SENSITIVITAS UKURAN AMATAN MODEL AUTOREGRESI FUZZY SUCI ANGGRAYANI

Transkripsi

1 SENSITIVITAS UKURAN AMATAN MODEL AUTOREGRESI FUZZY SUCI ANGGRAYANI DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Sensitivitas Ukuran Amatan Model Autoregresi Fuzzy adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Januari 2014 Suci Anggrayani NIM G

4 ABSTRAK SUCI ANGGRAYANI. Sensitivitas Ukuran Amatan Model Autoregresi Fuzzy. Dibimbing oleh ITASIA DINA SULVIANTI dan YENNI ANGRAINI. Metode pemodelan yang umum digunakan dalam analisis deret waktu adalah Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). Metode ARIMA lebih efektif diterapkan pada data dengan ukuran amatan besar, sekurangkurangnya 50. Tseng pada tahun 2001 memperkenalkan metode ARIMA Fuzzy untuk melakukan pemodelan data deret waktu dengan ukuran amatan terbatas. ARIMA fuzzy menggabungkan keunggulan penelitian sebelumnya, yakni logika fuzzy, ARIMA dan regresi fuzzy. Merujuk pada penelitian Tseng, penelitian ini akan menelusuri selang ukuran deret waktu yang optimal apabila dilakukan pemodelan autoregresi fuzzy pada kondisi tertentu. Hasil penelitian menunjukkan bahwa model ARIMA fuzzy pada kondisi data deret waktu AR(2) dengan µ=50 dan dugaan parameter 1 =0.600 dan 2 =0.300 lebih sensitif ketika ukuran amatan kurang dari 20. Kata kunci: ARIMA Fuzzy, Logika Fuzzy, Regresi Fuzzy ABSTRACT SUCI ANGGRAYANI. The Sensitivity of Observation Size for Fuzzy Autoregression Model. Advised by ITASIA DINA SULVIANTI and YENNI ANGRAINI. The conventional time series modelling method is Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). ARIMA method is more effective if it is applied in long time periode of observations that at least 50 observations. Tseng on 2001, introduced Fuzzy ARIMA method to deal time series modelling on short time periode of observations. Fuzzy ARIMA combines the advantages of fuzzy logic, ARIMA and fuzzy regression. Considering Tseng s study the aim of this study is tracing the optimal observation range size when fuzzy ARIMA method is applied at the curent condition. The result of this study indicated that fuzzy ARIMA when the condition of time series data AR(2) with µ=50 and parameter estimation 1 =0.600 and 2 =0.300 was more sensitive when the observation size less than 20. Key words: fuzzy ARIMA, fuzzy logic, fuzzy regression

5 SENSITIVITAS UKURAN AMATAN MODEL AUTOREGRESI FUZZY SUCI ANGGRAYANI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

6

7 Judul Skripsi : Sensitivitas Ukuran Amatan Model Autoregresi Fuzzy Nama : Suci Anggrayani NIM : G Disetujui oleh Dra Itasia Dina Sulvianti, MSi Pembimbing I Yenni Angraini, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Ir Hari Wijayanto, MSi Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Tiada kata yang pantas diucapkan selain puja dan puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan karunia yang luar biasa kepada penulis. Shalawat beserta salam semoga selalu tercurahlimpahkan kepada baginda Rasulullah SAW beserta keluarga, sahabat dan pengikutnya. Merupakan kebahagiaan yang tidak terkira akhirnya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini sebagai salah satu syarat kelulusan studi di Departemen Statistika FMIPA IPB. Walaupun tidak dapat dituliskan satu persatu, namun penulis menghaturkan banyak terima kasih kepada: 1. Ibu Dra Itasia Dina Sulvianti, MSi beserta Ibu Yenni Angraini, MSi selaku komisi pembimbing yang dengan penuh kesabaran membimbing serta memberikan saran dan dorongan kepada penulis untuk menyelesaikan tugas akhir ini. 2. Ibu Dian Kusumaningrum, MSi selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dan arahan. 3. Abah, Mama, Yuga Nugraha dan Moch. Irsyad Gunawan yang tak bosanbosannya memberikan doa dan dukungan agar dapat secepatnya menyelesaikan tugas akhir ini. 4. Rekan-rekan Statistika 2009 atas kebersamaan dalam suka maupun duka. Akhir kata, semoga tugas akhir ini bermanfaat sehingga menjadi suatu amalan yang tidak terputus bagi penulis dan semua pihak yang telah turut membantu. Aamiin. Bogor, Januari 2014 Suci Anggrayani

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL viii DAFTAR GAMBAR viii DAFTAR LAMPIRAN viii PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 TINJAUAN PUSTAKA 2 Konsep Himpunan Fuzzy 2 Regresi Fuzzy 3 ARIMA Fuzzy 4 METODOLOGI 5 Bahan 5 Metode 5 HASIL DAN PEMBAHASAN 6 Pemeriksaan Program 6 Autoregresi Fuzzy 10 Simulasi Sensitivitas Ukuran Amatan Optimum 13 SIMPULAN DAN SARAN 16 Simpulan 16 Saran 16 DAFTAR PUSTAKA 16 RIWAYAT HIDUP 29

10 DAFTAR TABEL 1 Ilustrasi data deret waktu hasil bangkitan 7 2 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(1) untuk data ilustrasi 9 3 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(2) untuk data ilustrasi 9 4 Deskripsi nilai dugaan parameter model AR untuk berbagai ukuran amatan 10 5 Hasil keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy 11 6 Ukuran kebaikan model RMSE untuk data ilustrasi 13 DAFTAR GAMBAR 1 Fungsi keanggotaan segitiga 3 2 Plot data bangkitan terhadap deret waktu (a) t=10; (b) t= Plot ACF data bangkitan (a) t=10; (b) t= Plot PACF data bangkitan (a) t=10; (b) t= Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t= Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t= Plot Rataan RMSE prediksi model AR dan ARF 14 8 Plot peluang nilai RMSE model ARF<AR 14 9 Plot rataan RMSE ramalan model AR dan ARF Plot peluang nilai RMSE prediksi model ARF<AR 15 DAFTAR LAMPIRAN 1 Keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy 17 2 Nilai RMSE prediksi 25 3 Nilai RMSE ramalan 27

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Model ARIMA yang diperkenalkan oleh Box dan Jenkins pada tahun 1976 telah banyak diterapkan dalam kegiatan peramalan. Model ARIMA memiliki asumsi bahwa nilai di masa yang akan datang memiliki hubungan fungsional dengan nilai di masa sekarang dan nilai di masa lampau serta galat bersifat white noise, yang berarti bahwa galat bersifat bebas dengan rataan dan ragam konstan (Wei 1989). Keunggulan model ARIMA adalah memiliki akurasi peramalan yang baik untuk periode waktu pendek, akan tetapi model ARIMA juga memiliki keterbatasan yakni dalam hal ukuran amatan. Tidak ada aturan yang mengikat terkait ukuran amatan minimum yang diperlukan dalam pemodelan ARIMA. Beberapa penulis mengatakan ukuran amatan minimal adalah 30, beberapa mengatakan 50 dan yang lainnya mengatakan 60 (Yaffee 1999). Tseng et al. pada tahun 2001 mengatakan setidaknya ukuran amatan yang dibutuhkan adalah 50 dan akan lebih baik apabila di atas 100. Model ARIMA menggunakan konsep measurement error atau kesalahan pengukuran yang diperoleh dari perbedaan antara data prediksi dengan data aktual. Kenyataannya, data aktual yang diperoleh merupakan nilai yang tepat dan tidak termasuk dalam kesalahan pengukuran (Tseng et al. 2001). Model regresi fuzzy dikembangkan oleh Tanaka dan Watada (Tseng et al. 2001). Model ini digunakan untuk menangani masalah regresi untuk jumlah amatan yang terbatas. Konsep dasar dari model ini adalah penyimpangan antara data aktual dan nilai prediksi diasumsikan sebagai akibat dari ketidakjelasan sistem atau kekaburan dari dugaan parameter regresi, bukan kesalahan pengukuran. Hasil prediksi dari model regresi fuzzy adalah berupa selang. Kelemahan dari model ini adalah apabila terdapat pencilan maka dugaan yang berupa selang tersebut akan semakin lebar. Model ARIMA dapat diterapkan pada data dengan ukuran amatan terbatas dengan upaya menggabungkanya dengan konsep regresi fuzzy. Konsep ini dikenal dengan ARIMA fuzzy yang dicetuskan oleh Tseng et al. pada tahun Model ARIMA fuzzy digunakan Tseng et al. untuk melakukan peramalan kurs mata uang Dollar Taiwan terhadap Dollar Amerika. Hasil penelitian tersebut menyatakan bahwa ARIMA fuzzy dengan model spesifik autoregresi fuzzy (ARF), terbukti memiliki hasil prediksi yang lebih baik daripada model autoregresi (AR) untuk data dengan ukuran amatan terbatas. Melalui perbandingan kebaikan model antara model AR dan ARF, maka akan diperoleh ukuran amatan maksimum apabila dilakukan pemodelan ARF. Ukuran amatan tersebut dapat pula diartikan sebagai ukuran amatan minimum yang masih baik apabila dilakukan pemodelan AR untuk kondisi data tertentu. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan batasan ukuran pengamatan yang mulai sensitif apabila dilakukan pemodelan data deret waktu dengan metode autoregresi fuzzy.

12 2 TINJAUAN PUSTAKA Konsep Himpunan Fuzzy Konsep himpunan fuzzy atau himpunan kabur diperkenalkan oleh Lotfi A. Zadeh pada tahun Konsep ini merupakan tahap pengembangan dari konsep bilangan crisp atau tegas. Himpunan tegas hanya dapat merepresentasikan pengertian benar atau salah, sedangkan himpunan fuzzy mampu merepresentasikan pengertian nilai antara benar dan salah. Ilustrasinya adalah jika terdapat peubah suhu ruangan maka himpunan tegas hanya dapat menjelaskan panas atau dingin, sedangkan himpunan fuzzy dapat menjelaskan panas, sedang dan dingin. Konsep fuzzy sering digunakan untuk mengekspresikan suatu nilai yang diterjemahkan ke dalam bahasa atau linguistik. Jika X merupakan suatu himpunan dengan angota-anggotanya dilambangkan dengan x, nilai keanggotaan x dalam suatu himpunan A yang diperoleh dari fungsi didefinisikan dengan: Nilai keanggotaan bilangan tegas merupakan bilangan diskret yang hanya memiliki dua kemungkinan, yakni yang berarti benar atau x merupakan anggota dari himpunan A serta yang berarti salah atau x tidak menjadi anggota himpunan A. Nilai keanggotaan bilangan fuzzy merupakan bilangan kontinu antara 0 hingga 1 yang berarti suatu nilai dapat tergabung dalam benar dan salah secara bersamaan. Nilai dari himpunan fuzzy tersebut ditentukan oleh fungsi keanggotaan. Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu fungsi yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaan bilangan fuzzy. Terdapat beberapa fungsi yang dapat digunakan melalui pendekatan fungsi untuk mendapatkan nilai keanggotaan seperti linier, triangular, trapezoidal, Gaussian, dan Generalized Bell (Kusumadewi 2010). Fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy yang digunakan pada penelitian ini adalah fungsi keanggotaan segitiga dengan persamaan fungsi keanggotaan sebagai berikut: { ainnya dengan A(x i ) merupakan nilai keanggotaan nilai non-fuzzy x i pada himpunan fuzzy A, i merupakan nilai tengah bilangan fuzzy dan c i merupakan sebaran dari bilangan fuzzy. Grafik keanggotaan segitiga dapat dilihat pada Gambar 1.

13 3 Gambar 1 Fungsi keanggotaan segitiga Regresi Fuzzy Regresi fuzzy dikembangkan oleh Tanaka pada tahun Regresi fuzzy digunakan untuk menangani masalah regresi dengan jumlah ukuran amatan terbatas. Konsep dasar dari regresi fuzzy adalah bahwa penyimpangan antara nilai penduga dengan nilai aktual tidak diperoleh dari kesalahan nilai pengukuran (measurement error), akan tetapi diperoleh dari ketidakjelasan sistem atau kekaburan dari koefisien regresi. Hal ini menandakan bahwa nilai residual diakibatkan oleh ketidakpastian parameter dalam model. Model umum regresi fuzzy adalah sebagai berikut: dengan adalah nilai respon fuzzy, X i adalah peubah bebas, untuk i=0,1,2,...n adalah koefisien regresi fuzzy peubah bebas ke-i (Saphiro 2005). Koefisien fuzzy merupakan suatu fungsi yang memiliki dua parameter yakni yang merupakan nilai tengah (middle value) dan c yang merupakan sebaran (spread). Koefisien fuzzy dapat ditulis dalam bentuk sehingga persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut: Koefisien fuzzy diperoleh melalui penyelesaian permasalahan program linier dengan cara meminimumkan tingkat kekaburan S (vagueness) yang didefinisikan sebagai penjumlahan dari penyebaran masing-masing parameter fuzzy dalam model. Nilai objektif dari model regresi pada data non-fuzzy digunakan untuk memperoleh parameter sehingga setiap observasi yang mengandung nilai y j didekatkan dengan nilai keanggotaan yang lebih besar dari h, dengan sesuai dengan persamaan berikut: untu dengan h menunjukkan tingkat kekaburan dari parameter fuzzy yang ada dalam model dan ditentukan secara subjektif dengan nilai antara 0 hingga 1. Indeks

14 4 j=0,1,2,...k menunjukkan ukuran amatan yang digunakan untuk membangun model regresi fuzzy, sedangkan untuk menentukan parameter dari regresi fuzzy telah dirumuskan oleh Tanaka (dalam Tseng et al. 2001) dengan mengkonversi persamaan tersebut ke dalam permasalahan pemrograman linier berikut: minimumkan : kendala : ( - ) -( - ) ARIMA Fuzzy Peramalan dengan menggunakan model ARIMA memiliki keuntungan berupa keakuratan ramalan untuk jangka waktu yang cukup singkat, namun memiliki keterbatasan dalam hal ketersediaan data. Jumlah amatan minimal yang digunakan adalah 50 dan akan lebih baik lagi apabila jumlah amatan yang digunakan lebih dari 100 (Tseng et al. 2001). Regresi fuzzy digunakan untuk menangani masalah regresi dengan jumlah amatan terbatas. Penggabungan keuntungan antara model ARIMA dan model regresi fuzzy untuk membangun model ARIMA fuzzy diharapkan mampu memodelkan data deret waktu dengan jumlah amatan terbatas sehingga diperoleh hasil peramalan yang lebih baik. Mengadaptasi dari metode yang dikembangkan oleh Ishibuchi dan Tanaka (dalam Tseng et al. 2001) maka formulasi model ARIMA fuzzy adalah sebagai berikut: Jika ( - ) serta terdapat konstanta, maka persamaan di atas dapat diuraikan menjadi: dengan Y t adalah observasi ke-t, dan merupakan koefisien fuzzy. Persamaan di atas dimodifikasi menjadi: atau Sama halnya dengan regresi fuzzy, nilai dugaan parameter diperoleh dengan peminimuman nilai kekaburan (S) melalui solusi permasalahan pemrograman linier. Perbedaan formulasi antara regresi fuzzy dengan ARIMA fuzzy terletak pada fungsi objektif. Fungsi objektif ARIMA fuzzy dilakukan pembobotan nilai PACF untuk model AR dan nilai ACF untuk model MA yang nyata pada setiap lagnya. Nilai dugaan parameter fuzzy dapat diperoleh melalui persamaan berikut:

15 5 Minimumkan: Kendala: ( - ) ( - - ) ( - ) ( - - ) untu se ua (Tseng et al. 2001). METODOLOGI Bahan Data yang digunakan dalam penelitian ini diperoleh dari hasil pembangkitan data deret waktu dengan model AR(2) t dan =50, dengan parameter bangkitan ϕ 1 =0.600 dan ϕ 2 =0.300 Ukuran amatan yang digunakan dalam pemodelan dibagi ke dalam delapan kategori dengan masing-masing kategori berukuran 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, dan 45. Ukuran amatan yang digunakan dalam validasi atau peramalan untuk setiap ketegori adalah 5 periode. Nilai keanggotaan fuzzy (h) yang digunakan adalah h=0. Metode Penelitian ini dilakukan melalui proses simulasi. Data dibangkitkan dengan bantuan piranti lunak R Tahapan-tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini terangkum dalam algoritma berikut: 1. Membangkitkan data model AR(2) untuk t=10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, dan 45 dengan parameter bangkitan ϕ. dan ϕ. yang diulang sebanyak 30 kali. 2. Memeriksa data bangkitan AR melalui tahapan analisis ARIMA Box-Jenkins. Model AR (p) adalah sebagai berikut: ϕ ϕ ϕ dengan t adalah banyaknya periode atau ukuran amatan data deret waktu, Y t adalah data deret waktu pada periode ke-t, ϕ i untuk i=1,2,...,p adalah parameter autoregresi orde pertama hingga ke-p, adalah konstanta yang diperoleh dari - ϕ serta e t adalah galat pada periode ke-t. Tahapan analisis ARIMA adalah sebagai berikut: a. Melakukan eksplorasi data untuk mengetahui pola data dan kestasioneran secara visual data deret waktu. b. Mengidentifikasi model melalui plot fungsi autokorelasi (ACF) dan autokorelasi parsial (PACF) guna menentukan model-model tentatif.

16 6 c. Menduga parameter dengan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) atau MLE. Metode ini dilakukan dengan cara memaksimumkan fungsi kemungkinan berdasarkan fungsi sebaran galat ( ). d. Mendiagnosa model. e. Melakukan overfitting, yakni memeriksa model terdekat yang memiliki galat lebih minimum. f. Melakukan peramalan (Wei 2005). 3. Menentukan model autoregresi fuzzy (ARF) yang meliputi tahapan berikut ini. a. Melakukan fuzzifikasi dugaan parameter yang diperoleh dari model AR ke dalam fungsi keanggotaan segitiga. Persamaan AR(p) fuzzy adalah sebagai berikut: p atau b. Menduga parameter dan dari solusi dari pemrograman linier peminimuman nilai kekaburan (S). - dengan kendala: - ( - )( - ), - - ( - )( - ) 4. Melakukan peramalan. 5. Membandingkan kedua metode berdasarkan ukuran kebaikan model RMSE prediksi dan ramalan. 6. Melakukan tahapan 1-5 untuk ukuran amatan data deret waktu berbeda. 7. Menentukan ukuran amatan ketika model ARF lebih baik dari model AR. HASIL DAN PEMBAHASAN Pemeriksaan Program Pemeriksaan program dilakukan untuk mengetahui program yang dibuat telah berjalan dengan baik serta memberikan hasil yang tepat. Tahapan program yang dibuat adalah sebagai berikut. Program Pembangkitan Data Program pembangkitan data yang baik akan menghasilkan keluaran sesuai dengan kondisi yang diinginkan. Hal ini perlu dilakukan karena akan berpengaruh

17 terhadap pembuktian metode yang diuji yang nantinya akan berpengaruh pula terhadap kesimpulan yang diperoleh. Ilustrasi dilakukan dengan mengambil masing-masing satu set data deret waktu hasil bangkitan dengan perintah arima.sim untuk ukuran amatan 10 dan 45 yang terangkum dalam Tabel 1. Tabel 1 Ilustrasi data deret waktu hasil bangkitan 7 t Y t t Y t t Y t t Y t t Y t t= t= Program pendugaan parameter AR Tahapan berikutnya yakni memeriksa kesesuaian nilai dugaan parameter data deret waktu yang dibangkitkan dengan parameter yang diharapkan. Tahapan ini dilakukan dengan mengidentifikasi model melalui plot data terhadap waktu serta korelogram (plot ACF dan PACF), menduga parameter dan mendiagnosa model. Plot data terhadap waktu digunakan untuk melihat kestasioneran data baik dalam rataan maupun ragam. Berdasarkan Gambar 2, plot data terlihat memiliki pola naik, seolah data tidak stasioner terhadap rataan maupun ragam. Hal ini dikarenakan ukuran amatan yang digunakan dalam pemodelan terbatas sehingga berpengaruh pada skala grafik sehingga kerenggangan antar amatan terlihat jelas akan tetapi, jika ukuran amatan besar plot data akan terlihat lebih stasioner. Gambar 2 Plot data bangkitan terhadap deret waktu (a) t=10; (b) t=45

18 8 Plot ACF pada Gambar 3 memperlihatkan bahwa nilai autokorelasi untuk kedua ukuran amatan turun secara perlahan. Plot PACF pada Gambar 4 memperlihatkan bahwa nilai autokorelasi parsial nyata pada lag pertama lebih signifikan daripada lag lainnya untuk kedua ukuran amatan. Hal tersebut mengindikasikan bahwa model dugaan deret waktu untuk kedua ukuran amatan adalah AR(1). Berdasarkan plot ACF dan PACF, tidak diperoleh model dugaan yang sesuai dengan model bangkitan AR(2). Hal ini dikarenakan ukuran amatan data deret waktu kecil yang berakibat pada nilai galat baku autokorelasi (S rk ) menjadi besar. Nilai digunakan untuk pengujian hipotesis nilai autokorelasi dan autokorelasi parsial. Hipotesis untuk pengujian korelasi adalah sebagai berikut: H 0 : H 1 : H 0 ditolak jika r k >S rk atau r k >2/. (Cryer,2008) Gambar 3 Plot ACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45 Gambar 4 Plot PACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45

19 Setelah diperoleh model dugaan awal, tahap berikutnya adalah menduga parameter AR(1). Berdasarkan Tabel 2, diperoleh ϕ. untuk model dengan ukuran amatan 10 sedangkan untuk ukuran amatan 45 diperoleh nilai ϕ.. Untuk mengetahui keberadaan model lain yang lebih baik dari model dugaan awal maka tahapan berikutnya adalah melakukan overfitting, yakni menduga model terdekat yang lebih baik dari model dugaan awal. Model terdekat dari model AR(1) adalah AR(2). Hasil dugaan model AR(2) untuk kedua ukuran amatan terangkum dalam Tabel 3. Berdasarkan Tabel 3 diperoleh nilai ϕ. dan ϕ. untuk ukuran amatan 10 sedangkan untuk ukuran amatan 45 diperoleh nilai ϕ. dan ϕ.305. Keragaman model AR(2) lebih kecil dari model AR(1). Hal ini mengindikasikan bahwa model AR(2) lebih baik dari AR(1). Selain itu nilai dugaan parameter AR(2) lebih mendekati nilai parameter data bangkitan. Tabel 2 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(1) untuk data ilustrasi 9 t 10 Nilai dugaan Koefisien Galat baku s 2 Log likelihood AR Konstanta AIC AR Konstanta Tabel 3 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(2) untuk data ilustrasi t 10 Nilai dugaan Koefisien Galat baku s 2 Log likelihood AR AR Konstanta AIC AR AR Konstanta Berdasarkan hasil pemeriksaan pada kedua set data tersebut, maka model yang sesuai adalah model AR(2) dengan dugaan parameter mendekati parameter bangkitan yakni 1 =0.600 dan 2 = Deskripsi nilai dugaan parameter model AR untuk setiap ukuran amatan dapat dilihat pada Tabel 4. Berdasarkan hasil yang diperoleh, rataan dugaan parameter 1 berada di sekitar nilai dengan simpangan baku maksimum sebesar 0.012, sedangkan untuk nilai rataan dugaan parameter 2 berada di sekitar nilai dengan simpangan baku maksimum

20 Hal tersebut mengindikasikan bahwa program pembangkitan yang telah dibuat sudah berjalan dengan baik dan memenuhi kriteria yang diinginkan. Tabel 4 Deskripsi nilai dugaan parameter model AR untuk berbagai ukuran amatan Ukuran amatan Parameter Rataan Simpangan baku Nilai minimum Nilai maksimum ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Autoregresi Fuzzy Model autoregresi fuzzy (ARF) merupakan analisis lanjutan dari model Autoregresi Box-Jenkins (AR). Setelah diperoleh nilai dugaan parameter AR, maka selanjutnya dilakukan proses optimasi berupa peminimuman fungsi kekaburan (S). Ilutrasi dilakukan dengan menduga model autoregresi fuzzy pada set data series yang berukuran 10 dan 45 yang diperoleh dari tahapan sebelumnya. Berdasarkan proses pendugaan model Box-Jenkins, maka untuk kedua set data tersebut diperoleh persamaan AR(2) secara berturut-turut sebagai berikut: Nilai PACF yang nyata pada kedua lag untuk data ilustrasi dengan ukuran amatan 10 yakni. dan., sedangkan untuk ukuran amatan 45 diperoleh nilai. dan.. Model AR(p) yang diperoleh merupakan dasar dari penentuan jumlah parameter fuzzy yang akan diduga. Jika diperoleh model AR(2) yang memiliki konstanta, maka jumlah parameter fuzzy yang diduga sebanyak tiga yang masing-masing parameter terdiri dari c i dan i.

21 Tahapan berikutnya adalah menentukan nilai dugaan parameter fuzzy, yaitu yang berupa mean atau nilai tengah dari W t serta yang berupa spread atau sebaran dari W t. Ilustrasi pendugaan parameter model ARF diterapkan pada data dengan ukuran amatan 10. Adapun nilai-nilai yang telah diperoleh pada pendugaan parameter model AR disubstitusikan ke dalam persamaan berikut: Minimunkan : S Kendala: Sebelum memperoleh nilai dan, maka terlebih dahulu menentukan nilai h (nilai keanggotaan) yang nilainya terletak antara 0 hingga 1 dengan cara trial and error ke dalam fungsi peminimuman. Pemilihan nilai h berpengaruh terhadap lebar selang dugaan. Semakin besar h mengakibatkan semakin lebar selang kepercayaan dugaan (Razak 2012). Proses peminimuman fungsi dilakukan melalui sistem pemrograman linier menggunakan metode simpleks. Hal yang sama juga dilakukan untuk ukuran amatan 45. Hasil keluaran proses tersebut dapat dilihat pada Tabel 5, sedangkan untuk keluaran proses optimasi data secara keseluruhan terlampir pada Lampiran 1. Tabel 5 Hasil keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy t Nilai optimasi c 0 c 1 c Persamaan model autoregresi fuzzy untuk ukuran data 10 dan 45 berturutturut adalah sebagai berikut:

22 Berdasarkan persamaan tersebut maka diperoleh model ARF batas bawah yang dihasilkan melalui pengurangan nilai tengah ( i ) oleh nilai sebaran (c i ) serta model ARF batas atas yang diperoleh dengan penjumlahan i dengan c i. Plot data dugaan yang berupa selang juga dapat dilihat pada Gambar 5 dan Gambar 6. Data Dugaan Periode Aktual AR FAR Batas Bawah AR Batas Atas AR Batas Bawah ARF Batas Atas ARF Ramalan Gambar 5 Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t= Dugaan Ramalan Data Periode Aktual AR ARF Batas Bawah AR Batas Atas AR Batas Bawah ARF Batas Atas ARF Gambar 6 Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=45

23 Hasil ukuran kebaikan nilai dugaan dan ramalan terangkum dalam Tabel 6. Ukuran kebaikan yang digunakan adalah Root Mean Square Error (RMSE). Nilai RMSE yang kecil mengindikasikan perbedaan nilai dugaan dengan nilai aktual kecil yang artinya semakin kecil nilai RMSE maka model akan semakin baik. Adapun nilai RMSE prediksi untuk model AR dan ARF untuk ukuran amatan 10 berturut-turut adalah dan Nilai RMSE model ARF lebih kecil dari ARF yang berarti bahwa untuk pendugaan pada ukuran amatan 10 model ARF lebih baik daripada AR. Nilai RMSE prediksi untuk model AR dan ARF untuk ukuran amatan 45 berturut-turut adalah dan Nilai RMSE model AR lebih kecil daripada ARF yang berarti bahwa untuk kondisi ukuran amatan 45 pada set data tersebut model AR masih lebih baik daripada ARF. Nilai RMSE ramalan model AR dan ARF berturut-turut adalah dan 0.574, sedangkan untuk nilai RMSE ramalan model AR dan ARF berturut-turut adalah dan Nilai RMSE ramalan ARF untuk kedua ukuran amatan di atas lebih kecil daripada nilai RMSE ramalan model AR yang berarti bhwa untuk peramalan lima periode ke depan lebih baik menggunakan model AR. Tabel 6 Ukuran kebaikan model RMSE untuk data ilustrasi RMSE AR ARF dugaan t=10 ramalan t=45 dugaan ramalan Simulasi Sensitivitas Ukuran Amatan Optimum Simulasi dilakukan dengan membangkitkan data dari setiap kategori ukuran amatan. Selanjutnya dilakukan penyeleksian dari data bangkitan tersebut yang memiliki nilai dugaan parameter mendekati nilai parameter bangkitan dengan jumlah ulangan untuk setiap kategori sejumlah 30. Setiap ulangan tersebut dilakukan pendugaan AR dan ARF sehingga diperoleh ukuran kebaikan model RMSE prediksi dan ramalan lima periode ke depan pada Gambar 7 dan Gambar 8. Nilai RMSE data secara keseluruhan untuk dugaan terlampir pada Lampiran 2 sedangkan untuk peramalan terlampir pada Lampiran 3. Berdasarkan ukuran kebaikan pendugaan RMSE, semakin kecil nilai RMSE maka semakin baik model tersebut. Plot RMSE pada Gambar 7 menunjukkan bahwa nilai RMSE AR lebih kecil ketika ukuran amatan 20, 25, 30, 35, dan 45. Nilai RMSE model AR lebih kecil dari RMSE model AR ketika ukuran amatan 15 dan 10. Titik potong garis rataan RMSE berada pada ukuran amatan 15 sampai 20. Hal ini menunjukan bahwa metode ARF lebih sensitif yang berarti memberikan hasil dugaan yang lebih baik apabila diterapkan pada data yang memiliki ukuran amatan antara kurang dari 20.

24 14 Rataan RMSE Ukuran amatan AR ARF Gambar 7 Plot Rataan RMSE prediksi model AR dan ARF Selain menggunakan rataan RMSE, untuk mengetahui sensitivitas model ARF digunakan juga ukuran perbandingan menggunakan nilai peluang. Peluang yang digunakan adalah peluang nilai RMSE model ARF yang lebih kecil dari model AR. Hasil yang diperoleh terangkum dalam Gambar 8. Berdasarkan Gambar 8 peluang model ARF lebih baik dari AR. Nilai peluang tersebut semakin kecil seiring dengan peningkatan ukuran amatan. Adapun nilai peluang mencapai 50% ketika ukuran amatan kurang dari 20 sehingga pada selang ukuran amatan tersebut dapat dikataan bahwa hasil pendugaan model ARF lebih baik daripada model AR. 100 Peluang (%) Ukuran amatan Gambar 8 Plot peluang nilai RMSE model ARF<AR Berdasarkan nilai keakuratan peramalan untuk setiap ukuran amatan, nilai RMSE model AR selalu lebih kecil daripada model ARF. Artinya model AR masih memiliki keakuratan peramalan lebih baik daripada model ARF. Nilai rataan RMSE ramalan AR paling besar berada ketika ukuran amatan 25 serta nilai rataan RMSE ramalan model AR terkecil ketika ukuran amatan 45. Nilai rataan RMSE ramalan model ARF terbesar adalah ketika ukuran amatan 15 dan terkecil ketika berada pada ukuran amatan 40. Merujuk pada Gambar 9, nilai RMSE

25 ramalan cenderung berfluktuatif yang berarti bahwa tidak diperoleh pola penurunan atau kenaikan nilai RMSE berdasarkan perubahan ukuran amatan Rataan RMSE AR ARF Ukuran amatan Gambar 9 Plot rataan RMSE ramalan model AR dan ARF Sama halnya dengan plot rataan RMSE, plot peluang nilai RMSE ramalan juga tidak membentuk pola dan cenderung berfluktuatif. Nilai peluang RMSE ramalan model ARF kurang dari RMSE ramalan model AR. Nilai peluang terbesar diperoleh ketika ukuran amatan sebesar 25, sedangkan nilai peluang terkecil diperoleh ketika ukuran amatan 15. Nilai peluang yang kurang dari 50% untuk semua ukuran amatan mengindikasikan bahwa untuk peramalan lima periode ke depan model AR masih lebih baik daripada model ARF Peluang (%) Ukuran amatan Gambar 10 Plot peluang nilai RMSE prediksi model ARF<AR

26 16 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Hasil penelitian menunjukkan bahwa dugaan model autoregresi fuzzy pada kondisi data deret waktu AR(2) dengan, dugaan parameter mendekati ϕ. dan ϕ. serta rataan 50 lebih sensitif ketika ukuran amatan kurang dari 20. Proses prediksi dengan menggunakan model autoregresi fuzzy menghasilkan selang yang lebih akurat. Saran Saran dari penelitian ini adalah perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk nilai keanggotaan (h) serta fungsi keanggotaan yang lainnya. DAFTAR PUSTAKA Cryer DJ, Chan KS Time Series Analysis with Applications in R. New York (US): John Wiley and Sons, Inc. Kusumadewi S, Purnomo H Aplikasi Logika Fuzzy. Yogyakarta (ID): Graha Ilmu. Razak A Metode Autoregressive Fuzzy Time Series untuk Peramalan [tesis]. Surabaya (ID): Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Saphiro FA Fuzzy Regression Models [artikel]. Pennsylvania (US): Penn State University. Tseng FM, Tzeng GH, Yu HC, Yuan BJ Fuzzy ARIMA Model for Forecasting The Foreign Exchange Market. Fuzzy Sets and Systems [Internet]. [diunduh pada 2013 Mei 13]; 118: Tersedia pada: Wei WS Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. Philladelphia (US): Pearson Addison Wesley. Yafee AR, McGee M Introduction to Time Series Analysis and Forecasting with Application of SAS and SPSS. New York (US): Academic Press Inc.

27 17 Lampiran 1 Keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy a. Ukuran amatan 10 m Nilai minimum c 0 c 1 c

28 18 Lanjutan b. Ukuran amatan 15 m Nilai minimum c 0 c 1 c

29 19 Lanjutan c. Ukuran amatan 20 m Nilai minimum c 0 c 1 c

30 20 Lanjutan d. Ukuran amatan 25 m Nilai minimum c 0 c 1 c

31 21 Lanjutan e. Ukuran amatan 30 m Nilai minimum c 0 c 1 c

32 22 Lanjutan f. Ukuran amatan 35 m Nilai minimum c 0 c 1 c

33 23 Lanjutan g. Ukuran amatan 40 m Nilai minimum c 0 c 1 c

34 24 Lanjutan h. Ukuran amatan 45 m Nilai minimum c 0 c 1 c

35 25 Lampiran 2 Nilai RMSE prediksi a. Model autoregresi m Ukuran amatan Rataan

36 26 Lanjutan b. Model autoregresi fuzzy m Ukuran amatan Rataan

37 27 Lampiran 3 Nilai RMSE ramalan a. Model autoregresi m Ukuran amatan Rataan

38 28 Lanjutan b. Model autoregresi fuzzy m Ukuran amatan Rataan