PERFORMANSI METODE TRAPESIUM DAN METODE GAUSS-LEGENDRE DALAM PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE NUMERIK MENGGUNAKAN BAHASA PEMROGRAMAN MATLAB.

Transkripsi

1 Volume 5, Nomor, September 06 ISSN PERFORMANSI METODE TRAPESIUM DAN METODE GAUSS-LEGENDRE DALAM PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE NUMERIK MENGGUNAKAN BAHASA PEMROGRAMAN MATLAB Oleh : MEILANY NONSI TENTUA Dosen Program Studi Teknik Informatika, Universitas PGRI Yogyakarta meilanynonsitentua@gmail.com INTISARI Penggunaan integral ganda dua yang demikian telah digambarkan secara luas, sekarang terdapat penerapan lain yaitu massa, pusat massa, momen Inersia dari radius kitaran. Menurut definisi kamus, mengintegrasi berarti memadukan bersama, sebagian kedalam suatu keseluruhan, menyatukan, menunjukkan jumlah total, secara matematis integrasi dapat dinyatakan oleh: b I f ) d a Pada saat ini ada dua metode yang digunakan untuk menyelesaikan integral dan metode tersebut merupakan metode yang terbaik diantara metode yang lain. Metode tersebut adalah metode Trapesium dan metode kuadratur Gauss Legendre. Kedua metode tersebut digunakan pada penyelesaian masalah integral yang sama sebagai contoh kasus. Algoritma kedua metode diselesaikan dengan bahasa pemrograman MATLAB PENDAHULUAN Dalam era globalisasi saat ini, ilmu pengetahuan dan teknologi berkembang sangat pesat, begitu juga dengan perkembangan matematika. Matematika pada dasarnya merupakan alat, sarana atau pelayanan ilmu lain. Hal ini tidak dapat dipungkiri dengan munculnya berbagai aplikasi matematika, baik dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam berbagai disiplin ilmu lain yang membutuhkan banyak perhitungan. Banyak masalah ilmu pengetahuan sciences) maupun teknologi yang perlu diselesaikan dengan menggunakan metode integral tunggal maupun integral lipat. Penerapan integral lipat dua yang paling jelas adalah dalam penghitungan volume benda pejal. Penggunaan integral ganda dua yang demikian telah digambarkan secara luas, sekarang terdapat penerapan lain yaitu massa, pusat massa, momen Inersia dari radius kitaran. Menurut definisi kamus, mengintegrasi berarti memadukan bersama, sebagian kedalam suatu keseluruhan, menyatukan, menunjukkan jumlah total, secara matematis integrasi dapat dinyatakan oleh: b I f ) d a Yang diartikan sebagai integrasi fungsi f) terhadap variabel, yang dievaluasikan antara batas = a hingga = b. Sebagaimana makna persamaan diatas adalah jumlah total atau asumsi f) d yang meliputi bentangan dari = a hingga = b. Kenyataannya, simbol sebenarnya merupakan huruf besar S yang

2 PERFORMANSI METODE TRAPESIUM DAN METODE GAUSS-LEGENDRE DALAM PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE NUMERIK MENGGUNAKAN BAHASA PEMROGRAMAN MATLAB MEILANY NONSI TENTUA) divariasikan untuk menandai hubungan yang dekat antara integrasi dan sumasi Thomas dan Finney,979). Fungsi yang akan diintegrasikan menurut jenisnya adalah: ) Fungsi kontinu sederhana, seperti sebuah polinomial, eksponensial atau sebuah fungsi trigonometri. ) Suatu fungsi kontinu yang rumit, yakni sukar atau tidak mungkin untuk mengintegrasi secara langsung. ) Suatu fungsi yang ditabulasikan di mana harga dan f) diberikan pada sejumlah titik diskrit, seperti sering dijumpai pada data eksperimen. Dalam kasus pertama, integral sebuah fungsi sederhana bisa dievaluasikan secara eksak dengan dievaluasikan secara eksak dengan menggunakan teknik analitis yang telah dipelajari dalam kalkulus. Tetapi untuk kedua kasus terakhir harus dilakukan metode aproksimasi. Suatu pendekatan sederhana dan intuitif ialah dengan memplot fungsi tersebut pada kedua kisi, dan menghitung banyaknya kotak untuk mengaproksimasikan luas. Jumlah ini dilakukan oleh luas setiap kotak, dan akan memberikan sebuah taksiran kasar dari luas total di bawah kurva. Taksiran ini dapat diperbaiki dengan melakukan upaya tambahan, yakni menggunakan kisi yang lebih halus. Pendekatan lain yang masuk akal ialah membagi luas tersebut ke dalam segmen - segmen vertikal, atau bilah - bilah strips) yang tingginya sepada dengan harga fungsi pada titik tengah pada setiap bilah. Luas beberapa empat persegi panjang kemudian dapat dihitung, lalu dijumlahkan untuk menaksir luas total. Pada pendekatan ini dianggap bahwa harga yang terletak ditengah memberikan suatu aproksimasi yang berlaku untuk tinggi fungsi rata - rata untuk setiap bilah, seperti metode kisi, taksiran yang diperhalus memungkinkan dengan menggunakan bilah yang lebih banyak dan lebih halus) untuk mengaproksimasikan integral tersebut. Walaupun pendekatan sederhana demikian mempunyai manfaat untuk menaksir secara cepat, teknik teknik alternatif, yakni integrasi numerik atau metode kuadratur, tersedia untuk keperluan yang serupa. Metode - metode ini sebenarnya lebih mudah untuk dilaksanakan dibandingkan dengan pendekatan kisi, bertujuan sama seperti metode bilah strip method). Artinya, tinggi fungsi dikali dengan lebar bilah lalu dijumlahkan untuk menaksir integralnya. Tetapi, melalui pemilihan faktor - faktor bobot yang baik, hasil taksiran dapat dibuat lebih akurat dibandingkan dengan metode bilah sederhana. Dengan berkembangnya teknologi komputer yang dewasa ini telah digunakan dihampir semua bidang kegiatan, tentu harus diikuti dengan teknik penyelesaian dan metode yang lebih baik. Artinya perlu dicari metode penyelesaian suatu masalah dengan ketelitian tinggi dan waktu proses yang lebih cepat. Pada saat ini ada dua metode yang digunakan untuk menyelesaikan integral dan metode tersebut merupakan metode yang terbaik diantara metode yang lain. Metode tersebut adalah metode Trapesium dan metode kuadratur Gauss Legendre. Kedua metode tersebut digunakan pada penyelesaian masalah integral yang sama sebagai contoh kasus. Algoritma kedua metode diselesaikan dengan bahasa pemrograman MATLAB PEMBAHASAN Dalam menyelesaikan suatu masalah yang menggunakan bantuan komputer, pemakai user) diharapkan mampu membuat suatu proses atau prosedur yang merupakan urutan dari langkah-langkah atau instruksi-instruksi dalam menyelesaikan suatu permasalahan.

3 Volume 5, Nomor, September 06 ISSN Menurut Yulikispartono 00:), sebuah algoritma pada hakikatnya merupakan suatu prosedur yang tepat untuk dapat memecahkan masalah dengan menggunakan bantuan komputer serta suatu bahasa pemrograman. A. Kaidah Trapesium Mulai h = b-a) / n i =,,,..., n - i = a + h*i I = fa) + f b) Sigma = 0 Sigma = Sigma + fi) I = I+sigma) * h/ Selesai Gambar. Flowchart Kaidah Trapesium

4 PERFORMANSI METODE TRAPESIUM DAN METODE GAUSS-LEGENDRE DALAM PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE NUMERIK MENGGUNAKAN BAHASA PEMROGRAMAN MATLAB MEILANY NONSI TENTUA) Pada flowchart kaidah Trapesium Gambar.) dapat dijelaskan: ) Langkah awal pada f) adalah membagi menjadi n pias, h = b-a) / n ) Dilakukan perhitungan dengan diketahui i =,,,..., n, i = a + h*i, I = fa) + f b) ) Jumlah awal Integrasi ditentukan dengan Sigma = 0, ) Jumlah nilai integrasi berikutnya ditentukan dengan Sigma = Sigma + f i) 5) Sehingga nilai integrasi dengan I = I+sigma) * h/ B. Kaidah Gauss-Legendre Dua Titik Mulai Batas Bawah = a) Batas Atas = b) Fungsi awal = f) a b) b a) t b a d dt ft = f / ) ft = f / ) I = b-a)/ * ft + ft) Selesai

5 Volume 5, Nomor, September 06 ISSN Gambar Flowchart Kaidah Gauss-Legendre -titik Pada flowchart kaidah Gauss-Legendre dua titik Gambar.) dapat dijelaskan. Menentukan Batas Bawah = a), Batas Atas = b), Fungsi awal = f) b. Mentransformasikan a a b) dengan f ) dmenjadi f t) dt b a) t b a, d dt sehingga batas yang pada awalnya [a,b] menjadi [-,]. Memasuki proses pada perhitungan integrasi Gauss-Legendre dua titik dengan ft = f / ) dan ft = f / ). Sehingga nilai integrasi didapatkan dari perhitungan dengan kaidah I = b-a)/ * ft + ft) Dari hasil kedua metode tersebut akan dicari galat atau error relatif dengan menghitung nilai integral sejati dari permasalahan integral yang digunakan dalam penelitian ini. Selain itu ditampilkan juga kecepatan program dari perhitungan integral ini yang divisualisasikan dalam program MATLAB. Dari dua hal ini maka akan didapatkan performansi terbaik dari kedua metode tersebut. Dalam penelitian ini program yang dibuat adalah program dinamis berdasarkan permasalahan integral yang berbeda. Permasalahan integral dan batas-batas integrannya dimasukkan ke dalam Command Windowyang memanggil program yang telah disimpan dalam M-File Work. Program yang menggunakan metode trapesium dalam penelitian ini partisi yang dibuat adalah empat partisi, namun jika ingin memakai partisi dengan jumlah yang berbeda dapat dilakukan. Sedangkan dalam program yang menggunakan metode Gauss-Legendre bukan partisi yang menjadi tolak ukur, namun batas-batas yang dibawa dalam bentuk aturan transformasi Gauss. Dalam setiap program telah dimasukkan fungsi integral yang akan dijalankan sehingga tinggan memasukkan batas-batas integrannya saja. Khusus untuk metode trapesium menggunakan partisi empat buah. A. Program Metode Trapesium dalam M-File MATLAB function trapezoid; disp'fungsi TRAPEZOID'); a=input'masukkan batas interval kiri:'); b=input'masukkan batas interval kanan:'); n=input'jumlah pembagian:'); fprintf'nilai integral= %0.7e',Trapezoid a,b,n)); function T = Trapezoid a,b,n); h=b-a)/n; jumlah=0;

6 PERFORMANSI METODE TRAPESIUM DAN METODE GAUSS-LEGENDRE DALAM PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE NUMERIK MENGGUNAKAN BAHASA PEMROGRAMAN MATLAB MEILANY NONSI TENTUA) for i=::n-; =a+h*i; jumlah=jumlah + F); end; T=h/)*Fa)+Fb)+*jumlah); function F = F); F=^+- B. Program Metode Gauss- Function Gauss; disp'fungsi GAUSS LEGENDRE'); a=input'masukkan batas interval kiri:'); b=input'masukkan batas interval kanan:'); n=input'jumlah pembagian:'); fprintf'nilai integral= %0.7e',Gauss a,b,t)); function G = Gauss a,b,t); =a+b)/+b-a)*t/; I=int t,-,); end; G=b-a)*I/; function F = F); F=^+- Contoh Penyelesaian Integral secara Manual )d

7 Volume 5, Nomor, September 06 ISSN a. Secara Analitis )d = d d = 8 = =, b. Secara Numerik menggunakan Metode Trapesium: ) Integran yang diselesaikan adalah ) d ) Batas bawah daerah integrasi a) = ) Batas atas daerah integrasi b) = b a ) Jumlah Pias n =, sehingga h 0, 5 dan 0 ; 5, ;, 50;, 75 ; maka, penyelesaian secara numerik dengan metode trapesium adalah ) / ) d f ) f ) f,5) f,50) f,75) 8 =,78 = 5,65,5,065) c. Secara Numerik menggunakan Metode Kuadratur Gauss-Legendre dua titik ) Integran yang diselesaikan adalah ) d ) Batas bawah daerah integrasi a) = ) Batas atas daerah integrasi b) = ) ) t,5 0,5t d 0,5dt Transformasikan f ) d menjadi f t ) dt :

8 PERFORMANSI METODE TRAPESIUM DAN METODE GAUSS-LEGENDRE DALAM PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE NUMERIK MENGGUNAKAN BAHASA PEMROGRAMAN MATLAB MEILANY NONSI TENTUA),5 0,5t ) 0,5 dt 0,5,5 0,5t ) ) d dt Jadi,dalam hal ini f t),5 0,5t ) Maka f / f / ),5 0,5 ) ),5 0,5 Dengan demikian ) d 0,5, ), f / f /, Selesaikan persoalan integral berikut: d a. Secara Analitis d = d = = = - 0, =,6 b. Secara Numerik menggunakan Metode Trapesium: 5) Integran yang diselesaikan adalah d 6) Batas bawah daerah integrasi a) = 7) Batas atas daerah integrasi b) = b a 8) Jumlah Pias n =, sehingga h 0,

9 Volume 5, Nomor, September 06 ISSN , 0 ; 8 0, ; 0, 5; 0, 76 ; dan 0 maka, penyelesaian secara numerik dengan metode trapesium adalah ) / ) d f ) f ) f,5) f,50) f,75) 8 =,78 = 5,65,5,065) d ) / f ) f ) f 0,8) f 0,5) f 0,76)) 0, 5,8898,868,7),788 c. Secara Numerik menggunakan Metode Kuadratur Gauss-Legendre dua titik ) Integran yang diselesaikan adalah d 5) Batas bawah daerah integrasi a) = 6) Batas atas daerah integrasi b) = ) ) t 0,5 0,8t d 0,8dt Transformasikan d Jadi,dalam hal ini f t) Maka f ) d menjadi f t ) dt 0,8dt 0,5 0,8t 0,5 0,8t :

10 PERFORMANSI METODE TRAPESIUM DAN METODE GAUSS-LEGENDRE DALAM PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE NUMERIK MENGGUNAKAN BAHASA PEMROGRAMAN MATLAB MEILANY NONSI TENTUA) f / ) f / ) 0,5 0,8/ ) 0,5 0,8 /,00,09 ) Dengan demikian d 0,8 f / f /,56 Contoh.5.. Contoh.. Selesaikan persoalan integral berikut: 0 a. Secara Analitis Permasalahan ini akan diselesaikan dengan metode subtitusi. 0 Misal: u du d du d Sehingga menjadi: ** * du ** * du u

11 Volume 5, Nomor, September 06 ISSN u 8 8 u ** ) 7 8 0, * ** * 0 b. Secara Numerik menggunakan Metode Trapesium: ) Integran yang diselesaikan adalah 0 ) Batas bawah daerah integrasi a) = 0 ) Batas atas daerah integrasi b) = b a ) Jumlah Pias n =, sehingga h 0, 5 dan 0 0 ; 5 0, ; 0, 50; 0, 75 ; maka, penyelesaian secara numerik dengan metode trapesium adalah 0 0) / d f 0) f ) f 0,5) f 0,50) f 0,75) ) 8 = 0,09 = 0 0,070 0,07 0,065 80) c. Secara Numerik menggunakan Metode Kuadratur Gauss-Legendre dua titik ) Integran yang diselesaikan adalah 0 ) Batas bawah daerah integrasi a) = 0 ) Batas atas daerah integrasi b) =

12 PERFORMANSI METODE TRAPESIUM DAN METODE GAUSS-LEGENDRE DALAM PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN METODE NUMERIK MENGGUNAKAN BAHASA PEMROGRAMAN MATLAB MEILANY NONSI TENTUA) 0) 0) t 0,5 5t d 0,5dt Transformasikan f ) d menjadi f t ) dt 0,5 0,5t : 0,5 t dt 0 0,5 0,5 ) Jadi,dalam hal ini f t) Maka f / ) f / 0,5 0,5t 0,5 0,5t ) ) 0,5 0,5/ 0,5 0,5t )) 0,5 0,5t 0,5 0,5 / )) 0,0698 0,65 Dengan demikian 0 d 0,5 0,67 f / f / KESIMPULAN Performansi metode Trapesium dengan Kuadratur Gauss Legendre pada masalah integral dengan bahasa pemrograman MATLAB. Dapat dikatakan bahwa metode trapesium bersesuaian dengan kuadratur Gauss Legendre. Dapat dilihat bahwa nilai integrasi numerik dengan kaidah trapesium akan tepat galat=0) untuk fungsi tetap dan fungsi lanjar. Misal f) = dan f). dari dua buah fungsi tersebut, diperoleh dua persamaan: f ) maka, d ) c c Dan

13 Volume 5, Nomor, September 06 ISSN f ) maka, d ) ) 0 c c SARAN Saran untuk penelitian ini adalah penyempurnaan pada sisi pemrograman MATLAB dapat di buat secara visual sehingga lebih interaktif. DAFTAR PUSTAKA Dash, Rajani B, and Debasish Das, A Mied Quadrature Rule by Blending clenshaw-curtis and GaussLegendre Quadrature Rules for Approimation of Real Definite Integrals in Adaptive Environment. 0. Proceedings of the International MultiConference of Engineers and Computer Scientists. Firmansyah.007. Dasardasar pemrograman MATLAB.Bandung:Universitas padjajaran Press. Munir, Rinaldi, Metode Numerik untuk Teknik Informatika Jurusan Teknik Informatika ITB