ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM)

Transkripsi

1 ANAISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM) Endah Wahyuni, S.T., M.Sc., Ph.D Matrikulasi S Bidang Keahlian Struktur Jurusan Teknik Sipil

2 ANAISA STRUKTUR METODE MATRIKS Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisa struktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan, matriks perpindahan, dan matriks gaya. Dengan menggunakan hubungan : { P } = [ K ] { U } dimana : { P } = matriks gaya [ K ] = matriks kekakuan { U } = matriks perpindahan Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitu dengan menggunakan Metode Kekakuan.

3 Pada Metode Kekakuan, variable yang tidak diketahui besarnya adalah : perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi) sudah tertentu/pasti. Jadi jumlah variable dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaktentuan kinematis struktur. Metode Kekakuan dikembangkan dari persamaan kesetimbangan titik simpul yang ditulis dalam : Koefisien Kekakuan dan Perpindahan titik simpul yang tidak diketahui.

4 Types of Elements Spring elements Truss elements (plane & D) Beam elements (D &D) Plane Frame Grid elements Plane Stress Plane Strain Axisymmetric elements Plate Shell

5 Degrees of Freedom (DOF) Derajat kebebasan yang dimiliki oleh suatu struktur. Tiap jenis elemen akan mempunyai jumlah dan jenis kebebasan tertentu. Hitung derajat kebebasan element dari jenis element yang disebutkan sebelumnya

6 Metode Kekakuan angsung (Direct Stiffness Method) matriks kekakuan U, P U, P { P } = [ K ] { U } U, P U 4, P 4 gaya perpindahan P K K K K 4 U P K K K K 4 U = P K K K K 4 U P 4 K 4 K 4 K 4 K 44 U 4

7 P = K. U + K. U + K. U + K 4. U 4 Kesetimbangan gaya di arah U P = K. U + K. U + K. U + K4. U4 Kesetimbangan gaya di arah U P = K. U + K. U + K. U + K4. U4 Kesetimbangan gaya di arah U P4 = K4. U + K4. U + K4. U + K44. U4 Kesetimbangan gaya di arah U4

8 Jika U = dan U = U = U4 =, maka : P = K ; P = K ; P = K ; P4 = K4 ihat Gambar (a) Jika U = dan U = U = U4 =, maka : P = K ; P = K ; P = K ; P4 = K4 ihat Gambar (b) Jika U = dan U = U = U4 =, maka : P = K ; P = K ; P = K ; P4 = K4 ihat Gambar (c) Jika U4 = dan U = U = U4 =, maka : P = K4 ; P = K4 ; P = K4 ; P4 = K44 ihat Gambar (d)

9 U = P = K P = K P = K P4 = K4 U = P = K P = K P = K P4 = K4 U = P = K P = K P = K P4 = K4 U = P = K P = K P = K P4 = K4

10 Matrix kekakuan: K K K K 4 K = K K K K 4 K K K K 4 K 4 K 4 K 4 K 44 EI EI K = EI EI EI Matriks Kekakuan EI Gambar (a) (b) (c) (d)

11 Jika pada batang bekerja gaya aksial : U,P U,P, EA K = EA K = EA U = K = EA Matriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial : K = EA U = U, P U, P U, P U 4, P 4 K = 6 x 6 EA EI EI EA EI EA EA EI EI EI

12 Contoh Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar q, EI, EI Menentukan keaktifan ujungujung elemen Menentukan matriks tujuan DOF : rotasi Matriks kekakuan struktur [ Ks ] x Membuat matrik kekakuan elemen : [ Ks ] = [ K ] + [ K ]

13 Membuat matrik kekakuan elemen : Elemen EI EI K = EI EI EI EI Matriks Tujuan { T } = { } T [ K ] = x

14 Elemen K = EI EI EI EI EI EI Matriks Tujuan { T } = { } T [ K ] = x EI EI

15 Matriks Kekakuan Global Struktur [ Ks ] = [ K ] + [ K ] [ Ks ] x = + EI EI = 8 EI EI EI Untuk mendapatkan deformasi ujungujung aktif struktur, maka digunakan hubungan : { Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ] { Ps } dimana : Us = deformasi ujungujung aktif Ks = kekakuan struktur Ps = gayagaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)

16 Untuk contoh di atas, maka : q q q Ps = q q Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ] [ Ks ] = 8 EI EI EI [ Ks ] = EI 4 8 = 8 EI 4 8 Jadi : { Us } = [ Ks ] { Ps } Us = 8 EI 4 8 q q

17 Us = 8 EI 6 q q q q Us = q EI q EI Rotasi di joint Rotasi di joint Deformasi untuk masingmasing elemen U U Elemen : U = U = 4 U q 68 EI U U Elemen : U = U = 4 U q 68 EI 5 q 68 EI

18 Reaksi akibat beban luar : q P R = q P R = q q q q q q q

19 Gaya akhir elemen : Elemen : { P } = [ K ] + { P R } EI EI EI P = EI EI + EI q 68 EI 6 q 56 q 56 P = 6 = q 56 4 q 56 q 8 q 8 q 8 q 8

20 Elemen : { P } = [ K ] + { P R } EI EI EI P = EI EI + EI 5 q 68 EI 68 q EI q q q q q 56 4 q 56 P = = 4 q 56 6 q 8 q 8 q 8

21 Free Body Diagram : q 8 q 8 q 8 q 8 q 8 q 6 8 q 8 q Menggambar gayagaya dalam : Bidang D : 6 8 q 8 q + 8 q 8 q Bidang M : q q 8

22 Elemen Portal D Sebuah portal statis tak tentu seperti pada gambar B P C B C EI EI DOF = A A / / Matriks kekakuan struktur [ Ks ] x [ Ks ] = [ K ] + [ K ]

23 Elemen EI K = EI x Matriks Tujuan { T } = { } T [ K ] = x Elemen EI K = EI x Matriks Tujuan { T } = { } T [ K ] = x EI EI

24 Matriks Kekakuan Global Struktur [ Ks ] = [ K ] + [ K ] [ Ks ] x = + EI EI = 8 EI EI EI Untuk mendapatkan deformasi ujungujung aktif struktur, maka digunakan hubungan : { Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ] { Ps } dimana : Us = deformasi ujungujung aktif Ks = kekakuan struktur Ps = gayagaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)

25 Untuk contoh di atas, maka : P 8 P P 8 Ps = 8 8 P P Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ] [ Ks ] = 8 EI EI EI [ Ks ] = EI 4 8 = 8 EI 4 8

26 Jadi : { Us } = [ Ks ] { Ps } Deformasi untuk masingmasing elemen Us = 8 EI P P U Elemen : U = = U P EI Us = 8 EI 6 q q q q U Elemen : U = = U 5 P EI P EI Us = 5 P EI P EI Rotasi di joint B Rotasi di joint C

27 Reaksi akibat beban luar : P 8 P 8 P P R = P R = 8 8 P P Gaya akhir elemen : Elemen : { P } = [ K ] + { P R } Elemen : { P } = [ K ] + { P R } EI P = + EI P EI EI P EI P = + EI 5 P EI 8 8 P P P = P P Hasil perhitungan hanya momen saja 6 q 56 P = = q 8 Hasil perhitungan hanya momen saja

28 Free Body Diagram : 6 56 P 7 8 P P P P P Dihitung lagi P 8 P 9 56 P 56 P 9 56 P Dihitung lagi Bidang D : 7 P 8 + P P 8 Bidang M : 7 8 P 6 56 P 56 + P Bidang N : 9 P 56 9 P P 7 P 8

29 Transformasi Sumbu U, P u, p u, p u, p U, P U, P θ u u u = Koordinat okal dan Global C S S C U U U C = cos θ S = sin θ

30 Atau dapat ditulis : Dimana : u = λ U λ = C S S C C = cos θ S = sin θ Untuk transformasi sumbu sebuah titik dengan 6 dof dapat ditulis : u u u u 4 u 5 u 6 = λ λ U U U U 4 U 5 U 6 [ u ] = [ R ] [ U ] R = matriks rotasi

31 Transformasi sumbu juga berlaku untuk gaya : p = λ P P = λ p λ = λ T P = λ T p P P P P 4 P 5 P 6 = λ Τ λ Τ p p p p 4 p 5 p 6 [ P ] = [ R ] T [ p ] R = matriks rotasi p = k u ; u = R U P = R T p P = K U = R T k u K = R T k R = R T k R U K

32 Matriks kekakuan elemen untuk 6 dof : EA EA k = 6 x 6 EI EI EA EI EA EI EI EI k = α β β β β Dimana : α = EI β = A I [ K ] = [ R ] T [ k ] [ R ]

33 K = C S S C C S S C α β β β β 6 6 C S S C C S S C g g g 4 g g g 4 g g 5 g g g 5 K = g 6 g 4 g 5 g 7 g g g 4 g g 5 g 6 Dimana : g = α ( β C + S ) g 5 = α 6 C g = α C S ( β ) g 6 = α 4 g = α ( β S + C ) g 7 = α g 4 = α 6 S

34 Sebuah portal seperti gambar, dengan menggunakan transformasi sumbu hitunglah gayagaya dalam yang bekerja E =. ksi A = 5 in I = 5 in 4 = ft = ft q =,68 k/ft = ft M = 4 kft = 68 kin Sumbu Global Sumbu okal DOF [ Ks ] x DOF [ k ] x

35 Matriks transformasi batang : Batang : θ = 7 o cos 7 o = sin 7 o = θ = 7 o x λ = C S S C = x Batang : θ = o cos o = sin o = θ = o x x λ = C S S C =

36 C S S C R = = C S S C C S S C R = = C S S C

37 Matriks kekakuan system struktur Elemen : EI..5 α = = =,87 (. ) β = A I 5.(.) = =.44 5 C = ; S = { T } = { } T g g g 4 g g g 4 K = g g 5 g g g 5 g 6 g 4 g 5 g 7 g g g 4 g g 5 K = g g 4 g 4 g 6 g 4 g 6 g = α ( β C + S ) =,87 [ + () ] =,44 g 4 = α 6 S =, () = 66,4 g 6 = α 4 =, = 5. Sehingga :,44 66,4 K = 66,4 5.

38 Elemen : EI..5 α = = =,87 (. ) β = A I C = ; S = 5. (.) = =.44 5 g = α ( β C + S ) =,87 [ () ] =.5,8 g 4 = α 6 S =, () = g 6 = α 4 =, = 5. g 7 = α =,87.. = 5.56 Sehingga : { T } = { } T K =.5, g g g 4 g g g g g 5 g g g 5.6,4 66,4 K = g 4 g 6 g 4 g 5 g 7 K S = 66, g g g g g 5 g 4 g 7 g 6 K = g g 4 g 4 g 4 g 6 g 7 g 4 g 7 g 6

39 Matriks beban : 8,4 8,4 q =,4 k/in 68 kin 68 kin 68 kin P S = 68 { Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ] { Ps }.6,4 66,4 U S = 66, U S =,95,9,96 Defleksi horizontal di Rotasi di Rotasi di

40 Displasement masingmasing batang (koordinat lokal) u u u u = = u 4,95 = u 5,95 u 6,9,9 u,95,95 u u u = = u 4,9 =,9 u 5 u 6,96,96

41 Gaya akhir batang : Elemen : Elemen : { P } = [ k ] { u } + { },9 k 47,5 kin P = =,9 k,959 kft { P } = [ k ] { u } + { F aksi },9 k 7,8 k 95,84 kin P = =,9 k,9 k 7,8 k 7,99 kft,9 k,9 k,9 k 9 k 9 k 95,6 kin 7,968 kft 68 kin 4 kft

42 Free body diagram :,9,9 k, ,968 kft,9 k,9 k 7,99 kft q =,68 k/ft 4 kft,9 k,9 7,8 +,959 7,8 k 9 k +,9, ,99 4

43 KONSTRUKSI RANGKA BATANG Pada Konstruksi Rangka Batang (KRB), perhitungan matriks kekakuan elemen [ K ] berdasarkan kasus rangka batang Dimensi. Gaya yang bekerja hanya tarik dan tekan aksial saja, sedang gaya momen dan lintang tidak terjadi. Perhatikan gambar dengan elemen struktur batang dengan luas A dan Modulus Elastisitas E konstan. Perhitungan kekakuan elemen hanya mengandung elemen A, E dan empat titik koordinat, yaitu : xi, xj, yi, dan yj.

44 y,v c = cos β j i β j x,u cu i i u i q i p i β + dβ q j p j Elemen Rangka Batang, dengan sudut β pada bidang xy Elemen Rangka Batang setelah perpindahan titik u i >, titik lain tetap

45 Pertama, harus menghitung : = ( ) ( ) x x + C = cos β = S = sin β = j i y x j j y x y j y Perpendekan aksial cu i menghasilkan gaya tekan aksial F = AE cu i Dimana : x dan y merupakan komponen dari ; p i = p j = Fc q i = q j = Fs i i i Komponen ini menghasilkan kesetimbangan statis, sehingga diperoleh : C p i AE CS C u i = q i p j CS q j

46 Hasil yang sama juga akan diperoleh dengan cara memberikan perpindahan pada v i, u j, dan v j, dimana gaya bekerja sendirisendiri. Dan jika 4 dof dengan nilai tidak nol bekerja bersamasama, dan dengan superposisi masingmasing elemen matriks kekakuan, dapat dihitung sebagai berikut : C CS C CS K = AE CS S CS S C CS C CS CS S CS S

47 Hubungan matriks kekakuan dengan gaya dapat ditulis sebagai berikut : [ K ] { D } = { F } C CS C CS u i p i AE CS S CS S C CS C CS v i u j = q i p j CS S CS S v j q j Untuk kasus khusus :. Jika nilai β =, sebagai batang horizontal, matriks kekakuan elemen [ K ] 4 x 4 Hanya berisi 4 komponen yang tidak bernilai nol, yaitu : k = k = k = k = AE K = AE

48 . Jika nilai β = 9, sebagai batang vertikal, matriks kekakuan elemen [ K ] 4 x 4 Hanya berisi 4 komponen yang tidak bernilai nol, yaitu : k = k 44 = k 4 = k 4 = AE K = AE

49 Sebuah Konstruksi Rangka Batang dengan luas A dan Modulus Elastisitas E yang sama, seperti pada Gambar v 6 7 u Hitunglah matriks kekakuaan masingmasing elemen

50 Perumusan untuk mencari nilai matriks kekakuan elemen dengan sudut β : C CS C CS K = AE CS S CS S C CS C CS CS S CS S Batang, dan merupakan batang horizontal, sehingga β = o Maka : [ K ] = [ K ] = [ K ] K = AE

51 Batang 4 dan 6 merupakan batang diagonal dengan sudut β = 6 o Dimana : C = cos 6 o =,5 S = sin 6 o =,866 Maka : [ K 4 ] = [ K 6 ],5,4,5,4 K 4 = AE,4,75,4,75,5,4,5,4,4,75,4,75 Batang 5 dan 7 merupakan batang diagonal dengan sudut β = o Dimana : C = cos o =,5 S = sin o =,866 Maka : [ K 5 ] = [ K 7 ],5,4,5,4 K 5 = AE,4,75,4,75,5,4,5,4,4,75,4,75