Analisis Ajeg dari Sinusoidal

Transkripsi

1 Analisis Ajeg dari Sinusoidal Slide-08 Ir. Agus Arif, MT Semester Gasal 2016/ / 23

2 Materi Kuliah 1 Karakteristik Sinusoid Bentuk Umum Pergeseran Fase Sinus Kosinus 2 Tanggapan Paksaan thdp Sinusoid Tanggapan Ajeg Tanggapan Rangkaian RL 3 Fungsi Pemaksa Exponensial Sinusoid dan Exponensial Sumber Real dan Imajiner Sumber Komplex Alternatif Aljabar 2 / 23

3 Bentuk Umum Sinusoid Tegangan yg berubah scr sinusoidal: v(t) = V m sin ωt V m : amplitudo dr gelombang sinus ωt : argumen dr fungsi sinus ω : frekuensi radian atau frekuensi sudut fungsi berulang (periodik) stp 2π radian periode = 2π radian 3 / 23

4 Periode dan Frekuensi Dlm lingkup waktu, gelombang sinus yg berperiode T sekon akan merambat 1/T siklus pd stp detik frekuensi-nya = 1/T hertz (Hz atau s 1 ) f = 1 T Krn pd satu siklus: ωt = 2π maka ω = 2πf 4 / 23

5 Pergeseran Fase Bentuk umum yg lebih lengkap v(t) = V m sin(ωt + θ) θ : sudut fase = besar sudut dr penggeseran gelombang sinus asli ke sebelah kiri atau ke waktu yg lebih awal V m sin(ωt + θ) memimpin (leading) V m sin ωt sebanyak θ rad V m sin ωt terlambat dr (lagging) V m sin(ωt + θ) sejauh θ rad 5 / 23

6 Leading dan Lagging Di antara 2 sinusoid, leading dan lagging tidak sefase (out of phase) dgn sudut fase yg sama sefase (in phase) Dlm teknik listrik, sudut fase dinyatakan dgn satuan derajat (θ 180 ), shg alih-alih ( v = 100 sin 2π 1000t π ) 6 biasanya ditulis v = 100 sin(2π 1000t 30 ) Perbandingan fase dua sinusoid seharusnya setelah 1 keduanya ditulis sbg gelombang sinus atau kosinus 2 keduanya ditulis dgn amplitudo yg positif 3 keduanya memiliki frekuensi yg sama 6 / 23

7 Sinus Kosinus Camkanlah: sin ωt = sin(ωt ± 180 ) cos ωt = cos(ωt ± 180 ) sin ωt = cos(ωt ± 90 ) ± cos ωt = sin(ωt ± 90 ) Contoh: v 1 =V m1 cos(5t + 10 ) =V m1 sin(5t ) =V m1 sin(5t ) memimpin v 2 =V m2 sin(5t 30 ) sebanyak 130 atau v 1 tertinggal dari v 2 sebesar 230 v 1 = V m1 sin(5t 260 ) 7 / 23

8 Tanggapan Ajeg Tanggapan keadaan-ajeg = tanggapan paksaan (forced response): tanggapan paksaan dicapai ktk tanggapan alamiah (natural response) tlh lenyap tanggapan alamiah terjadi hanya sebentar diabaikan fungsi pemaksa bersifat dc tanggapan ajeg menuju nilai yg tetap fungsi pemaksa sinusoidal tanggapan ajeg dpt berubah-ubah thdp waktu Rangkaian RL dgn fungsi pemaksa berupa sinusoid: 8 / 23

9 Tanggapan Rangkaian RL [1] Penerapan KVL menghasilkan tanggapan ajeg dr rangkaian RL: L di dt + R i = V m cos ωt Bilamana derivatif = 0 arus berbentuk i cos ωt Bilamana arus = 0 derivatif sebanding dgn cos ωt yg berarti i sin ωt Alhasil, bentuk umum dr tanggapan paksaan dianggap: i(t) = I 1 cos ωt + I 2 sin ωt dgn I 1 dan I 2 gayut pd V m, R, L dan ω Penyulihan anggapan tsb ke dlm persamaan diferensial: L ( I 1 ω sin ωt + I 2 ω cos ωt) + R (I 1 cos ωt + I 2 sin ωt) = V m cos ωt 9 / 23

10 Tanggapan Rangkaian RL [2] Pengelompokkan suku-suku yg sama: ( L I 1 ω + R I 2 ) sin ωt + (L I 2 ω + R I 1 V m ) cos ωt = 0 Persamaan ini harus berlaku benar utk semua nilai t shg ωl I 1 + R I 2 = 0 dan ωl I 2 + R I 1 V m = 0 Solusi scr serempak bagi I 1 dan I 2 : I 1 = R V m R 2 + ω 2 L 2 dan I 2 = ωl V m R 2 + ω 2 L 2 Dgn demikian, tanggapan ajeg dr rangkaian RL: i(t) = V m R V m R 2 + ω 2 cos ωt + ωl L2 R 2 + ω 2 L 2 sin ωt 10 / 23

11 Cara yg Lebih Ringkas Penjabaran yg lebih ringkas dpt diperoleh dgn menganggap bentuk umum tanggapan berupa fungsi sinus atau kosinus saja, spt i(t) = A cos(ωt θ) Bentuk tanggapan ini disamakan dgn bentuk sebelumnya R V m A cos θ cos ωt+a sin θ sin ωt = R 2 + ω 2 cos ωt+ ωl V m L2 R 2 + ω 2 sin ωt L2 Pengumpulan suku-suku yg sama dan penerapan beberapa kiat aljabar menghasilkan: 1 ωl θ = tan R dan A = V m R 2 + ω 2 L 2 Dgn demikian, bentuk alternatif dr tanggapan paksaan sinusoidal: ( ) V m i(t) = R 2 + ω 2 L cos 1 ωl ωt tan 2 R 11 / 23

12 Contoh 1 [1] Tentukan arus i L pd rangkaian di sebelah kiri jikalau semua gejala transien telah lenyap Jawab: Agar mnjd rangkaian RL yg baku harus ditentukan ekivalen Thévenin spt rangkaian di sebelah kanan Tegangan Thévenin: V T = V oc = (10 cos 103 t) = 8 cos 10 3 t V 12 / 23

13 Contoh 1 [2] Resistans Thévenin ditentukan dgn melenyapkan semua sumber independen dan mencari resistans ekivalen dr semua resistor: R T = = = 20 Ω Kini, rangkaian semula berubah mnjd rangkaian RL yg baku: Dgn menerapkan rumus tanggapan paksaan sinusoidal diperoleh: ( ) 8 i L = cos t tan 2 + ( ) 2 20 = 222 cos(10 3 t 56.3 ) ma 13 / 23

14 Contoh 1 [3] Bentuk gelombang tegangan Thévenin dan arus induktor: 14 / 23

15 Sinusoid dan Exponensial Cara lainnya utk menentukan tanggapan paksaan sinusoidal adl dgn memanfaatkan hubungan yg ada di antara sinusoid dan exponensial yakni bilangan komplex identitas Euler: e jθ = cos θ + j sin θ dgn j = 1 Jk derivatif kosinus = (negatif) sinus, mk derivatif exponensial = versi terskala dr exponensial yg sama Penambahan sumber imajiner menimbulkan sumber komplex dlm rangkaian namun menghasilkan proses analisis yg lebih sederhana Superposisi menjamin bhw sumber imajiner tanggapan imajiner, dan sumber real tanggapan real Oleh krn itu, kedua besaran (real & imajiner) dpt kapan sj dipisah dgn mengambil bagian real dr stp tegangan atau arus yg komplex, yakni dgn operator real Re{} 15 / 23

16 Sumber Real Sumber tegangan sinusoidal real terhubung pd rangkaian linear (spt N yg tersusun oleh komponen 2 pasif sj) akan menghasilkan tanggapan-ajeg arus yg bersifat sinusoidal real juga dgn frekuensi yg sama (namun sudut fase yg berbeda) Jk kini rujukan waktu (t = 0) digeser shg fungsi pemaksa mnjd V m cos(ωt + θ 90 ) = V m sin(ωt + θ) dan dikenakan pd rangkaian N yg sama mk tanggapannya mnjd I m cos(ωt + φ 90 ) = I m sin(ωt + φ) Berikutnya, pd rangkaian N akan diterapkan sumber imajiner 16 / 23

17 Sumber Imajiner Sumber tegangan sinusoidal imajiner dpt dibuat dgn mengalikan operator imajiner j: j V m sin(ωt + θ) Krn perkalian dgn konstanta tdk mengubah hubungan yg linear mk tanggapan arus thdp sumber sinusoidal imajiner adl j I m sin(ωt + φ) Berikutnya, teorema superposisi memungkinkan utk membentuk fungsi pemaksa komplex = jumlah dr fungsi pemaksa real dan fungsi pemaksa imajiner 17 / 23

18 Sumber Komplex Jumlah fungsi pemaksa yg real dan imajiner: V m cos(ωt + θ) + j V m sin(ωt + θ) seharusnya menghasilkan tanggapan komplex: I m cos(ωt + φ) + j I m sin(ωt + φ) Sumber dan tanggapan komplex ditulis dgn identitas Euler: V m e j(ωt+θ) I m e j(ωt+φ) Sumber real sumber komplex respon komplex respon real krn persamaan integrodiferensial mnjd persamaan aljabar 18 / 23

19 Alternatif Aljabar utk Pers Diferensial [1] Rangkaian RL: Sumber real terpasang tanggapan real, namun V m cos ωt = Re{V m cos ωt + j V m sin ωt} = Re{V m e j(ωt) } Sumber komplex akan menghasilkan tanggapan komplex: V m e j(ωt) I m e j(ωt+φ) Dgn menerapkan KVL dpt dijabarkan persamaan diferensial: Ri + L di dt = v s 19 / 23

20 Alternatif Aljabar utk Pers Diferensial [2] Penyulihan tegangan & arus komplex menghasilkan pers aljabar: R I m e j(ωt+φ) + jωl I m e j(ωt+φ) = V m e j(ωt) Pembagian dgn faktor-bersama e jωt menghasilkan: sehingga R I m e jφ + jωl I m e jφ = V m atau I m e jφ (R + jωl) = V m I m e jφ = V m R + jωl Jk sisi kanan dinyatakan dlm bentuk exponensial mk diperoleh I m e jφ = V m R 2 + ω 2 L 2 ej[ tan 1 (ωl/r)] 20 / 23

21 Alternatif Aljabar utk Pers Diferensial [3] Dgn demikian, komponen 2 dr arus tanggapan komplex: ( ) V m ωl I m = dan φ = tan 1 R 2 + ω 2 L 2 R Utk mendapatkan tanggapan yg real, kedua sisi persamaan arus tanggapan komplex dikalikan dgn e jωt I m e jφ e jωt = I m e j[ωt+φ] = V m R 2 + ω 2 L 2 ej[ tan 1 (ωl/r)] e jωt V m R 2 + ω 2 L 2 ej[ωt tan 1 (ωl/r)] Pengambilan bagian real dari persamaan terakhir menghasilkan arus tanggapan real: ( ) V m i(t) = I m cos(ωt + φ) = R 2 + ω 2 L cos 1 ωl ωt tan 2 R 21 / 23

22 Contoh 2 [1] Utk rangkaian RC di sebelah kiri, sulihkan sumber komplex yg tepat dan gunakan sumber ini utk menentukan tegangan kapasitor yg ajeg Jawab: Sumber tegangan real 3 cos 5t V dpt digantikan oleh sumber tegangan komplex 3 e j5t V dan rangkaian berubah mnjd yg di sebelah kanan Dgn menerapkan KVL, persamaan diferensial dpt diperoleh 3 e j5t + 1 i C 2 + v C 2 = 0 3 e j5t + 2 dv C 2 dt + v C 2 = 0 22 / 23

23 Contoh 2 [2] Dianggap tanggapan ajeg memiliki bentuk yg sama seperti sumber: v C 2 = V m e j5t Penyulihan tanggapan ini ke dlm persamaan diferensial menghasilkan: j10v m e j5t + V m e j5t = 3 e j5t Pelenyapan eksponensil e j5t menghasilkan: ( ) 3 V m = 1 + j10 = tan 1 V 1 Alhasil, tegangan kapasitor dlm keadaan-ajeg adalah v C = Re{v C 2 } = Re{298.5 e j84.3 e j5t mv} = cos(5t 84.3 ) mv 23 / 23