BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 7 BAB 2 LANDASAN TEORI 2 Analisis Korelasi Analisis korelasi adalah alat statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui deraat hubungan linear antara satu variabel dengan variabel lain (Algifari, 997) Umumnya analisis korelasi digunakan, dalam hubungannya dengan analisis regresi, untuk mengukur ketepatan garis regresi dalam menelaskan variasi nilai variabel dependen Ukuran yang digunakan untuk mengukur deraat korelasi (hubungan) antara satu variabel dengan variabel lain dinamakan koefisien korelasi (correlation coefficient) yang disimbolkan dengan r Jika koefisien korelasi dikuadratkan (r 2 ) maka akan menadi koefisien determinasi Dalam konteks regresi, koefisien determinasi merupakan ukuran yang lebih bermakna dibandingkan koefisien korelasi Koefisien determinasi mampu memberikan informasi mengenai variasi nilai variabel dependen yang dapat dielaskan oleh model regresi yang digunakan Sedangkan koefisien korelasi hanya merupakan ukuran mengenai deraat hubungan antara dua variabel Untuk mengetahui keeratan hubungan antara dua variabel dengan melalui koefisien korelasi adalah dengan menggunakan nilai absolut dari koefisien korelasi tersebut Besarnya koefisien korelasi (r) antara dua macam variabel adalah nol sampai dengan ± Apabila dua buah variabel mempunyai nilai r = 0, berarti antara dua variabel tersebut tidak ada hubungan Sedangkan apabila dua buah variabel mempunyai r = ±, maka dua buah variabel tersebut mempunyai hubungan yang sempurna Semakin tinggi nilai koefisien korelasi antara dua buah variabel (semakin mendekati ), maka tingkat keeratan hubungan antara dua variabel tersebut semakin tinggi Dan sebaliknya, semakin rendah koefisien korelasi antara dua macam variabel

2 8 (semakin mendekati nol) maka tingkat keeratan hubungan antara dua variabel tersebut semakin lemah Koefisien korelasi dapat uga digunakan untuk mengetahui arah hubungan antara dua variabel tanda minus (-) pada nilai r menunukkan hubungan yang berlawanan arah artinya, apabila nilai vaariabel yang satu naik maka nilai variabel yang lain turun Tanda plus (+) pada nilai r menunukkan hubungan yang searah Artinya, apabila nilai variabel yang satu naik, maka nilai variabel yang lain uga naik (Algifari, 997) 22 Matriks Korelasi Matriks korelasi n peubah acak,, n adalah n n matrik dimana i, adalah corr( i, ) Jika ukuran korelasi yang digunakan adalah koefisien momen-produk, matriks korelasi akan sama dengan matrik kovarian peubah acak yang telah distandarkan i /SD( i ) untuk i =,, n Sehingga, matriks korelasi merupakan matriks definit tak-negatif Matriks korelasi selalu simetris, yakni korelasi antara dengan korelasi antara dan i i dan adalah sama 23 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Kata vektor eigen adalah ramuan bahasa Jerman dan Inggris Dalam bahasa Jerman eigen dapat diteremahkan sebagai sebenarnya atau karakteristik Oleh Karena itu, nilai eigen dapat uga dinamakan nilai sebenarnya atau nilai karakteristik Dalam literatur lama kadang-kadang dinamakan akar-akar latent Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x di dalam R n dinamakan vektor eigen (eigenvector) dari A ika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni,

3 9 Ax = λ x untuk suatu skalar λ Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ (Anton, 987) Nilai eigen merupakan bilangan real, yang berarti dapat bernilai nol, negatif, dan positif, sedangkan vektor eigen x merupakan anggota dari R n untuk A n x n dan x bukan vektor nol ( Mahmud, 2009 ) Jika λ adalah nilai eigen dari A yang bersesuaian dengan x maka Ax = λ x, sehingga perkalian oleh A akan memperbesar x, atau membalik arah x, yang bergantung pada nilai λ Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n maka dituliskan kembali Ax = λ x sebagai Ax = λ I x atau secara ekivalen ( λ I A)x = 0 Supaya λ menadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari persamaan ini Akan tetapi ( λ I A)x = 0 akan mempunyai pemecahan tak nol ika dan hanya ika det( λ I A) = 0 Ini dinamakan persamaan karakteristik A, skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A Bila diperluas, maka determinan det( λ I A) adalah polinom λ yang dinamakan polinom karakteristik dari A (Anton, 987) Vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vektor taknol x yang memenuhi Ax = λ x Secara ekivalen, vektor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah vektor taknol dalam ruang pemecahan dari ( λ I A)x = 0 Ruang pemecahan ini dinamakan sebagai ruang eigen (eigenspace) dari A yang bersesuaian dengan λ (Anton, 987) 24 Determinan Determinan merupakan fungsi dari matriks buur sangkar, n x n, ke bilangan real (Mahmud, 2009) Fungsi determinan didefenisikan det(a) (dengan notasi alternative

4 0 A ) sebagai umlah semua hasil kali elementer bertanda dari A Jumlah det(a) dinamakan determinan A (Anton, 987) Determinan A secara simbolis ditulis sebagai det( A ) ± a a a 2 2 = nn dimana menunukkan bahwa suku-suku tersebut harus diumlahkan terhadap n semua permutasi (,,, 2 ) dan simbol + atau dapat dipilih dalam masingmasing suku sesuai dengan apakah permutasi itu genap atau ganil (Anton, 987) Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri a i dinyatakan oleh M i dan didefenisikan menadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom ke dicoret dari A Bilangan i+ ( ) M i dinyatakan oleh i C dan dinamakan kofaktor entri a i Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni, untuk setiap i n dan n, maka det (A) = a + C + a2 C2 + ancn (ekspansi kofaktor sepanang kolom ke ) det (A) = (Anton, 987) a + i Ci + ai2ci2 + aincin (ekspansi kofaktor sepanang baris ke i) 25 Analisis Komponen Utama Analisis komponen utama merupakan suatu teknik mereduksi data multivariat (banyak data) untuk mengubah (mentransformasi) suatu matrik data awal/asli menadi suatu set kombinasi linear yang lebih sedikit akan tetapi menyerap sebagian besar umlah varian dari data awal

5 Analisis komponen utama tidak selalu bermanfaat Analisis komponen utama digunakan untuk mereduksi banyaknya peubah asal menadi beberapa peubah baru yang dapat menelaskan dengan baik keragaman data asal Bila tidak ada korelasi antara peubah asal, analisis komponen utama tidak akan memberikan hasil yang di inginkan, karena peubah baru yang diperoleh hanyalah peubah asal yang ditata berdasarkan besarnya keragamannya Makin erat korelasi (baik positif maupun negatif) antara peubah, maka baik pula hasil yang diperoleh dari analisis komponen utama Analisis komponen utama mengekstrak dengan cara yaitu komponen pertama menyerap varian matriks korelasi paling banyak kemudian diikuti komponen kedua yang menyerap varian terbanyak kedua terhadap sisa varian dan begitu seterusnya, sampai komponen yang terakhir menyerap varian matriks korelasi paling sedikit Setiap komponen yang berikutnya uga harus orthogonal yaitu tidak berkorelasi sama sekali dengan komponen sebelumnya atau yang mendahuluinya Akhirnya, ketika p mendekati k, umlah varian yang dielaskan oleh setiap komponen semakin kecil Tuuannya ialah untuk mempertahankan seumlah komponen yang diperoleh bisa dipergunakan sebagai variabel bebas (predictor) dalam analisis regresi/diskriminan atau analisis varian, yang sudah bebas dari multikolinearitas Kalau K i = komponen ke i, maka diperoleh m persamaan berikut : K = γ + γ γ + + γ p p K 2 = γ 2 + γ γ γ 2 p p K i = γ i + γ i γ i + + γ ip p K m = γ + γ + + γ + + γ m m2 2 m mp p dimana : K i = komponen ke i

6 2 γ = vektor eigen = nilai standar variabel Komponen yang ke-i yaitu K i merupakan kombinasi linear dari, 2,,,, p dengan timbangan (weight) yaitu γ,,, γ 2,, γ i γ ip yang pemilihannya harus sedemikian rupa, sehingga memaksimumkan rasio dari varian komponen pertama (K ) dengan umlah varian (total variance) data asli/awal Komponen berikutnya yaitu K 2, uga kombinasi linear yang ditimbang dari seluruh variabel asli, tidak berkorelasi dengan komponen atau faktor pertama (K ) dan harus menyerap secara maksimum sisa varian yang ada (Supranto, 2004) Langkah awal yang dilakukan dalam Analisis Komponen Utama adalah menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks R, matriks korelasi dari Dengan terlebih dahulu mengubah data yang distribusi normal umum menadi distribusi normal baku dengan rumus Dengan : Z = nilai variabel yang di bakukan x = nilai data berdistribusi normal nilai rata-rata variabel σ = standar devias determinan Nilai eigen matriks korelasi ini adalah r solusi = 0 λ,,, λ2 λr dari persamaan dapat ditunukkan bahwa umlah akar-akar ciri matriks korelasi ini sama dengan tras (trace) matriks Z T Z Untuk setiap akar ciri λ terdapat vector ciri (Characteristic vector) memenuhi sistem persamaan homogen T ( Z Z λ I) γ = 0 γ yang

7 3 Vektor ciri solusinya γ =, yang dipilih dari sekian banyak solusi ' ( γ, γ 2,, γ r ) sebanding yang ada untuk setiap, merupakan solusi yang ternormalkan sedemikian ' rupa sehingga γ γ = uga dapat diperlihatkan bahwa ika semua λ berbeda, maka setiap pasangan vector ciri akan saling orthogonal sesamanya Vektor γ digunakan untuk membentuk Z ke dalam suku-suku komponen utama yaitu: K = γ + γ + + γ 2 2 r r Biasanya semua K tidak digunakan melainkan mengikuti suatu aturan seleksi tertentu McGraw-Hill, New York, 976, menyarankan (hlm 273) bahwa komponen-komponen dapat dihitung sampai seumlah tertentu proporsi keragaman data yang cukup besar (mungkin 75 persen atau lebih) telah dielaskan, dengan kata k λ lain, kita pilih k penyumbang terbesar yang menghasilkan > 0,75 Aturan- r aturan semacam ini secara otomatis memberi k peubah K yang merupakan hasil trasformasi terhadap peubah-peubah asal Z i Selanutnya prosedur kuadrat terkecil digunakan untuk memperoleh persamaan peramalan bagi Y sebagai fungsi dari peubah-peubah K yang terpilih itu Urutan masuknya = K tidak ada pengaruhnya dalam hal ini, sebab semuanya orthogonal satu sama lain Bila persamaan regresi dalam K telah diperoleh, persamaan ini dapat dikembalikan menadi fungsi peubah semula Z i bila dikehendaki, atau ditafsirkan berdasarkan peubah-peubah K tadi (Draper and Smith, 992) Berlawanan dengan analisis komponen utama, analisis faktor didasarkan pada suatu anggapan, mendasari struktur kausal Variabel yang terobservasi, dipercaya, disebabkan oleh beberapa konstrak laten yang tidak terlihat (unseen latent construct) Sebagai contoh, kemampuan untuk menghasilkan bahwa uian matematika yang sukses disebabkan oleh konstrak atau konsep yang tidak terlihat yang disebut :analytical intelligence Secara konseptual hal ini merupakan suatu pendekatan yang berbeda dibandingkan dengan analisis komponen utama Di dalam analisis akhir, analisis komponen utama menghasilkan reduksi dimensionalitas dari data set, sedangkan analisis faktor mencari untuk menelaskan konstrak latent yang mungkin menadi penyebab variabel yang dikumpulkan (Supranto, 2004)

8 4 26 Regresi Linear Berganda Regresi linear berganda adalah regresi dimana variabel terikatnya (Y) dihubungkan atau dielaskan dengan lebih dari satu variabel bebas (, 2 n ) dengan syarat variabel bebas masih menunukkan hubungan yang linear dengan variabel tak bebas Hubungan fungsional antara variabel dependen (Y) dengan variabel independent (, 2 n ) secara umum dapat dituliskan sebagai berikut: Y = f(, 2 n ) dengan : Y = variabel dependen, 2 n = variabel independent Model regresi linear berganda merupakan suatu model yang dapat dinyatakan dalam persamaan linear yang memuat peubaha dan parameter Parameter ini pada umumnya tidak diketahui dan dapat ditaksir Hubungan linear lebih dari dua peubah bila dinyatakan dalam bentuk persamaan matematis adalah: Y = β + β + β + + β 0 i 2i pi pi dengan Y = nilai estimasi Y = peubah bebas β i = parameter Koefisien-koefisien β,, 0, β β p dapat ditentukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (least square method) Metode kuadrat terkecil untuk menentukan persamaan linear estimasi, berarti memilih satu kurva linear dari beberapa kemungkinan kurva linear yang dapat dibuat dari data yang ada yang mempunyai error paling kecil dari data aktual dengan data estimasinya (Algifari, 997)