Capaian Pembelajaran Mata Kegiatan Peserta mampu menganalisis rangkaian listrik arus bolak balik I fasa dan 3 fasa.

Transkripsi

1 Kegiatan Belajar 2 : Rangkaian Listrik Arus Bolak Balik Capaian Pembelajaran Mata Kegiatan Peserta mampu menganalisis rangkaian listrik arus bolak balik I fasa dan 3 fasa. Subcapaian Pembelajaran Mata Kegiatan Peserta mampu menjelaskan konsep arus bolak balik, nilai sesaat, nilai maksimum dan nilai efektif dari arus, tegangan, dan daya. Peserta mampu mengaplikasikan konsep bilangan komplek dalam rangkaian listrik arus bolak balik. Peserta mampu menjelaskan beda fasa dan faktor daya. Peserta mampu menganalisis arus, tegangan, dan daya pada rangkaian listrik arus bolak balik 1 fasa Peserta mampu menganalisis arus, tegangan, dan daya pada rangkaian listrik arus bolak balik 3 fasa Pokok-Pokok Materi Prinsip dan bentuk gelombang arus bolak balik Pengertian nilai sesaat, nilai maksimum, dan nilai efektif dari arus atau tegangan. Bilangan komplek dalam rangkaian listrik arus bolak balik Daya pada rangkaian listrik arus bolak balik 1 fasa Arus, tegangan, dan daya pada rangkaian listrik arus bolak balik 3 fasa A. Uraian Materi 1. Prinsip dan Bentuk Gelombang Arus Bolak Balik Memasuki wilayah pembahasan tentang gelombang listrik pertanda sudah meninggalkan materi pembelajaran tentang listrik DC (Arus Searah). Materi tentang gelombang listrik adalah gerabang yang harus dilalui untuk membahas dan memahami materi listrik AC (arus bolak balik). Gelombang listrik identik dengan gelombang sinusoida. Gelombang sinusoida pada dasarnya berkaitan dengan gelombang sinus dan cosinus. Kenapa gelobang sinus dan cosinus? Karena kedua gelombang dengan bentuk sinus dan cosinus ini pada dasarnya dibedakan dengan beda fasa 90 derajat. Sebagai acuan dasar gelombang listrik berbentuk gelombang sinus, yang didefinisikan seperti persamaan berikut ini (persamaan 2.1). v(t) = V m sin ωt

2 Keterangan persamaan 2.1 V m = Amplitudo gelombang sinus dalam bentuk volt V (t) = Sumber tegangan AC (volt) t = waktu (detik) ω = kecepatan sudut ( rad s) Gelombang sinusoida menjadi acuan dasar untuk menganalisis arus bolak balik (alternating current). Kajian mengenai gelombang sinusoida perlu dibahas lebih dalam terutama persamaan-persamaan yang melekat padanya. Pertama adalah mengenai tegangan maksimum (Vm). Tegangan maksimum merupakan amplitudo gelombang sinusoida, perhatikan gambar 2.1. yang menunjukkan nilai tegangan maksimum. Tegangan maksium ada dua yaitu positif dan negatif. Berdasarkan gambar 2.1. menunjukkan bahwa jarak antara amplitudo postif dan amplitudo negatif disebut dengan Vpp = Tegangan Puncak ke Puncak (Peak to Peak). Perhatikan kembali gambar 2.1. Bentuk gelombang sinus terdiri dari satu puncak dan satu lembah, maka dikatakan satu gelombang sinus. Jika ada dua punjak dan dua lembah maka dikatakatan dua gelombang sinus. Jika dua puncak dan satu lembah maka dikatakan dengan satu setengah gelombang. Berdasarkan kondisi tersebut dapat dijelaskan tentang perioda (T). Satu perioda adalah satu gelombang. Perioda adalah lama waktu yang dibutuhkan untuk melakukan proses satu putaran gelombang. Perhatikan gambar 2.1. Kembali panjang perioda ditunjukkan dengan garis antara mulainya gelombang sinus dibentuk hingga sampai pada waktu yang dipakai hingga mencapai satu gelombang sinus penuh. Gambar Gelombang Sinusoida

3 Selanjutnya pada persamaan 2.1. ditemukan V(t), Vm, ω dan t, yang belum dikenali adalah omega (ω). ω didefinisikan sebagai panjang satu gelombang dibagi dengan perioda. Sehingga didapatkan persamaan 2.2. Persamaan ini menjadi acuan dari persamaanpersaman lain yang terkait dengan gelombang sinusoida. Perhatikan persamaan 2.2! ω = 2π T Pada persamaan 2.2. ω merupakan sebanding dengan 2π dan berbanding terbalik dengan perioda dan perioda berbading terbalik dengan frekuensi (persamaan 2.3) T = 1 f, sehingga diperoleh persamaan 2.4 yaitu f = ω 2π dan persamaan 2.5. ω = 2πf Contoh soal 2.1: Perhatikan persamaan gelombang listrik AC berikut ini : v(t) = 10 sin 25 t tentukan besar aplitudo, ω, perioda dan frekuensi. Jawab : Amplitudo = Vm = 10 volt ω = 25 rad/s Dengan memodifikasi persamaan 2.2. diperoleh nilai : T = 2π ω = 2 3,14 25 f = 1 = Hz T = 0,251 detik Contoh soal 2.2: Perhatikan persamaan gelombang listrik AC berikut ini : v(t) = 35 sin 40 t tentukan besar aplitudo, ω, perioda dan frekuensi. Jawab : Amplitudo = Vm = 35 volt ω = 40 rad/s Dengan memodifikasi persamaan 2.2. diperoleh perioda sebesar

4 T = 2π = 2 3,14 = 0,157 detik ω 40 f = 1 = Hz T Dirumuskan pada sebuah fungsi periodik dengan persamaan berikut ini: f(t) = f(t + nt) Hal ini berlaku pada persamaan sinusoida: v(t) = v(t + T) v(t) = V m sin ω(t + T) v(t) = V m sin ω (t + 2π ω ) Maka dapat disimpulkan v(t) = V m sin(ωt + 2π) v(t) = V m sin(ωt ± θ) Sehingga dapat disimpulkan θ=sudut fasa. Sudut fasa adalah pengeseran gelombang terhadap titik nol gelombang. Pergeseran kekanan bernilai negative, dan pergeseran ke kiri bernilai positif. Perhatikan gambar 2.2. Gambar 2.2. Pergeseran gelombang yang berakibat terjadinya sudut fasa Gelombang sinusoida yang dimulai pada saat t=0 adalah v 1 = V m sin ω t. Jika terjadi perubahan fasa kearah kiri maka terjadi penambahan fasa sebesar θ sehingga persamaan menjadi v 2 = V m sin(ω t + θ). Pergeseran fasa ini akan berakibat pada mulainya gelombang

5 pada waktu yang berbeda. Demikian juga terjadi pergeseran ke kanan gelombang maka terjadi pergeseran waktu namun terjadi pengurangan sudut fasa sebesar θ, pergeseran tersebut berakibat pada perubahan persamaan gelombang sinusoida menjadi v 2 = V m sin(ω t θ). Berdasarkan pergeseran gelombang dengan penambahan atau pengurangan sudut fasa maka dapat dirujuk pada persamaan trigonometri matematika. Persamaan persaman yang muncul akibat penambahan atau pengurangan sudut fasa tertentu. Perubahan tersebut untuk menunjukkan apabila terjadi perubahan fasa akan mengalami perubahan persamaan dan bentuk gelombang. Persamaan-persamaan trigonometeri tersebut menjadi titik acuan untuk melakukan perubahan-perubahan persamaan. Persamaan-persamaan trigonometri tersebut, adalah : sin(ωt ± 180 o ) = sin ωt cos(ωt ± 180 o ) = cos ωt sin(ωt ± 90 o ) = ± cos ωt cos(ωt ± 90 o ) = sin ωt Sudah menjadi ketetapan untuk proses analisis rangkain, sebaiknya gelombang sinusoida yang digunakan berbentuk cosinus. Kenapa harus berbentuk cosinus karena cosinus apabila amplitude gelombang negatife dan amlitudo gelombang positif akan selalu bernilai sama. Contoh: cos 60 akan bernilai 0,5 dan cos( 30) juga akan bernilai sama yaitu 0,5. Perhatikan gambar 2.3. Bentuk gelombang cosinus. Gambar 2.3. Bentuk Gelombang Cosinus

6 Sehingga dapat ditetapkan tegangan dalam bentuk cosinus dapat ditetapkan dengan persamaan 2.6. v(t) = Vm cos(ωt ± θ) Berdasarkan sifat gelombang cosinus tersebut ditetapkan pada modul ini sebagai bentuk gelombang standar yang digunakan untuk menganalis rangkain listrik AC. Ketetapan ini menjadi acuan untuk mengubah bentuk-bentuk gelombang sinusoida yang lain untuk dikonversi menjadi gelombang cosinus. Ada tiga bentuk komungkinan bentuk gelombang sinusoida yang dikonversi menjadi gelombang cosinus yaitu, bentuk Vm sin(ωt ± θ), bentuk Vm sin(ωt ± θ), dan Vm cos(ωt ± θ). Berdasarkan persamaan-persamaan trigonometri dikonversi semua bentuk-bentuk gelombang sinusoida menjadi gelombang cosinus. Bentuk pertama : Vm sin(ωt ± θ) Vm sin(ωt ± θ) = Vm cos(ωt ± θ + 90) Jadi bila bentuk pertama dikonversi ke bentuk gelombang cosinus dengan menambahkan langsung sudut fasa dengan 90 derajat Mengigat : +90 Bentuk Kedua : Vm sin(ωt ± θ) Vm sin(ωt ± θ) = Vm sin(ωt ± θ + 180) Vm sin(ωt ± θ + 180) = Vm cos(ωt ± θ ) Vm cos(ωt ± θ ) = Vm cos(ωt ± θ + 270) atau Vm sin(ωt ± θ) = Vm sin(ωt ± θ 180) Vm sin(ωt ± θ 180) = Vm cos(ωt ± θ ) Vm cos(ωt ± θ ) = Vm cos(ωt ± θ 90) Jadi bentuk kedua konversi langsung kedalam bentuk cosinus dengan menambahkan sudut fasa dengan 270 atau mengurangkan sudut fasa dengan 90. Namun umumnya cukup dengan mengurangkan dengan 90 derajat. Mengigat : 90 Bentuk Ketiga : Vm cos(ωt ± θ) atau Vm cos(ωt ± θ) = Vm cos(ωt ± θ + 180)

7 Vm cos(ωt ± θ) = Vm cos(ωt ± θ 180) Jadi untuk bentuk ketiga cukup menambahkan fasa dengan sudut 180 derajat atau mengurangi dengan 180 derajat maka proses konversi langsung kepada bentuk gelombang cosinus. Mengigat : +180 atau 180 Berdasarkan proses konversi bentuk gelombang sinusoida ke bentuk cosinus dengan mudah dapat dilakukan. Agar terjadi proses peningkatan pemahaman materi ini peratikan dan amati contoh-contoh soal-soal berikut ini Contoh soal 2.3: Perhatikan gelombang listrik AC berikut v(t) = 12 sin(50t 10), konversikanlah kebentuk cosinus, kemudian tentukan juga berapakah amplitude, perioda, frekuensi dan sudut fasa gelombang cosinus tersebut. Jawab: Berdasarkan bentuk-bentuk gelombang sinusoida, maka bentuk gelombang persamaan tersebut adalah bentuk pertama maka konversinya dengan menambah sudut fasa dengan 90 derajat Jadi v(t) = 12 cos(50t ) = 12 cos(50t + 80) Sehingga diperoleh : Vm = 12 volt ω = 50 rad/s T = 2π ω = 2 3,14 50 f = 1 = 7,96 Hz T = 0,1256 s Contoh soal 2.4: Apabila gelombang listrik AC berikut v(t) = 24 sin(40t + 50), konversikanlah kebentuk cosinus, kemudian tentukan juga berapakah amplitude, perioda, frekuensi dan sudut fasa gelombang cosinus tersebut. Jawab: Sudah di pastikan gelombang listrik AC tersebut adalah bentuk kedua. Bentuk kedua dengan mengurangkan fasa dengan 90

8 v(t) = 24 sin(40t + 50)= 24 cos(40t ) Maka v(t) = 24 cos (40t 40) Sehingga diperoleh : Vm = 24 volt ω = 40 rad/s T = 2π ω = 2 3,14 40 f = 1 = 6,37 Hz T = 0,157 s 2. Pengertian nilai sesaat, nilai maksimum, dan nilai efektif dari arus atau tegangan Pada pembahasan sebelumnya sebagai standar menggunakan sumber tegangan sebagai bentuk sumber listrik AC. Seperti pada listrik DC arus juga merupakan sumber listrik, maka pada pembahasan kali ini juga menyatakan bahwa sumber arus AC juga merupakan sumber listrik dengan bentuk gelombang seperti pada persamaan 2.7. I(t) = Im sin(ωt) Sama halnya dengan tegangan, gelombang arus AC juga diarahkan dalam bentuk gelombang cosinus. Bentuk-bentuk gelombang sinusoida juga berlaku pada gelombang arus bolak-balik, dan proses konversinya juga sama. Bentuk arus dalam gelombang cosinus seperti persamaan 2.8. I(t) = Im cos (wt ± θ) Nilai sesat berlaku pada persamaan 2.6. dan 2.7, tegangan dan arus listrik AC. Nilai sesaat dihitung berdasarkan waktu. Persamaan 2.6 dan 2.7 adalah persamaan yang berbasis waktu maka nilai sesaat dapat dihutung pada saat t (nilai waktu tertentu). Pada saat t=t dan θ = 0, maka dapat tentukan nilai tegangan sesaat adalah v(t) = Vm cos (ωt) v(sesaat) = Vm cos ( 2π T T) v(sesaat) = Vm cos (2π 180 π ) v(sesaat) = Vm cos(360) v(sesaat) = Vm 1

9 v(sesaat) = Vm Jadi dapat disimpulkan bahwa (persamaan 2.8): v(sesaat) = Vm cos(θ (sesaat) ) 1 radian = 57,2958 derajat Pada arus listrik bolak balik juga dengan cara yang sama. Sehingga arus sesaat dapat dinyatakan dengan persamaan 2.9. i(sesaat) = Im cos(θ (sesaat) ) Contoh soal 2.5: Berapakah tegangan sesaat untuk persamaan gelombang v(t) = 12cos (30t + 30) pada saat t=20 s Jawab : Karenan 1 radian = 57,2958 derajat Maka θ(sesaat) = ,2958 = 34377,48 v(sesaat) = 12 cos(34377, ) = 10,64 volt Pada persamaan 2.8 dan 2.9 keduanya terkait dengan waktu. Jadi tegangan sesaat dan arus sesaat dilihat berdasarkan waktu tertentu. Jika dinyatakan waktu dalam rentang tertentu yaitu t1 dan t2, maka rentang waktunya t2 t1. Ada interval waktu yang dipenuhi dalam pengukurannya, sehingga nilai tegangan atau arus arus disebut dengan tegangan ratarata atau arus rata-rata. Berdasarkan persamaan 2.8 dan 2.9 dapat dirumuskan bahwa tegangan rata-rata dinyatakan dalam bentuk persamaan : Atau v(rata rata) = v(t1) + v(t2) t2 t1 i(rata rata) = i(t1) + i(t2) t2 t1 Karena tegangan dan arus AC dalam bentuk sinusoida (cosinus) yang continue maka dapat dinyatakan dalam persamaan :

10 t2 1 v(rata rata) = t2 t1 v(t) t1 atau t2 1 i(rata rata) = t2 t1 i(t) Berdasarkan penuruan model matematika integrasi sinusoida maka dapat di sederhanakan dengan persamaan v(rata rata) = v τ dan i(rata rata) = i τ : t1 v τ = 2. Vm π atau i τ = 2. Im π Tengangan rata-rata dan arus rata-rata, merupakan tengan yang sering terukur dengan menggunakan multitester atau diukur dengan menggunakan alat ukur. Setiap tegangan dan arus terkait dengan beban. Beban pada rangkaian listrik AC ada tiga jenis yaitu Resistor (R satauan ohm), Kapasitor (C satauan farad) dan Induktor (L satuan hendri). Pengaruh komponen-komponen tersebut berpengaruh dengan pengukurannya sehingga ada beberapa energy yang terserap pada komponen RLC sehingga tetap terukur pada alat ukur. Pada dasarnya komponen L dan C yang menyebabkan terjadinya perubahan fasa yang berakibat terhadappengukuran yang kemudian terukur. Tegangan dan arus yang terukur tersebutlah yang disebut dengan tegangan rata-rata atau arus rata-rata. Tengangan dan arus yang sebenarnya terserap sebagai energy disebut dengan tegangan efektif dan arus efektif. Energi yang terserap pada komponen-komponen RLC dapat dihitung dengan memperhitungkan pengaruh pergeseran fasa yang ditimbulkan, yang kemudian dikurangkan terhadapat perubahan arus tersebut. Sehingga dapat di rumuskan menjadi persamaan V eff = 1 T T v(t)2 dt 0 atau I eff = 1 T T i(t)2 dt 0 Berdasarkan cara yang sama dengan penurunan integrasi persamaan matematika dilakukan dengan proses berikut, V eff = 1 T T v(t)2 dt 0 = ω 2π Vm2 cos 2 (ωt + θ) dt 2π/ω 0

11 = Vm t] 0 2π/ω = Vm 2 atau I eff = 1 T T i(t)2 dt 0 = ω 2π/ω 2π Im2 cos 2 (ωt + θ) dt 0 = Im t] 0 2π/ω = Im 2 Disimpulkan teganga efektif dan arus efektif disebut dengan persamaan 2.12 dan persamaan Sebagian buku sering juga menggunakan tegangan efektif dengan simbol (V rms) dan arus efektif dengan simbol (I rms) V eff = Vm 2 dan I eff = Im 2 3. Bilangan komplek dalam rangkaian listrik arus bolak balik Sebelum membahas tentang bilangan komplek dan hubungannya dengan rangkaian listrik bolak balik, ada baiknya kembali pada gelombang sinusoida dalam bentuk cosinus. Pada rangkain listrik dalam proses menganalisis rangkain menggunakan gelombang cosinus. Pada persamaan matematika trigonometri yaitu persamaan A cos(ωt) + B sin (ωt) = C cos(ωt + θ) Dimana C adalah nilai pithagoras A dan B. sehingga C = A 2 + B 2 dan sudut θ adalah archus tangen dari B/A sehingga didapatkan persamaan θ = tan 1 ( B A )

12 Berdasarkan persamaan 2.14, diperoleh gambaran mengenai bentuk gelombang dengan persamaan bilangan komplek sehingga dapat dinyatakan dalam gambar 2.5. Tentang garis bilangan kompleks. Gambar 2.5. Garis bilangan komplek Persamaan 2.14 merupakan sebagai dasar yang mengaitkan antara gelombang listrik sinusoida dengan konsep matematika kompleks. Sehingga dapat dituliskan bentuk gelombang cosinus menjadi belangan kompleks dalam bentuk polar. C cos(ωt + θ) = C θ Kemudian dapat di jadikan konversi bentuk gelombang listrik kepersamaan matematis berupa bilangan komplek. Jika tegangan dinyatakan dalam bentuk gelombang v(t) = 12 cos(ωt + 30) maka dapat dituliskan dalam pesamaan bilangan komplek v = atau sebuah arus i(t) = 20 cos(ωt 50), dapat dituliskan dalam bilangan kompleks i = Bilangan komplek terdiri dari dua bilangan yang disebut dengan bilangan real dan bilangan imaginer. Bilangan sehingga bentuk umum penulisan bilangan kompleks adalah sebagai berikut z = a + jb. Bentuk penulisan bilangan kompleks ada empat cara yaitu: Bentuk umum z = a ± jb Bentuk polar z = r θ Bentuk rectangular z = r (cos θ + j sin θ ) Bentuk ekspnensial z = r. e jθ Dari keempat cara penulisan bilangan komplek, memiliki keterkaitan dengan proses operasional matematika. Bentuk umum digunakan untuk proses penjumlahan dan pengurangan. Bentuk polar digunakan untuk proses perkalian dan pembagian. Bentuk rectangular digunakan untuk proses konversi dari bentuk polar atau eksponesial kembali ke

13 bentuk umum. Kalau diperhatikan dengan seksama bentuk polar, rectangular dan bentuk eksponensial, berasar dari proses konversi dari bentuk umum. Jadi akan selalu terjadi dalam proses konversi dari bentuk umum ke polar dan bentuk polar ke umum, tergantung dengan kebutuhan. Proses operasional matematika terdiri dari penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Sesuai dengan kesepakatan proses penjumlahan harus dengan bentuk polar bilangan kompleks. Jika z1 = a + jb dan z2 = c + jd maka proses penjumlahan antara z1 dan z2 adalah zt = (a + c) + j(b + d). Demikian juga dengan proses pengurangan. Apabila z1 dikurang oleh z2) maka zt = (a c) + j(b d). Perhatikan proses penjumlahan dan pengurangan, terlihat bahawa penjumlahan atau pengurangan berlaku dengan persyaratan utama. Pertama penjumlahan hanya terjadi antara bilangan real dengan real bilangan kedua. Kedua penjumlahan atau pengurangan pada bilangan imajiner terjadi antar sesama bilangan imajiner pula. Proses perkalian juga dapat dilakukan dengan bentuk umum. Apabila z1 z2 maka prosesnya dengan mengalikan satu-satu setiap unsur komponen antara bilangan kompleks z1 dan z2. Jadi prosesnya adalah z1 z2 = (a + jb) (c + jd) = ac + jad + jbc bd = (ac bd) + j(ad + bc) Pertayaan kenapa ada nilai minus ( ), hasil perkalian jb jd? Pertanyaan ini cukup menarik dan apakah sesunguhnya yang di maksud dengan j. j adalah bilangan yang nilainya adalah 1 yang tidak dapat diselesakan lagi. 1 yang disebut sebenarnya sebagai bilangan imaginer. Sehingga apabila dilakukan proses operasional matematika yang terkait dengan bilangan imaginer akan berlaku kondisi berikut ini, pada pertemuan ini disebut dengan aturan perkalian imajiner: j = 1 j 2 = 1 j 3 = j j 4 = 1 Berdasarkan aturan tersebut maka dinyatakan untuk proses perkalian jb jd akan menjadi berniali negatif ( ). Jadi apabila terjadi perkalian j yang melibatkan lebih dari empat maka,

14 maka berlaku atas kelipatan empat, sisanya mengikuti aturan perkalian imajiner. Contoh apabila j 5 = j 4 j = j. Terlihat pada proses contoh tersebut apabila pangkat melebih dari empat seperti 5, maka sisanya adalah sama dengan pada aturan perkalian imajiner. Bagaimana dengan j 20 = j 4 j 4 j 4 j 4 = 1. Begitulah seterusnya. Selanjutnya adalah proses pembagian bilangan kompleks. Proses pembagian memang sedikit lebih membutuhkan ekstra, karena melipatkan proses perkalian dan penjumlahan serta pengurangan. Proses pembagian jauh lebih panjang dengan proses operasonal matematika yang lain. Perhatikan proses pembagian antara z1 z2. Sehingga dapat dilakukan proses sebagai berikut : z1 z2 = = = a + jb c + jd a + jb c + jd c jd c jd ac jad + jbc + bd c 2 + d 2 = (ac + bd) + j(bc ad) c 2 + d 2 dengan c jd c jd Perhatikan proses operasional pembagian bilangan kompleks! Kenapa harus dikalikan, c jd adalah konjugasi dari c + jd, yaitu perbedaan tanda pada bilangan imajiner. Untuk apa kemudian dikalikan dengan konjugasinya? Tujuannya adalah untuk menjadikan penyebut bilangan menjadi konstantan (tidak imaginer lagi). Kenepa demikian? karena merujuk dari aturan perkalian imaginer, yaitu apabila j 2 dan j 4 maka bilangan menjadi tidak imaginer lagi. Alasan yang sama kemudian perbedaan tanda maka proses perkalain (c + jd) (c jd), menghasilkan c 2 + d 2 karena bilangan imajinernya saling meniadakan. Kesulitan dalam proses perkalian dan pembagian dalam operasonal matematika, berdasar hal tersebut proses perkalian dan pembagian dilakukan dengan menggunakan bentuk polar atau ekspoenensial. Apabila dialkukan konversi bentuk dari umum ke polar maka di dapatkan z1 = a + jb = r1 θ1 dan z2 = c + jd = r2 θ2. Proses perkalian antara dua bentuk polar tersebut sangat mudah untuk dilakukan yaitu: z1 z2 = r1 θ1 r2 θ2 = (r1 r2) (θ1 + θ2) Perhatikan proses operasional matematika perkalian bilangan kompleks degan menggunakan bentuk polar. Resultan 1 (r1) dikalikan langsung dengan resultan 2 (r2)

15 sedangakan sudut θ1 + θ2. Demikaian juga apabila perkalian lebih dari dua maka semua resultan dikalikan dan seluruh sudut dijumlahkan. Pembagian juga sangat dimudahkan dengan menggunakan bentuk polar. Caranya dengan membagi resultan1(r1) dengan resultan 2 (r2). Sedangkan sudutnya di kurangkan. Perhatikan proses pembagian bilangan polar dengan menggunakan bentuk polar. z1/z2 = r1 θ1 / r2 θ2 = (r1/r2) (θ1 θ2) Berdasarkan penjelasan tersebut, dapat disimpulkan bahwa proses penjumlahan dan pengurangan dilakukan dalam bentuk umum dan proses perkalian dan pembagian sebaiknya dengan menggunakan bentuk polar dibilangan komplek. Pada dasarnya pengunaan bilangan kompleks pada rangkaian listrik arus bolak balik (AC) sangat berpengaruh pada proses analisis rangkaian. Komponen-komponen yang tersabung pada rangkaian listrik pada dasarnya hanya terdiri dari tiga jenis komponen. Seperti yang dibahas sebelumnya komponen tersebut terdiri dari R, L, dan C. Tiga komponen tersebut juga sangat terkait dengan penulisan bilangan komplek. Ketiga jenis komponen tersebut tersusun atas dasar bilangan real dan bilangan imaginer. Kompoenen R, L dan C dijadikan kedalam bentuk bilangan kompleks dengan mengkonversinya menjadi Resistansi (XR), Induktansi (XL) dan capasitansi (XC). XR indentik nilainya dengan R dengan satuan yang sama. Sehingga XR mewakili dari bilangan real. Sedangkan XL dan XC dengan satuan sudah menjadi ohm sehingga dapat mewakili mewakili untuk bilangan imaginernya. Ditetapkah khusus untuk bilangan komplek pada rangkaian R-L-C memenuhi empat bentuk yaitu real saja, real dan imajiner positif, real dan imaginer negatif, imaginer positif dan imaginer negatif. Berdasarkan sifat-sifat komponen L, setelah melewati gelombang listrik yang melewatinya akan mendahului sesuai dengan nilai sudut komponennya dan maksimum +90. Begitu juga dengan sifat-sifat komponen C, setelah dilewati oleh gelombang listrik maka akan terjadi pergeseran fasa maksimum 90. Sehingga perbedaan fasa maksimum antara L dan C sejauh 180 derajat. Perhatikan gambar 26. Beda fasa antara XR XL, XR-XC, dan XL dan XC. Perbedaan fasa menunjukkan bagaimana kemudian ada usah yang besar dalam menyeimbangkan antara XL dan XC sehingga terjadi upaya yang mendekatkan nilai beban menyamai sifat dari XR, yang berakibat pengaruh dari XL dan XC ditiadakan (dalam kondisi ideal) paling tidak meminimalkan pengaru XL dan XC pada rangkaian. Pola seperti ini yang kemudian pada bagian berikutnya dibahas tentang penurunan nilai factor rugi-rugi daya listrik satu fasa dan tiga fasa.

16 Gambar 26. Perbedaan Sudut fasa Imaginer (+) dan (-) Berdasarkan kondisi gambar 26, menunjukkan ada lima bentuk penulisan beban pada rangkain listrik dalam bentuk bilangan komplek. Bentuk 1: Bentuk 2: Bentuk 3: Bentuk 4: Bentuk 5: z = R + jxl z = R jxc z = R z = +jxl z = jxc Terkait dengan semua pembahasan yang telah dijelaskan, selanjutnya tingal digunakan dalam analisis rangkaian listrik. Titik temunya bilangan kompleks dengan rangkaian listrik ada kosep Pasor. Pasor adalah merubah bentuk persamaan gelombang listrik ke dalam bentuk bilangan kompleks. Seperti yang dibahas pada bagian pertama, tentang gelombang listrik yang dikonversi kedalam bentuk cosinus. Berdasarkan gelombang cosnus tersebut kemudian dikonversi lagi kedalam bentuk Pasor (bilangan komplek dengan bentuk polar). Perhatikan proses konversi gelombang cosinus ke Pasor pada persamaan dan Vm cos(ωt ± θ) = Vm ± θ Im cos(ωt ± θ) = Im ± θ

17 Berdasarkan persamaan selanjutnya proses menganalisis rangkaian dapat dilakukan dengan metode-metode penghitungan seperti node, super node, mesh, dan super mesh. Perubahan bentuk sumber listrik AC baik arus maupun tegangan sudah menjadi bentuk bilangan komplek. Demikian juga dengan beban-beban listrik yang telah dibahas menjadi bentuk bilangan kompleks. Sehingga dari bentuk rangkain dapat disusun persamaan matematis dalam bentuk persamaan bilangan kompleks. Sehingga dapat didefinisikan dalam bentuk hokum ohm pada rangkaian AC pada persamaan V(t) = I(t) Z Dimana z adalah impedansi dari beban listrik dalam lima bentuk bilangan kompleks yang sudah didefinisikan. Demikian semua metode penyelesaian analisi rangkaian dc dapat juga digunakan dengan menggunakan konsep hokum ohm pada persamaan Daya pada rangkaian listrik arus bolak balik 1 fasa Daaya pada rangkaian listrik bolak balik satu fasa dapat dinyatakan dengan persamaan 2.17 berikut ini: P(t) = v(t). i(t) Dimana v(t) = Vm cos(ωt + θ v ) dan i(t) = Im cos(ωt + θ i ). Perkalian tegangan dalam kawasan waktu dan arus dalam kawsan waktu pada listrik AC adalah daya listrik dalam kawasan waktu. Daya adalah energi yang terpakai pada rangkaian listrik tertutup. Sehingga dapat diuraikan persamaan P(t) = Vm cos(ωt + θ v ) Im cos(ωt + θ i ) = Vm. Im cos(ωt + θ v ) cos(ωt + θ i ) Dengan menggunakan persamaan trigonometri : cos A. cosb = 1 [cos(a B) + cos (A + B)] 2 Berdasarkan persamaan trigonometri tersebut diperoleh persamaan daya sesaat (persamaan 2.18) : P(t) = 1 2 Vm. Im[cos{(ωt + θ v) (ωt + θ i )} + cos{(ωt + θ v ) (ωt + θ i )}] = 1 2 Vm. Im[cos(θ v θ i ) + cos( 2ωt + θ v + θ i )]

18 Daya rata-rata didefinisikan sebagai energi listrik dalam rentang satu periode dibagi dengan interval waktu yang sama dengan periode. Dedifinisi tersebut disusun dalam persamaan matematis sebagai berikut (persamaan 2.19): P = 1 T T p(t) 0 Persamaan 2.18 disubsitusikan ke persamaan diperoleh: P = 1 T T 1 2 Vm. Im[cos(θ v θ i ) + cos( 2ωt + θ v + θ i )] dt 0 = 1 T T 1 Vm. Im cos(θ 2 v θ i ) dt + 1 T T = 1 Vm. Im cos(θ 2 v θ i ) 1 T T 0 dt T T Vm. Im cos cos( 2ωt + θ v + θ i )dt + 1 T 1 Vm. Im cos cos( 2ωt + θ 0 2 v + θ i ) dt = 1 Vm. Im cos(θ 2 v θ i ) + 1 T 1 Vm. Im cos cos( 2ωt + θ 0 2 v + θ i ) dt Perhatikan persamaan 2.19 tersebut denga seksama, ada dua bagian yang dipisahkan dengan tanda plus. Bagian pertama 1 2 Vm. Im cos(θ v θ i ) bersifat konstanta dan bagian kedua 1 T T Vm. Im cos cos( 2ωt + θ v + θ i ) dt bersifat gelombang sinusoida. Pada bagian kedua, daya rata-rata yang memenuhinya menjadi hilang karena pada rentang satu periode ada sisi gelombang positif dan gelombang negatif dengan sifat saling meniadakan. Berdasarkan kondisi tersebut maka daya listrik arus AC (persamaan 2.20). P = 1 2 Vm. Im cos(θ v θ i ) Dengan menggunakan konsep pasor diagram ditulis menjadi persamaan: P = 1 2 Vm. Im (θ v θ i ) Apabila terjadi perbedaan fasa antara θ v θ i = 90, P = 1 Vm. Im 90 2

19 P = 1 Vm. Im cos 90 = 0 2 Saat sudut fasa arus dan tegangan berdempet sehinggan θ v θ i = 0. Sehingga Jadi dapat disimpulkan bahwa daya listrik AC dapat ditulis dengan P = 1 Vm. Im cos 0 2 = 1 Vm. Im 2 5. Arus, tegangan, dan daya pada rangkaian listrik arus bolak balik 3 fasa Sesunguhnya arus dan tegangan listrik AC tiga fasa, Pada arus listrik AC masing - masing i(t) R = Im cos(ωt) = Im 0 i(t) S = Im cos(ωt + 120) = Im 120 i(t) T = Im cos(ωt 120) = Im 120 Pada tegangan listrik juga demikian sehingga di peroleh tegangan masing-masing: v(t) R = Vm cos(ωt) = Vm 0 v(t) S = Vm cos(ωt + 120) = Vm 120 v(t) T = Vm cos(ωt 120) = Vm 120 Rangkuman Gelombang listrik pada dasarnya berbentuk sinusoida dengan persamaan: v(t) = V m sin ωt Gelombang listrik sebaiknya direpresentasikan dalam bentuk cosinus, sehingga perlu proses konversi. Untuk mengkonversinya mengkuti persamaan trigonometri berikut ini. sin(ωt ± 180 o ) = sin ωt cos(ωt ± 180 o ) = cos ωt

20 sin(ωt ± 90 o ) = ± cos ωt cos(ωt ± 90 o ) = sin ωt Ada tiga bentuk yang 1). bentuk pertama Vm sin(ωt ± θ) konversi dengan menambah sudut fasa dengan 90 2).bentuk kedua Vm sin(ωt ± θ), konversi dengan menambah sudut fasa dengan 90 3) Bentuk ketiga Vm cos(ωt ± θ), konversi dengan menambah sudut fasa dengan ±180 Berdasarkan persamaan trigometri, dan bentuk-bentuk sinusoida, dapat dikonversi hingga memperoleh gelombang listrik AC dengan persamaan cosinus seperti berikut ini. v(t) = Vm cos(ωt ± θ) i(t) = Im cos(ωt ± θ) Persamaan tegangan sesaat adalah Persamaan tegangan sesaat adalah Ditetapkan bahwa: 1 radian = 57,2958 derajat Persamaan tegangan rata-rata adalah Persamaan arus rata-rata adalah Persamaan tegangan effektif adalah Persamaan arus effektif adalah v(sesaat) = Vm cos(θ (sesaat) ) i(sesaat) = Im cos(θ (sesaat) ) v τ = i τ = 2. Vm π 2. Im π V eff = Vm 2

21 I eff = Im 2 Bilangan komplek adalah bilangan yang terdiri dari bilangan real dan bilangan imajiner. Bilangan imajiner terdiri dari 4 bentuk Bentuk umum z = a ± jb Bentuk polar z = r θ Bentuk rectangular z = r (cos θ + j sin θ ) Bentuk eksponensial z = r. e jθ Perubahan bentuk-bentuk tersebut pada dasarnya hanyalah perubahan dalam bentuk umum (rektanggular) ke bentuk polar. Perubahan bentuk tersebut berdasarkan. Dimana r adalah nilai pithagoras a dan b. sehingga r = a 2 + b 2 dan sudut θ adalah archus tangen dari b/a sehingga didapatkan persamaan θ = tan 1 ( b a ) Perhatikan bentuk-bentuk persamaan ada nilai imajiner 1 = j, sehingga berlaku j = 1 j 2 = 1 j 3 = j j 4 = 1 Operasional bilangan kompleks dikelompokkan berdasarkan bentuk agar mempermudah dalam proses penghitungannya. Bentuk umum digunakan untuk proses penjumlahan dan pengurangan Bentuk polar digunakan untuk proses perkalian dan pembagian Rangkaian listrik komponen beban terdiri dari R-L-C. Rangkain listrik AC, menjadikan nilai masing-masing menjadi XR-XL-XC. Perubahan nilai tersebut bertujuan agar bentuk-bentuk persamaan dapat berbentuk impendansi yang menggunakan persamaan matematika kompleks sehingga terdiri dari lima bentuk impedansi persamaan bilangan kompleks Bentuk 1: z = R + jxl Bentuk 2: z = R jxc Bentuk 3: z = R Bentuk 4: z = +jxl

22