Karakteristik Limit dari Proses Kelahiran dan Kematian

Transkripsi

1 Karakteristik Limit dari Proses Kelahiran dan Kematian Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Pengantar Proses Stokastik Disusun oleh : Saidun Nariswari Setya Dewi Lisa Apriana Marvina Puspito Nita Eka Rusi Yanun JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2

2 Karakteristik Limit dari Proses Kelahiran dan Kematian Secara umum proses kelahiran dan kematian tidak memiliki state terabsorsi, dapat dibuktikan bahwa lim P ( t) = (6.26) t i ada dan independen dari awal state i. Persamaan ini mungkin teradi ika = untuk semua state. Jika limit positif, maka = = (6.27) Persamaan tersebut merupakan distribusi probabilitas, dengan syarat cukup, yaitu distribusi limit dari proses. Distribusi limit uga merupakan distribusi stasioner yaitu = i= P i (t) (6.28) i yang mengatakan bahwa ika proses dimulai di state i dengan probabilitas i, maka pada setiap waktu t di state i memiliki probabilitas sama dengan i. Bukti (6.28) diperoleh dari (6.9) dan (6.26) ika kita misalkan t dan menggunakan i = = i Secara umum model dari proses kelahiran dan kematian sebagian besar berasal dari persamaan umum untuk menentukan apakah mempunyai distribusi limit dan apa nilai yang ketika itu teradi. Persamaan ini berasal dari p p ( t) = λ p.( t) + p. ( ) ' i. i µ i t ' i. ( i. i + + i. + t t) = λ p ( t) ( λ ) p ( t) µ p ( ),, (6.29) dengan kondisi awal p ) = δ. Untuk limit t pada (6.29) yang pertama i ( i diamati adalah limit sisi kanan (6.29) ada menurut (6.26). Oleh karena itu limit ' sisi kiri, derivatif ( ), uga ada. Selama probabilitas konvergen ke konstan, p i. t limit dari derivativ harus nol. Sehingga, melalui limit dari (6.29) akan menghasilkan

3 λ = o o = λ ( λ ) + +, (6.3) Penyelesaian dari persamaan (6.3) diperoleh dengan induksi. Dengan menganggap λλ... λ i θ = dan θ = untuk (6.3) µ µ... µ dengan = λ / µ = θ 2 Kemudian, dengan asumsi bahwa k = θk untuk k =,...,, sehingga = λ ( λ ) + +, µ + + = ( λ ) λ = λ ) θ λ θ ( = λ θ θ λ θ = λ θ θ λ θ ) = λ θ sehingga diperoleh + = θ + ( Agar urutan { } mendefinisikan sebuah distribusi harus memiliki = Jika θ < kemudian dapat diumlahkan = θ = θ 2 = θ = ( θ k ) Untuk melihat bahwa = / θ k dan k = θ = θ = untuk =,,... (6.32) θ k= k

4 Jika θ k =, maka = dan = θ untuk semua dan tidak ada distribusi limit ( lim ( t) = untuk semua ). P i t Contoh : Pertumbuhan linier dengan imigrasi sebagaimana dielaskan dalam contoh pada akhir bagian 6.3.3, proses ini memiliki parameter kelahiran λ = a + λn dan parameter kematian µ = n untuk n =,,... dimana λ > n n µ adalah lau kelahiran individu, a > adalah lau dari imigrasi kedalam populasi, dan µ > adalah lau kematian individu. Andaikan <. Terlihat pada bagian 6.3 bahwa rata-rata populasi () konvergen ke /( ) dengan. Akan ditentukan distribusi limit dari proses dengan kondisi yang sama pada saat <. Kemudian =, = =/, = 2 =(+)/(2), = =(+)(+2)/(2)(3) dan secara umum, = (+) +( ) ()! = (/)(/)+ (/)+! = (/)+ (/)+(/) (/)! = (/)+ (/)+(/)!!!(/) = (/)+ Dengan menggunakan persamaan binomial tak terbatas, (+) = + untuk <, Untuk menentukan = (/)+ = (/) ketika <. Jadi = = = (/) dan = (/)(/)+ (/)+ (/)!

5 Untuk. Contoh : Model Tukang Reparasi. Sebuah sistem terdiri dari mesin. Dengan dapat beroperasi dalam suatu waktu; dan sisanya Waktu luang. Ketika sebuah mesin beroperasi, mesin tersebut beroperasi dengan arak waktu random sampai mengalami kerusakan. Andaikan waktu kerusakan berdistribusi exponensial dengan parameter. FAKTOR Kapasitas = Jumlah Kerusakan = Waktu luang oooooo () = umlah dari mesin yang baik Waktu tunggu untuk di perbaiki BENGKEL Kapasitas = Jumlah Perbaikan = oooooo () = umlah dari mesin yang rusak Gambar 6.5 Repairman Model Ketika sebuah mesin rusak, menalani perbaikan. Sebanyak mesin dapat diperbaiki pada suatu waktu. Waktu perbaikan berdistribusi eksponensial dengan parameter. Jadi, sebuah mesin dapat dibagi menadi empat keadaan: (i) beroperasi, (ii) baik tapi tidak beroperasi dengan kata lain luang, (iii) dalam perbaikan, (iv) menunggu untuk diperbaiki. Ada total mesin dalam sistem. Sebanyak dapat beroperasi. Sebanyak dapat diperbaiki. Keadian tersebut disketsakan pada gambar 6.5.

6 Misalkan () merupakan umlah dari mesin baik pada waktu t, salah satunya beroperasi atau luang. Kemudian, (dianggap) umlah yang beroperasi adalah min{(),} dan umlah mesin luang adalah max{,() }. Misal ()= () menadi umlah dari mesin rusak. Kemudian umlah mesin yang dalam perbaikan adalah min {(),} dan umlah menunggu untuk diperbaiki adalah max {,() }. Dari persamaan sebelumnya dapat dimungkinkan untuk menentukan umlah dari mesin dengan kategori lain, saat () tidak diketahui. Kemudian () adalah bagian terhitung proses kelahiran dan kematian dengan parameter = {,} =,,, = ( ) = +,, Dan = {,}= =,,, =+,, Untuk menentukan probabilitas distribusi limit dari suatu nilai untuk,,,,. (Lihat latihan no. 7 dan 3 pada halaman terakhir dari bagian ini). Hubungan untuk limit probabilitas,,, dari beberapa banyaknya bagian adalah : Rata-rata mesin beroperasi = ( + + ) Lama penggunaan = = +( + + ) Average Idle Repair Capacity = (Rata-rata tidak bekera saat memperbaiki kapasitas) Persamaan tersebut dan yang seenisnya, dapat digunakan untuk mengevaluasi keinginan penambahan kemampuan memperbaiki, penambahan cadangan mesin, dan perbaikan lain yang mungkin. Distribusi stasioner diasumsikan ke dalam bentuk sederhana pada kasus khusus yang nyata. Contohnya, mengingat kasus khusus dengan M = N = R. Situasi yang muncul, sebagai contoh, ketika operator mengalami kegagalan saat

7 melakukan perbaikan mesin. Kemudian = ( ) dan = untuk n=,,,n, berdasarkan (6.3), ditentukan =, =/, = ()( )/(2) dan bentuk umumnya Dari persamaan (6.3) λλ... λ i θ = µ µ... µ 2 = ( ) ( +) ()(2) () = = =, dst =.() (()). = () () =! Dengan menggunakan rumus Binomial (+) = dihasilkan = =+ Jadi =+(/) =/(+) dan = /(+) = (6.33) Persamaan (6.33) lebih dikenal dengan Distribusi Binomial Contoh : Proses logistic, andaikan dianggap populasi yang berukuran X(t) arak diantara dua bilangan bulat yang tetap dan (<) untuk semua diasumsikan bahwa nilai kelahiran dan kematian tiap-tiap individu pada waktu, diberikan dengan = () =(() )

8 dan setiap anggota dari populasi tersebut tidak saling berpengaruh antara satu dengan yang lainnya. Hasil nilai kelahiran dan kematian populasi menadi =( ) =( ). Untuk menelaskan hal tersebut diamati ika ukuran dari suatu populasi () adalah, dan setiap individu dari memiliki lau kelahiran yang sangat kecil, maka =( ). Analog untuk. Selain syarat diatas akan diharapkan proses untuk fluktuasi diantara dua konstanta dan, sebagai contoh, ika () dekat dengan dan mendekati maka nilai kematian tinggi dan nilai kelahiran rendah. Pada akhirnya proses memperlihatkan fluktuasi yang tetap diantara dua limit dan. Distribusi stasionernya dalam hal ini adalah = =,,2,, Dimana adalah constanta penentu adi didapat =. Untuk mengetahuinya diperlihatkan sebagai berikut = = (+) (+ )( ) ( +) (+) (+)! = (+) (+ )( ) ( +) (+) (+)! = = = ( ) ( +) ( )! (+)! ( )! ( )! (+)( )!! ( )! (+)( )!!

9 = (+) Contoh Beberapa model genetik. Sebuah populasi berukuran individu dimana tipe gen-nya atau. State dari proses () menunukkan umlah individu gen pada waktu. Diasumsikan bahwa probabilitas yang statenya berubah selama selang waktu (,+h) adalah h+(h) independen dari nilai () dan probabilitas dari dua atau lebih perubahan yang teradi dalam interval waktu h adalah o(h). Perubahan struktur populasi dilakukan sebagai berikut. Satu individu diganti dengan individu lain yang dipilih secara random dari populasi. Misal, ika ()=, maka tipe dipilih untuk digantikan dengan probabilitas dan tipe- A dengan probabilitas. Kemudian, kelahiran teradi oleh aturan tersebut. Pilihan lain yang dibuat secara acak dari populasi untuk menentukan tipe dari individu untuk menggantikan individu yang meninggal. Model ini memperkenalkan tekanan mutasi berlaku untuk kemungkinan bahwa tipe dari individu baru dapat diubah saat lahir. Secara khusus, misal menunukkan kemungkinan bahwa tipe-tipe A, dan menganggap probabilitas mutasi tipe-a ke tipe-a. untuk menunuk Probabilitas bahwa individu baru ditambahkan ke dalam populasi tipe a adalah ( )+ (6.34) Dapat disimpulkan persamaan tersebut sebagai berikut: probabilitas bahwa dipilih enis dan mutasi tidak teradi ( ) ( ). Selain itu, tipe terakhir mungkin tipe-a, ika kita pilih tipe A, yang kemudian dialihkan untuk berikutnya di mutasi ke dalam type-a. Probabilitas yang mungkin adalah ( ). Kombinasi dari dua kemungkinan diberikan pada(6.34) Ditegaskan bahwa probabilitas bersyarat bahwa (+) ()=, ketika perubahan state teradi, adalah

10 ( )+, dimana ()=..(6.35) Faktanya, ukuran populasi type-a dapat meningkatkan hanya ika tipe A-mati (diganti). Probabilitas ini adalah ( ). Faktor kedua adalah probabilitas bahwa individu baru adalah type-a seperti pada persamaan (6.34) Pada keadaan yang sama didapatkan bahwa probabilitas bersyarat (+) ()= ketika perubahan state teradi adalah ( )+, dimana ()= Proses stokastik yang dielaskan adalah proses kelahiran dan kematian dengan seumlah state limit yang menemukan lau kelahiran dan kematian yang sangat kecil = ( ) Dan = + ( ) masing sesuai dengan ukuran enis populasi, Walaupun parameter ini tampak agak rumit, menarik untuk melihat apa yang teradi dengan ukuran stasioner{ } ika dianggap ukuran populasi dan probabilitas mutasi per individu and cenderung nol sedemikian rupa yang and, dimana <, <. Pada saat yang sama, akan diubah state dari proses ke dalam interval [,] dengan mendefinisikan state-state baru, yaitu type-a dalam populasi. Untuk mengui kepadatan populasi tetap ke x, dimana <<, akan

11 dievaluasi dengan dalam keadaan yang sama =, dimana [xn] adalah bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan xn. Dengan menaga keterkaitan ini dapat ditulis Dan kemudian = () ( )+, dimana =, = () ( )+, dimana =. log = log log = log+ log+ +log log( )+ Dengan menggunakan ekspansi Dapat uga ditulis log(+)= 2 +, <, 3 + = +, Dimana adalah pendekatan batas limit dengan syarat. Oleh karena itu, dengan menggunakan keterkaitan Didapatkan ~log dengan syarat + ~log + dengan syarat dengan cara yang sama didapatkan

12 log+ ~ karena () + Dimana pendekatan batas limit dengan syarat. Menggunakan hubungan di atas kita dapati log ~ () () as Dimana = +, yang mendekati limit, disebut C, dengan. Perhatikan bahwa dan dengan. Karena = didapat, untuk. ~ ( ). Dari persamaan (6.36) didapat ~ Karena itu, ~ Karena dengan cenderung dianggap sisi kanan sebagai perkiraan umlah Reimann dari demikian ( ). ~ ( ), Sehingga kepadatan yang dihasilkan pada [,] adalah ~ () = () (), () Seak ~/. Ini adalah distribusi beta dengan parameter dan.

13 Exercises Untuk perbaikan dalam contoh kedua, anggaplah bahwa ==5, =,= 2, dan =. Gunakan distribusi limit untuk sistem, Tentukan a) Rata-rata mesin beroperasi Penyelesaian : Rata-rata mesin beroperasi = ( + ) = ( + ) = b) Lama Penggunaan Penyelesaian : Lama Penggunaan = = = = ( + + ) +( + ) = = = 5 ( ) c) Average Idle Repair Capacity (Rata-rata tidak bekera saat memperbaiki kapasitas) Penyelesaian : Average Idle Repair Capacity = = =

14 8. Tentukan distribusi stasioner, dimana ada proses kelahiran dan kematian dengan parameter konstan = untuk =,, dan = untuk =,2, Penyelesain : Diketahui : = = =,, =,2, Ditanya : distribusi stationer? Jawab : = = =... = = Jika =, maka = dan =. =, dan tidak ada limit distribusi lim ()=.