5- Persamaan Tiga Momen

Transkripsi

1 5 Persamaan Tiga Momen Pada metoda onsistent eformation yang telah dibahas sebelumnya, kita menjadikan gaya luar yaitu reaksi perletakan sebagai gaya kelebihan pada suatu struktur statis tidak tertentu. engan menghilangkan gaya kelebihan yang ada, struktur dijadikan statis tertentu. kibat beban yang ada dan akibat gaya kelebihan sebagai beban, dihitung deformasi dari struktur statis tertentu tersebut. engan melihat kondisi geometris asli dari struktur statis tidak tertentu, disusun persamaan onsistent eformation. engan persamaan consistent deformation yang tersusun, gayagaya kelebihan dapat dihitung. Gaya gaya yang lain dapat dicari dengan persamaan keseimbangan statis. Metoda onsistent eformation dapat dipakai pada struktur balok portal maupun konstruksi rangka batang statis tidak tertentu, sedangkan metoda Persamaan Tiga Momen yang akan dibahas ini hanya dapat dipakai untuk struktur balok dan portal statis tidak tertentu. MEKNIK REKYS III MK142003Unnarody rahmantyo 1

2 Pada suatu struktur balok dan portal, sambungan antara batangbatang pada struktur tersebut diasumsikan sebagai sambungan kaku, dimana dalam sambungan kaku harus dipenuhi dua persyaratan yaitu : a) Keseimbangan : jumlah momen batangbatang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara kaku sama dengan nol ( M Ti = 0 ). b) Kestabilan : rotasi batangbatang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara kaku sama besar dan arahnya ( T1 = T2 = T3 ) ontoh 51 : atang T1, T2, T3 bertemu di titik simpul T dengan sambungan kaku, maka syarat : keseimbangan M T1 M T2 M T3 = 0 P Kestabilan T1 = T2 = T3 n i= 1 M T1 T M T3 3 T1 M T2 T3 T

3 Metoda Persamaan Tiga Momen, memakai momenmomen batang dan pergoyangan (defleksi ) pada strukturstruktur yang dapat bergoyang sebagai variabel (bilangan yang tidak diketahui). Untuk menentukan apakah sebuah struktur dapat bergoyang atau tidak, dapat dilihat dari teori sebagai berikut : suatu titik simpul mempunyai dua kemungkinan arah pergerakan, yaitu vertikal dan horizontal. Perletakan jepit dan perletakan sendi tidak dapat bergerak vertikal maupun horizontal, sedangkan perletakan rol dapat bergerak hanya pada satu arah yaitu searah bidang perletakan. atang dibatasi oleh dua titik simpul, sehingga pergerakan titik simpul searah batang sama. ari konsep tersebut dapat dirumuskan : n = 2 j (m 2f 2 h r) imana : n = jumlah derajat kebebasan dalam pergoyangan. j = joint, titik simpul termasuk perletakan m = member, jumlah batang yang dibatasi oleh dua joint. f = fixed, jumlah perletakan jepit. h = hinge, jumlah perletakan sendi. r = rol, jumlah perletakan rol. pabila n < 0, struktur tidak dapat bergoyang. 3

4 Untuk menghitung variabel yang ada, disusun persamaanpersamaan sejumlah variabel yang ada, dari dua ketentuan syarat sambungan kaku seperti yang disebutkan diatas yaitu : Jumlah momenmomen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Rotasi batangbatang yang bertemu pada satu titik sama, besar dan arahnya. an kalau ada variabel perlu persamaan keseimbangan struktur. 4

5 angkahangkah Penyelesaian Metode Persamaan Tiga Momen 1. Tentukan apakah struktur statis tidak tertentu tersebut mempunyai pergoyangan, dengan rumus : n = 2j (m2f2hr) Kalau n < 0, berarti stuktur tersebut tidak bergoyang. P 2 =2 t 6 m q = 1 t/m q = 1 t/m 6 m 2 m E 4 m P = 1 t P 1 =1 t alok diatas tiga tumpuan, jepit, dan rol, dengan beban seperti tergambar : n = 2j(m2f 2hR) n = 2x3 (22x12x02) n = 0 ( Tidak ada penggoyangan ) Suatu portal dengan perletakan dan sendi, dengan ukuran dan beban seperti tergambar n = 2 j (m 2 f 2 f R) = 2 x 4 (3 2 x 0 2 x 2 0) n = 1 ada sebuah bentuk pergoyangan. 4 m 1 m 5

6 2. Kalau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan dan tentukan arah rotasi batang batang akibat pergoyangan tersebut. alam menggambarkan bentuk pergoyangan ada dua ketentuan yang harus diperhatikan yaitu : atang tidak berubah panjang, Suatu batang ( ij ) kalau joint i bergerak ke kanan sebesar Δ, maka joint j juga akan berpindah ke kanan sebesar Δ. Δ Δ i i j j atang dapat berotasi akibat perpindahan relatif ujungujung batang. Perpindahan relatif antara ujungujung batang dapat digambarkan tegak lurus sumbu batang dan arah rotasi digambarkan dari arah asli sumbu batang ke arah sumbu batang setelah bergoyang. i ij j ij = ji = ji j 6

7 b). Gambar pengoyangan 7

8 3. Gambarkan permisalan arah momenmomen batang. Untuk momen kantilever, dapat dihitung besarnya dan ditentukan secara pasti arah putarannya, sedangkan untuk momen momen batang yang lain besar maupun arahnya dimisalkan dengan mengingat ketentuan bahwa jumlah momenmomen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Jadi kalau pada satu titik simpul bertemu dua batang, maka besarnya momenmomen batang tadi sama, tetapi arahnya berlawanan. M M M =4 tm P = 1 t M M M E = 1,5 tm P 1 =1t P 2 =2t E M M Pemisalan rah Momen atang 8

9 4. Gambarkan pemisalan bentuk garis elastis struktur. Untuk menggambarkan pemisalan bentuk garis elastis struktur, harus mengingat ketentuan bahwa rotasi batangbatang yang bertemu pada satu titik simpul adalah sama, besar maupun arahnya. Jadi kalau salah satu batang yang bertemu pada satu titik dimisalkan rotasinya searah jarum jam, maka batangbatang yang lain yang bertemu pada titik simpul tersebut harus digambarkan dengan arah rotasi yang sama yaitu searah jarum jam. c). Permisalan garis elastis E d). Pemisahan garis elastis 9

10 4. ari langkah 14 yang telah dikerjakan diatas dapat ditentukan jumlah variablenya, yaitu momenmomen batang yang belum diketahui besarnya dan perpidahan relatif ujung batang (Δ) kalau ada goyangan. 5. Untuk menghitung variablevariable diatas, susunlah persamaanpersamaan sejumlah variable yang ada. Penyusunan persamaan persamaan tersebut berdasarkan ketentuan keseimbangan momen dan rotasi batangbatang pada titik simpul atau perletakan. a) Momen batangbatang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Untuk momen batang yang digambarkan dengan arah sama, diberi tanda sama. Misalnya kalau searah jarum jam diberi tanda positif (). Maka yang berlawanan arah jarum jam diberi tanda negatif (), atau sebaliknya b) Rotasi batang dengan perletakan jepit sama dengan nol. c) Rotasi batangbatang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar maupun arahnya. Untuk menyusun persamaan rotasi harus memperhatikan permisalan garis elastis (rotasi batang) dengan beban dan momen momen yang ada pada batang tersebut. Kalau arah rotasi batang pada permisalan garis elastis sesuai dengan rotasi batang yang diakibatkan oleh beban dan momen batang yang bekerja diberi tanda positif (), kalau sebaliknya diberi tanda negatif (). 10

11 d) Kalau ada variable pergoyangan (Δ) maka perlu tambahan persamaan keseimbangan struktur. isini kita buat perhitungan free body diagram dengan arah momenmomen batang seperti yang dimisalkan, sehingga kita mendapatkan satu persamaan yang menghubungkan antara variable satu dengan yang lainnya. 6. ari persamaanpersamaan yang disusun diatas, maka variablevariable yang berupa momenmomen batang tadi dapat dihitung besarnya. Kalau nilai variable yang didapat positif (), maka arah momen permisalan benar, sedangkan kalau nilainya negatif (), maka arah momen yang dimisalkan terbalik. 7. Setelah momenmomen diperoleh, dengan perhitungan keseimbangan tiaptiap batang (free body diagram), bidang momen, gaya lintang dan gaya normal dari struktur statis tidak tertemtu tersebut dapat digambarkan. 11

12 Nilai rotasi pada balok i ij ji j ij = ji = ql 4 24 i ij ji ij = ji = j P 3 16 M ij i ij ji j ij = M ij 3 ; ji Mij = 6 M ij i ij ji j ij = M ji 6 ; ji M ji = 3 i ij ji j ji ij = ji = 12

13 ontoh Soal 52: Suatu balok statis tidak tertentu diatas 3 tumpuan, perletakan jepit, dan perletakan rol dengan ukuran dan pembebanan seperti tergambar. Hitung momenmomen batangnya dengan metoda Persamaan Tiga Momen dan gambarkan bidang M, dan N nya. q = 1 t/m P 1 = 4t P 2 = 1,5 t 1,5 2 6 m 6 m 2 m alok statis tidak tentu dengan pembebanannya M q = 1 t/m M M = 3 tm P 1 = 4t P 2 = 1,5 t 1,5 2 6 m 6 m 2 m Gambar permisalan momenmomen batang Penyelesaian : a) n = 2j (m 2f 2h R) = 2 x 3 (2 2 x 1 2 x 0 2) n = 0 tidak ada pergoyangannya. b) Permisalan Momen atang M = 1,5 x 2 = 3 tm Titik M = 0 M = M = M = 3 tm Titik M = 0 M = M = M jepit ada M 13

14 6 m 6 m 2 m c) Permisalan garis elastis = berlawanan arah jarum jam Gambar permisalan garis elastis d) Variabel yang ada : M dan M e) Persamaan : 1. jepit : = 0 M 3 M 6. q 24 3 = 0 M.6 3(1,5) M.6 1(6) 6(1,5) 24(1,5) 3 = 0 x 1,5 2 M M = 9 (1) 14

15 2. Titik simpul : = 3 M M. 2 M = M.6 M.6 1(6) M.6 = 6(1,5) 3(1,5) 24(1,5) 3(2) M 6. P1 16 3x 6 4(6)² 3(2) 16(2) ² x1,5 M 3,5 M = 13,5 (2) (1) 2 x (2) 6 M = 18 M = 3 tm (arah benar) (2) M 3,5 M = 13,5 M 3,5 x 3 = 13,5 M = 13,5 10,5 = 3 tm (arah benar). 15

16 M =3 tm q = 1t/m M =3 tm P 1 = 4t M =3 tm P 2 = 1,5 t 3 t 3 t 2 t 2 t 1,5 t Free body diagram 3t 2t 1,5t 3t 2t 3m 3m 3m 3m 2m idang Gaya intang () 3 tm 3 tm 3 tm 1,5 tm 3 tm idang Momen (M) 16

17 ontoh Soal 53: Suatu portal dengan ukuran dan pembebanan seperti tergambar. perletakan rol dan perletakan jepit. Hitung momenmomen batangnya dengan metoda Persamaan Tiga Momen dan Gambar bidang M, dan Nnya. P 1 = 4t P 2 = 3t 2 3m 2m 2m 1m 17

18 Penyelesaian : a) n = 2 j (m 2f 2h R) = 2 x 3 (2 2 x 1 2 x 0 1) = 1 ada pergoyangan!. Gambar pergoyangan 4t M Gambar pergoyangan : bergerak ke sebesar bergerak ke sebesar atang berotasi searah jarum jam M M b) Permisalan Momen atang M = 3 x 1 = 3 tm ( ) M ( ) ; M ( ) ; M ( ) M Gambar permisalan momen batang 18

19 c). Permisalan Garis Elastis = ( ) Gambar permisalan garis elastis d). Varibel yang ada : M, M, M dan e). Persamaan : 1). M = 0 M M M = 0 M = M 3 (1) 2). jepit = 0 M 6. M 3. = 0 M 6.3 M.3 = 0 3M 6M = 0 (2) 19

20 3). = M 3. M 3(2) P1 16 4(4)² 16(2) 4 M 6 M 3M 2 = 0 (3) 4). Persamaan Keseimbangan Struktur ² = M 3. M.³ M. = M t M M = 3 tm 3t adalah rol H = 0 H = 0 H H = 0 H = 0 atang : M = 0 M H x 3 M M = 0 M 3 m M = M (4) H = 0 20

21 Substitusi (4) ke (2) 9 M 2 = 0 Substitusi (4) ke (3) 13 M 2 = 0 4t 1,25 t 2,75 t M = 3 tm M = 3 tm 3t 3t 22 M = 0 M = 0 (4) M = 0 (1) M = 3 tm 5,75 t Free ody iagram 21

22 1,25 t 3 t 2,75 t 2,5 tm 3 tm 3 m 5,75 t 4 m 1 m 2 m 2 m 1 m 2 m 2 m 1 m f). idang N g). idang h). idang M 22

23 23