TUGAS AKHIR SM 1330 GRUP ALTERNATING A. FARIS UBAIDILLAH NRP Dosen Pembimbing Dr. Subiono, MS.

Transkripsi

1 TUGAS AKHIR SM 1330 GRUP ALTERNATING A. FARIS UBAIDILLAH NRP Dosen Pembimbing Dr. Subiono, MS. JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2009

2 TUGAS AKHIR SM 1330 GRUP ALTERNATING A.FARIS UBAIDILLAH NRP Dosen Pembimbing Dr. Subionono, MS. JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2009 i

3 FINAL PROJECT - SM 1330 ALTERNATING GROUP A. FARIS UBAIDILLAH NRP Supervisor Dr. Subiono, MS. MATHEMATICS DEPARTMENT Mathematics and Science Faculty Sepuluh Nopember Institut of Technology Surabaya 2009 ii

4 LEMBAR PENGESAHAN GRUP ALTERNATING TUGAS AKHIR Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Bidang Minat Analisis dan Aljabar Program Studi S-1 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Oleh: A. FARIS UBAIDILLAH NRP Disetujui oleh Pembimbing Tugas Akhir: Dr. Subiono, MS. ( ) NIP SURABAYA, Agustus 2009 iii

5 GRUP ALTERNATING Nama Mahasiswa : A. Faris Ubaidillah NRP : Jurusan : Matematika ITS Dosen Pembimbing : Dr. Subiono, MS ABSTRAK Misalkan S { 1,2,... n} dan S n adalah himpunan dari semua fungsi bijektif f : S S, maka S n dengan operasi komposisi fungsi merupakan suatu grup, grup ini dinamakan grup permutasi dari S. Misalkan f ( 1) a1, f (2) a2,... f ( n) an, dimana a j S dengan j 1,2,..., n. Keadaan yang demikian ini dinotasikan oleh f 1 a 1 a n a n. Dalam Tugas Akhir ini dibahas grup alternating A n yaitu grup yang terbentuk dari himpunan semua permutasi genap dari S terhadap operasi komposisi fungsi. Selanjutnya ditunjukkan bahwa An merupakan subgrup dari Sn dan diturunkan order dari A n. Kata Kunci: Operasi Biner, Permutasi, Sikel, Grup iv

6 ALTERNATING GROUP Name : A. Faris Ubaidillah Nrp : Department : Matematika ITS Supervisor : Dr. Subiono, MS Abstract Suppose that S { 1,2,... n} and Sn is set of all bijective functions on f : S S, then Sn with functions compotition operation is a group. This group called permutation group. Suppose f ( 1) a1, f (2) a2,... f ( n) an, where a j S with j 1,2,..., n.this condition notated by This Final Project explained about alternating group A n, group that is formed from set of all even permutation of S with functions compotition operation. Next showed that A is subgroup of Sn and derived order of A n. Keywords : Binary Operation, Permutation, Circle, Group, Subgroup., f 1 a 1 a 2 n n a n. v

7 KATA PENGANTAR Alhamdulillahirobbil alamin, puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan kasihnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir yang berjudul Grup Alternating yang merupakan salah satu syarat kelulusan dalam menempuh program S1 -jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya. Banyak pihak yang membantu penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini. Oleh karena itu, penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada: 1. Bapak Prof. DR. Basuki Widodo, MSc selaku ketua jurusan. 2. Bapak Dr. Subiono,MS selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktunya untuk memberi bimbingan dengan sabar dan penuh amanah. 3. Ibu Dra. Laksmi Prita selaku dosen wali. 4. Ibu Dra Rinurwati. Msi selaku koordinator Tugas Akhir. 5. Bapak ibu dosen, serta staf Tata Usaha Jurusan Matematika ITS. 6. Ibunda tercinta yang telah memberikan segenap perhatian untuk mendidik dan memberikan dorongan moral dan do a yang tak ada hentinya untuk penulis. Penulis yakin bahwa penulisan laporan ini masih banyak kekurangan dan kesalahan, akan tetapi penulis sudah berusaha semaksimal mungkin dalam menyusun laporan ini. Oleh karena itu penulis meminta saran dan kritik dari pembaca laporan ini. Surabaya, Agustus 2009 Penulis vi

8 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i LEMBAR PENGESAHAN iii ABSTRAK... iv ABSTRACT... v KATA PENGANTAR vi DAFTAR ISI... vii DAFTAR GAMBAR.. ix DAFTAR TABEL... x DAFTAR NOTASI... xi BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan dan Manfaat Sistematika Penulisan.. 2 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pemetaan Operasi Biner Relasi Ekivalensi Grup Subgrup Grup Siklik Koset Kelas Ekivalensi Subgrup Normal Grup Faktor Homomorfisma Grup.. 21 BAB III METODOLOGI 3.1 Langkah Pengerjaan Diagram Alir Pengerjaan Tugas Akhir 26 BAB IV GRUP PERMUTASI 4.1 Grup Permutasi vii

9 BAB V GRUP ALTERNATING 5.1 Sikel dari Permutasi Permutasi Genap Ganjil Grup Alternating BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN 6.1 Kesimpulan Saran.. 50 DAFTAR PUSTAKA viii

10 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1 Fungsi bijektif dari X ke X... 4 Gambar 3.1 Diagram alir pengerjaan Tugas Akhir ix

11 DAFTAR TABEL Halaman Tabel Operasi Biner pada G { 1, 1, i, i} Tabel Operasi Biner pada S x

12 DAFTAR NOTASI Notasi Nama ( G,*) Grup G dengan operasi biner * Elemen Untuk setiap Sedemikian hingga Maka Z S n Bilangan bulat Grup permutasi dengan n elemen Himpunan bagian Subgrup Subgrup Normal Isomorfis f : A B Fungsi dari A ke B G A n Order dari grup G Grup Alternating dari himpunan dengan n elemen Tidak sama dengan xi