di dalam himpunan titiknya. Karena itu, kita tulis distribusi dengan banyak titik sebagai P r r r r r r = Pers. (.56) ( s x, x,..., x ) F ( s; x, x,..., x ) ; di mana kita telah mengantisipasi sebuah aktor / sebelum korelasi dengan banyak titik F. F (s;...) harus simetris total; selain itu kita harus memiliki F k r r r d ( s; x, x,..., x ) F + ( s; x, x,..., x, x + ) d x + K r r = k k k k C r r r Pers. (.57) Untuk memenuhi syarat minimum bahwa integral quasi-monte Carlo haruslah tidak bias, kita harus memiliki P r ( s x ) ; = Pers. (.58) sehingga r r r F ( s; x, x ) d d x = 0 C Pers. (.59) Hal ini membangun siat-siat dari kelompok himpunan titik x yang mana

32 37 seharusnya pendugaan yang dilakukan didasarkan. Kita akan mengindikasikan siat alamiah quasi-monte Carlo mengenai penduga dengan menggunakan (q). Berikut adalah penduga pertama dari integral E ( q) = i = Pers. (.60) Penumlahan akan beralan dari hingga. Berdasarkan rataan (q) terhadap kelompok quasi-random yang telah didiskusikan di atas, kita kemudian memiliki E ( q) = x) P s; r r d r ( x d x = J ( ) ( q) C Pers. (.6) sebagaimana sebelumnya: berdasarkan akta bahwa distribusi satu titik adalah seragam, pendugaan quasi-monte Carlo memang tidak bias sebagaimana yang dimiliki oleh metode Monte Carlo. Perbedaan yang elas antara kedua metode tersebut tampak pada pendugaan error ordo satu. Kita deinisikan r r r r ( x x ) = + F ( s; x, x ) i, α Pers. (.6) i kemudian kita memiliki ( q) σ ( E ) ( ) ( I α ) + O Pers. (.63) q = di mana r r r r d r d r = ( x ) ( x ) α( x, x ) d xd x α Pers. (.64) C dan lainnya.

33 38 Keuntungan dari metode quasi-monte Carlo sekarang menadi elas: ika kita dapat memastikan bahwa α >, yaitu saat x r dan x r dekat pada suatu pengertian, maka error quasi-monte Carlo akan lebih kecil dibandingkan metode Monte Carlo. Sebuah himpunan titik quasi-monte Carlo yang baik adalah himpunan titik yang mana setiap titiknya saling menolak untuk beberapa perluasan. Pendugaan error ordo pertama secara sederhana E ( q) = i = i 3 i = i α Pers. (.65) i Mudah untuk menunukkan bahwa sesungguhnya E ( q) ( q) ( q) σ ( E ) ( ) + O( ) Pers. (.66) = q ragam dari penduga ( q) E dapat dievaluasi menadi σ ( q) 4 3 ( E ) ( i 4 i αi i αi = i k lαikα kl + 4 i k l ikαil 4 4 ) + O( ) α α α α Pers. (.67) i k l i k kl yang mana penduga yang bersesuaian adalah E ( q) = i i α i 7 i = i = i= 4 4 i α i i = + 4 α α + 4 α α i k l ik kl i = i k l ik il

34 39 4 i k l kα kl i = α Pers. (.68).6.. Barisan Sobol (Sobol Sequence) Barisan Sobol (Sobol sequence) dihasilkan dari sebuah himpunan bilangan pecahan biner khusus sepanang w bit,,,..., d. Bilangan v i disebut direction numbers. v i dengan i =,,..., w dan = Untuk menghasilkan direction numbers untuk dimensi, digunakan sebuah polinom primiti (tidak dapat disederhanakan lagi) terhadap bidang F dengan elemen {0, }. Polinom primiti tersebut dalam dimensi akan menadi q q ( x) x + a x + + a x p = K q + Pers. (.69) Direction numbers tersebut dalam dimensi dihasilkan menggunakan hubungan q berulang berikut i i i q i q + i q i q q ( v ) v = a v a v K a v v Pers. (.70) di mana i > q. menandakan operasi XOR. Bilangan v w, v w,..., v q w masing-masing dapat berupa bilangan integer ganil lebih kecil dari,,..., dan q. Barisan Sobol w i x n ( n = i = b 0 i, b i {0, }) dalam dimensi dihasilkan oleh x n = b v bv K b v w w Pers. (.7) Sebuah polinom primiti yang berbeda harus digunakan untuk

35 menghasilkan barisan Sobol di masing-masing dimensi. 40