GRUP DAN HOMOMORFISMA GRUP PADA RUBIK REVENGE DWI TANTY KURNIANINGTYAS

Transkripsi

1 GRUP DAN HOMOMORFISMA GRUP PADA RUBIK REVENGE DWI TANTY KURNIANINGTYAS DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

2 ABSTRAK DWI TANTY KURNIANINGTYAS. Grup dan Homomorfisma Grup pada Rubik Revenge. Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS OED dan NUR ALIATININGTYAS. Rubik adalah permainan sejenis puzzle berbentuk kubus. Pemain harus mengatur sisi rubik yang telah diacak kembali pada posisi dimana setiap sisi memiliki warna yang sama. Karya ilmiah ini tidak difokuskan pada solusi penyelesaian rubik, melainkan pada pembuktian adanya homomorfisma grup dari grup pergerakan rubik ke grup permutasi simetri S 96 pada rubik revenge. Pertama, sudah dibuktikan bahwa himpunan pergerakan rubik adalah grup. Kemudian membuktikan bahwa himpunan M yang berisi label numerik berupa angka 1 sampai 96 pada sisi cubinos adalah grup permutasi simetri S 96. Kata kunci : rubik, grup, homomorfisma, grup permutasi simetri S 96.

3 ABSTRACT DWI TANTY KURNIANINGTYAS. Group and Group Homomorphism in Rubik Revenge. Under supervision of TEDUH WULANDARI MAS OED and NUR ALIATININGTYAS. Rubik cube is a kind of puzzle game. A player must arrange rubik sides, which have been disordered, back to the position where every side has the same colour. This paper does not focus on the settlement solution, but instead on proving the existence of a group homomorphism between rubik movement group and S 96 symmetric permutation group in rubik revenge. Firstly, it has been proved that rubik movement set is a group. Then, it also has been proved that the M set, which contains numeric labels of 1 until 96 in cubinos sides, is S 96 symmetric permutation group. Keywords : rubik, group, homomorphism, S 96 symmetric permutation group.

4 GRUP DAN HOMOMORFISMA GRUP PADA RUBIK REVENGE DWI TANTY KURNIANINGTYAS Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

5 Judul Skripsi Nama NIM : Grup dan Homomorfisma Grup pada Rubik Revenge : Dwi Tanty Kurnianingtyas : G Pembimbing I Menyetujui Pembimbing II Teduh Wulandari Mas'oed M.Si. NIP Dra. Nur Aliatiningtyas, MS. NIP Mengetahui, Ketua Departemen Matematika Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS. NIP Tanggal Lulus :...

6 PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan karunia-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari dukungan doa, moril dan materiil dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih kepada : 1 Keluarga penulis atas doa dan dukungan tiada henti yang diberikan sejak penulis menimba ilmu di IPB, 2 Teduh Wulandari Mas'oed M.Si dan Dra. Nur Aliatiningtyas, MS selaku dosen pembimbing atas waktu dan bimbingannya selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini, 3 Drs. Siswandi M.Si selaku moderator seminar dan penguji sidang tugas akhir, 4 seluruh dosen TPB dan Departemen Matematika FMIPA IPB atas ilmu dan pengalaman berharga yang telah diberikan selama penulis menimba ilmu di IPB, 5 seluruh staf/pegawai Departemen Matematika IPB yang telah membantu memperlancar kelengkapan administrasi dan membantu kelengkapan bahan karya ilmiah ini, 6 pengurus Lembaga Dakwah Fakultas Serambi Ruhiyah Mahasiswa FMIPA (LDF SERUM G), Badan Eksekutif Mahasiswa Tingkat Persiapan Bersama Angkatan 44 ( BEM TPB 44 ) atas pengalaman yang telah dirasakan bersama, 7 mahasiswa Departemen Matematika Angkatan 44 atas dukungan semangat dan pengalamannya, 8 seluruh pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Penulis menyadari karya ilmiah ini belum sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun dibutuhkan dari para pembaca. Akhir kata, semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan dapat menginspirasi kita semua khususnya untuk kemajuan ilmu Matematika. Bogor, Agustus 2012 Dwi Tanty Kurnianingtyas

7 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di kota Jakarta pada tanggal 3 Februari 1989 sebagai anak kedua dari empat bersaudara, dari pasangan Yuli Karmono dan Sri Wahyuni. Pada tahun 2001, penulis lulus dari SD Negeri Cirendeu 1 Kota Tangerang Selatan. Pada tahun 2004, penulis lulus dari SMP Negeri 1 Pamulang Kota Tangerang Selatan. Pada tahun 2007, penulis lulus dari SMA Negeri 74 Kota Jakarta dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada beberapa lembaga kemahasiswaan IPB dan kepanitiaan, di antaranya: anggota Departemen Sosial dan Kesejahteraan Mahasiswa (SOSKEMAH) Badan Eksekutif Mahasiswa Tingkat Persiapan Bersama Angakatan 44 (BEM TPB 44) periode 2007/2008, ketua tim acara TPB sehat 2007 bendahara Oryza in Action 2008 anggota Departemen Pengembangan dan Pemberdayaan Sumber Daya Mahasiswa (P2SDM) Lembaga Dakwah Fakultas Serambi Ruhiyah Mahasiswa FMIPA (LDF Serum G) periode 2008/2009, anggota Badan For Palestine (BFP) Kesatuan Aksi Mahasiswa Muslim Indonesia (KAMMI IPB) periode 2008/2009, sekretaris Departemen Human Resource Development (HRD) LDF Serum G periode 2009/2010, kepala tim kesekretariatan Masa Pengenalan Kampus dan Mahasiswa Baru 2008 angkatan 45, sekretaris I Masa Pengenalan Fakultas 2009 angkatan 45 squad guardian Masa Perkenalan Fakultas 2009 angkatan 46 tim acara Festival Ilmuan Muslim 2010 squad guardian Masa Perkenalan Fakultas 2010 angkatan 47 asisten dosen mata kuliah Pendidikan Agama Islam (PAI) Selain itu, penulis juga aktif mengajar mata kuliah Kalkulus dan Pengantar Matematika pada bimbingan belajar KAMMI SMART pada tahun dan bimbingan belajar PRIMAGAMA tahun 2012 sekarang.

8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR LAMPIRAN... ix 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan LANDASAN TEORI 3 PEMBAHASAN 3.1 Bagian bagian Rubik Revenge Pergerakkan Rubik Revenge Grup Pergerakkan Rubik Revenge Order dan Generator Grup Permutasi dan Grup Simetri S Homomorfisma Grup Rubik Revenge SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 10

9 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Bagian Luar Sisi Rubik Revenge Bagian Dalam Sisi Rubik Revenge Bagian-bagian Cubinos Rubik Revenge... 4 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Ilustrasi Pergerakan Rubik Ilustrasi Order Rubik Jaring-jaring Kubus Pemetaan Bijektif dari M ke M... 14

10 0 GRUP DAN HOMOMORFISMA GRUP PADA RUBIK REVENGE DWI TANTY KURNIANINGTYAS DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

11 1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Rubik adalah permainan berbentuk kubus yang ditemukan oleh seorang pemahat dan arsitek asal Hungaria pada tahun 1974 bernama Erno Rubik. Pada awal diciptakannya, rubik dibuat dalam bentuk kubus berukuran 3 x 3 x 3 yang lebih dikenal dengan rubic cube. Rubik memiliki enam sisi dan tersusun atas kubus kecil berukuran 1 x 1 x 1 atau cubinos. Setiap sisi memiliki warna yang berbeda. Masing masing sisi rubik dapat diputar secara horizontal maupun vertikal dengan arah searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam. Pada perkembangannya, rubik berbentuk kubus dibuat dengan ukuran yang lebih beragam, seperti rubik berukuran 2 x 2 x 2 yang memiliki 4 persegi disetiap sisinya dan 4 x 4 x 4 yang memiliki 16 persegi di setiap sisinya. Permainan rubik ini merupakan permainan sejenis puzzle. Setiap pemain harus berusaha merapihkan posisi rubik yang telah di acak kembali pada posisi rapih, yaitu posisi dimana setiap sisi yang memiliki warna yang sama berkumpul menjadi satu. Karya ilmiah ini dikonstruksikan dari jurnal yang dituliskan oleh Mogens Esrom Larsen (1985) berjudul Rubik s Revenge : The Group Theoretical Solution. Dalam karya ilmiah ini, tidak difokuskan pada solusi penyelesaian rubik, melainkan pada adanya homomorfisma grup dari grup pergerakan rubik ke grup permutasi simetri S 96 pada rubik 4 x 4 x 4 atau yang dikenal dengan rubik revenge. 1.2 Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk membuktikan adanya homomorfisma grup dari grup pergerakan rubik ke grup permutasi simetri pada rubik revenge. Dengan sebelumnya akan dibuktikan bahwa himpunan pergerakan rubik adalah grup. Kemudian dilanjutkan dengan pembuktian bahwa himpunan M yang berisi label berupa angka 1 sampai 96 pada sisi cubinos adalah grup permutasi simetri. II LANDASAN TEORI Pada bab ini dijelaskan beberapa definisi serta teorema yang digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Definisi 2.1 (Fungsi) Fungsi adalah aturan yang memadankan setiap elemen dalam himpunan A secara tepat satu elemen ke himpunan B yang disebut. (Stewart 2001) Definisi 2.2 (Fungsi injektif) Fungsi : A B adalah fungsi injektif atau one to one jika ( = mengakibatkan =. (Fraleigh 1994) Definisi 2.3 (Fungsi Surjektif) Fungsi : A B adalah fungsi surjektif atau onto jika untuk setiap B, terdapat A sehingga =. (Fraleigh 1994) Definisi 2.4 (Fungsi Bijektif ) Fungsi adalah bijektif jika fungsi tersebut injektif dan surjektif. (Rotman 2003) Definisi 2.5 (Permutasi) Permutasi dari himpunan A adalah fungsi bijektif dari himpunan A ke himpunan A. (Rotman 2003) Definisi 2.6 (Operasi Biner) Operasi biner pada sebuah himpunan S adalah sebuah aturan yang membawa setiap pasangan (, ) S X S ke tepat satu unsur ( ) di himpunan S. (Fraleigh 1994) Definisi 2.7 (Asosiatif) Operasi biner pada himpunan S bersifat asosiatif jika ( ) = ( ) untuk setiap,, S. (Fraleigh 1994)

12 2 Definisi 2.8 (Grup) Grup adalah himpunan G yang tertutup dibawah sebuah operasi biner sehingga aksioma - aksioma di bawah ini terpenuhi : 1. Operasi biner bersifat asosiatif 2. Terdapat sebuah unsur di G sehingga = = untuk semua G. (Unsur disebut unsur identitas untuk operasi pada G) 3. Untuk setiap di G, terdapat di G dengan aturan bahwa = =. (Unsur adalah invers dari ) (Fraleigh 1994) Sifat Grup Misalkan G adalah grup. i. Hukum penghapusan berlaku : jika = atau = maka = ii. Unsur adalah unsur yang unik pada G iii. Setiap G memiliki invers yang unik iv. = untuk semua G (Rotman 2003) Selanjutnya operasi pada G didefinisikan sebagai operasi perkalian. Definisi 2.9 (Pangkat) 1. =.... ( faktor ) 2. =... ( faktor ) 3. = (Rotman 2003) Hukum Eksponen Misal G grup,, G dan misal, adalah bilangan bulat ( tidak perlu positif ). i. Jika dan komutatif, maka = ii. = iii. = (Rotman 2003) Definisi 2.10 (Subgrup) Misalkan H himpunan bagian dari grup G yang tertutup di bawah operasi biner. Jika H itu sendiri adalah sebuah grup, maka H adalah subgrup dari G. (Fraleigh 1994) Definisi 2.11 (Generator) Himpunan bagian S pada grup G disebut generator bagi G jika setiap unsur di G dapat ditulis sebagai hasil operasi unsur-unsur S dan inversnya. Dinotasikan dengan G = <S>, dikatakan G dibangun oleh S. (Dummit 1991) Berdasarkan definisi di atas, dapat dituliskan, misal S = {,,..., }, jika G maka terdapat,,,..., Z sehingga y =...(. Definisi 2.12 (Order) Misal G grup, dan G, order didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil, sedemikian sehingga =. Dalam hal ini dikatakan berorder. Jika tidak terdapat bilangan tersebut, order infinit dan order dikatakan tak hingga. (Dummit 1991) Teorema 1 Jika G adalah unsur yang memiliki order, maka = jika dan hanya jika kelipatan dari. (Rotman 2003) Teorema 2 Misalkan A adalah himpunan terhingga {1,2,3,..., }. Himpunan seluruh permutasi A di bawah operasi perkalian permutasi yang didefinisikan sebagai komposisi fungsi adalah grup simetri dari suku dan disimbolkan dengan. (Fraleigh 1994) Definisi 2.13 (Homorfisma Grup) Sebuah fungsi ϕ dari grup G ke grup G adalah homomorfisma jika ϕ( ) = ϕ( ) ϕ( ), untuk setiap, G. (Fraleigh 1994) III PEMBAHASAN Karya ilmiah ini akan membahas pembuktian adanya homomorfisma grup dari grup pergerakan rubik ke grup permutasi simetri S 96. Terlebih dulu akan dijelaskan bagian-bagian rubik dan pergerakannya. 3.1 Bagian-Bagian Rubik Revenge Rubik revenge adalah rubik berukuran 4 x 4 x 4, memiliki 16 kotak kecil pada setiap sisinya. Keenam belas kotak tersebut diberi warna yang sama, sehingga satu buah rubik revenge memiliki enam warna yang berbeda.

13 2

14 3 Rubik memiliki 6 sisi. Pada umumnya setiap sisi rubik diberi nama dengan Front ( ) untuk sisi rubik bagian depan, Back ( ) untuk sisi rubik bagian belakang, Right ( ) untuk sisi rubik bagian kanan, Left ( ) untuk sisi rubik bagain kiri, Up ( ) untuk sisi rubik bagian atas dan Down ( ) untuk sisi rubik bagian bawah. Sisi tepat di belakang sisi depan ( ) Sisi tepat di depan sisi belakang ( ) sisi kiri ( ) sisi kanan ( ) Sisi tepat di bawah sisi atas ( ) Sisi tepat di atas sisi bawah ( ) sisi atas ( ) sisi bawah ( ) Sisi tepat di kanan sisi kiri ( ) Sisi tepat di kiri sisi kanan ( ) sisi depan ( ) sisi belakang ( ) Gambar 1 Bagian luar sisi rubik revenge Berbeda dengan rubik 3 x 3 x 3, rubik revenge memiliki enam sisi bagian dalam. Keenam sisi bagian dalam tersebut dinotasikan dengan untuk sisi tepat di belakang sisi depan, untuk sisi tepat di depan sisi belakang, untuk sisi tepat di bawah sisi atas, untuk sisi tepat di atas sisi bawah, untuk sisi tepat disamping kiri sisi kanan, untuk sisi tepat disamping kanan sisi kiri. Gambar 2 Bagian dalam sisi rubik revenge Rubik revenge disusun oleh 56 cubinos berupa kubus berukuran Cubinos pada rubik revenge terbagi menjadi tiga jenis, yaitu 8 corner-cubinos, 24 edge-cubinos, dan 24 center-cubinos.

15 4 Center-cubinos Edge-cubinos Setiap posisi rubik, baik posisi sebelum mengalami pergerakan maupun setelah mengalami pergerakan akan membentuk sebuah himpunan yang dinotasikan dengan P. Sehingga, pergerakan rubik dapat didefinisikan sebagai fungsi : P P. Ilustrasi untuk menggambarkan pergerakan rubik dapat dilihat pada Lampiran 1. Himpunan pergerakan rubik, H = {,,,,,,,,,,,,,,,,...}. Himpunan pergerakan rubik ini bersifat infinit. Corner-cubinos Gambar 3 Bagian-bagian cubinos rubik revenge 3.2 Pergerakan Rubik Revenge Sisi rubik dapat diputar secara horizontal maupun vertikal. Perputaran sisi rubik tersebut selanjutnya disebut sebagai pergerakan. Pergerakan yang terjadi pada sisi rubik dapat terbagi atas pergerakan searah jarum jam sejauh 90 0 yang dinotasikan dengan + dan pergerakan berlawanan dengan arah jarum jam sejauh 90 0 yang dinotasikan dengan -. Notasi arah pergerakan mengikuti sisi rubik yang mengalami pergerakan. Misal, didefinisikan sebagai pergerakan sisi depan rubik sejauh 90 0 searah jarum jam. didefinisikan sebagai pergerakan sisi tepat dibawah sisi atas sejauh 90 0 berlawanan dengan arah jarum jam. didefinisikan sebagai pergerakan sisi bawah sejauh 90 0 sebanyak dua kali searah jarum jam. Pergerakan ini pada umumnya disimbolkan dengan 2 dan arah pergerakan tidak memiliki pengaruh karena akan menghasilkan posisi yang sama. didefinisikan sebagai pergerakan sisi depan rubik sejauh 90 0 sebanyak tiga kali searah jarum jam. didefinisikan sebagai pergerakan sisi bawah rubik sejauh 90 0 sebanyak empat kali berlawanan arah jarum jam. Secara umum pergerakan rubik dapat dinotasikan dengan dimana adalah sisi rubik dan. didefiniskan sebagai pergerakan sisi sejauh 90 0 sebanyak kali searah jarum jam jika > 0 atau berlawanan arah jarum jam jika < 0. Untuk = 0, didefinisikan sebagai sisi tidak mengalami pergerakan atau dapat dinotasikan dengan. 3.3 Grup Pergerakan Rubik Revenge Didefinisikan operasi pada himpunan pergerakan H yaitu untuk setiap, H dan posisi rubik maka berlaku : ( )( ) = ( ( )) yang dapat diartikan sebagai pergerakan dilakukan terhadap kemudian dilanjutkan dengan pergerakan terhadap ( ). Akan dibuktikan H dengan operasi membentuk suatu grup. Bukti : Misal,, H dan P. (i) ( )( ) = ( )( ( )) = ( ( ( ))) Pergerakan rubik didefinisikan sebagai fungsi dengan domain himpunan posisi rubik P yang unik sehingga H tertutup di bawah operasi. (ii) (( ) )( ) = ( ( ( ))) = (( )( )) = ( ( ))( ) Jadi, sifat assosiatif berlaku (( ) ) = ( ( )). (iii) Akan dibuktikan ada unsur identitas H untuk pada H sehingga berlaku = =, untuk setiap G. Unsur identitas didefinisikan dengan ( ) =. ( )( ) = ( ( )) = ( ) = ( ( )) = ( )( ). Dapat disimpulkan = =. Sehingga, dapat dibuktikan ada unsur identitas H. (iv) Akan dibuktikan untuk setiap H. Unsur didefinisikan sebagai pergerakan sisi rubik yang berlawanan arah dengan pergerakan dengan

16 5 ( ) = jika dan hanya jika = ( ) ;, P. Akibatnya, ( )( ) = ( ( )) = ( ) = = ( ) ( )( ) = ( ( ))) = ( ( )) = = ( ) Sehingga, = =. Unsur invers dari. Contoh Invers dari pergerakan ( ) adalah ( ). Dari pembuktian (i), (ii), (iii), (iv) dapat disimpulkan bahwa himpunan H di bawah operasi merupakan sebuah grup. Sehingga terbukti bahwa himpunan H adalah sebuah grup pergerakan rubik dengan operasi sebagai operasi grup Order dan Generator Himpunan H bersifat infinit karena banyaknya pergerakan rubik tidak terbatas. Himpunan S = {, } merupakan himpunan bagian dari H. Akan dibuktikan setiap unsur pada himpunan S berorder 4. Misal S, order adalah, jika adalah bilangan bulat positif minimal sehingga = e. Bukti : Ambil sebarang unsur S, misal. Ambil P sehingga =. Definisi ( ) adalah pergerakan terhadap sejauh 90 0 searah jarum jam. Jika pergerakan terhadap sejauh 90 0 searah jarum jam dilakukan sebanyak dua kali ( ( )) maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh searah jarum jam. Jika pergerakan sejauh 90 0 terhadap searah jarum jam dilakukan sebanyak tiga kali ( ( )) maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh searah jarum jam. Jika pergerakan terhadap sejauh 90 0 searah jarum jam dilakukan sebanyak empat kali ( ( )) maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh searah jarum jam dikenakan terhadap. Jika ( ) = ( )( ) = ( ( ( (a( ))))) = maka 4 =. Sehingga, dapat dibuktikan bahwa empat merupakan bilangan terkecil yang mengakibatkan +4 ( ) = = ( ). Oleh sebab itu dapat disimpulkan, ( ) = 4, dimana adalah setiap unsur di S. Teorema 1 berlaku dengan penjelasan sebagai berikut. Jika pergerakan terhadap sejauh 90 0 searah jarum jam dilakukan sebanyak lima kali ( +5 ( )) maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh 90 0 searah jarum jam ( ( )). Jika pergerakan terhadap sejauh 90 0 searah jarum jam dilakukan sebanyak enam kali ( +6 ( )) maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh 90 0 searah jaum jam dilakukan sebanyak dua kali ( 2 ( )). Jika pergerakan terhadap sejauh 90 0 searah jarum jam dilakukan sebanyak tujuh kali ( +7 ( )) maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh 90 0 searah jarum jam dilakukan sebanyak tiga kali ( +3 ( )). Jika pergerakan terhadap sejauh 90 0 searah jarum jam dilakukan sebanyak delapan kali ( +8 ( )) maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh 90 0 searah jarum jam ( +4 ( ) = ). Posisi rubik akan kembali pada posisi awal setelah mengalami delapan kali pergerakan. Hal ini juga berlaku ketika pergerakan dilakukan sebanyak 4, 8, 12, 16,.... Maka, 4 = 8 = 12 = 16 =... =. Ilustrasi yang akan menunjukkan bahwa posisi rubik akan kembali pada posisi awal setelah mengalami empat kali pergerakan yang sama dapat dilihat pada Lampiran 2. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa S merupakan generator bagi H. Himpunan S disebut generator jika elemen pada H dapat ditulis sebagai hasil dari operasi elemen pada himpunan S. Bukti : S ={, }. Sebelumnya akan dijelaskan pergerakan rubik yang akan menghasilkan posisi yang sama. Misal, a H, pergerakan sama dengan pergerakan, pergerakan sama dengan pergerakan, pergerakan sama dengan pergerakan, pergerakan sama dengan pergerakan. Sehingga, pergerakan rubik yang menjadi

17 6 kombinasi dari merupakan pergerakan 90 0 searah jarum jam (+) yang dapat dilakukan sebanyak 1, 2, 3 atau 4 kali. Dengan kata lain, dapat ditunjukkan bahwa unsur-unsur pergerakan pada himpunan H dapat ditulis sebagai hasil dari operasi unsur-unsur pada himpunan S. Jadi, terdapat,,..., sehingga =... dengan H. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa elemen-elemen pada himpunan S dapat dikatakan sebagai generator atau pembangkit dari grup H dimana operasi yang diberikan pada himpunan S adalah operasi pada grup H. Berikut akan diberikan contoh bahwa elemen pada H dapat ditulis sebagai hasil dari operasi elemen pada himpunan S. Terdapat komposisi pergerakan L -6, dengan L -6 = ( ) +2 ( ) 0 ( ) + ( ) +4 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) -6 = ( ) +2 ( ) 0 ( ) + ( ) +4 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) +2 = +2 U + D +4 L +2 sehingga pergerakan tersebut dapat dibangun oleh S. Demikian juga dengan unsur-unsur lainnya. 3.4 Grup Permutasi dan Grup Simetri S 96 Rubik revenge disusun oleh 56 cubinos. Setiap sisi cubinos diberi label dari angka 1 sampai 96 seperti pada Lampiran 3. Angka 1 sampai 96 pada sisi cubinos ini akan membentuk sebuah himpunan M. Misal himpunan M = {1, 2, 3, 4,..., 96}. Permutasi dari M adalah fungsi bijektif dari M ke M. Beberapa contoh pemetaan bijektif dari M ke M dapat dilihat pada Lamipran 4. Himpunan M adalah himpunan tak kosong dan S M = {,,, } adalah himpunan semua permutasi permutasi dari M. Akan dibuktikan S M dengan operasi yang didefinisikan sebagai untuk setiap, S M dan M, berlaku ( )( ) = ( ( )) adalah grup. Bukti : Komposisi dua fungsi bijektif dari M ke M juga merupakan fungsi bijektif dari M ke M akibatnya perkalian permutasi merupakan operasi biner sehingga S M tertutup di bawah operasi perkalian permutasi. Akan dibuktikan perkalian permutasi memiliki sifat asosiatif. Fungsi memiliki sifat asosiatif jika ( ) =. Ambil,, S M dan M sehingga ) = = ( ( )) ( ( )) = (( )( ) = ( ( )) oleh sebab itu terbukti bahwa (( )( )) = ( ( )). Akan dibuktikan terdapat sebuah unsur identitas yaitu permutasi dengan =, M. Sehingga, = =. Ambil S M maka ( = = ( = ( = oleh sebab itu, terbukti bahwa = =. Akan dibuktikan jika S M maka invers dari adalah yaitu permutasi yang didefinisikan -1 = jika dan hanya jika = ( ),, M. Ada S M,, M ; maka ( )( ) = ( ( )) = ( ) = = ( ) ( )( ) = ( ( )) = ( ) = = ( ) Sehingga, = =. Dari urian diatas terbukti bahwa S M adalah grup di bawah operasi perkalian permutasi. Dalam grup S m, fungsi adalah unsur identitas berupa permutasi rotasi 0 0. Invers dari permutasi rotasi 90 0 adalah permutasi rotasi Contoh =, =, dan = Invers dari permutasi rotasi adalah permutasi rotasi Contoh =, =, dan =. Invers dari permutasi rotasi adalah

18 7 permutasi rotasi Contoh =, = dan =. Berdasarkan Teorema 2, grup S M adalah grup simetrik yang dinotasikan dengan S 96!. 3.5 Homomorfisma Grup Rubik Revenge Grup H adalah grup pergerakan rubik dengan operasi * yang didefinisikan sebagai : untuk setiap, H berlaku ( )( ) = ( ) = ( ( )), P. Grup permutasi simetri S 96 adalah grup dengan operasi yang didefinisikan sebagai perkalian permutasi yaitu untuk setiap, S 96 berlaku ( )( ) = ( ( )), M. Didefinisikan : H S 96 dengan Dengan,,,,,,,,,,, dapat dilihat pada Lampiran 4. Akan dibuktikan adalah homomorfisma grup dari H ke S 96. Bukti : Ambil sebarang, H. Akan ditunjukkan ( * ) =. Himpunan S = {,,,,,,,,,,, } adalah generator dari grup H maka = * * * * * * * * * * * dengan a i, i = 1, 2,, 12, dan = * * * * * * * * * * * dengan b i, i = 1, 2,, 12. Dari definisi dan diatas maka θ( ) = θ( * * * * * * * * * * * ) = θ( ) = θ( * * * * * * * * * * * ) = Terlebih dulu akan dibuktikan (( * * * * * * * * * * * ) * ( * * * * * * * * * * * ))( ) = ( * * * * * * * * * * * ) * ( ( ( ( ( ( ))))))))))))) = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ))))))))))))) = ( * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * )( )

19 8 Sehingga terbukti bahwa (( * * * * * * * * * * * ) * ( * * * * * * * * * * * )) = ( * * * * * * * * ** * * * * * * * * * * * * * * ) Selanjutnyan akan dibuktikan ( * ) = ( ) ( ). Dari definisi ( ) dan ( ) diatas maka ( * ) = (( * * * * * * * * * * * ) * ( * * * * * * * * * * * )) = ( * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ) =... (i) ( ) ( ) = ( * * * * * * * * * * * ) ( * * * * * * * * * * * ) = ( ) ( ) =... (ii) Dari ( i ) dan ( ii ) dapat dibuktikan bahwa ( * ) = ( ) ( ). Sehingga, terbukti bahwa adalah homomorfisma grup H S 96. Berikut akan diberikan contoh bahwa adalah homomorfisma grup dari H ke S 96. Contoh. Akan ditunjukkan ( = ( ) ( ) dengan ( ) =. ( = (( ) ) = ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 3 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 = ( ) 3 = ) 3

20 9 ) ( ) = (( ) ) (( ) ) = ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 3 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 = ( ) 3 = ) 3 IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan Himpunan H adalah sebuah grup dengan operasi fungsi komposisi yaitu untuk setiap, H dan adalah posisi rubik maka berlaku : ( * )( ) = * ( ( )). Grup H adalah grup infinit, untuk menyederhanakannya terdapat himpunan S = {,,,,,,,,,,, } yang berorder empat sebagai generator. Permutasi pada himpunan M adalah pemetaan bijektif dari M ke M. Himpunan M adalah himpunan tak kosong dan S M = {,,, } adalah himpunan semua permutasi permutasi dari M. Maka S M merupakan grup di bawah operasi perkalian permutasi. S M disebut grup simetri dan dinotasikan dengan S 96 karena M adalah himpunan hingga dengan banyak unsur 96. Terdapat homomorfisma grup dari grup H ke grup permutasi simetri S 96 dapat ditunjukkan dengan fungsi θ : H S 96 yang didefinisikan sebagai ( ) = 4.2 Saran Karya ilmiah ini membahas tentang homomorfisma grup pada rubik revenge. Bagi yang berminat membuat karya ilmiah terkait rubik revenge dapat menunjukkan teori grup lainnya seperti kernel grup, struktur grup, grup faktor dan isomorfisma grup.. DAFTAR PUSTAKA Dummit DS Abstract Algebra. New Jersey: Englewood Cliffs. Fraleigh JB A First Course In Abstract Algebra. United States of America: Wesley Publishing. Larsen ME Rubik s Revenge : The Group Theoretical Solution. The American Mathematical Monthly; 92: Rotman JJ Advanced Modern Algebra. New Jersey: Prentice Hall. Stewart J Kalkulus. Jakarta: Erlangga.

21 LAMPIRAN 10

22 11 Lampiran 1 Ilustrasi pergerakan rubik Fungsi didefinisikan sebagai yaitu pergerakan sisi bagian depan rubik searah jarum jam sejauh ( ) =, ϵ P ( ) =, ϵ P ( ) =, ϵ P

23 12 Lampiran 2 Ilustrasi order rubik Fungsi didefinisikan sebagai pergeraakn ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = Rubik akan kembali pada posisi ( posisi awal ) setelah mengalami empat kali pergerakan.

24 13 Lampiran 3 Jaring-jaring Kubus

25 14 Lampiran 4 Pemetaan Bijektif dari M ke M = Permutasi dari rotasi 0 0 pada U = Permutasi dari rotasi 90 0 pada U = Permutasi dari rotasi pada U

26 = Permutasi dari rotasi pada U = Permutasi dari rotasi 0 0 pada D

27 16 = Permutasi dari rotasi 90 0 pada D = Permutasi dari rotasi 180 pada D

28 = Permutasi dari rotasi pada D = Permutasi dari rotasi 0 0 pada F = Permutasi dari rotasi 90 0 pada F

29 = Permutasi dari rotasi pada F = Permutasi dari rotasi pada F

30 = Permutasi dari rotasi 0 0 pada B = Permutasi dari rotasi 90 0 pada B

31 = Permutasi dari rotasi pada B = Permutasi dari rotasi pada B

32 21 = Permutasi dari rotasi 0 0 pada R = Permutasi dari rotasi 90 0 pada R = Permutasi dari rotasi pada R

33 = Permutasi dari rotasi pada R = Permutasi dari rotasi 0 0 pada L

34 23 = Permutasi dari rotasi 90 0 pada L = Permutasi dari rotasi pada L

35 = Permutasi dari rotasi pada L = Permutasi dari rotasi 0 0 pada = Permutasi dari rotasi 90 0 pada

36 = Permutasi dari rotasi pada = Permutasi dari rotasi pada

37 = Permutasi dari rotasi 0 0 pada = Permutasi dari rotasi 90 0 pada

38 27 = Permutasi dari rotasi pada = Permutasi dari rotasi pada

39 28 = Permutasi dari rotasi 0 0 pada = Permutasi dari rotasi 90 0 pada = Permutasi dari rotasi pada

40 = Permutasi dari rotasi pada = Permutasi dari rotasi 0 0 pada

41 30 = Permutasi dari rotasi 90 0 pada = Permutasi dari rotasi pada = Permutasi dari rotasi pada

42 = Permutasi dari rotasi 0 0 pada = Permutasi dari rotasi 90 0 pada

43 = Permutasi dari rotasi pada = Permutasi dari rotasi pada

44 = Permutasi dari rotasi 0 0 pada = Permutasi dari rotasi 90 0 pada = Permutasi dari rotasi pada

45 = Permutasi dari rotasi pada

46 35