ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL. (Skripsi) Oleh ALI ABDUL JABAR

Transkripsi

1 ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL Skripsi Oleh ALI ABDUL JABAR FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017

2 ABSTRAK ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL Oleh ALI ABDUL JABAR Misalkan merupakan Ring merupakan Modul atas Ring Didefinisikan sebagai himpunan pemetaan operasi Jumlah Langsung Darap Langsung dari modul atas Ring Diperoleh kesimpulan bahwa terdapat suatu pemetaan - Homomorfisma : yang bijektif sehingga -Homomorfisma : yang bijektif sehingga Kata Kunci : Modul Ring Jumlah Langsung Darap Langsung -Homomorfisma Bijektif

3 ABSTRACT ISOMORPHISM OF DIRECT SUM AND DIRECT PRODUCT TWO MODULES By ALI ABDUL JABAR Let be a Ring and and are Modules over Ring and are the sets of R-Homomorphism We have the results that there exist bijective -Homomorfisma : such that and bijective -Homomorfisma : such that Keywords: Module Ring Direct Sum Direct product -Homomorfisma Bijective

4 ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL Oleh Ali Abdul Jabar Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017

5

6

7

8 MOTTO Barang siapa bersungguh-sungguh sesungguhnya kesungguhannya itu adalah untuk dirinya sendiri QS Al-Ankabut [29]:6 Tiada keyakinan yang membuat orang takut menghadapi tantangan saya percaya pada diri saya sendiri Thomas Alfa Edison Orang-orang sukses telah belajar membuat diri mereka melakukan hal yang harus dikerjakan ketika hal itu memang harus dikerjakan entah mereka menyukainya atau tidak Adhlus Huxley

9 RIWAYAT HIDUP Penulis adalah anak kelima dari lima bersaudara dari Bapak Aceng Ibu Euis Yuyu yang dilahirkan pada 25 Juli 1994 di Kelurahan Iring Mulyo Kecamatan Metro Timur Kota Metro Penulis memulai pendidikan formalnya di TK Perwanida pada tahun 2000 kemudian dilanjutkan pada tingkat pendidikan dasar di SD Negeri 1 Metro Pusat pada tahun 2001 kemudian melanjutkan pendidikan tingkat menengah di SMP Negeri 2 Metro Timur pada tahun 2007 menyelesaikan pendidikan sekolah tingkat atas pada tahun 2013 di SMA Negeri 5 Metro Pusat Penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada tahun 2013 melalui jalur SNMPTN tertulis Selama menjadi mahasiswa penulis pernah menjadi pengurus di Himpunan Mahasiswa Matematika HIMATIKA sebagai anggota big keilmuan pada periode pengurus Rohani Islam ROIS sebagai anggota big kaderisasi periode Penulis juga pernah menjadi asisten pada mata kuliah kalkulus matematika diskrit Pada bulan Juli tahun 2016 Penulis melaksanakan kerja praktik di Perum BULOG Sub Divre Lampung Tengah di big administrasi keuangan selama empat minggu terhitung dari tangggal 18 Januari sampai tangal 15 Februari 2016

10 PERSEMBAHAN Dengan mengucapkan syukur kehadirat Allah SWT ku persembahkan karya ini sebagai tanda bukti cinta kasihku kepada : Bapak Aceng ibu Euis Yuyu tersayang yang telah membesarkan medidik selalu medoakan mencurahkan kasih sayangnya serta selalu ada dikala ku sedih senang dengan pengorbanan yang tulus ikhlas demi kebahagian keberhasilanku Kakak Adik Umi Kulsum Abdul Rahman Wahid serta keluarga beasrku yang telah memberikan semangat kepadaku Teman-teman yang selalu membuatku tertawa yang senantiasa memberikan doa seeamngat nasihatnya demi keberhasilanku Para pendidik yang telah mendidikku yang menjadikanku semakin berwawasan Alamamater Universitas Lampung

11 SANWACANA Puji syukur kepada Allah SWT atas izin ridho-nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini Sholawat serta salam selalu tercurahkan kepada baginda Nabi Muhammad SAW taula terbaik sepanjang masa Pada proses penyusunan skripsi yang berjudul Jumlah Langsung Dari Modul Yang Dibangun Secara Berhingga penulis memperoleh banyak dukungan kritik saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu diselesaikan Dalam kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada : 1 Bapak Prof Dr Warsito DEA selaku Dekan Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung; 2 Bapak Drs Tiryono Ruby MSc PhD selaku Ketua Jurusan Matematika; 3 Bapak Drs Suharsono MS MSc PhD selaku Pembimbing Utama atas kesediaan memberi ilmu waktu bimbingan saran kritik dalam proses menyelesaikan skripsi ini; 4 Bapak Dr Aang Nuryaman SSi MSi selaku Pembimbing Kedua atas waaktu saran bimbingan koreksi yang telah diberikan; 5 Bapak Agus Sutrisno SSi MSi selaku Penguji atas saran masukan dalam menyelesaikan skripsi ini; 6 Bapak Dr Muslim Ansori SSi MSi Pembimbing Akademik;

12 7 Kedua orang tua penulis Aceng Euis Yuyu yang telah memberikan kasih sayang materiil semangat motivasi spiritual dukungannya; 8 Kakak adik penulis Umi kulsum Abdul Rahman Wahid yang telah memberikan semangat motivasinya; 9 Rekan-rekan Matematika angkatan 2013 yang terus memberikan motivasi dukungan serta semangat terima kasih atas kebersamaan kebahagian pengalaman yang tidak terlupakan; 10 Semua pihak yang telah membantu penulis baik selama masa studi maupun dalam menyelesaikan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu Akhir kata penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan akan tetapi sedikit harapan semoga skripsi ini dapat berguana bemanfaat bagi pembaca Aamiin Bandar Lampung 15 Juni 2016 Penulis Ali Abdul Jabar

13 DAFTAR ISI DAFTAR NOTASI Halaman I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Masalah 1 12 Batasan Masalah 2 13 Tujuan Penelitian 2 14 Manfaat Penelitian 2 II TINJAUAN PUSTAKA 21 Grup 4 22 Ring Modul Homomorfisma Modul Jumlah Langsung Darap Langsung33 27 Category34 III METODOLOGI PENELITIAN 31 Waktu Tempat Metode Penelitian 36 IV HASIL DAN PEMBAHASAN 41 Darap Langsung Jumlah Langsung Merupakan R-Modul Darap Langsung Merupakan Product Pada Category R-modul Jumlah Langsung Merupakan Coproduct Pada Category R-modul R-isomorfisma Onto Darap Langsung R-homomorfisma merupakan R-modul Isomorfisma Darap Langsung Dan Jumlah Langsung 50 V KESIMPULAN DARTAR PUSTAKA

14 DAFTAR NOTASI R Himpunan bilangan real * Operasi biner Darap Langsung Homomorfisma R-modul dari M ke N Endomorfisma R-modul dari M Jumlah lansung ₒ Operasi Komposisi fungsi Kernel fungsi Image fungsi Fungsi identitas Pemetaan invers Categoty R-modul Himpunan indeks Indeks C Category

15 1 I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Masalah Ruang vektor dalam struktur aljabar diartikan sebagai himpunan vektor bersama-sama dengan dua operasi penjumlahan vektor perkalian skalar yang harus memenuhi beberapa aksioma Ruang vektor atas lapangan pada hakekatnya adalah grup komutatif yang dilengkapi dengan operasi pergandaan skalar dari lapangan Jika lapangan diganti dengan suatu Ring maka akan diperoleh suatu struktur aljabar yang baru yaitu Modul atas Ring Modul merupakan himpunan dengan operasi pergandaan skalar dari Grup Abel Ring dengan elemen satuan yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu Diberikan Grup Abel Ring dengan elemen satuan dioperasikan dengan operasi pergandaan skalar Dengan demikian belum tentu merupakan ruang vektor atas karena Ring belum tentu merupakan lapangan terhadap operasi pergandaan skalar Jadi Modul atas Ring merupakan generalisasi ruang vektor atas lapangan Modul atas Ring dibedakan menjadi dua yaitu Modul kiri Modul kanan atas suatu Ring Sama halnya dengan Grup atau Ring Modul juga memiliki Submodul Suatu Modul memiliki Submodul ; untuk setiap indeks himpunan indeks Pada Modul didefinisikan cartesian product yaitu Darap Langsung

16 2 direct product Jumlah Langsung direct sum Cartesian produk dari Submodul yaitu N disebut Darap Langsung atau direct product dinotasikan dengan Jumlah Langsung direct sum didefinisikan sebagai subset dari Darap Langsung direct product yang berisi elemen dimana 0 untuk hampir semua Jumlah Langsung direct sum tentu saja merupakan Submodul dari Darap Langsung direct product dinotasikan dengan jika {0} Inilah yang menjadi ketertarikan penulis untuk menyelidiki Isomorfisma Darap Langsung direct product Jumlah Langsung direct sum dari dua Modul 12 Batasan Masalah Pada penelitian ini akan diselidiki sifat-sifat Isomorfisma Darap Langsung Jumlah Langsung dari dua Modul 13 Tujuan Penelitian Adapun tujuan yang dilakukan dari penelitian ini yaitu mengkaji karakterisasi ataupun ciri-ciri Isomorfisma Darap Langsung Jumlah Langsung dari dua Modul 14 Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini adalah : 1 Menambah pengetahuan pengalaman penulis agar dapat mengembangkan ilmu yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan di Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

17 3 2 Memberikan sumbangan pemikiran dalam rangka memperluas memperdalam pengetahuan ilmu matematika khususnya Isomorfisma Jumlah Langsung Darap Langsung dua Modul 3 Memberikan motivasi bagi pembaca peneliti untuk mengkaji lebih dalam permasalahan yang berhubungan dengan struktur aljabar khususnya teori Modul

18 4 II TINJAUAN PUSTAKA 21 Grup Pengkajian pertama diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu Ring Modul Definisi 211 Diberikan himpunan operasi biner disebut Grup yang dinotasikan dengan jika memenuhi aksioma berikut : i ii iii untuk setiap bersifat asosiatif; Terdapat elemen e di yang disebut identitas di sedemikian sehingga Untuk setiap untuk setiap terdapat elemen ; sedemikian sehingga disebut invers dari Dummit Fotte 2004 Untuk lebih memahami definisi Grup berikut diberikan contohnya Contoh 212 Diberikan bilangan bulat positif ℤ { bahwa ℤ merupakan Grup ℤ} Akan ditunjukkan

19 5 i Akan ditunjukkan bahwa ℤ bersifat tertutup terhadap operasi Diberikan sebarang Jadi ℤ ℤ dengan untuk suatu ℤ ℤ bersifat tertutup terhadap operasi ℤ bersifat asosiatif terhadap ii Akan ditunjukkan bahwa elemen di Diberikan sebarang untuk suatu ℤ dengan ℤ sehingga: Jadi terbukti bahwa elemen di ℤ bersifat asosiatif terhadap operasi iii Akan ditunjukkan bahwa ℤ memiliki elemen identitas Untuk setiap 0 0 ℤ terdapat 0 ℤ sehingga untuk suatu ℤ Jadi elemen identitas di ℤ yaitu 0 iv Akan ditunjukkan setiap elemen di ℤ memiliki invers Diberikan sebarang 0 ℤ dengan akan ditentukan invers dari :

20 6 0 0 ℤ Jadi invers dari ℤ memiliki invers adalah Hal ini berakibat bahwa setiap elemen di Berdasarkan i-iv terbukti bahwa nℤ merupakan Grup Fraleigh 2000 Grup Abel Grup Komutatif merupakan salah satu bentuk Grup Berikut diberikan definisinya Definisi 213 Grup dikatakan Grup Abel Grup Komutatif jika setiap Dummit Foote 2004 untuk Dari pendefinisian Grup Abel berikut diberikan contohnya Contoh 214 Diberikan ; merupakan Grup Abel ℤ Akan ditunjukkan bahwa i Akan ditunjukkan bahwa Diberikan sebarang ; maka ; ℤ ℤ tertutup terhadap operasi

21 7 ii Akan ditunjukkan bahwa operasi Diberikan sebarang iii Akan ditunjukkan bahwa Untuk setiap ; terdapat maka ; 0 0 iv Akan ditunjukkan bahwa setiap elemen invers Diberikan sebarang berikut : 0 0 Jadi invers adalah 0 0 ℤ bersifat asosiatif terhadap ℤ memiliki elemen identitas maka ; ℤ memiliki akan ditentukan invers dari sebagai

22 8 v Akan ditunjukkan bahwa opersai Diberikan sebarang ; maka ℤ bersifat komutatif terhadap Berdasarkan i - v terbukti ; ℤ merupakan Grup Abel Contoh 215 Diberikan {[ {[ ]; ]; ℤ} Akan ditunjukkan bahwa ℤ} merupakan Grup Abel i Akan ditunjukkan bahwa Diberikan sebarang [ [ ][ ][ ii Akan ditunjukkan bahwa operasi Diberikan sebarang [ [ ] [ ][ {[ ] [ ]; ] maka ] {[ ] [ ℤ} tertutup terhadap operasi ] [ ]; ] [ ] maka ][ [ [ ℤ} bersifat asosiatif terhadap [ ][ ][ ] ] ] ] [ ]

23 9 {[ iii Akan ditunjukkan bahwa Untuk setiap [ [ ] [0 ]; ] terdapat [0 0] maka 0] [0 0] [ ][ iv Akan ditunjukkan bahwa setiap elemen di invers Diberikan sebarang [ ][ [ [ [ Jadi invers [ ] [0 0] ] [ ] [ ] [ Diberikan sebarang [ ][ [ Berdasarkan i-v terbukti Jadi terbukti bahwa Fraleigh 2000 ℤ} memiliki ] sebagai ] [0 0] ] adalah [ [ ]; ] {[ opersai ][ {[ ] v Akan ditunjukkan bahwa [ ] ] akan ditentukan invers dari [ berikut : [ ℤ} memiliki elemen identitas ] [ ; ]; ℤ} bersifat komutatif terhadap ] maka ] ][ {[ ] ] ] ]; ℤ ℤ} merupakan Grup Abel {[ ]; ℤ} Grup Abel

24 10 Grup memiliki Subgrup yang akan didefinisikan sebagai berikut: Definisi 215 Jika himpunan bagian dari jika perlakuan yang sama di Subgrup di dari Grup tertutup terhadap operasi biner di sama dengan di maka dapat dinotasikan dengan atau < Subgrup di Fraleigh Ring Pada bagian ini akan dibahas mengenai salah satu struktur aljabar yang terdiri atas satu himpunan dua operasi biner yaitu Ring Berikut diberikan definisinya Definisi 221 Himpunan R dengan dua operasi biner penjumlahan perkalian merupakan Ring jika memenuhi aksioma berikut: i ii iii merupakan Grup Abel; Operasi perkaliannya bersifat asosiatif yaitu setiap ; untuk Hukum distribusi terpenuhi di yaitu untuk setiap Dummit Foote 2004

25 11 Untuk lebih jelasnya diberikan contoh Ring sebagai berikut Contoh 222 Diberikan i ; Akan ditunjukkan bahwa operasi Diberikan sebarang ℎ ii Akan ditunjukkan bahwa terhadap operasi ℎ ; ℎ ℎ iii Akan ditunjukkan bahwa identitas terhadap operasi Untuk setiap terdapat merupakan Ring ℤ tertutup terhadap maka ℎ Diberikan sebarang ℤ Akan ditunjukkan ; maka ℤ bersifat asosiatif ℎ ℎ ℎ ; ℎ ℤ memiliki elemen 0 0 maka

26 12 iv Akan ditunjukkan bahwa setiap elemen di memiliki invers terhadap operasi sebagai berikut : Jadi invers terhadap operasi Diberikan sebarang ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℤ adalah v Akan ditunjukkan bahwa ; akan ditentukan invers dari Diberikan sebarang ; maka ℤ bersifat komutatif

27 13 vi Akan ditunjukkan bahwa terhadap operasi Diberikan sebarang ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℤ bersifat asosiatif maka ℎ ℎ kiri distributif kanan Diberikan sebarang ℎ vii Akan ditunjukkan bahwa ; ℎ ℎ ; ℤ bersifat ditributif ℎ ℎ maka ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ

28 14 Diberikan sebarang ℎ Berdasarkan i vii terbukti Fraleigh 2000 ℎ maka ℎ ℎ ℎ ℎ ; ℎ ℎ ℎ ℎ ℤ merupakan Ring Pada Ring terdapat elemen idempoten yang akan didefinisikan sebagai berikut Definisi 223 Suatu elemen idempoten Ring R disebut idempoten jika Setiap elemen merupakan elemen reguler jika terdapat Wisbauer 1991 maka Berikut diberikan beberapa contoh elemen idempoten pada suatu Ring Contoh 224 Jika sebagai merupakan regular untuk suatu idempoten Akan ditunjukkan bahwa maka dapat dinyatakan merupakan elemen

29 15 terdapat Untuk setiap Jadi terbukti bahwa sehingga merupakan elemen idempoten Jadi terbukti bahwa merupakan elemen idempoten 23 Modul Pada bagian ini akan dibahas mengenai Modul atas Ring Berikut diberikan definisinya Definisi 231 Diberikan Ring dengan elemen satuan Grup Abel dengan operasi pergandaan skalar disebut Modul atas Ring i jika merupakan Modul kiri Modul kanan disebut Modul kiri atas Ring jika untuk setiap memenuhi aksioma berikut ini: a b c d 1 ; ; ;

30 16 ii disebut Modul kanan atas Ring jika unutk setiap memenuhi aksioma berikut ini: a b c d 1 ; ; ; Adkinds Weintraub 1992 Berikut ini diberikan contoh-contoh Modul Contoh 232 Diberikan Ring ℝ Grup Abel ℝ sebagai berikut ℝ { ℝ} Akan ditunjukkan bahwa ℝ merupakan Modul atas Ring terhadap operasi pergandaan skalar Untuk memperlihatkan bahwa ℝ merupakan Modul atas Ring ℝ haruslah ℝ merupakan Modul kiri Modul kanan 1 Akan ditunjukkan ℝ merupakan Modul kiri atas Ring Didefinisikan operasi pergandaan skalar sebagai berikut: dengan ℝ i Diberikan sebarang dengan :ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ untuk setiap maka diperoleh

31 17 dengan Jadi ℝ ℝ untuk setiap ℝ ℝ ℝ ℝ maka diperoleh dengan maka diperoleh iii Diberikan sebarang ℝ ℝ untuk setiap Jadi ii Diberikan sebarang Jadi untuk setiap ℝ ℝ

32 18 iv Diberikan sebarang ℝ dengan maka diperoleh Jadi 1 untuk setiap ℝ Dari i-iv terbukti bahwa ℝ merupakan Modul kiri atas Ring 2 Akan ditunjukkan ℝ merupakan Modul kanan atas Ring Didefinisikan operasi pergandaan skalar sebagai berikut: dengan :ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ i Diberikan sebarang dengan Jadi ℝ untuk setiap untuk setiap maka diperoleh ℝ ℝ

33 19 ii Diberikan sebarang dengan maka diperoleh Jadi dengan untuk setiap ℝ ℝ untuk setiap iv Diberikan sebarang ℝ dengan 1 ℝ ℝ maka diperoleh iii Diberikan sebarang Jadi ℝ ℝ ℝ ℝ maka diperoleh 1 Jadi 1 untuk setiap ℝ Dari i-iv terbukti bahwa ℝ merupakan Modul kanan atas Ring ℝ ℝ merupakan Modul atas Ring ℝ

34 20 Contoh 233 Diberikan Ring Akan ditunjukkan ; ; ℤ ; ii Diberikan sebarang ℎ maka ; ℤ merupakan Modul kiri atas Ring i Diberikan sebarang ℤ Grup Abel ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ maka ℤ

35 21 iii Diberikan sebarang ℎ Berdasarkan i-iv terbukti ; ℤ ℎ dipilih ; ℎ 1 0 maka ℎ ℎ ℎ ℎ iv Diberikan sebarang ℎ ℎ ℎ 0 maka 1 ℤ merupakan Modul kiri atas Ring Contoh 234 Diberikan Ring {[ ]; ; ℤ} Akan ditunjukkan Modul kanan atas Ring i Diberikan sebarang [ ][ ℤ Grup Abel ] ; [ [ {[ ℤ ] [ ] [ ]; ℤ} merupakan ] maka ]

36 22 [ [ [ ii Diberikan sebarang [ ] ℎ [ iii Diberikan sebarang [ [ [ [ iv Diberikan sebarang [ ] 1 0 [ 0 1 [ Berdasarkan i-iv terbukti Ring ; ℎ [ ] ] {[ [ ][ [ ℎ [ ] ] [ ] ] ℤ ] ℎ [ ] ] ℎ ] ] ] maka ℎ] ] ℎ] ℎ] ℎ ] maka ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ] ℎ] ℎ dipilih ]; ][ [ ℎ ] [ [ [ 1 0 maka 0 1 ℤ} merupakan Modul kanan atas

37 23 Dimisalkan Ring Seperti yang telah diketahui untuk setiap untuk setiap Subring jika: Begitu pula dengan Modul Modul akan memiliki Submodul yang akan didefinisikan sebagai berikut: Definisi 235 Diberikan Ring dengan elemen satuan disebut Submodul -Submodul dari yang juga merupakan Modul atas merupakan Modul atas jika merupakan Subgrup dari dengan operasi yang sama di Adkins Weintraub 1992 Berdasarkan definisi ini dapat disimpulkan bahwa Submodul jika hanya jika: 1 Subgrup 2 tertutup terhadap operasi pergandaan skalar : yaitu untuk setiap Berikut ini contoh dari Submodul atas suatu Ring Contoh 236 Diberikan ℤ merupakan Modul atas Ring Akan ditunjukkan bahwa himpunan ℤ dengan ℕ merupakan Submodul dari ℤ

38 24 i Akan ditunjukkan bahwa ℤ merupakan Subgrup dari ℤ a Akan ditunjukkan bahwa operasi bersifat tertutup di ℤ Diberikan sebarang suatu xy ℤ ℤ dengan ℕ sehingga: untuk untuk ℤ Jadi terbukti bahwa operasi bersifat tertutup di ℤ b Akan ditunjukkan bahwa ℤ ℤ ambil Untuk setiap 0 0 ℤ 0 sehingga Jadi terbukti bahwa ℤ c Akan ditunjukkan untuk setiap Diberikan sebarang suatu ℤ ℤ Jadi terbukti ii ℤ ℤ dengan ℕ ℤ karena ℤ ℤ untuk setiap ℤ ℤ Akan ditunjukkan bahwa operasi pergandaan skalar tertutup di ℤ Diberikan sebarang maka: ℤ dengan ℤ untuk setiap ℤ Jadi terbukti bahwa operasi pergandaan skalar tertutup di ℤ ℕ

39 25 Berdasarkan i ii terbukti bahwa ℤ dengan ℕ merupakan Submodul dari ℤ Seperti halnya pada Grup dapat ditunjukkan bahwa irisan jumlahan dari dua Submodul juga membentuk Submodul seperti yang diberikan dalam lemma berikut ini Lemma 237 Misal Modul atas 1 Submodul maka: merupakan Submodul di 2 merupakan Submodul di Bukti 1 Karena Akibatnya 0 kosong merupakan Submodul di Diberikan sebarang Karena Karena Sehingga ℝ maka Jadi terbukti bahwa maka memenuhi masing-masing merupakan Submodul di memenuhi operasi pergandaan skalar yaitu mengakibatkan 0 bukan merupakan himpunan merupakan Submodul di Akibatnya maka 0 merupakan Submodul di maka yang

40 26 2 Karena merupakan Submodul di Akibatnya 0 kosong ℝ Diberikan sebarang Karena Sehingga merupakan Submodul di maka 0 0 bukan merupakan himpunan maka memenuhi Akibatnya Selanjutnya Karena masing-masing merupakan Submodul di maka memenuhi operasi pergandaan skalar yaitu yang mengakibatkan Jadi terbukti bahwa merupakan Submodul di Diberikan Ring R dengan elemen satuan pada bagian sebelumnya telah dijelaskan tentang Modul yang merupakan Modul kiri Suatu Submodul dapat dibangun oleh himpunan yang akan didefinisikan sebagai berikut 24 Homomorfisma Modul Modul merupakan generalisasi dari ruang vektor ditransformasikan linear pada ruang vektor juga dapat digeneralisasi pada Modul yang disebut dengan Homomorfisma Modul Homomorfisma Modul dapat dibentuk jika ada dua Modul atas Ring yang sama ada fungsi yang memetakan dua Modul tersebut Untuk lebih jelasnya akan definisikan mengenai Homomorfisma Modul

41 27 Definisi 241 Misalnya Ring 1 Pemetaan : Modul atas Ring merupakan Homomorfisma Modul jika memenuhi aksioma berikut: a b 2 Homomorfisma Modul dikatakan Monomorfisma jika fungsi injektif dikatakan Epimorfisma jika fungsi fungsi bersifat surjektif Jika bersifat injektif surjektif maka fungsi Isomorfisma Modul dikatakan dikatakan isomorfik dinotasikan jika terdapat Isomorfisma Modul dengan pemetaan : Foote 2004 Himpunan Homomorfisma dari yaitu Untuk { { bersifat ke dinotasikan sebagai atau didefinisikan kernel image dari Dummit 0} ] merupakan Submodul dari Wisbauer 1991 merupakan Submodul dari Untuk memperjelas definisi Homomorfisma Modul atas suatu Ring Pada halaman selanjutnya diberikan contoh Homomorfisma Modul

42 28 Contoh 242 Diberikan suatu ℤ ℤ[ ] keduanya merupakan ℤ-Modul Pemetaan ℤ ℤ[ ] dengan definisi dimana karena 1 2 ℤ merupakan Homomorfisma Modul untuk setiap untuk ℤ ℤ ℤ Proposisi 243 Diberikan 1 Pemetaan hanya jika 2 Diberikan untuk setiap Selanjutnya Modul atas Ring adalah Homomorfisma Modul atas Ring Kemudian dengan operasi ini Ring komutatif maka untuk setiap didefinisikan dengan perlakuan ini merupakan Grup Abel dengan 3 Jika oleh didefinisikan disebut Grup Abel Jika untuk setiap jika oleh yang Ring Komutatif merupaka -Modul maka

43 29 Bukti adalah Homomorfisma -Modul maka 1 Jika Sebaliknya jika diperoleh Jadi maka dengan mengambil diperoleh Selanjutnya dengan mengambil 1 0 merupakan Homomorfisma -Modul 2 Mengulas lagi untuk memperlihatkan bahwa semua Grup Abel aksioma R-Modul yaitu dengan menggunakan definisi Ring Komutatif untuk menunjukkan digunakan memenuhi aksioma kedua dari Homomorfisma -Modul yaitu: 3 Diberikan sebarang maka: Jadi dari 1 Foote 2004 dengan definisi karena karena Homomorfisma Komutatif sifat 1 sifat 1 adalah Homomorfisma Modul atas Ring Dummit

44 30 Homomorfisma Modul yang memetakan dari Modul ke disebut dengan Endomorfisma berikut definisinya Definisi 244 Ring disebut Endomorfisma Ring dari Modul atau dengan Dummit Foote 2004 Elemen di dinotasikan disebut Endomorfisma Untuk lebih memahami Endomorfisma Modul berikut diberikan contohnya Contoh 245 Didefinisikan ℝ { ℝ} dengan ℝ Modul atas Ring ℝ terhadap operasi pergandaan skalar Pemetaan ℝ untuk setiap Dan untuk setiap jadi ℝ maka: maka: merupakan Homomorfisma dari ℝ ke ℝ yaitu

45 31 25 Jumlah Langsung Direct Sum Suatu Modul dapat dioperasikan dengan pergandaan skalar juga dapat dioperasikan dengan Jumlah Langsung atau direct sum yang didefinisikan sebagai berikut Definisi 251 Diberikan dengan Submodul dari Modul 0 maka Pada kasus ini setiap dengan Langsung dari Jika atas suatu Ring Jika disebut Jumlah Langsung dari disebut direct summand dari dinotasikan disebut hasil Jumlah adalah hasil langsung maka terdapat Submodul di Hasil Jumlah Langsung dari Modul dapat dinyatakan secara tunggal sebagai Wisbauer 1991 untuk suatu Submodul adalah dari dari dengan sedemikian sehingga Grillet 1999 Untuk lebih jelasnya akan diberikan contoh Jumlah Langsung dari suatu Ring Contoh 252 Diberikan ℤ-Modul ℤ6 maka {0} {03} {024} ℤ6 merupakan Submodul dari ℤ6 sebagai ℤ-Modul Perhatikakan bahwa {03}{024} ℤ6

46 32 {03} {024}{0} Dengan demikian Submodul {03} merupakan hasil Jumlah Langsung dari Modul ℤ6 Dalam teorema berikut diberikan sifat Jumlah Langsung dari Modul atas suatu Ring Teorema 253 Jika Modul atas Ring sehingga 1 2 Submodul dari sedemikian 0untuk 1 maka Bukti Diberikan : dengan : Dengan operasi untuk semua adalah Homomorfisma Modul atas Ring maka surjektif Diberikan Oleh karena itu ker maka didefinisikan dengan mengikuti kondisi 1 0 sehingga untuk 1 diperoleh 0 Maka adalah Isomorfisma Adkins Weintraub

47 33 Dari pendefinisian Jumlah Langsung suatu Modul atas Ring berikut diberikan definisi dari Submodul Komplemen Definisi 254 Jika M adalah -Modul yaitu Jumlah Langsung dari maka merupakan Submodul katakan bahwa atau komplemen di jika terdapat Submodul Untuk lebih jelasnya berikut diberikan contoh Submodul Komplemen dari suatu Modul atas Ring Contoh 255 Diberikan komplemen karena Jika maka hanyalah Subgrup dari tidak memiliki yang berorder jadi kondisi ini tidak memungkin Teorema 253 bagian 2 terpenuhi Adkins Weintraub Darap Langsung Direct Product Darap Langsung atau Direct product dari suatu Modul merupakan cartesian product dengan operasi penjumlahan secara sepotong-sepotong componentwise pergandaan skalar untuk setiap anggota dari Submodul-submodul yang akan didefinisikan pada halaman selanjutnya

48 34 Definisi 261 Darap Landung suatu dari -Modul adalah cartesian product himpunan semua sedemikian sehingga untuk setiap i dengan penjumlahan sepotong-sepotong componentwise pergandaan skalar dari setiap komponen Grillet Category Category C berisi objc objek himpunan morfisma pasangan terurut dari objek komposisi dinotasikan dengan untuk setiap untuk setiap terurut sehingga memenuhi aksioma berikut : Asosiatif Jika : Identitas : Untuk setiap objek ℎ: maka ℎ ℎ terdapat morfisma 1 : untuk setiap morfisma : maka 1 1 sedemikian sehingga Contoh 261 Himpunan : Himpunan merupakan objek fungsi merupakan morfisma Grup : Grup merupakan objek Homomorfisma merupakan morfisma

49 35 Ring : Ring merupakan objek Ring Homomorfisma merupakan morfisma -Modul : objek merupakan -Modul -Modul Homomorfisma merupakan morfisma Rotman 2002

50 27 III METODOLOGI PENELITIAN 31 Waktu Tempat Penelitian Penelitian dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2016/2017 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung 32 Metode Penelitian Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi literatur dengan langkahlangkah sebabai berikut: 1 Membuktikan Darap Langsung direct product Jumlah Langsung direct sum merupakan suatu Modul 2 Membuktikan Darap Langsung direct product Jumlah Langsung direct sum merupakan product coproduct dalam category R-Modul 3 Membuktikan R-Homomorfisma merupakan suatu Modul 4 Membuktikan Isomorfisma Darap Langsung direct product Jumlah Langsung direct sum dari dua Modul 5 Memberikan contoh Isomorfisma Darap Langsung direct product Jumlah Langsung direct sum dari dua Modul

51 V KESIMPULAN Berdasarkan penelitian telah dikaji mengenai karakteristik Jumlah Langsung Darap Langsung sebagai berikut: dengan merupakan Modul atas Ring

52 DAFTAR PUSTAKA Adkins WA Weintraub SH 1992 Algebra An Approach Via Module Theory Springer Verlag New York Dummit DS and Foote RM 2004 Abstract Algebra Third Edition John Wiley & Sons Inc United States of America Fraleigh JB 2000 A First Course In Abstract Algebra Sixth Edition Adison Wesley Publishing Company Inc Philippines Grillet AP 1999 Graduate Texts In Mathematics Second Edition Springer New Orleans Rotman JJ 2002 Advance Modern Algebra First Edition Prentice Hall New Jersey Wasbauer R 1991 Foundation Of Modules And Ring Theory Gordon And Breach philadephia