SEMIGRUP BEBAS DAN MONOID BEBAS PADA HIMPUNAN WORD. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univeritas Riau Kampus Bina Widya Indonesia

Transkripsi

1 SEMIGRUP BEBS DN MONOID BEBS PD HIMPUNN WORD Novia Yumitha Sarie, Sri Gemawati, Rolan Pane Mahasiswa Program S Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan lam Univeritas Riau Kampus Bina Widya 893 Indonesia *noviayumitha@yahoocom BSTRCT In this paper we discuss the characteristics of free semigroup and free monoid related to word set The discussion begins with some homomorphism theorems and a criterion for freeness of semigroup and monoid ll characteristics of free semigroup and free monoid are expressed on some theorems ll discussions in this paper refer back to Harju [4] Keywords: Homomorphism Theorem, Criterion For Freeness, Word Set BSTRK Dalam artikel ini dibahas sifat-sifat semigrup bebas dan monoid bebas yang himpunannya merupakan himpunan word Pembahasan dimulai dengan pembuktian beberapa teorema homomorfisma dan kriteria bebas untuk semigrup dan monoid Semua sifat semigrup bebas dan monoid dinyatakan dalam bentuk teorema Semua pembahasan dalam artikel ini mengacu pada Harju [4] PENDHULUN Gagasan fundamental dari himpunan, pemetaan, operasi biner dan relasi biner sangat diperlukan untuk mempelajari struktur aljabar Suatu struktur aljabar adalah himpunan tak kosong dimana terdapat sedikitnya satu relasi ekivalen dan satu atau lebih operasi biner yang dapat didefinisikan di dalamnya Salah satu kasus struktur aljabar adalah semigrup Semigrup adalah suatu struktur aljabar dengan operasi biner yang bersifat asosiatif Operasi biner pada semigrup S sering dinotasikan dengan, yang memetakan tiap pasangan berurutan x, y S S ke suatu elemen x y S Suatu semigrup yang mempunyai identitas disebut monoid Dalam [] dan [4], misalkan diketahui S adalah sebarang semigrup dan subsemigrup dari S yang membangun S secara bebas Semigrup S

2 merupakan suatu semigrup bebas jika diketahui suatu pemetaan yang dapat diperluas menjadi suatu homomorfisma yang berlaku pada semigrup tersebut Dengan konsep yang sama, dapat dibentuk pula suatu monoid bebas Dalam karya tulis ini diperkenalkan suatu himpunan word yang anggotanya disebut letter, kemudian menguraikan sifat-sifat semigrup bebas dan monoid bebas dalam bentuk himpunan word, yang diambil dari buku yang berjudul Lecture Notes on Semigroups karangan Tero Harju [4] SEMIGRUP DN SEMIGRUP BEBS Konsep-konsep yang dibahas dalam karya tulis ini merupakan materi-materi pendukung yang diambil dari beberapa referensi yaitu [3], [5] dan [6] Definisi Himpunan Himpunan adalah suatu kumpulan objek, baik kongkrit maupun abstrak, dengan syarat keanggotaan tertentu Objek-objek dalam himpunan tersebut dinamakan anggota atau elemen himpunan Definisi Operasi Biner Diketahui S suatu himpunan tak kosong Suatu operasi biner pada himpunan S adalah pemetaan dari S S menuju S, ditulis : S S S Untuk pasangan a, b S S dengan a, b S, peta pemetaan ini disebut hasil operasi biner dan dinotasikan dengan a b Definisi 3 Relasi Biner Suatu relasi pada himpunan tak kosong adalah himpunan tak kosong R dari pasangan berurutan a, b dengan a, b Jika pasangan a, b terdapat dalam R, maka ditulis arb dan dikatakan a berelasi R dengan b Definisi 4 Relasi Ekivalen Suatu relasi R pada himpunan disebut relasi ekivalen jika memenuhi sifat-sifat berikut Refleksif ; yaitu, untuk setiap x berlaku xrx, Simetris ; yaitu, untuk setiap x, y jika xry maka yrx, Transitif ; yaitu, untuk setiap x, y, z, jika xry dan yrz maka xrz Dalam [] konsep semigrup dan monoid diberikan sebagai berikut Definisi 5 Semigrup Misalkan S suatu himpunan dan : S S S adalah operasi biner yang memetakan tiap pasangan x, y S S ke suatu elemen x y S Himpunan S adalah suatu semigrup dengan operasi didefinisikan di dalamnya, biasanya dinotasikan dengan S, atau dengan S saja, jika operasi memenuhi sifat asosiatif, yakni untuk setiap x, y, z S berlaku : x y z x y z Definisi 6 Subsemigrup Untuk suatu subhimpunan didefinisikan S x x xn n, xi, S dengan Ø

3 dimana S adalah subsemigrup dari S, dan dikatakan sebagai subsemigrup yang dibangun oleh Definisi 7 Monoid Monoid adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas Secara umum dalam [4] monoid didefinisikan sebagai berikut: S jika S suatu monoid, S { e} jika S bukan monoid, dengan e adalah elemen identitasnya Dalam [4] konsep kongruen, semigrup kuosien dan sifat homomorfisma diberikan sebagai berikut Definisi 8 Kongruen Suatu relasi ekivalen R pada semigrup S dikatakan kongruen kiri jika xry zx R zy untuk setiap x, y, z S dan dikatakan kongruen kanan jika xry xz R yz untuk setiap x, y, z S Jika relasi R kongruen kiri dan kanan, maka R dikatakan kongruen di S Definisi 9 Semigrup Kuosien Misalkan R suatu kongruen pada semigrup S, dan misalkan S / R { xr : x S} adalah himpunan semua kelas kongruensi dari R Semigrup kuosien dengan domain S / R didefinisikan sebagai berikut: xr yr x y R untuk setiap x, y S Definisi Homomorfisma Misalkan diketahui sebarang semigrup S, dan P, Pemetaan f : S P dikatakan suatu homomorfisma jika f x y f x f y untuk setiap x, y S Definisi Misalkan S, dan P, sebarang semigrup Jika terdapat suatu homomorfisma : S P, maka : Jika bersifat injektif, maka merupakan suatu monomorfisma Jika bersifat surjektif, maka merupakan suatu epimorfisma 3 Jika bersifat bijektif, maka merupakan suatu isomorfisma Dalam [] konsep restriksi, semigrup bebas dan himpunan word diberikan sebagai berikut Definisi Restriksi Misalkan S, dan P, sebarang semigrup Untuk suatu pemetaan : S P notasikan sebagai restriksi dari ke subhimpunan S, yakni, : P yang didefinisikan dengan x x dengan x Definisi 3 Semigrup Bebas Misalkan diketahui S sebarang semigrup Himpunan bagian S membangun S secara bebas jika terdapat pemetaan : P, dengan P sebarang semigrup, yang dapat diperluas menjadi suatu homomorfisma : S P sehingga Maka S dikatakan suatu 3

4 semigrup bebas dan pemetaan dikatakan sebagai perluasan homomorfisma dari pemetaan Definisi 4 Himpunan Word Misalkan adalah suatu himpunan alfabet yang anggotanya disebut letter/huruf Sebarang barisan hingga dari letter disebut word dari Himpunan semua word dari, sedikitnya satu letter, dinotasikan dengan Tiap elemen dari mempunyai panjang sedikitnya satu letter dan sebanyak-banyaknya adalah tak hingga Contoh Misalkan diketahui himpunan alfabet { a, b}, maka himpunan word dari adalah : { a, b, ab, ba, aa, bb, aaa, aab,} Dalam [5], teorema homomorfisma, teorema kernel, teorema monomorfisma dan teorema fundamental homomorfisma diberikan sebagai berikut Teorema Misalkan S, dan P, sebarang semigrup dan pemetaan : S P adalah suatu homomorfisma, jika S, maka S P Bukti Dapat dilihat pada [4] Teorema Misalkan S,, P, dan T, sebarang semigrup Jika pemetaan : S P dan : P T adalah suatu homomorfisma, maka pemetaan : S T juga suatu homomorfisma Bukti Dapat dilihat pada [4] Misalkan S, dan P, sebarang semigrup Untuk suatu homomorfisma : S P, didefinisikan relasi kernelnya sebagai berikut: ker { x, y x y} dengan x, y S Teorema 3 Misalkan S, dan P, sebarang semigrup Untuk suatu homomorfisma : S P, ker adalah kongruen di S Bukti Dapat dilihat pada [4] Teorema 4 Misalkan S, suatu semigrup dengan R kongruen di S Pemetaan : S S R yang didefinisikan dengan x xr dengan x S, merupakan suatu epimorfisma Bukti R kongruen di S, maka untuk setiap x, y S berlaku x y x y R xr yr x y Maka adalah suatu homomorfisma Kemudian, ambil sebarang u xr S R, maka terdapat x S sedemikian hingga x u Karena u sebarang elemen dalam S R, maka 4

5 pemetaan surjektif Pemetaan adalah suatu homomorfisma dan bersifat surjektif, maka adalah suatu epimorfisma Teorema 5 Misalkan S, dan P, sebarang semigrup dan terdapat suatu homomorfisma : S P Terdapat suatu monomorfisma tunggal : S ker P sehingga diagram pada Gambar berlaku S P S ker Gambar Diagram komutatif Bukti Misalkan R ker dan : S S R adalah suatu homomorfisma Definisikan : S R P dengan xr x untuk setiap x S terdefinisi dengan baik, yakni untuk setiap x, y S, pilih xr yr dengan x, y ker Maka, x, y ker x y xr yr Tiap xr mempunyai nilai tertentu di P, yang secara independen merepresentasikan kelas kongruensi xr Kemudian, xr yr x y R x y x y xr yr Maka, merupakan suatu homomorfisma Selanjutnya, untuk setiap x, y ker berlaku : x y xr yr Tiap pemetaan xr memasangkan secara tunggal x dengan x S Maka xr merupakan pemetaan injektif Misalkan terdapat : S R P sebarang monomorfisma yang lainnya, maka, dan x xr untuk setiap x S Namun ini berarti bahwa Jadi, pemetaannya adalah tunggal Teorema 6 Teorema Fundamental Homomorfisma Misalkan S, dan P, sebarang semigrup dan terdapat suatu homomorfisma : S P dengan ker kongruen di S Maka S ker isomorfik dengan P Bukti Dari Teorema 5, terdapat suatu monomorfisma tunggal : S ker P kan ditunjukkan bahwa pemetaan juga surjektif sehingga merupakan suatu isomorfisma 5

6 Dari Teorema 4, pemetaan : S S R merupakan suatu epimorfisma mbil sebarang y P dengan x y Diagram komutatif pada Gambar berlaku, maka : x x x y u y Untuk setiap y P terdapat u S R sedemikian hingga u y Jadi, pemetaan surjektif Karena merupakan suatu monomorfisma dan juga bersifat surjektif, maka merupakan suatu isomorfisma 3 SEMIGRUP WORD BEBS Pada himpunan, didefinisikan operasi biner sebagai suatu rangkaian berurutan catenation dari elemen-elemen Operasi rangkaian pada diilustrasikan sebagai berikut: Untuk setiap a, b, terdapat elemen w, w, dengan w aa a dan m w bb b, m, n n, yang memenuhi: w b w w w aa am bb bn aa ambb n i j Karena operasi biner pada merupakan suatu rangkaian berurutan catenation dari elemen-elemennya, maka sifat asosiatif berlaku, yakni untuk setiap w, w, w3, dengan w 3 cc c dan c, k, diperoleh: p k w w w a a a b b b c c c Maka, 3 m n p merupakan suatu semigrup aa am bb bncc c p aa ambb bncc c p a a a b b b c c c m n a am bb bn cc w w w3 a c Misalkan terdapat sebarang semigrup S, : S Karena membangun homomorfisma : S dengan : w a a a m a a am p p dan sebarang pemetaan, maka dapat didefinisikan suatu Karena restriksi terpenuhi maka dari Definisi, himpunan merupakan suatu semigrup bebas Teorema 7 Misalkan sebarang relasi pada semigrup bebas pada himpunan alfabet, dengan R, R kongruen di : R suatu homomorfisma Misalkan pula yang dibangun oleh R dan S, sebarang semigrup, 6

7 dan : S suatu homomorfisma dengan u v untuk setiap u, v R Maka terdapat suatu homomorfisma : R S sehingga berlaku Bukti Dari hipotesis teorema, pemetaan : S adalah suatu homomorfisma dengan u v untuk setiap u, v R Maka R Karena R adalah kongruen terkecil di yang memuat R, dan adalah kongruen, maka R, sehingga untuk setiap w, w R diperoleh w w Kemudian definisikan pemetaan : w w, untuk setiap R S dengan w terdefinisi dengan baik, yakni untuk setiap w, w dengan w, w R pilih w w, maka w w w w, Domain adalah semua elemen di R karena setiap elemen di R mempunyai bentuk wr dengan w Maka terpenuhi Kemudian, akan ditunjukkan bahwa suatu homomorfisma Untuk sebarang elemen w, w, diperoleh w w ww R w w w w w w Maka adalah suatu homomorfisma Teorema 8 Untuk setiap semigrup S, terdapat suatu himpunan alfabet dan suatu epimorfisma : S Bukti Misalkan sebarang himpunan yang membangun S, pilih S dan suatu himpunan alfabet dengan, dan misalkan pemetaan : adalah suatu pemetaan bijektif Dari Definisi, mempunyai suatu perluasan homomorfisma : S Karena S S S, maka pemetaan surjektif adalah suatu homomorfisma surjektif, sehingga merupakan suatu epimorfisma Teorema 9 Setiap semigrup isomorfik dengan suatu semigrup word kuosien Yakni, untuk suatu epimorfisma : S maka S isomorfik dengan ker 7

8 Bukti Dari Teorema 5, dalam bentuk himpunan word dapat dibuat diagram komutatifnya seperti terlihat pada Gambar S ker Gambar Diagram komutatif Terdapat suatu monomorfisma tunggal pemetaan : ker S Dari Teorema 4, : R merupakan suatu epimorfisma dan dari Teorema 8, pemetaan : S juga merupakan suatu epimorfisma mbil sebarang y S dengan x y Diagram komutatif pada Gambar berlaku, maka: x x x y u y Untuk setiap y S terdapat u S R sedemikian hingga u y Maka pemetaan surjektif Karena merupakan suatu monomorfisma dan juga bersifat surjektif, maka merupakan suatu isomorfisma Teorema Suatu semigrup S adalah bebas jika dan hanya jika S isomorfik ke suatu semigrup word untuk suatu alfabet Bukti Misalkan S dibangun secara bebas oleh suatu subhimpunan S, dan adalah suatu himpunan alfabet dengan : dan misalkan pemetaan adalah suatu pemetaan bijektif Karena membangun secara bebas, maka dari Teorema 3 terdapat suatu perluasan epimorfisma : S Pemetaan : perluasan epimorfisma epimorfisma, dimana juga merupakan suatu pemetaan bijektif, yang memiliki : S Komposisi : adalah suatu Kemudian, pemetaan : diperluas secara tunggal ke suatu homomorfisma :, dan oleh karena itu tunggal ke, yakni, Maka suatu isomorfisma juga diperluas secara dan suatu bijeksi, sehingga Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa jika S isomorfik ke suatu semigrup word untuk suatu alfabet, maka S adalah suatu semigrup bebas Misalkan 8

9 terdapat suatu isomorfisma : S Maka S S, dan mempunyai pemetaan invers : S, yang juga merupakan suatu isomorfisma Notasikan : P dan Misalkan P sebarang semigrup, dan suatu pemetaan yang dapat diperluas secara tunggal ke suatu homomorfisma : P Kemudian, notasikan pemetaan : S P Dari Teorema, pemetaan adalah suatu homomorfisma, sehingga untuk setiap x, x x x x dan oleh karena itu, yakni, adalah suatu perluasan homomorfisma dari Dari Definisi, S dibangun secara bebas oleh Misalkan S suatu semigrup Elemen s S dikatakan decomposable dapat diurai jika terdapat elemen s, s S sehingga s s s Himpunan semua elemen decomposable dari S dinotasikan dengan : S S S s s : s, s S} { Kemudian, didefinisikan BasisS sebagai himpunan semua elemen x S membangun S, yakni : Basis S S \ S { x yz : x, y, z S} yang Teorema Suatu semigrup S adalah bebas jika dan hanya jika BasisS membangun S secara bebas Bukti Misalkan subsemigrup yang membangun S secara bebas dengan elemen-elemen berupa letter Karena tiap elemen adalah letter yang panjangnya satu dari elemen-elemen yang ada dan tiap elemen S panjangnya sekurang-kurangnya dua, maka S \ S Selanjutnya, karena sebarang elemen S yang merupakan perkalian dua atau lebih elemen termasuk S, maka S S \ Jadi S \ S, yang berarti bahwa BasisS membangun S secara bebas Kemudian, misalkan BasisS membangun S secara bebas Maka terdapat sebarang semigrup P dan pemetaan : Basis S P yang dapat diperluas menjadi suatu homomorfisma : S P sedemikian hingga Basis S Dari Definisi, S merupakan suatu semigrup bebas 4 MONOID WORD BEBS Dari Definisi 7, Monoid adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas Secara umum dalam [4] monoid didefinisikan sebagai berikut : S S { e} jika S suatu monoid, jika S bukan monoid, 9

10 dengan e adalah elemen identitasnya Definisi 5 Suatu monoid dikatakan monoid bebas jika dibangun secara bebas oleh suatu subhimpunan dengan e Jika { e S ' } adalah himpunan generator untuk S ', dan terdapat pemetaan : P, dengan P sebarang monoid, yang dapat diperluas ke suatu homomorfisma : P sehingga dan es ' ep Maka bebas dan pemetaan dikatakan sebagai perluasan homomorfisma dari pemetaan Himpunan barisan hingga dari letter-letter dan memuat identitasnya dinotasikan dengan Sama halnya dengan himpunan, pada himpunan operasi biner didefinisikan sebagai suatu rangkaian berurutan catenation dari elemen-elemennya Elemen identitasnya dinotasikan dengan e Sehingga, merupakan suatu monoid Jika e, maka { e } merupakan himpunan generator untuk Misalkan terdapat sebarang monoid Untuk sebarang homomorfisma w a a a m dengan a i : S ' dengan w aa a a dan sebarang pemetaan : ' m a am S, dapat didefinisikan suatu Restriksi terpenuhi dan e es ', maka himpunan suatu monoid bebas merupakan Dalam [] dan [4] teorema-teorema yang berkaitan dengan monoid bebas diberikan sebagai berikut Teorema Jika S semigrup bebas, maka adalah monoid bebas Bukti Dengan menggunakan Definisi dan Definisi 4, maka pembuktian Teorema pun terpenuhi Teorema 3 Suatu monoid adalah monoid bebas jika dan hanya jika \{ e S ' } adalah suatu semigrup bebas Bukti Misalkan suatu monoid bebas yang dibangun secara bebas oleh dengan e S ' Maka \{ e S ' } adalah subsemigrup dari S ', dimana es ' xx xn dengan x i Misalkan pula terdapat pemetaan : yang dapat diperluas menjadi suatu homomorfisma S '\{ e } S sedemikian : ' hingga Dari Definisi, \{ e S ' } adalah suatu semigrup bebas Selanjutnya, misalkan \{ } adalah suatu semigrup bebas Terdapat sebarang semigrup e S ' dan pemetaan : yang dapat diperluas menjadi

11 suatu homomorfisma : S '\{ e } S ' sedemikian hingga Kemudian, elemen identitas { e S ' } dapat ditulis sebagai e S ' xx xn dengan x i, dimana e x x x S ' n x x xn yang juga memenuhi sifat homomorfisma Oleh karena itu, pemetaan :, dimana adalah suatu monoid, dapat diperluas menjadi suatu homomorfisma Maka : sedemikian hingga merupakan suatu monoid bebas dengan e S ' e Teorema 4 Suatu monoid bebas jika dan hanya jika word bebas untuk suatu alfabet isomorfis ke monoid Bukti Dengan menggunakan Definisi 4 dan pembuktian Teorema, maka pembuktian Teorema 4 pun terpenuhi 5 KESIMPULN Dari artikel ini dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut : Suatu semigrup dapat diidentifikasi apakah semigrup tersebut dibangun secara bebas atau tidak berdasarkan sifat-sifat bebasnya, Hubungan antara suatu semigrup word bebas dengan sebarang semigrup dapat diidentifikasi berdasarkan jenis pemetaan yang berlaku di antara kedua semigrup tersebut, 3 Dari suatu semigrup word bebas dapat dibangun suatu monoid word bebas dengan menambahkan elemen identitas pada semigrup word bebas tersebut Hal ini juga berlaku untuk semigrup bebas biasa DFTR PUSTK [] Clifford, H & G B Preston 96 The lgebraic Theory of Semigroups Volume I merican Mathematical Society, US [] Clifford, H & G B Preston 967 The lgebraic Theory of Semigroups Volume II merican Mathematical Society, US [3] Gilbert, J & Linda Gilbert 99 Element of Modern lgebra, Third Edition PWS-KENT, US [4] Harju, T 996 Lecture Notes on Semigroups University of Turku, Finland [5] Judson, T W 997 bstract lgebra Theory and pplications Stephen F ustin State University, US [6] Setiawan, ljabar bstrak Teori Grup dan Teori Ring FMIP Universitas Kristen Satya Wacana, Salatiga