Penyelesaian Asymmetric Travelling Salesman Problem dengan Algoritma Hungarian dan Algoritma Cheapest Insertion Heuristic.

Transkripsi

1 Peyelesaia Asymmetric Travellig Salesma Problem dega Algoritma Hugaria da Algoritma Cheapest Isertio Heuristic Caturiyati Staf Pegaar Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY ABSTRAK: Masalah Asymmetric Travellig Salesma Problem (ATSP) merupaka masalah megoptimumka rute peralaa seorag pedagag yag membetuk sebuah sirkuit, dimaa semua kota haya disiggahi sekali saa, da alur pulag da alur pergi diatara dua kota belum tetu sama. Masalah ATSP dapat diselesaika dega megguaka algoritma Hugaria, dimaa masalah ATSP dipadag sebagai masalah Peugasa (Assigmet Problem) dega pekera diisi oleh satu orag pekera saa, da pekeraa diasumsika sebagai kota tuua. ATSP uga dapat diselesaika dega Algoritma Cheapest Isertio Heuristic (CIH) dega peelusura siklus peralaa dimulai dega meghubugka kota pertama da kota terakhir, yag selautya kota-kota persiggaha di isersi (disisipka) dega mecari rute terpedekya. Kata kuci: ATSP, masalah peugasa, Hugaria, CIH.. Pedahulua Travellig Salesma Problem (TSP) merupaka aplikasi Teori Graf da meadi bagia dari Riset Operasi. TSP diaggap sebagai kasus khusus dari masalah trasportasi, dega supply (persediaa), b i, da demad (permitaa), a, ya adalah satu utuk setiap i da setiap. TSP uga dapat diaggap sebagai kasus khusus dari masalah peugasa dega pekera haya aka diisi oleh satu pekera saa da pekeraa diasumsika sebagai kota tuua, da hasil optimum masalah peugasaya harus membetuk sirkuit, dalam arti pekera ii harus meguugi - kota da kembali lagi ke kota asal. TSP terdiri dari Symmetric TSP (STSP) da Asymmetric TSP (ATSP). STSP adalah TSP dimaa alur pergi da alur pulag atara dua kota selalu sama. Sedagka ATSP adalah TSP dimaa alur pergi da alur pulag tidak selalu sama. Yag selalu meadi kedala pada STSP maupu ATSP adalah bagaimaa mecapai solusi optimum yag lagsug meghasilka sirkuit? Di dalam perkembagaya telah bayak algoritma dikembagka utuk membatu meyelesaika STSP maupu ATSP, terutama algoritma yag dikembagka meadi software komputer. Dorigo ad Gambardella (997) membahas At Coloy System sebagai salah satu algoritma yag dapat diguaka utuk meyelesaika TSP. Freislebe ad Merz (996), membahas TSP dega Algoritma Geetik. Sierksma Semas Matematika da Pedidika Matematika

2 (994) membahas TSP dega sirkuit Hamilto. Kusrii da Istiyato (07) membahas algoritma Cheapest Isertio Heuristic utuk STSP. Dalam makalah ii aka dibahas peyelesaia ATSP dega Algoritma Hugaria da Algoritma Cheapest Isertio, yag dapat membatu peyampaia materi perkuliaha riset operasi, amu uga dapat dikembagka meadi software komputer. 2. ATSP Sebagai Masalah Peugasa Masalah peugasa merupaka betuk khusus masalah trasportasi. Seperti masalah trasportasi, masalah peugasa adalah suatu masalah optimasi memiimumka, walaupu tidak meutup kemugkia adaya masalah optimasi memaksimumka. Kekhususa masalah peugasa adalah atara origi (sumber) dega destiasi (tuua) haya aka dipeuhi oleh satu variabel basis saa yag ilaiya satu, karea supply da demad pada masalah peugasa berilai utuk setiap origi da utuk setiap destiasi. Tabel berikut merupaka tabel trasportasi utuk masalah peugasa: D D 2 D b i O c c 2 c O 2 c 2 c 22 c 2 M M M O M M O c c 2 c a Keteraga tabel: O i : pelamar kera ke-i, D : lowoga kera ke-, c i : gai O i bila diterima di D. Model masalah peugasa pola miimum setimbag: Mecari x 0 yag memiimalka f c x i i, dega kedala: i i x i b i, i da i x i a,, da xi berilai 0 atau. Sedagka pada ATSP diasumsika: ) terdapat seumlah lokasi, 2) tersedia alur dari satu lokasi ke lokasi laiya, 3) tersedia ogkos c i dari lokasi ke-i ke lokasi ke- pada alur i, 4) c i tidak selalu sama dega c i, 5) seseorag harus beragkat dari suatu lokasi da meguugi lokasi laiya (masig-masig sekali) da akhirya kembali ke lokasi semula (sirkuit), 6) tuua ATSP adalah meetuka sirkuit peralaa yag memiimalka ogkos total. Semas Matematika da Pedidika Matematika

3 ATSP dapat dipadag sebagai masalah peugasa sebagai berikut: ) Lokasi yag dikuugi diberi label, 2, 3,,, 2) Pada ATSP pekera diisi orag, sedagka pekeraa merupaka lokasi tuua. Sehigga tabel ATSP ya 2 b i c c 2 c 2 c 2 c 22 c 2 M M M O M M c c 2 c a 3. Peyelesaia ATSP dega Algoritma Hugaria. Diusahaka supaya dalam setiap baris da kolom ada cost olya; dega cara meguragi setiap baris (kolom) dega mi{c i } dalam setiap baris (kolom). 2. Diui apakah ada kotak dega cost ol yag mewakili tiap-tiap baris da kolom? Jika ada, berarti tabel sudah optimal (karea merupaka kombiasi ol yag palig murah) da itulah peyelesaia optimal soal asli. Bila belum ada, diadaka lagi peguraga cost (lagkah ). a. Peguia dapat dilakuka dega peutupa baris da kolom yag memuat cost ol, sehigga bayakya baris peutup sama dega bayakya baris atau kolom, ika demikia maka masalah sudah optimal. b. Jika belum, maka pada cost yag tidak tertutup garis, lakuka peguraga dega cost termurah yag tidak tertutup tadi (r), pada cost yag merupaka titik potog garis peutup baris da kolom ditambahka dega cost termurah tadi. Lakuka ui optimum lagi. Peguraga baris dega suatu cost, tidak megubah solusi optimal sebab utuk p kosta: c i x i (i) f i c x c2 x2 (ii) f ( c p) x + c2 x2 + + c x c x Semas Matematika da Pedidika Matematika

4 c x 2 + c x2 + + c x p x f p. 23 Dega kata lai, memiimalka f memiimalka f. Secara umum, ika baris ke i 0 dikuragi p i, maka: f ( c i pi ) xi c x ( c i pi ) x i c x 0 i i c x i i pi x i f p i 0 0 Sehigga setiap solusi yag mugki utuk ATSP uga merupaka solusi masalah peugasa yag bersagkuta. Namu demikia masalah peugasa yag bersagkuta mugki mempuyai solusi yag tidak membetuk sirkuit, yaitu yag tidak fisibel utuk solusi ATSP. Oleh kareaya ATSP diselesaika dega cara sebagai berikut:. Ubahlah ATSP meadi masalah peugasa seperti pada tabel di atas, dega c ii bilaga bulat positif yag ilaiya besar, sebut M. 2. Selesaika masalah peugasa tersebut dega algoritma Hugaria. 3. Jika solusi masalah peugasa tersebut membetuk sirkuit, maka solusi ii merupaka solusi optimal ATSP. 4. Jika solusi masalah peugasa tersebut belum membetuk sirkuit, misalya diperoleh hasil optimal maka dilakuka sebagai berikut: pada tabel awal atau atau atau digati dega M, kemudia diselesaika lagi dega algoritma Hugaria, cara ii disebut Brach ad Boud method atau B B. c3 c3 c24 c42 Semas Matematika da Pedidika Matematika

5 4. Cotoh : Diberika diagram berikut ii : Masalah pada diagram adalah masalah ATSP, dega 4 kota tuua. Pemodela masalah ATSP tersebut adalah memiimalka ( x i ) 8x 2 + 8x + 8x x3 + 22x x4 + 25x x32 + f 2 24x x42 + x x43 Terhadap kedala x + x + x + x x + x + x + x x + x + x + x x + x + x + x x + x + x + x x + x + x + x x + x + x + x x + x + x + x x i 0, i,2,3,4,,2,3,4. Tabel ATSP tersebut adalah b i a 4 Semas Matematika da Pedidika Matematika

6 c diisi dega M. Sehigga tabel cost ATSP ya adalah c22 c33 c44 M M M M -22 Pada iterasi pertama ii, baris I, II, III, IV berturut-turut dikuragi dega 8, 8,, 22. Diperoleh tabel berikut M M M M-22 Pada tabel cost, terlihat utuk setiap baris da setiap kolomya, sudah terdapat ol yag mewakili, sehigga dilakuka ui optimum dega peutupa garis. Diperoleh bayakya garis peutup ada 3 < (bayakya baris), tabel belum optimum. Pada cost tak tertutup garis, r. Sehigga diperoleh tabel berikut: M M M M-22 Pada tabel terlihat ui optimum dega peutupa garis, meghasilka bayakya garis peutup sebayak 4, sehigga tabel optimum. Dega pemiliha cost ol pada tabel berikut: M M M M-22 Pemiliha cost ol pada tabel optimum, sama makaya dega memilih variabel basis yag aka mewakili masalah ATSP ya, dega uruta pemiliha x x x, seperti terlihat pada tabel ATSP berikut x2 Semas Matematika da Pedidika Matematika

7 2 3 4 b i M M M M a 4 Namu hasil optimum tersebut belum membetuk sirkuit. Yaitu 2 da 3 c2 c2 c Sehigga perlu dilakuka B B pada atau atau atau c. Pada makalah ii aka dilakuka B B pada c 2. Sehigga tabel cost awal ATSP ya meadi M M M M M -22 Karea kolom II belum memuat cost ol, maka kolom II dikuragi dega mi{ c i2 } i,2,3,4. M-8 M M M M-22-2 M-8 M M M M-22 Dega ui optimum peutupa garis, diperoleh tabel cost sudah optimum. Pemiliha cost ol ya adalah Semas Matematika da Pedidika Matematika

8 M-8 M M M M-22 Meghasilka variabel basis terpilih x34 x3 x2 x42. Sirkuit yag terbetuk adalah Tabel legkap ATSP ya b i M M M M a 4 dega f mi 5. Peyelesaia ATSP dega Algoritma Cheapest Isertio Heuristic (CIH). Peelusura dimulai dari sebuah kota pertama yag dihubugka dega sebuah kota terakhir. 2. Dibuat sebuah hubuga subtour atara 2 kota tersebut. Yaitu suatu peralaa dari kota pertama da berakhir di kota pertama, misal (,3) (3,2) (2,). 3. Gati salah satu arah hubuga (arc) atara dua kota dega kombiasi dua arc, yaitu arc(i,) dega arc(i,k) da arc(k,), dega k diambil dari kota yag belum masuk subtour da dega tambaha arak terkecil, yag diperoleh dari perhituga cost dega rumus d k c + c c. ik 4. Ulagi lagkah 3 sampai seluruh kota masuk dalam subtour. k i Semas Matematika da Pedidika Matematika 08-33

9 6. Cotoh 2: Diberika diagram ATSP pada Cotoh. ATSP tersebut aka diselesaika dega Algoritma CIH sebagai berikut: Tabel arak atar kota pada Cotoh adalah Kota Asal Kota Tuua Jarak Utuk mecari arak terpedek yag melalui 4 kota tersebut diambil lagkah-lagkah sebagai berikut:. Ambil peralaa dari kota ke kota Buat subtour (,4) (4,). 3. Buat tabel yag meyimpa kota yag bisa di isersi (disisipka) dalam subtour beserta tambaha arakya, seperti pada tabel berikut Arc yag aka digati Arc yag aka Tambaha arak ditambahka (,4) (,2) (2,4) c + c c (,4) (,3) (3,4) c + c c (4,) (4,2) (2,) c + c c (4,) (4,3) (3,) c + c c Pada tabel terlihat, tambaha arak terkecil diperoleh apabila: Arc(,4) digati dega arc (,3) da arc(3,4). Maka diperoleh subtour baru yaitu (,3) (3,4) (4,). 4. Buat tabel yag meyimpa kota yag bisa di isersi (disisipka) dalam subtour beserta tambaha arakya, seperti pada tabel berikut Semas Matematika da Pedidika Matematika

10 Arc yag aka digati Arc yag aka Tambaha arak ditambahka (,3) (,2) (2,3) c + c c (3,4) (3,2) (2,4) c + c c (4,) (4,2) (2,) c + c c Pada tabel terlihat, tambaha arak terkecil diperoleh apabila: Arc(4,) digati dega arc (4,2) da arc(2,). Maka diperoleh subtour baru yaitu (,3) (3,4) (4,2) (2,). Karea semua kota sudah termasuk dalam subtour terakhir maka diperoleh sirkuit ATSP dega arak tempuhya c + c + c + c 80. Dega sirkuitya adalah Kesimpula Algoritma Hugaria da Algoritma CIH dapat diguaka utuk meyelesaika ATSP. Peyelesaia ATSP dega kedua algoritma apabila dikeraka secara maual dega umlah kota kurag dari 0 masih mugki utuk dilakuka, da masigmasig algoritma mempuyai kelebiha serta kekuraga. Algoritma Hugaria memperlihatka perhituga yag lebih sederhaa, karea megguaka matriks cost, da kesalaha perhituga dapat dimiimalka. Semas Matematika da Pedidika Matematika

11 Daftar Pustaka Dorigo, M ad Gambardella, L.M., 997, At Coloy System: A Cooperative Learig Approach to the Travellig Salesma Problem, Accepted for publicatio i the IEEE Trasactios o Evolutioary Computatio, Vol., No., 997. I press. ftp://iridia.ulb.ac.be/pub/mdorigo/ourals/ij.6-tec97.a4.pdf diakses pada taggal 0 Nopember 08 Freislebe, B ad Merz, P., 996, New Geetic Local Search Operators for the Travellig Salesma Problem. diakses pada taggal 0 Nopember 08 Kusrii da Istiyato, J.E., 07, Peyelesaia Travellig Salesma Problem dega Algoritma Cheapest Isertio Heuristic da Basis Data, JURNAL INFORMATIKA, Jurusa Tekik Iformatika, Fakultas Tekologi Idustri, Uiversitas Kriste Petra, Vol. 8, No. 2, Nopember 07, diakses pada taggal 0 Nopember 08 Sierksma, G., 994, Hamiltoicity ad the 3-Opt Procedure for the Travellig Salesma Problem, Jural Applicatioes Mathematicae, 22.3 (994), pp diakses pada taggal 0 Nopember 08 Semas Matematika da Pedidika Matematika