USAID Prioritizing Reform, Innovation, and Opportunities for Reaching Indonesia s Teachers, Administrators, and Students (USAID PRIORITAS)

Transkripsi

1

2

3 USAID Prioritizing Reform, Innovation, and Opportunities for Reaching Indonesia s Teachers, Administrators, and Students (USAID PRIORITAS) MODUL IV PRAKTIK YANG BAIK DI SEKOLAH MENENGAH PERTAMA/MADRASAH TSANAWIYAH (SMP/MTs) PEMBELAJARAN MATEMATIKA [Training Module IV - Good Practices in The Junior Secondary School: Teaching Mathematics] Contract AID-497-C March 2017 Prepared for USAID/Indonesia Prepared by RTI International 3040 Cornwallis Road Post Office Box Research Triangle Park, NC RTI International is a registered trademark and a trade name of Research Triangle Institute. The authors views expressed in this publication do not necessarily reflect the views of the United States Agency for International Development or the United States Government.

4

5 PRAKTIK YANG BAIK DI SEKOLAH MENENGAH PERTAMA dan MADRASAH TSANAWIYAH (SMP dan MTs) Modul Pelatihan 4: Matematika Maret 2017

6 Modul pelatihan ini dikembangkan dengan dukungan penuh rakyat Amerika melalui United States Agency for International Development (USAID). Isi dari materi pembelajaran ini merupakan tanggung jawab konsorsium Program USAID Prioritizing Reform, Innovation, and Opprtunities for Reaching Indonesia s Teachers, Administrators, and Students (PRIORITAS) dan tidak mencerminkan pandangan USAID atau pemerintah Amerika Serikat.

7

8

9 Pengantar Pengantar Daftar Isi Halaman Unit 1 Garis Tinggi Segitiga 1 Unit 2 Operasi Bilangan Bulat 17 Unit 3 Persamaan Garis Lurus 31 Unit 4 Pembagian Pecahan 49 Unit 5 Penyajian Data dalam Statistika 65 Unit 6 Bentuk Aljabar 81 Modul Pelatihan Praktik yang Baik di SMP dan MTs IV v

10 Pengantar Pengantar Pengantar Kata Pengantar Program Prioritizing Reform, Innovation and Opportunities for Reaching Indonesia s Teachers, Administrators and Students (PRIORITAS) yang didanai oleh USAID bekerja sama dengan Pemerintah Indonesia dilaksanakan untuk mendukung Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan serta Kementerian Agama dalam meningkatkan akses pendidikan dasar yang bermutu. Untuk mencapai tujuan tersebut, PRIORITAS mengembangkan dan melaksanakan program pengembangan kapasitas yang terdiri dari pelatihan, pendampingan, kegiatan kelompok kerja di tingkat sekolah maupun gugus. Sasaran program pengembangan kapasitas ini adalah guru dan dosen Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan (LPTK), kepala sekolah, komite sekolah, serta pengawas dan staf Dinas Pendidikan terkait di kabupaten terpilih di tujuah propinsi mitra PRIORITAS, yaitu: Aceh, Sumatra Utara, Banten, Jawa Barat, Jawa Tengah, Jawa Timur, Sulawesi Selatan. Pelatihan bagi dosen dilaksanakan melalui kerja sama dengan sejumlah LPTK terpilih untuk pengembangan peran LPTK sebagai penyedia layanan untuk pendidikan dalam jabatan. Modul IV yang digunakan dalam pelatihan ini berfokus pada isi/materi mata pelajaran daripada metodologi seperti modul-modul sebelumnya (Modul I, II, dan III). Materi tersebut meliputi mata pelajaran: Literasi kelas awal, IPA, dan Matematika (SD/MI); Bahasa Indonesia, IPA, dan Matematika (SMP/MTs) dan tertuang dalam modul terpisah untuk tiap mata pelajaran dan jenjang sekolah tersebut. Jadi, modul IV ini berjumlah 6 modul, 3 buah untuk SD/MI dan 3 buah untuk SMP/MTs. Modul Pelatihan Praktik yang Baik untuk Sekolah Menengah tingkat Pertama dan Madrasah Tsanawiyah ini memuat materi yang terkait Bilangan, Geomentri, Aljabar, dan Statistika. Pemilihan materi dalam modul Matematika ini pada umumnya berdasar pada miskonsepsi (salah paham), kesulitan siswa dalam memahami, dan/atau kesulitan guru dalam mengajarkan konsep dalam materi tersebut. Dengan demikian, pelatihan yang menggunakan modul ini diharapkan dapat memperkaya pengetahuan dan pemahaman guru terkait materi tersebut sehingga masalah miskonsepsi atau kesulitan yang dialami guru dalam mengajarmateri itu sedikit demi sedikit dapat diatasi. Secara garis besar, modul ini berisi materi-materi berikut. Unit 1: Garis Tinggi Segitiga. Pada unit ini peserta diminta untuk berurun pengalaman tentang miskonsepsi siswa yang pernah mereka alami pada siswa mereka. Selanjutnya, mereka diminta mengamati hasil kerja siswa dan menganalisis apa saja miskonsepsi yang terlihat, memperkirakan penyebabnya, dan merumuskan kegiatan untuk mengatasi atau menghindari miskonsepsi tersebut. Peserta juga diminta menggambar garis tinggi berbagai segitiga, termasuk segitiga tumpul, dan dengan berbagai posisi segitiga. Di akhir mereka diminta merumuskan definisi garistinggi segitigan yang berlakuk untuk semua jenis segitiga. vi Modul Pelatihan Praktik yang Baik di SMP dan MTs IV

11 Pengantar Pengantar Unit 2: Operasi Bilangan Bulat. Unit ini membahas kesulitan siswa dalam memahami dan kesulitan guru dalam mengajarkan operasi bilangan yang melibatkan bilangan bulat negatif. Pada unit ini diperkenalkan cara/peragaan hadap kiri/kanan dan maju/mundur pada garis bilangan untuk menyelesaikan operasi bilangan yang melibatkan bilangan bulat negatif. Peserta menyimulasikan bagaimana proses menjumlah/mengurang yang melibatkan bilangan bulat negatif dengan meneapkan cara hadap kiri/kanan dan maju/mundur pada garis bilangan yang mereka buat di lantai atau dinding. Unit 3: Persamaan Garis Lurus. Unit ini membahas miskonsepsi siswa terkait gradien atau koefisien arah garis lurus dan gradien suatu garis lurus yang tegak lurus dengan garis tertentu. Kemungkinan penyebab dan cara mengatasi/menghindari miskonsepsi tersebut juga diidentifikasi dan dirumuskan. Peserta diminta menggambar grafik dari persamaan garis lurus yang disediakan, merumuskan kembali pengertian gradient suatu garis lurus, menemukan persamaan garis lurus yang melalui satu titik dan yang melalui dua titik. Unit 4: Pembagian Pecahan. Unit ini membahas kekurangpahaman siswa terkait pembagian pecahan, yaitu bagaimana penyelesaian pembagian pecahan oleh pecahan menjadi proses perkalian dimana pecahan pembagi menjadi pecahan sebaliknya (2/3 : 4/5 = 2/3 x 5/4). Peserta diminta mengungkapkan pengalaman mereka bagaimana mengajarkan pembagian pecahan. Mereka juga diminta untuk berpendapat tentang apakah model pecahan berbasis himpunan, garis bilangan, dan luas daerah dapat digunakan untuk menjelaskan kosep pembagian pecahan. Di akhir, peserta diminta merancang lembar kerja untuk menanamkan konsep pembagian pecahan kepada siswa. Unit 5: Penyajian Data dalam Statistika. Unit ini membahas miskonsepsi siswa terkait ketepatan penggunaan jenis diagram untuk jenis data tertentu: Diagram batang sering digunakan untuk menggambarkan keadaan tertentu dimana datanya bersifat kontinyu (hasil mengukur), misal untuk menggambarkan perkembangan suhu harian pada rentang waktu tertentu. Demikian sebaliknya, data diskrit (hasil mencacah) digambarkan dengan diagram garis/grafik. Dalam unit ini dibahas pula penyajian data dalam bentuk table kontingensi. Unit 6: Bentuk Aljabar. Unit ini membahas miskonsepsi siswa terkait variabel, konstanta, dan koefisien. Siswa masih sering bingung antara variabel dan symbol biasa. Misal, ketika ada konteks Di ruang kelas ada 20 meja dan 40 kursi Siswa menulisnya 20 m + 40 k. Huruf m dan k dianggap siswa sebagai variabel, padahal m dan k tidak mewakili nilai apalagi nilai yang bervariasi. Peserta diminta mendefinisikan kembali arti variabel, konstanta, dan koefisien. Di akhir, peserta diminta membuat soal cerita yang yang dapat dimodelkan dalam bentuk a x + b, a dan b 0 dan x adalah variabel. Modul Pelatihan Praktik yang Baik di SMP dan MTs IV vii

12 Pengantar Pengantar Pengantar JADWAL PELATIHAN Berikut adalah contoh Jadwal Pelatihan untuk Pelatih (TOT) Provinsi. Jadwal Pelatihan untuk Pelatih (ToT) Modul 4 Provinsi Matematika SMP/MTs Waktu Unit Materi Keterangan Hari - 0 (Persiapan) Penjelasan umum tim penyusun modul dan fasilitator Tim fasilitator melakukan persiapan ToT: - Bedah modul dan memahami langkah setiap unit, - cek kelengkapan hand-out dan Power Point, - mengatur ruang, - mengecek perlengkapan lainnya, - Gladi bersih pembukaan, dll. Hari 1 Pembukaan a. Menyanyikan lagu Indonesia Raya (5 ) b. Sambutan Penjelasan program daan modul oleh perwakilan USAID PRIORITAS (10 ) Doa dan penutup (5 ) - Kontrak belajar Penjelasan modul 4 Matematika Unit 1 Garis Tinggi Segitiga Istirahat Garis Tinggi Segitiga (lanjutan) Unit 2 Operasi Bilangan Bulat Isama Operasi Bilangan Bulat (lanjutan) Unit 3 Persamaan Garis Lurus Istirahat Unit 3 Persamaan Garis Lurus (lanjutan) Pleno 2 Ruang untuk 2 kelompok (SD/MI dan SMP/MTs) (Siang hari peserta check In) viii Modul Pelatihan Praktik yang Baik di SMP dan MTs IV

13 Pengantar Pengantar Hari Unit 4 Pembagian Pecahan Istirahat Unit 5 Penyajian Data dalam Statistika Isama Unit Penutupan Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta Catatan: ATK Alat tulis kantor (ATK) yang diperlukan dalam pelatihan ini: Kertas plano/flipchart, karton manila, HVS (putih, biru, hijau, kuning, pink), post-it warna-warni, selotip kertas, lem stick, gunting sedang, cutter, penggaris plastik 30 cm, dan white-board marker. (Jumlah yang dibutuhkan untuk tiap butir ATK harus dihitung tersendiri berdasarkan jumlah peserta pelatihan). TIK Alat yang perlu ada untuk mendukung sesi presentasi di lokasi pelatihan adalah: a. Proyektor LCD b. Laptop atau desktop untuk presentasi c. Layar proyektor LCD Modul Pelatihan Praktik yang Baik di SMP dan MTs IV ix

14 UNIT 1 Pembelajaran Aktif SD/SMP UNIT 1 GARIS TINGGI SEGITIGA 1

15

16 UNIT 1 Pembelajaran Aktif SD/SMP 1

17

18 UNIT 1 Garis Tinggi Segitiga UNIT 1 GARIS TINGGI SEGITIGA Pendahuluan Geometri merupakan salah satu pokok bahasan matematika sekolah yang diajarkan di setiap jenjang pendidikan. Pembelajaran geometri di sekolah secara umum dimaksudkan untuk mengembangkan kemampuan bernalar siswa yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah. Siswa sedang mengamati contoh-contoh barisan bilangan aritmatika Pentingnya geometri dipelajari dan barisan geometri yang terdapat pada a tabel dalam lembar kerja. di sekolah (1) geometri membantu manusia memiliki apresiasi yang utuh tentang dunianya, (2) eksplorasi geometri dapat membantu mengembangkan keterampilan pemecahan masalah, (3) geometri memainkan peranan utama dalam bidang matematika lainnya, (4) geometri digunakan oleh banyak orang dalam kehidupan sehari hari, (5) geometri penuh dengan tantangan dan menarik (Thompson dan Van de Walle, ) Pada kenyataannya, masih ada masalah yang dihadapi dalam materi geometri di sekolah. Masalah-masalah tersebut dimungkinkan karena beberapa hal, diantaranya (1) Buku pegangan siswa tidak banyak memberikan fasilitas untuk melakukan aktivitas matematika, tetapi sebatas memberikan informasi rumus, (2) Alat peraga menemukan rumus luas daerah segitiga di samping, seringkali disampaikan dengan cara mendemonstrasikan di depan kelas oleh guru, sehingga siswa lebih banyak mendengarkan penjelasan guru. Hal ini bertentangan dengan prinsip pembelajaran aktif, yaitu siswa lebih banyak MENGALAMI atau MELAKUKAN untuk menghasilkan karya (Fink, ). Fakta tersebut diperlemah dengan tidak banyaknya pelatihan atau kegiatan di MGMP yang membantu guru untuk menyampaikan konten. Kesalahan yang konkret ditampilkan dalam hal ini adalah kekuranglengkapan definisi yang diberikan dalam buku teks SMP/MTs. kelas 7 yang dimiliki oleh siswa. Contoh definisi yang diberikan adalah sebagai berikut. 1 Thompson, C. S., & Van de Walle, J. (1985). Let's Do It: Patterns and Geometry with Logo. Arithmetic Teacher, 32(7), Fink, L. D. (1999). Active learning. Instructional Development Program. University of Oklahoma. 3

19 UNIT 1 Garis Tinggi Segitiga Definisi Alas segitiga merupakan salah satu sisi dari suatu segitiga, sedangkan tingginya adalah garis yang tegak lurus dengan sisi alas dan melalui titik sudut yang berhadapan dengan sisi alas Di samping itu, ilustrasi yang dimunculkan sebagai penjelas definisi belum mampu mengakomodir keberlakukan secara umum dari definisi yang diberikan. Contoh ilustrasi tersebut dapat dilihat pada gambar 1.1. padahal gambar tersebut akan sering dilihat sehingga punya peran terhadap terpatrinya konsep yang belum lengkap tentang garis tinggi tersebut. Efek domino dari pemahaman yang belum lengkap ini siswa akan kesulitan menentukan garis tinggi dari suatu segitiga tumpul, dan berlanjut juga pada problemproblem berkaitan dengan luas daerah segitiga. Berdasarkan uraian di atas pembelajaran geometri terutama materi segitiga, yaitu tentang konsep tinggi suatu segitiga menjadi penting untuk dilakukan. Tujuan Setelah mengikuti sesi ini, peserta mampu: 1. memahami tentang konsep tinggi suatu segitiga, baik segitiga lancip maupun segitiga tumpul 2. memanfaatkan konsep garis tinggi suatu segitiga dalam menyelesaikan permasalahan matematis tentang segitiga. Petunjuk Umum 1. Sesi ini dilaksanakan secara pleno atau kelompok mata pelajaran; 2. Untuk menjalankan slide presentasi, fasilitator disarankan untuk menggunakan wireless mouse/pointer. Sumber dan Bahan 1. Materi Presentasi Unit I-Menemukan Luas Daerah Segitiga 2. Lembar kerja peserta (LKP) penggalian pengetahuan, LKP 1.1. dan dan LKP 1.2, dan informasi tambahan. 4

20 UNIT 1 Garis Tinggi Segitiga Waktu Waktu yang disediakan untuk kegiatan ini adalah 120 menit. Rincian alokasi waktu dapat dilihat pada Perincian Langkah-langkah Kegiatan. Garis Besar Kegiatan (120 menit) Introduction 5 menit Connection 15 menit Application 80 menit Reflection 15 menit Extension 5 menit Fasilitator menyampaikan latar belakang, tujuan, dan garis besar kegiatan Diskusi tentang penyebab terjadinya miskonsepsi ttg garis tinggi segitiga. Identifikasi berbagai akibat miskonsepsi tersebut. Kegiatan 1: Memperkirakan Pengertian Garis Tinggi Segitiga (15 ) Kegiatan 2: Memahami Konsep Garis Tinggi Segitiga (25 ) Kegiatan 3: Merancang LK garis tinggi segitiga (40 ) Peserta menjawab pertanyaan tentang keberlakukan rumus luas segitiga pada beberapa segitiga dengan alas dan tinggi yang sama Penguatan terkait definisi garis tinggi suatu segitiga Saran untuk mencobakan LK dan mencatat efektivitas LK dalam menghindarkan miskonsepsi siswa tentang garis tinggi I Perincian Langkah-langkah Kegiatan Introduction (5 menit) (1) Fasilitator menyampaikan latar belakang, tujuan, dan garis besar kegiatan yang akan dilakukan pada unit ini. 5

21 UNIT 1 Garis Tinggi Segitiga C Connection (25 menit) (1) Fasilitator meminta peserta untuk mengungkapkan pengalaman mereka tentang miskonsepsi siswa terkait garistinggi segitiga berpandu pada pertanyaan: Apa saja miskonsepsi yang biasa terjadi pada siswa terkait garis tinggi segitiga? Apa sajakah penyebab miskonsepsi tersebut? Apa saja akibat miskonsepsi tersebut? (2) Fasilitator mencatat pengalaman mereka di atas. A Application (80 menit) Kegiatan 1: Menuliskan Pengertian Garis Tinggi Suatu Segitiga (40 ) (1) Peserta, secara berpasangan dan menggunakan LKP 1.1, diminta untuk menuliskan pengertian Garis Tinggi Segitiga, berpandu pada pertanyaan dan tugas berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan garis tinggi suatu segitiga? Lukis garis tinggi segitiga ABC pada gambar yang diketahui. (2) Tiap pasangan diminta saling menyampaikan hasil kerja mereka dan mendiskusikannya terutama dalam hal: a. Kelengkapan pengertian garis tinggi; b. Ketepatan gambar garis tinggi dikaitkan dengan pengertian yang dirumuskannya. (3) Fasilitator memimpin penyepakatan tentang pengertian garis tinggi segitiga Kegiatan 2: Memahami Konsep Tinggi Suatu Segitiga (15 ) (1) Peserta, secara berpasangan dan menggunakan LKP 1.2, diminta untuk mendiskusikan Garis Tinggi Segitiga, berpandu pada pertanyaan dan tugas berikut: 1. Sebutkanlah pasangan titik dan sisi yang berhadapan dalam segitiga yang diketahui; 2. Lukislah garis tinggi berbagai segitiga pada gambar yang diketahui. - Apakah ada garis tinggi yang TIDAK bisa Anda lukis? Mengapa? - Bagaimana Anda mengatasi hal tersebut? (2) Dengan pengalaman kegiatan 2 ini, peserta diminta melengkapi pengertian Garis Tinggi yang dirumuskan pada kegiatan 1 (Jika diperlukan) (3) Secara perorangan, peserta diminta membaca Informasi Tambahan 1.1 terkait garis tinggi segitiga. 6

22 UNIT 1 Garis Tinggi Segitiga Kegiatan 3: Merancang Lembar Kerja (40 ) (1) Peserta, secara berpasangan merancang lembar kerja tentang garis tinggi segitiga yang menjamin siswa tidak miskonsepsi; (2) Dalam kelompok masing-masing, peserta diminta saling berbagai hasil kerja dan memberikan komentar terutama dalam hal: - Apakah LK yang dibuat cukup efektif menghindarkan siswa dari miskonsepsi tentang garis tinggi segitiga. R Reflection (15 menit) Fasilitator memberikan pertanyaan sebagai berikut. Coba perhatikan gambar dibawah ini. C D G F A B Jika rumus luas daerah segitiga adalah alas x ½ tinggi, diantara daerah segitiga ABC, ABD, dan EFG di atas, manakah yang memiliki luasan terbesar? Berikan penjelasan. E Catatan untuk Fasilitator Pertanyaan ini memberikan tantangan sekaligus memastikan peserta memahami konsep tinggi dan luas segitiga yang sudah diperoleh dari kegiatan-kegiatan sebelumnya. 7

23 UNIT 1 Garis Tinggi Segitiga Jika garis-garis CF dan AE merupakan garis-garis yang sejajar, dengan menganggap alasnya AB pada segitiga ABC dan ABD, dan GF pada segitiga EFG, maka panjang garis tinggi dari segitiga ABC, ABD, dan EFG adalah sama. Lihat gambar di bawah ini. Setelah itu, kita dapat melihat bahwa ketiga segitiga memiliki alas yang sama, yakni pada segitiga ABC alasnya AB, pada segitiga ABD, alasnya AB dan pada segitiga EFG alasnya FG (AB=FG). Dengan demikian ketiga segitiga memiliki alas yang sama dan tinggi yang sama. Tanpa melihat bentuknya, dengan rumus yang diperoleh, bahwa L = 1 a. t 2 Maka segitiga ABC, ABD, dan EFG memiliki luasan yang sama. (Yang dimaksud luas segitiga adalah luas DAERAH segitiga; a adalah panjang alas ; tinggi adalah panjang garis tinggi ) E Extension (5 menit) Fasilitator menyarankan agar, sepulang pelatihan, peserta: a. mencobakan lembar kerja di kelas masing-masing; dan b. mencatat apakah LK cukup efektif/apakah ada miskonsepsi lain terkait garis tinggi ini. 8

24 UNIT 1 Garis Tinggi Segitiga Lembar Kerja Peserta 1.1 Tinggi Suatu Segitiga Kegiatan 1 Perhatikanlah gambar di bawah ini C A B Setelah memperhatikan gambar tersebut, 1. Menurut Anda, apakah yang dimaksud dengan garis tinggi dari suatu segitiga 2. Lukiskan garis tinggi segitiga ABC pada gambar tersebut 9

25 UNIT 1 Garis Tinggi Segitiga Kegiatan 2 1. Pada segitiga-segitiga di bawah ini, lukislah garis tinggi dari masing-masing segitiga jika alas segitiga tersebut adalah sisi yang berlabel a! a a a a a a a a a a 10

26 UNIT 1 Garis Tinggi Segitiga Lembar Kerja Peserta 1.2 Konsep Garis Tinggi suatu Segitiga Kegiatan 1 Salah satu definisi Segitiga adalah Suatu polygon yang terdiri dari tiga sisi dan tiga titik sudut. Unsur-unsur pada segitiga yang berupa sisi dan titik memiliki letak yang berpasangan atau berhadapan. X Sebutkan pasangan-pasangan titik dan sisi yang berhadapan pada segitiga VWX di samping. V W U T Sebutkan pasangan-pasangan titik dan sisi yang berhadapan pada segitiga STU di samping. S R Q Sebutkan pasangan-pasangan titik dan sisi yang berhadapan pada segitiga PQR di samping. P 11

27 UNIT 1 Garis Tinggi Segitiga Kegiatan 2 Garis tingggi merupakan salahsatu garis istimewa pada segitiga. Pemahaman yang baik tentang garis tinggi akan membantu pemahaman selanjutnya pada materi segitiga, terutama tentang luas segitiga. Petunjuk: Lukislah garis tinggi segitiga-segitiga di bawah ini dengan sisi alas yang telah ditentukan. Q Lukiskan garis tinggi pada segitiga PQR jika alasnya adalah sisi PR. R P Q Lukiskan garis tinggi pada segitiga PQR jika alasnya adalah sisi PQ. R P Q R Lukiskan garis tinggi pada segitiga PQR jika alasnya adalah sisi RQ. P 12

28 UNIT 1 Garis Tinggi Segitiga Informasi Tambahan 1.1 Garis Tinggi Segitiga Definisi Garis Tinggi suatu Segitiga Garis Tinggi Segitiga adalah garis yang melalui salah satu titik sudut segitiga dan tegak lurus dengan sisi atau perpanjangan sisi di depannya. Jika dilihat dari definisi tersebut maka unsur titik dan sisi adalah dua hal yang berpasangan, atau yang disebut dalam kalimat tersebut adalah berhadapan: Lihat segitiga di bawah ini. C A Gambar 1: Model segitiga ABC B Masing-masing sisi pada segitiga segitiga memiliki hak yang sama untuk berperan sebagai alas. Dengan kata lain alas tidak hanya sisi AB, tetapi kita juga bisa mengatakan segitiga ABC, dengan alasnya BC, segitiga ABC dengan alasnya AC. Hal ini nanti akan berpengaruh terhadap penentuan garis tinggi suatu segitga, yaitu memilih dan/atau membuat garis yang tegak lurus dengan alas tersebut. Sekali lagi lihat gambar 1 di atas. Maka kita dapat menentukan pasangan-pasangan antara titik-titik pada segitiga dengan sisi-sisi pada segitiga tersebut, yakni Titik A berhadapan dengan sisi BC Titik B berhadapaan dengan sisi AC Titik C berhadapan dengan sisi AB Hal yang sama juga bisa kita terapkan pada segitiga tumpul. Lihat contoh berikut ini. R Q P Gambar 2: Model segitiga tumpul 13

29 UNIT 1 Garis Tinggi Segitiga Pada segitiga tersebut, kita dapat mengatakan bahwa Titik P berhadapan dengan sisi QR Titik Q berhadapaan dengan sisi PR Titik R berhadapan dengan sisi PQ Jika definisi serta pasangan titik dan garis tersebut dipahami dengan baik, maka akan menjadi jelas bagaimana menemukan dan melukiskan garsis tingggi yang benar dari suatu segitiga. Misalkan kita diminta membuat garis tinggi segitiga dengan alas AB pada segitiga ABC di bawah ini, kita tentukan titik di hadapan sisi AB adalah titik C, maka kita tinggal menarik garis melalui C yang tegaklurus dengan AB. C A D Demikian juga ketika kita diminta untuk menentukan garis tinggi dengan alas BC, maka kita tentukan titik yang dihadapan BC adalah A. Pada hal yang demikian, maka kita harus melakukan perpanjangan sisi BC terlebih dahulu. B D C B A Pengetahuan tentang garis tinggi suatu segitiga ini juga akan memiliki pengaruh untuk konsep yang selanjutnya, yaitu pada materi Luas Daerah Segitiga. (Yang dimaksud tinggi segitiga adalah panjang garis tinggi segitiga ) 14

30 UNIT 1 Garis Tinggi Segitiga MATERI PRESENTASI UNIT 1 15

31 UNIT 1 Garis Tinggi Segitiga 16

32 UNIT 2 OPERASI BILANGAN BULAT

33 UNIT 2 Operasi Bilangan Bulat 18

34 UNIT 2 Operasi Bilangan Bulat UNIT 2 OPERASI BILANGAN BULAT Pendahuluan Siswa sedang bermain domino aljabar dalam pembelajaran matematika.pada umumnya, konsep operasi bilangan disampaikan dengan metode ceramah bukan melalui aktivitas konstruksi sendiri oleh siswa melalui serangkaian aktivitas pembelajaran. Begitu juga, strategi komputasi untuk menentukan hasil operasi bilangan bulat berwujud prosedur yang hanya dihapal dan dilatihkan melalui drill and practice. Siswa sedang bermain domino aljabar dalam pembelajaran matematika. Bahkan seringkali penggunaan konteks untuk merepresentasikan operasi bilangan yang digunakan tidak tepat dan tidak konsisten, hal ini menimbulkan kebingunan dan kesulitan dalam menerapkannya. Sebagai contoh, penggunaan konteks utang dan bayar untuk merepresentasikan bilangan negatif dan operasi penjumlahan. Misalkan, operasi 4 3 berarti punya utang 4 kemudian utang lagi 3 maka utangnya menjadi 7 atau (-7), maka hasilnya 4 3 = 7. Akan tetapi, konteks ini menjadi sangat rumit ketika operasinya 4 ( 3), maka konteksnya menjadi rumit yakni punya utang 4 kemudian utang lagi sebanyak utang 3. Penggunaan garis bilangan yang diajarkan sebagai strategi komputasi seringkali prinsip/aturannya tidak konsisten (inkonsinsten). Hal ini memicu kebingungan dalam menerapkannya. Sebagai contoh, untuk memperagakan bentuk pengurangan 2-5, diperagakan sebagai berikut: Gambar 2.1 Inkonsisten tersebut ditunjukkan lambang operasi bilangan yang berupa pengurangan/pembagian menunjukkan arah menghadap atau maju mundunya model yang digunakan. 19

35 UNIT 2 Operasi Bilangan Bulat Tujuan Setelah mengikuti sesi ini, para peserta mampu: 1. merekonstruksi konsep dan strategi komputasi operasi penjumlahan dan pengurangan yang melibatkan bilangan bulat negatif 2. merekonstruksi konsep dan strategi komputasi operasi perkalian dan pembagian yang melibatkan bilangan bulat negative. Sumber dan Bahan 1. Materi Presentasi Unit 8b 2. Lembar Kerja Peserta Lembar Kerja Peserta ATK: (lihat Pengantar modul) Waktu 120 menit Garis Besar Kegiatan Introduction 5 menit Connection 15 menit Application 85 menit Reflection 10 menit Extension 5 menit Fasilitator menjelaskan: Latar belakang pembahasan topik, tujuan pembelajaran dan garis besar kegiatan. Ungkap gagasan /pengalaman: - strategi - media - kelebihan/ke kurangan - kesulitan untuk mengajarkan pengurangan dan perkalian yg melibatkan bilangan bulat negatif Kegiatan 1: Menemukan aturan operasi pengurangan bilangan bulat negatif Kegiatan 2: Menemukan aturan operasi perkalian. Kegiatan 3: Merancang LK Pertanyaan efektivitas cara yang diperkenalkan Perlu tidaknya peragaan/media ketika siswa diminta untuk menyelesaikan 1012 ( 435)? 4056 ( 534)? Saran untuk: menemukan cara/media lain untuk pengurangan dan perkalian bil. negatif mencobakan LK yang dibuat 20

36 UNIT 2 Operasi Bilangan Bulat Rincian Langkah Kegiatan I Introduction (5 menit) (1) Fasilitator menyampaikan latar belakang/alasan topik ini dibahas, yaitu Konsep/strategi operasi bilangan bulat yang melibatkan bilangan negatif disampaikan secara ceramah dan bersifat prosedural Masih terdapat kebingungan pada siswa, terutama pada operasi pengurangan bilangan bulat negatif dan perkalian bilangan bulat negatif. Aturan penggunaan garis bilangan yang tidak konsisten dan tidak lengkap dalam menentukan hasil operasi bilangan bulat (2) Fasilitator menyampaikan tujuan pembelajaran dari sesi ini, yaitu peserta mampu: Merekonstruksi konsep dan strategi komputasi operasi penjumlahan dan pengurangan yang melibatkan bilangan bulat negatif. Merekonstruksi konsep dan strategi komputasi operasi perkalian dan pembagian yang melibatkan bilangan bulat negatif. (3) Fasilitator menyampaikan garis besar kegiatan. C Connection (15 menit) Ungkap Pengalaman (1) Fasilitator meminta peserta untuk mengungkapkan pengalaman/pengetahuan pribadi maupun kebiasaan siswanya dalam menggunakan media dan strategi komputasi untuk menentukan hasil operasi bilangan bulat (Pengurangan dan perkalian yang melibatkan bilangan negatif); (2) Fasilitator meminta peserta mengungkapkan kelebihan dan kelemahan dari strategi komputasi yang biasa dilakukan guru atau yang diajarkannya pada siswa. (3) Fasilitator meminta peserta mengungkapkan kesulitan-kesulitan yang sering dijumpai oleh guru atau siswanya dalam mengajarkan maupun menggunakan strategi komputasi tersebut. (4) Fasilitator menuliskan pada kertas plano/papan tulis atau pada tayangan kegiatan yang disebutkan peserta agar dapat dilihat oleh semua peserta. 21

37 UNIT 2 Operasi Bilangan Bulat A Application (85 menit) A. Operasi Bilangan Bulat Kegiatan1: Operasi Pengurangan yang Melibatkan Bilangan Bulat Negatif (20 menit) (1) Fasilitator menjelaskan bahwa peserta akan menemukan aturan pengurangan bilangan bulat dan melaporkan cara dan hasil penyelesaian soal tersebut. (2) Secara berpasangan peserta menyelesaikan soal pada LKP 2.1 (3) Temukan strategi umum operasi pengurangan bilangan bulat negatif. (4) Presentasikan hasil tiap kelompok secara pleno (5) Kelompok lain memberikan tanggapan Catatan untuk fasilitator 1. Fasilitator melakukan modeling dengan menggunkaan LK Fasilitator membagikan Informasi Tambahan 2.1 Kegiatan 2: Operasi Perkalian yang Melibatkan Bilangan Bulat Negatif (25 menit) (1) Peserta masih dalam kelompok yang sama dengan kelompok pada kegiatan sebelumnya. (2) Fasilitator menggambar/menyiapkan garis bilangan diletakkan di depan. (3) Fasilitator membagikan Lembar Kerja 2.2, Ayo Mencari Harta Karun. (4) Fasilitator menjelaskan aturan bermain Tanda bilangan dari bilangan pertama mengindikasikan menghadapnya si pencari harta karun. Tanda + (positif) berarti ke kanan atau ke tanda bilangan positif. Tanda (negatif) berarti ke kiri atau ke tanda bilangan negatif. Tanda bilangan dari bilangan kedua mengindikasikan cara melangkah si pencari harta karun. Tanda + (positif) berarti maju. Tanda (negatif) berarti mundur. 22

38 UNIT 2 Operasi Bilangan Bulat Bilangan pertama merepresentasikan banyaknya lompatan/langkah si pencari harta karun. Bilangan kedua merepresentasikan lebar lompatan/langkah si pencari harta karun. (5) Peserta bermain secara simultan/paralel. Kegiatan 3: Merancang Lembar Kerja (40 menit) (1) Peserta diminta merancang lembar kerja terkait perkalian atau pengurangan yang melibatkan bilangan negatif (Kerja berpasangan, dalam kelompok perlu ada pasangan yang membuat LK pengurangan dan ada pasangan yang membuat LK perkalian) (2) Peserta diminta saling bertukar hasil kerja antar pasangan dan memberikan komentar (LK pengurangan ditukarkan dengan LK pengurangan pada kelompok lain; demikian juga untuk LK perkalian). Komentar difokuskan pada: Seberapa jauh LK mendorong siswa menemukan pola/cara? (3) Fasilitator memperlihatkan di pleno LK (yang dibuat peserta) yang dianggap paling baik dari segi mendorong siswa menemukan pola. R Reflection (10 menit) Fasilitator meminta beberapa peserta untuk mengungkapkan jawaban dari pertanyaan: Apakah cara dalam menerangkan operasi pengurangan dan perkalian yang melibatkan bilangan negatif seperti di atas sudah efektif? Apakah masih diperlukan peragaan/media ketika siswa diminta untuk menyelesaikan a) 1012 ( 435)? b) 4056 ( 534)? E Extension (5 menit) Fasilitator menyarankan peserta agar, sepulang dari pelatihan, peserta: 1. menemukan cara atau media lain untuk menemukan konsep pengurangan dan perkalian yang melibatkan bilangan bulat negatif; 2. mencoba LK yang dibuat masing-masing dan mengamati efektivitasnya. 23

39 UNIT 2 Operasi Bilangan Bulat Lembar Kerja Peserta 2.1 Salah satu startegi dalam mengajarkan operasi bilangan bulat, khususnya pada operasi pengurangan bilangan negatif, adalah dengan melihat pola-pola yang terjadi. Melihat pola pengurangan bilangan 1. Amati hasil operasi bilangan bulat di bawah ini. 5 4 = = = = = 5 Dari hasil pengamatan, apa yang dapat Anda simpulkan berkaiatan dengan bilangan pengurang dan hasilnya? 2. Dari simpulan dan pola tersebut, isikan operasi pengurangan selanjutnya di bawah ini. 5 ( 1) = 5 ( 2) = 5 ( 3) = 5 ( 4) = 5 ( 5) = 3. Coba sekarang bandingkan hasil-hasilnya dalam tabel di bawah ini. Fakta penjumlahan Fakta Pengurangan =... 5 ( 1) = =... 5 ( 2) = =... 5 ( 3) = =... 5 ( 4) = =... 5 ( 5) = Berdasarkan tabel di atas, jika a dan b adalah bilangan bulat, maka a ( b) =

40 UNIT 2 Operasi Bilangan Bulat Lembar Kerja Peserta 2.2 Sebuah kotak harta karun tersimpan di dalam salah satu gerbong kereta. Setiap gerbong diberi nomor seperti pada gambar. Serangkaian instruksi berikut akan menuntun Anda menemukan harta karun tersebut. Yuk kita cari! Petunjuk : Selesaikan instruksi berikut sesuai aturan yang diberikan oleh fasilitator. Kegiatan 1 Berjalan ke arah 1 x ( 2). Hasil pada langkah tersebut kemudian dikalikan dengan ( 2). Kemudian, kalikan dengan 3. Lalu tambahkan dengan ( 3). Terakhir kurangkan dengan 8. Pada gerbong berapakah letak harta karun tersebut? Kegiatan 2 Peta Rahasia Deskripsi Lokasi Harta Karun ( 3) ( 4) ( 3) Berdasarkan kegiatan bermain peran Mencari Harta Karun, Tuliskan kesimpulan yang kalian peroleh terkait konsep dan strategi komputasi operasi perkalian bilangan bulat. 25

41 UNIT 2 Operasi Bilangan Bulat Informasi Tambahan 2.1 Dalam menentukan hasil dari operasi pengurangan bilangan bulat, ada beberapa strategi yang dapat digunakan selain menggunakan pola bilangan seperti yang sudah dijelaskan dalam aktivitas. Strategi tersebut diantaranya adalah dengan menggunakan garis bilangan. Pengurangan Bilangan Bulat Aturan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat menggunakan garis bilangan. 1. Posisikan model di 0 (nol) 2. Bilangan pertama menunjukkan posisi atau letak bilangan pada garis bilangan. 3. Tanda pada bilangan kedua menunjukkan arah menghadap. Tanda + (positif) berarti model menghadap ke kanan sedangkan tanda (negatif) berarti model menghadap ke kiri. 4. Operasi menunjukkan arah. Penjumlahan berarti maju sedangkan pengurangan berarti mundur. Contoh peragaan penggunaan garis bilangan pada operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat: 1. 4 ( 3) = a. Tempatkan model pada koordinat 0, menghadap ke kanan (karena bilangan pertama positif. b. Langkahkan model satu langkah demi satu langkah menuju koordinat 4 (untuk menunjukkan bilangan pertama yaitu 4) c. Karena bilangan kedua bernilai negatif (yakni -3) maka model menghadap ke kiri 26

42 UNIT 2 Operasi Bilangan Bulat d. Karena operasinya adalah pengurangan maka model bergerak mundur satu langkah demi satu langkah sebanyak 3 langkah (karena bilangan keduanya adalah 3) e. Posisi terakhir pada langkah d menunjukkan berada diatas koordinat 7, berarti hasil operasi bilangan 4 ( 3) = 7 27

43 UNIT 2 Operasi Bilangan Bulat MATERI PRESENTASI UNIT 2 28

44 UNIT 2 Operasi Bilangan Bulat 29

45 UNIT 2 Operasi Bilangan Bulat 30

46 UNIT 1 Pembelajaran Aktif SD/SMP UNIT 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Modul Pelatihan Praktik yang Baik untuk Workshop PPG 1

47

48 UNIT 1 Pembelajaran Aktif SD/SMP Modul Pelatihan Praktik yang Baik untuk Workshop PPG 1

49

50 UNIT 3 UNIT C Persamaan Garis Lurus UNIT 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Pendahuluan Banyak persoalan dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan dengan persamaan garis lurus. Jika persoalan tersebut telah dimodelkan menjadi persamaan garis lurus, maka persamaan tersebut dapat digunakan untuk menaksir suatu nilai dari sebuah peristiwa. Sebagai contoh, seseorang dapat menaksir jarak yang mereka tempuh dengan kecepatan konstant dalam waktu tertentu. Begitu pula seseorang mudah memprediksi kecepatan kendaraannya jika akan menempuh jarak tertentu dengan waktu tertentu. Contoh lain di dalam memprediksi biaya produksi, sebuah perusahaan dapat membuat persamaan garis lurus dengan memperhitungkan fixed cost dan biaya produksi perunit untuk menaksir biaya yang harus dikeluarkan untuk memproduksi sejumlah unit barang. Berdasarkan pengalaman beberapa guru yang terlibat dalam penulisan buku, masih banyak ditemukan beberapa bentuk kesalahan konsepsi yang biasa terjadi ketika siswa telah mempelajari materi persamaan garis lurus, antara lain: 1) Kesalahan menentukan gradien atau koefisien arah garis lurus dari berbagai persamaan garis lurus yang diberikan, diantaranya: a. Pada persamaan 3y = 4x 5, siswa menjawab, gradiennya 4. b. Pada persamaan 3y 4x + 5 = 0 siswa menyebutkan gradien garisnya 4 5. c. Pada persamaan 4x = 3y 5, siswa menyebutkan gradiennya 3 4 menjawab gradiennya juga 3 4. Siswa belajar di halaman sekolah untuk membuktikan penerapan rumus kesebangunan. dan 3y = 4x 5 siswa 2) Kesalahan menentukan gradien suatu garis lurus yang tegak lurus dengan garis tertentu. Misalnya garis k yang tegak lurus dengan garis l dengan persamaan y = 2x + 3 mempunyai gradient m k = 1 dengan alasan bahwa hubungan gradien kedua garis itu adalah m k. m l = 1. 33

51 UNIT 3 Persamaan Garis Lurus Dari kesalahan konsepsi tersebut penting untuk dipikirkan pembelajaran yang mampu mereduksi miskonsepsi pada materi persamaan garis lurus. Tujuan Setelah mengikuti sesi ini, peserta mampu: 1. menjelaskan konsep garis lurus, gradien garis lurus, dan persamaan garis lurus. 2. menggambar grafik dan menggunakan persamaan garis lurus untuk menyelesaikan permasalahan. 3. menjelaskan hubungan antara dua buah garis lurus. 4. mengeleminir miskonsepsi yang dialami siswa SMP/MTs materi persamaan garis lurus. Petunjuk Umum 1. Sesi ini dilaksanakan secara pleno atau kelompok; 2. Agar pelaksanaan pembelajaran dapat berjalan dengan baik disarankan guru menyediakan/ melengkapi terlebih dahulu bahan dan alat yang dibutuhkan. 3. Jika infocus tidak tersedia, guru dapat terlebih dahulu menuliskan pada kertas plano beberapa hal penting dari materi yang akan dibelajarkan Sumber, Bahan, dan Alat 1. Materi Presentasi Unit 3 2. Lembar Kerja Peserta (LKP) 3. Pensil berbagai ukuran panjang, kertas berpetak, kertas plano, post-it, kertas HVS, penggaris, dan pulpen 4. Buku Guru dan Buku Siswa sesuai Kurikulum 2013, dan buku lainnya yang relevan Waktu Waktu yang disediakan untuk kegiatan ini adalah 120 menit. Rincian alokasi waktu dapat dilihat pada Perincian Langkah-langkah Kegiatan. 34 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs

52 UNIT 3 UNIT C Persamaan Garis Lurus Garis Besar Kegiatan (120 menit) Introduction 5 menit Connection 15 menit Application 85 menit Reflection 10 menit Extension 5 menit Fasilitator menyampaikan latar belakang, tujuan, dan garis besar kegiatan Ungkap gagasan tentang: Pengertian gradien dan persamaan garis lurus. Membahas contoh kasus penerapan persamaan garis lurus dalam kehidupan sehari-hari. Kegiatan 1: Menggambar grafik persamaan garis lurus. Kegiatan 2: Mengkontruksi pemahaman tentang gradien suatu garis lurus. Kegiatan 3: Menemukan hubungan gradien antara dua garis lurus. Kegiatan 4: menemukan persamaan garis lurus yang melalui satu titik dengan gradien m. Kegiatan 5: menemukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik. Peserta menjawab pertanyaan: berikan saransaran untuk penyesuian pembelajaran persamaan garis lurus untuk siswa SMP/MTs. Fasilitator memberi penguatan dan saran tindak lanjut. Perincian Langkah-langkah Kegiatan I Introduction (5 menit) (1) Fasilitator menyampaikan latar belakang, tujuan, dan garis besar kegiatan yang akan dilakukan pada unit ini sebagaimana yang terdapat pada slide. C Connection (10 menit) Kegiatan: Urun Gagasan/Pengalaman terkait materi Persamaan Garis Lurus (10 ) (1) Fasilitator mengajak peserta untuk URUN GAGASAN terkait pengertian persamaan garis lurus, gradien dan contohnya, dengan mengajukan pertanyaan seperti: (a) Apa yang Saudara ketahui tentang pengertian persamaan garis lurus? Berikan contohnya? (b) Apa pula yang Saudara ketahui tentang gradien suatu garis lurus? Berikan contohnya? (c) Berikan beberapa contoh miskonsepsi yang pernah dialami siswa ketika mempelajari persamaan garis lurus? 35

53 UNIT 3 Persamaan Garis Lurus (2) Fasilitator menayangkan gambar tentang berbagai kemiringan pencil (garis), dan mengajukan pertanyaan: Apa yang dapat Saudara katakan tentang berbagai kemiringan garis tersebut? (3) Catatan untuk fasilitator Jawaban yang diharapkan: ada kemiringan positif, ada kemiringan negatif, ada yang tegak lurus, dan ada yang sejajar. (4) Fasilitator menuliskan jawaban peserta di flipchart/white board. (Jawaban ini dapat menginspirasi peserta pada kegiatan selanjutnya, yaitu membahas contoh kasus persamaan garis lurus) Jawaban yang diberikan peserta dapat dipertegas oleh fasilitator untuk kebenarannya, misalnya dengan mengajukan kembali kepada peserta lain atau memberi penguatan atas jawaban peserta tersebut. A Application (90 menit) Kegiatan 1: Menggambar grafik Persamaan Garis Lurus (10 ) (1) Fasilitator meminta peserta untuk duduk berpasangan; (2) Fasilitator memberikan LKP 3.1 (tentang menggambar grafik persamaan garis lurus) (3) Fasilitator meminta peserta mencermati LKP 3.1, dan menanyakan hal-hal yang belum dipahami pada LKP 3.1 (4) Fasilitator menayangkan persamaan garis lurus y = 2x 6 melalui slide; (5) Peserta secara berpasangan menggambar grafik persamaan garis lurus y = 2x 6 dengan bantuan menuliskan tabel pasangan berurutan sebagai mana pada tayangan slide atau LKP 3.1; (6) Fasilitator meminta perwakilan pasangan secara pleno untuk mempresentasikan hasil kerja LKP 3.1 (7) Fasilitator meminta peserta lain untuk memberikan tanggapan terhadap hasil presentasi (8) Fasilitator memberikan penguatan hasil presentasi menggambar grafik persamaan garis lurus. (9) Fasilitator meminta peserta untuk menyelesaikan soal (b) 2y 4x = 4. Kegiatan 2: Mengkontruksi Pemahaman tentang Gradien Suatu Garis Lurus (35 ) (1) Fasilitator menayangkan gambar berkenaan dengan berbagai kemiringan pensil dengan variasi perbadingan panjang ordinat dan absisnya; (2) Fasilitator meminta peserta secara individu untuk menjawab pertanyaan tentang perbandingan panjang ruas garis tegak dengan ruas garis mendatar pada gambar. 36 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs

54 UNIT 3 UNIT C Persamaan Garis Lurus (3) Fasilitator membagikan LKP 3.2 (mengkonstruksi pemahaman tentang gradien), post-it, dan kertas plano kepada tiap-tiap kelompok. (4) Secara berkelompok, peserta melengkapi LKP 3.2, dan menuliskan pada kertas plano. (5) Peserta mempertukarkan hasil kerja kelompoknya dengan kelompok lain, memberikan komentar melalui post-it. (6) Peserta memperbaiki kembali hasil kerja kelompok berdasarkan masukan dari kelompok lain. Catatan untuk Fasilitator 1. Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (1) dan percobaan (3), berdasarkan dua buah garis tersebut, apa yang dapat Saudara simpulkan? Jawabannya: kedua garis tersebut sejajar, dan gradien ke dua garis tersebut sama yaitu ½. 2. Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (4) dan percobaan (8), berdasarkan dua buah garis tersebut, apa yang dapat Saudara simpulkan? Jawabannya: kedua garis tersebut saling tegak lurus, dan perkalian gradien garis pertama dengan gradien garis kedua sama dengan -1 atau m 1 x m 2 = Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (6) dan percobaan (7), berdasarkan dua buah garis tersebut, apa yang dapat Saudara simpulkan? Jawabannya: kedua garis tersebut saling tegak lurus, dan perkalian gradien garis pertama dengan gradien garis kedua sama dengan tak terdefenisi. Dari catatan (2) dan (3) dapat diambil kesimpulan: jika perkalian gradien dua garis tersebut sama dengan -1 maka dua garis tersebut saling tegak lurus, akan tetapi TIDAK SEBALIKNYA: semua garis yang saling tegak lurus perkalian gradiennya sama dengan -1, misal sumbu x dan sumbu y keduanya saling tegak lurus namun perkalian gradiennya tidak -1. (7) Berdasarkan hasil kerja LKP 3.2, fasilitator secara klasikal mengajukan pertanyaan: apa yang dimaksud dengan gradien? Bimbinglah peserta untuk menyimpulkan bahwa koefisien arah (gradien) garis yang melalui 2 titik (x 1, y 1 ) dan (x 2, y 2 ) adalah perbandingan antara : (y 2 y 1 ) (x 2 x 1 ). (x 1, y 1 ) dan (x 2, y 2 ) adalah dua titik yang dilalui oleh suatu garis lurus. 37

55 UNIT 3 Persamaan Garis Lurus Pengertian gradien: Gradien suatu garis adalah besar tangen sudut yang dibentuk oleh garis tersebut terhadap garis horizontal. Kegiatan 3: Menemukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Satu Titik dengan Gradien m (20 ) (1) Fasilitator meminta peserta untuk duduk berpasangan; (2) Fasilitator membagikan kertas plano, spidol, post-it, dan LKP 3.3 tentang (menemukan persamaan garis lurus yang melalui satu titik dengan gradien m). (3) Peserta mendiskusikan dengan pasangannya berkenaan dengan LKP 3.3. (4) Peserta dapat menuliskan penyelesaiannya pada kertas HVS. (5) Peserta mempertukarkan dengan pasangan lain hasil kerja LKP 3.3. (6) Peserta mengoreksi hasil pekerjaan pasangan teman Saudara, berikan masukan pada post-it dan tempelkan pada hasil kerja LKP 3.3 tersebut. (7) Peserta memeriksa kembali masukan dari pasangan lain, melakukan perbaikan sesuai dengan masukan tersebut. (8) Fasilitator memberikan penguatan terhadap hasil kerja peserta. Kegiatan 4: Menemukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik (25 ) (1) Setiap peserta diskusi dalam kelompok (tiap kelompok 4 orang). (2) Fasilitator membagikan LKP 3.4 (menemukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik). (3) Peserta membacalah LKP 3.4 (menemukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik). (4) Secara berpasangan dalam kelompok, peserta mendiskusikan dengan pasangan LKP 3.4. (5) Peserta dapat menuliskan penyelesaiannya pada kertas HVS. (6) Peserta mempertukarkan dengan pasangan lain dalam kelompok hasil kerja LKP 3.4. (7) Peserta mengoreksi hasil pekerjaan pasangan Saudara, berikan masukan pada post-it dan tempelkan pada hasil kerja LKP 3.4 tersebut. (8) Berdasarkan masukan tersebut, peserta mendiskusikan dalam kelompok jawaban yang paling benar, dan tuliskan pada kertas plano. (9) Salah satu kelompok mempresentasikan di kelas secara pleno. (10) Kelompok lain memberikan tanggapan. (11) Fasilitator memberikan penguatan terhadap hasil kerja peserta. 38 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs

56 UNIT 3 UNIT C Persamaan Garis Lurus R Reflection (10 menit) (1) Fasilitator memeriksa ketercapaian tujuan sesi ini dengan mengajukan pertanyaan berikut: Manakah pengertian gradien di bawah ini yang paling tepat? Mengapa? a Gradien atau kemiringan suatu garis adalah ukuran kemiringan garis terhadap sum-x positif (dari titik pangkal koordinat ke sebelah kanan) yang nilainya sama dengan perbandingan selisih ordinat dengan selisih absis dua titik yang terletak pada garis tersebut. b. Gradien suatu garis lurus merupakan perbandingan antara komponen y (ordinat) dan komponen x (absis) antara dua titik pada garis itu. (Jawab: a) (2) Fasilitator meminta peserta, secara individual, untuk menentukan persamaan garis yang melalui titik P (2,4) dan titik Q (3, 9). (3) Peserta secara individu memberikan tanggapan, peserta lain menyempurnakannya. Penguatan (4) Fasilitator memberi penguatan dengan menyampaikan hal berikut. Persamaan garis dapat dinotasikan dengan, dengan x,y adalah variabel; a,b adalah koefisien, di mana a dan b tidak sama dengan nol, c adalah konstanta, dan pangkat dari variabelnya sama dengan satu dan berderajat satu. Persamaan garis lurus dapat juga dibuat dengan y = mx + b, dalam geometri disebut persamaan garis lurus karena grafiknya berbentuk garis lurus. Persamaan garis lurus dapat ditentukan apabila: (a) gradien dan satu titik yang dilalui diketahui, atau (b) dua titik yang dilalui diketahui. E Extension (5 menit) (1) Fasilitator memberikan saran kepada peserta untuk: mempelajari lebih lanjut materi persamaan garis lurus dari sumber lain (buku, internet) sehingga pemahaman mereka semakin mantap; menerapkan strategi pembelajaran persamaan garis lurus sebagaimana yang telah dilatihkan dengan melakukan penyesuaian seperlunya sehingga miskonsepsi siswa terhadap materi tersebut tidak terjadi lagi; merancang tugas-tugas untuk siswa agar mereka semakin memahami materi persamaan garis lurus dan tidak mengalami miskonsepsi

57 UNIT 3 Persamaan Garis Lurus Lembar Kerja Peserta 3.1 Menggambar Grafik Persamaan Garis Lurus Diberikan persamaan garis lurus: (a) y = 2x 6 dan (b) 2y 4x = 4 Untuk soal (a) y = 2x 6, ikuti langkah-langkah berikut: Langkah awal yang dapat dilakukan adalah melakukan penghitungan: Jika x = 0, maka y = 6. Sehingga titiknya adalah (0, -6) Jika x = 1, maka y = 4. Sehingga titiknya adalah (...,...) Jika x = 3, maka y =... Sehingga titiknya adalah (...,...) Jika x = 5, maka y =... Sehingga titiknya adalah (...,...) Dan seterusnya. Buat tabel pasangan berurutan berikut: x y Titik (x, y) (0, -6) (1, -4) (, ) Untuk menggambar grafik persamaan garis lurus y = 2x 6, tandai titik-titik tersebut pada koordinat Cartesius, kemudian titik-titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus. Gambar 1 Grafik garis lurus y = 2x 6 Dapatkah dibuat grafik persamaan garis lurus y = 2x 6 jika hanya ditentukan dua buah titik tertentu? Mengapa? Untuk menyelesaikan soal (b) 2y 4x = 4, ikuti langkah-langkah di atas. 40 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs

58 UNIT 3 UNIT C Persamaan Garis Lurus Lembar Kerja Peserta 3.2 Mengkonstruksi Pemahaman tentang Gradien suatu Garis Lurus Peserta dapat kembali memperhatikan kemiringan garis lurus pada sumbu koordinat yang dimodelkan Gambar 1 di atas. Selain koordinat titik ujung pensil, peserta mengidentifikasi titik koordinat lain yang dilalui pensil (sebagai garis). Gunakan kertas berpetak yang telah dilengkapi koordinat Cartesius. Lalu mengisi data hasil pengamatan pada tabel di bawah ini. Posisi ujung pensil Percobaan ke- Koordinat Koordinat Perbandingan selisih Gradien Ujung titik lain ordinat dan absis (1) (6, 3) (4, 2). (3-2)/(6-4) = 1/2 ½ (2) (3) (3,2) (1,1) (4) (5, 2) (4, 3) (5) (6) (...,2) (...,2) (7) (3,...) (3,...) (8) (4, 3) (3, 2) a. Selidikilah jika posisi pensil sejajar dengan sumbu-x, bagaimanakah gradiennya? b. Selidikilah jika posisi pensil sejajar dengan sumbu-y, bagaimanakah gradiennya? c. Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (1) dan percobaan (3), berdasarkan dua buah garis tersebut, apa yang dapat Saudara simpulkan? d. Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (4) dan percobaan (8), berdasarkan dua buah garis tersebut, apa yang dapat Saudara simpulkan? e. Gambarlah garis yang dilalui titik pada percobaan (6) dan percobaan (7), berdasarkan dua buah garis tersebut, apa yang dapat Saudara simpulkan? Berdasarkan hasil di atas, maka gradien adalah

59 UNIT 3 Persamaan Garis Lurus Lembar Kerja Peserta 3.3 Menemukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Satu Titik dengan Gradien m. Misalkan titik P adalah titik dengan koordinat (x 1, y 1 ). Sedangkan Q adalah titik dengan koordinat sebarang (x, y), dimana PQ tidak sejajar sumbu x. Jika gradien garis yang melalui titik P(x 1, y 1 ) dan Q(x, y) dinyatakan dengan m, berdasarkan LKP 3.2 dapat kita tentukan gradien: = m Dapatkah Saudara mengubah bentuk di atas menjadi bentuk linier? Tuliskan!... Bentuk aljabar yang Saudara temukan di atas merupakan persamaan garis lurus yang melalui titik (x 1, y 1 ) dengan gradien m. Jika gradien garis yang melalui titik P(x 1, y 1 ) dan Q(x, y) dinyatakan dengan m, berdasarkan LKP 3.2 dapat kita tentukan gradien: = m Dapatkah Saudara mengubah bentuk di atas menjadi bentuk linier? Tuliskan!... Untuk melatihkan pemahaman Anda, selesaikan soal-soal di bawah ini. (1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dengan gradien -3 (2) Berapakah gradien garis lurus yang dinyatakan dengan persamaan 2y 5x = 4 Type equation here. 42 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs

60 UNIT 3 UNIT C Persamaan Garis Lurus Lembar Kerja Peserta 3.4 Menemukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik Berdasarkan (LKP 3.3) ditemukan bentuk aljabar: y y 1 = m(x x 1 ) Jika ditentukan garis PQ melalui dua titik (x 1, y 1 ) dan (x 2, y 2 ), maka gradien garis PQ adalah: m = Jika nilai m tersebut disubstitusikan pada bentuk y y 1 = m(x x 1 ) maka bentuk persamaan aljabar baru yang Saudara peroleh adalah: Bentuk aljabar tersebut merupakan persamaan garis lurus yang melalui 2 titik yaitu melalui titik (x 1, y 1 ) dan (x 2, y 2 ). Untuk melatihkan pemahaman Saudara tentang persamaan garis lurus yang melalui 2 titik, selesaikan soal-soal di bawah ini. (1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dan titik (4, 6). (2) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (0, 0) dan titik potong antara garis y = 2x + 1 dengan garis y = x 1. (3) Carilah persamaan garis yang melalui (2,3) dan (7,3); 43

61 UNIT 3 Persamaan Garis Lurus 44 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs

62 UNIT 3 UNIT C Persamaan Garis Lurus MATERI PRESENTASI UNIT 3 45

63 UNIT 3 Persamaan Garis Lurus 46 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs

64 UNIT 3 UNIT C Persamaan Garis Lurus 47

65 UNIT 3 Persamaan Garis Lurus 48 Modul Sekolah Praktik yang Baik Pembelajaran Matematika SMP/MTs

66 UNIT 4 PEMBAGIAN PECAHAN

67

68

69 UNIT 4 Pembagian Pecahan UNIT 4 PEMBAGIAN PECAHAN Pendahuluan Seorang guru menjelaskan makna 1 2 dengan membagi sebuah kertas menjadi dua bagian yang sama besar kemudian membagikan kepada 2 orang siswa. Ketika guru mengajukan pertanyaan berapa hasil 1 kertas dibagi dua? Jawaban siswa adalah 2. Hal demikian sering muncul dalam proses pembelajaran. Dalam beberapa buku matematika seringkali tidak menanamkan konsep kepada siswa tetapi lebih pada prosedural bagaimana menyelesaikan Siswa memasukkan pasir dengan ukuran kerucut yang dimasukkan ke dalam tabung untuk menemukan rumus volume kerucut. operasi pembagian pecahan. Misal, soal pembagian pecahan dengan pecahan, diselesaikan dengan mengganti operasi pembagian dengan operasi perkalian dengan cara mengalikan bilangan yang dibagi dengan invers bilangan pembaginya dengan kata lain a b c d = a b d c dan itu tanpa ada penjelasan, kenapa penyelesaiannya demikian. Pada unit ini akan dibahas terutama bagaimana pecahan pembagi menjadi terbalik ketika operasi perkalian dilakukan. Tujuan Setelah mengikuti sesi ini, para peserta mampu: 1. menemukan kembali konsep pembagian pecahan 2. memanfaatkan konsep pembagian pecahan dalam penyelesaian masalah 3. menentukan alternatif lain cara menanamkan konsep pembagian pecahan kepada siswa. 51

70 UNIT 4 Pembagian Pecahan Sumber dan Bahan 1. Materi Presentasi Unit 4 2. Lembar Kerja Peserta 4.1: Pembagian Pecahan 3. Lembar Kerja Peserta 4.2: Representasi Pembagian Pecahan 4. ATK: (lihat Pengantar modul) Waktu 120 menit Garis Besar Kegiatan Introduction 5 menit Connection 15 menit Application 90 menit Reflection 5 menit Extension 5 menit Fasilitator menjelaskan: Latar Belakang Tujuan penyampaian materi Garis Besar Kegiatan Ungkap pengalaman/ gagasan peserta tentang: - pembagian pecahan - kemungkinan berbagai representasi pecahan untuk pembagian pecahan Kegiatan 1: Mencari Argumen dibalik Rumus Pembagian Pecahan (25 ) Kegiatan 2: Representasi Pembagian Pecahan (25 ) Kegiatan 3 : Merancang Lembar Kerja (40 ) Memeriksa ketercapaian tujuan Menanyakan makna ½ : ¼ Memberi penguatan Saran untuk mencobakan LK di kelas masingmasing dan mengamati efektivitasnya 52

71 UNIT 4 Pembagian Pecahan I Rincian Langkah Kegiatan Introduction (5 menit) (1) Fasilitator menyampaikan latar belakang/alasan topik ini dibahas, yaitu Miskonsepsi tentang pembagian pecahan yang sering muncul dalam proses pembelajaran. Beberapa buku matematika seringkali tidak menanamkan konsep, tetapi hanya sebatas mengajarkan prosedur penyelesaian soal. (2) Fasilitator menyampaikan tujuan pembelajaran dari sesi ini, yaitu peserta mampu: Menemukan kembali konsep pembagian pecahan Memanfaatkan konsep pembagian pecahan dalam penyelesaian masalah. Menentukan alternatif lain cara menanamkan konsep pembagian pecahan kepada siswa. (3) Fasilitator menyampaikan garis besar kegiatan dalam sesi ini (Lihat Garis Besar Kegiatan di atas). C Connection (15 menit) Kegiatan 1: Ungkap Pengalaman/Gagasan tentang Pembagian Pecahan (1) Fasilitator meminta peserta untuk mengungkapkan pengalaman mereka terkait pembagian pecahan, dengan mengajukan pertanyaan: Bagaimana menyelesaikan pembagian pecahan dengan pecahan? Bagaimana Bapak/ibu mengajarkannya? Pecahan dapat direpresentasikan dengan himpunan, garis bilangan, luas daerah, maupun dengan konsep kuantitas/volum. Apakah representasi tersebut juga dapat digunakan untuk menjelaskan konsep pembagian pecahan? (2) Fasilitator menuliskan secara singkat pengalaman/gagasan peserta pada kertas plano/papan tulis atau pada tayangan kegiatan (power point) yang disebutkan peserta agar dapat dilihat oleh semua peserta. (3) Fasilitator menyimpulkan jawaban tiap pertanyaan. 53

72 UNIT 4 Pembagian Pecahan A Application (90 menit) Kegiatan 1: Mencari Argumen dibalik Rumus Pembagian Pecahan (25 ) (1) Fasilitator meminta peserta, secara berpasangan (dalam kelompok 4 6 orang), menyelesaikan tugas pada LKP 4.1 (2) Tiap pasang diminta untuk saling menyampaikan hasil kerja dan memberikan komentar atas hasil kerja mereka. Kegiatan 2: Representasi Pembagian Pecahan (25 ) (1) Fasilitator meminta peserta, secara berpasangan, untuk mengkaji seberapa jauh efektifitas Refresentasi Pembagian Pecahan (Gunakan LKP 4.2) (2) Tiap pasangan diminta menyampaikan hasil kerja kepada pasangan lain dalam kelompok mereka. (3) Wakil salah satu kelompok menyampaikan hasil kerjanya dan kelompok lain menanggapi. Catatan untuk Fasilitator Dalam diskusi fasilitator mengarahkan peserta untuk dapat membuat kesimpulan yang dapat mengeneralisasi rumus dari pembagian bilangan pecahan. Kegiatan 3 : Merancang Lembar Kerja (40 ) (1) Peserta diminta merancang lembar kerja terkait pembagian pecahan yang mendorong siswa MENEMUKAN cara menyelesaikan pembagian pecahan. (2) Peserta diminta untuk saling bertukar hasil kerja dan memberikan komentar terutama dalam hal: Apakah LK benar-benar mendorong siswa MENEMUKAN cara membagi pecahan? Apakah cara yang ditemukan berlaku untuk sembarang pecahan? 54

73 UNIT 4 Pembagian Pecahan R Reflection (5 menit) (1) Fasilitator memberi pertanyaan untuk melihat sejauh mana ketercapaian tujuan dengan bertanya Apa makna 1 2 : 1 4 = 2? (2) Fasilitator meminta beberapa peserta untuk menjawab. (3) Fasilitator meminta beberapa peserta untuk mengungkapkan pengalaman menarik apa yang diperoleh dari pembelajaran unit ini. Penguatan (4) Fasilitator memberi penguatan sebagai berikut: E Jika a dan c adalah suatu bilangan pecahan, maka b d Extension (5 menit) a b c d = a b d c Fasilitator menyarankan agar, setelah pelatihan, peserta: mencobakan di kelas masing-masing lembar kerja yang telah dibuat; dan mengamati apakah LK tersebut efektif dalam mendorong siswa MENEMUKAN cara menyelesaikan pembagian pecahan. 55

74 UNIT 4 Pembagian Pecahan Lembar Kerja Peserta 4.1 Pembagian Pecahan Kegiatan 1 Menemukan Konsep Pembagian Catatan: kemampuan prasyarat yang dimiliki untuk materi ini adalah 1. Siswa telah memahami perkalian Pecahan 2. Konsep perkalian pada bilangan bulat Informasi: Satu lingkaran merepresentasikan satu keseluruhan yang disimbolkan dengan 1 1. Menemukan fakta hasil dari a. Berdasarkan konsep pada pembagian bilangan bulat, pernyataan yang dapat dibuat dari 4 1 adalah b. Jadi nilai dari 4 1 = Menemukan fakta hasil dari

75 UNIT 4 Pembagian Pecahan a. Berdasarkan konsep pada pembagian bilangan bulat, pernyataan yang dapat dibuat dari 9 3 adalah b. Jadi nilai dari 9 3 = Menemukan fakta hasil dari = 12 3 c. Berdasarkan konsep pada pembagian bilangan bulat, pernyataan yang dapat dibuat dari d = adalah... e. Jadi nilai dari = Dari fakta fakta pada poin 1), 2), dan 3) tersebut dapat dituliskan sebagai berikut Fakta Pembagian Fakta Perkalian 4 1 = = = = = = 57

76 UNIT 4 Pembagian Pecahan Lihat hasil dari kolom fakta pembagian dan perkalian tersebut, dapat disimpulkan bahwa Jika a, dan c adalah suatu pecahan maka b d a b c d =. 58

77 UNIT 4 Pembagian Pecahan Lembar Kerja Peserta 4.2 Representasi Pembagian Pecahan Representasi Pembagian Pecahan dengan Himpunan Misalkan disajikan suatu permasalahan pembagian pecahan sebagai berikut = Permasalahan tersebut dicoba diselesaikan sebagai berikut. Pilih himpunan yang beranggotakan adalah 4 kancing, jadi adalah 5 kancing, jadi Sekarang problem tersebut dapat dinyatakan Berapa banyak himpunan 5 10 Berapa banyak himpunan 5-an dari 4? an di dalam 4 10? 4 5 dari himpunan Jadi = 4 5 Representasi Pecahan dengan Luasan Lingkaran Misalkan disajikan suatu permasalahan pembagian pecahan sebagai berikut

78 UNIT 4 Pembagian Pecahan persoalan tersebut dapat dinyatakan sebagai Berapa banyak 2 -an yang dapat di buat dari ? Mengubah semuanya dalam bentuk 12 an dari 1 bagian utuh 3 dibagi dalam 8 bagia yang sma sama dengan 15 perduabelan 2 3 sama dengan 8 per duabelan Berapa banyak 8 perduabelasan di dalam 15 perduabelasan 1 set 7 8 set Terdapat bagian dari 8 12 di dalam

79 UNIT 4 Pembagian Pecahan Representasi Pecahan dengan Luasan Persegi Misalkan disajikan suatu permasalahan pembagian pecahan sebagai berikut artinya berapa banyak 1 an di dalam 5? Penyataan tersebut dapat dirubah dengan penyebut yang berbeda: Berapa banyak 3 6 an di dalam 10 6? Ingat bahwa 5 = buat himpunan 3 10 dari 6 6 Pikirkan berapa 3-an di dalam 10? dari = = 10 3 = Baca dan pahami ketiga jenis representasi pembagian pecahan di atas. Dari representasi 3 bentuk yang telah disajikan, manakah yang diperkirakan lebih efektif? Mengapa? 61

80 UNIT 4 Pembagian Pecahan MATERI PRESENTASI UNIT 4 62

81 UNIT 4 Pembagian Pecahan 63

82 UNIT 4 Pembagian Pecahan 64

83 UNIT 5 PENYAJIAN DATA DALAM STATISTIKA

84 UNIT 5 Penyajian Data dalam Statistika 66

85 UNIT 5 Penyajian Data dalam Statistika UNIT 5 PENYAJIAN DATA DALAM STATISTIKA Pendahuluan Untuk memahami data yang sudah dikumpulkan agar mudah dibaca dan lebih informatif bagi pengguna data, maka diperlukan penyajian data yang tepat. Penyajian data dapat menggunakan tabel, diagram (batang, lingkaran), dan grafik (diagram garis). Penyajian data juga sebaiknya disesuaikan dengan jenis/ karakteristik data tersebut. Jika pemahaman konsep penyajian data ini kurang dikuasai oleh Ringkasan hasil wawancara kelompok siswa. guru akan berdampak kepada penyampaian di kelas, sehingga penanaman konsep bagi siswa kurang bermakna. Namun, dalam pembelajaran statistika di sekolah masih dijumpai ketidaksesuaian antara diagram dengan jenis/ karakteristik data. Misalnya data tentang suhu tubuh manusia disajikan dengan menggunakan diagram batang, padahal lebih tepat menggunakan diagram garis, karena suhu bersifat kontinyu, tidak diskrit. Permasalahan lain yang sering dijumpai adalah bahan ajar yang ada hanya menyajikan data tunggal seperti yang disajikan dalam cuplikan buku di bawah ini. Padahal data yang ada dalam keseharian guru/ siswa tidak hanya univariat/tunggal tetapi juga bivariat/jamak. Dalam unit ini akan dibahas mengenai menentukan penyajian data dalam bentuk diagram/ grafik yang tepat serta memahami penyajian data dalam bentuk tabel kontingensi. 67

86 UNIT 5 Penyajian Data dalam Statistika Tujuan Setelah mengikuti sesi ini, para peserta mampu: 1. menentukan penyajian data dalam bentuk diagram/ grafik yang tepat sesuai karakteristik jenis data. 2. memahami penyajian data dalam bentuk tabel kontingensi. Sumber dan Bahan 1. Materi Presentasi Unit 5 2. Bahan Bacaan Unit 5 3. Lembar Kerja Peserta Lembar Kerja Peserta 5.2 Waktu 120 menit Garis Besar Kegiatan Introduction 5 menit Fasilitator menjelaskan: Latar belakang pembahasan topik, tujuan pembelajaran dan garis besar kegiatan Connection 10 menit Urun gagasan : jenis data dan bentuk penyajiannya Application 90 menit Kegiatan 1. Menentukan Penyajian Data (60 ) Kegiatan 2. Diskusi Tabel Kontingensi Dua Dimensi (30 ) Reflection 10 menit Peserta menyampaikan proses berdasarkan kegiatan pada application Extension/ Penguatan 5 menit Bentuk penyajian data yang dipilih bergantung pada jenis data Tindak lanjut menyusun tabel kontingensi tiga dimensi 68

87 UNIT 5 Penyajian Data dalam Statistika Rincian Langkah Kegiatan I Introduction (5 menit) Fasilitator menyampaikan latar belakang/alasan topik ini dibahas, yaitu (1) Penyajian data khususnya dalam bentuk diagram/grafik masih belum tepat (2) Data yang ada dalam keseharian guru/siswa tidak hanya univariat/tunggal tetapi juga bivariat/jamak (3) Bahan ajar yang ada hanya menyajikan data tunggal Fasilitator menyampaikan tujuan pembelajaran dari sesi ini, yaitu peserta mampu: (1) Menentukan penyajian data dalam bentuk diagram/grafik yang tepat sesuai karakteristik jenis data. (2) Memahami penyajian data dalam bentuk tabel kontingensi Fasilitator menyampaikan garis besar kegiatan dalam sesi ini. C Connection (10 menit) Kegiatan : Curah pendapat (1) Fasilitator menyajikan data dan bentuk penyajiannya. (2) Fasilitator mengajak peserta untuk urun pendapat mengenai 2 data dan bentuk penyajiannya masing-masing, dengan menanyakan kepada peserta : Bagaimana pendapat Bapak/ Ibu tentang bentuk penyajian dari 2 data pada tabel tersebut? Catatan untuk Fasilitator Kegiatan urun pendapat ini menunjukkan kepada peserta bahwa memungkinkan terjadi kesalahan antara jenis data dan cara penyajiannya. Data yang disajikan di sini berupa data diskrit, sehingga seharusnya tidak disajikan dalam bentuk diagram garis. seperti pada data kedua A Application (90 menit) Kegiatan 1: Menentukan penyajian data (60 ) (1) Fasilitator meminta peserta untuk mempelajari bahan bacaan tentang penyajian data, secara perseorangan; 69

88 UNIT 5 Penyajian Data dalam Statistika (2) Secara berkelompok peserta menyelesaikan tugas pada LKP 5.1. (3) Peserta diminta menuliskan hasil kerja pada kerta plano. (4) Peserta diminta melakukan kunjung karya dan memberikan tanggapan terhadap bentuk penyajian data yang diperoleh. (5) Salah satu kelompok mempresentasikan dan kelompok lain dapat memberikan tanggapan. Kegiatan 2: Menyajikan Data dalam Tabel Kontingensi (30 ) (1) Fasilitator meminta peserta secara berpasangan untuk menyelesaikan tugas pada LKP 5.2. (2) Peserta saling menukarkan hasil kerja setiap pasangan dengan pasangan lain dalam kelompok. (3) Peserta diminta mendiskusikan dan menyamakan hasil diskusi kelompok, serta menuliskan pada kertas plano. (4) Salah satu kelompok diminta mempresentasikan dan kelompok lain dapat memberikan tanggapan. R Reflection (10 menit) Peserta diminta untuk mengungkapkan hal-hal yang dipelajari : Hal-hal yang dapat dipelajari dalam menyajikan data dalam bentuk grafik/diagram yang sesuai dengan jenis data. Hal-hal yang masih perlu diperjelas dan dipahami dalam menyajikan data dalam bentuk tabel kontigensi dua dimensi. Penguatan Fasilitator memberikan penguatan sebagai berikut. Bentuk penyajian data yang dipilih bergantung pada jenis data. Penyajian data dapat dilakukan dalam bentuk tabel kontingensi Tiga Dimensi. E Extension (5 menit) Fasilitator memberikan saran agar, sepulang dari pelatihan, peserta mengdentifikasi kesalahan-kesalahan lain yang mungkin terjadi berkaitan dengan jenis data dan bentuk penyajiannya. 70

89 UNIT 5 Penyajian Data dalam Statistika Lembar Kerja Peserta 5.1 Menentukan Penyajian Data Lakukan pencarian data nomor sepatu dan tinggi badan seluruh peserta pelatihan dengan cara menugaskan perwakilan setiap kelompok untuk mendapatkan data dari kelompok lain, kemudian sajikan pada tabel di bawah ini. a. Data Nomor Sepatu Tabel 5.1.a Data Nomor Sepatu Seluruh Peserta Pelatihan No. Nama Peserta Nomor sepatu Diskusikanlah apa bentuk penyajian data nomor sepatu tersebut dan tuliskan hasilnya pada kertas plano. 71

90 UNIT 5 Penyajian Data dalam Statistika b. Data Tinggi Badan Tabel 5.1.b Data Tinggi Badan Seluruh Peserta Pelatihan No. Nama Peserta Tinggi Badan Diskusikanlah apa bentuk penyajian data tinggi badan tersebut dan tuliskan hasilnya pada kertas plano. 72

91 UNIT 5 Penyajian Data dalam Statistika Lembar Kerja Peserta 5.2 Menyajikan Data dalam Tabel Kontingensi Dua Dimensi Cermati data banyak siswa di tingkat sekolah berdasarkan jenis kelamin, seperti pada tabel berikut. Tabel 5.2 Data Banyaknya Siswa di Tingkat Sekolah Berdasarkan Jenis Kelamin 1. Sajikan data pada tabel di atas dalam bentuk persentase. 2. Hitunglah persentase perempuan di SD. 3. Hitunglah persentase laki-laki di SMA dan SMK. Tuliskan hasilnya pada kertas plano. 73

92 UNIT 5 Penyajian Data dalam Statistika Bahan Bacaan Statistika : Penyajian Data Penyajian Data merupakan salah satu materi penting dari Statistika. Penyajian data, data dibagi menjadi dua bagian yaitu penyajian data tunggal/univariat dan data jamak/multivariat. Dalam penyajian data juga yang perlu diperhatikan adalah pengelompokan data yaitu data farik (diskret) dan data malar (kontinu). Penyajian Data Tunggal/Univariat Data tunggal dapat disajikan dalam beberapa bentuk seperti: tabel, diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran, diagram batang daun. Tabel Penyajian data tunggal dalam bentuk tabel dinamakan tabel distribusi frekuensi tunggal. Nilai Tally (Turus) Frekuensi 5 /// 3 6 //// //// 10 7 //// //// // 12 8 //// 5 Jumlah 30 Diagram Batang Diagram batang adalah diagram penyajian data dalam bentuk batang atau kotak yang digunakan untuk menggambarkan data diskrit (data kategori = data cacahan). Data diskrit diperoleh dengan cara membilang. Contoh: Jumlah lulusan SMA X di suatu daerah dari tahun 2000 sampai tahun 2000 adalah sebagai berikut. Tahun Jumlah Lulusan

93 UNIT 5 Penyajian Data dalam Statistika Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram batang. Penyelesaian : Data tersebut dapat disajikan dengan diagram batang sebagai berikut. c). Diagram Garis Diagram garis disajikan dalam bentuk garis yang digunakan untuk menggambarkan data tentang keadaan yang berkesinambungan (sekumpulan data kontinu/malar). Data kontinu diperoleh dengan cara mengukur. Misalnya, perkembangan berat badan bayi setiap bulan, suhu badan pasien setiap 10 menit atau pemakaian listrik (KWH) setiap bulan. Contoh : Dalam enam bulan pertama tahun 2016, pemakaian daya listrik dari koperasi ABC seperti tertuang pada tabel berikut. Sajikan data diatas ke dalam diagram garis. 75

94 UNIT 5 Penyajian Data dalam Statistika Penyelesaian : d). Diagram Lingkaran Diagram lingkaran adalah diagram penyajian data dalam bentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran (juring) menunjukkan bagian bagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran. Contoh : Tabel berikut menunjukkan banyaknya siswa di suatu kabupaten menurut tingkat sekolah pada tahun Tingkat Pendidikan Banyaknya Siswa Persen (%) SD ,5 SMP SMA ,5 Jumlah Berikut diagram lingkarannya : 76

95 UNIT 5 Penyajian Data dalam Statistika e). Diagram Batang Daun Dalam diagram batang daun, data yang terkumpul diurutkan terlebih dulu dari data ukuran terkecil sampai dengan ukuran yang terbesar. Diagram batang daun terdiri dari dua bagian yaitu batang dan daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan. Dari pengertian ini, berarti diagram batang daun cocok digunakan untuk data yang besarnya sampai puluhan saja. Contoh : Buatlah diagaram batang daun dari data berikut. 45, 10, 20, 31, 48, 20, 29, 27, 11, 8, 25, 21, 42, 24, 22, 36, 33, 22, 23, 13, 34, 29, 25, 39, 32, 38, 50, 5 Penyelesaian : Diagram batang daunnya adalah 77

96 UNIT 5 Penyajian Data dalam Statistika Penyajian Data Jamak/Bivariat Tabel Kontingensi merupakan tabel yang digunakan untuk mengukur hubungan (asosiasi) antara dua variabel kategorik dimana tabel tersebut merangkum frekuensi bersama dari observasi pada setiap kategori variabel. Dalam proses analisis statistika Tabel Kontingensi merupakan tabel yang digunakan untuk mengukur hubungan (asosiasi) antara dua variabel kategorik dimana tabel tersebut merangkum frekuensi bersama dari observasi pada setiap kategori variabel. Berikut ini adalah Tabel Kontingensi frekuensi bersama tentang kehadiran siswa pada upacara bendera 17 Agustus 2016 untuk masing-masing kelas di SMP X Kelas Status Kehadiran Hadir Tidak Hadir Total VII A V II B VIII A VIII B IX A IX B

97 UNIT 5 Penyajian Data dalam Statistika MATERI PRESENTASI UNIT 5 79

98 UNIT 5 Penyajian Data dalam Statistika 80

99 UNIT 1 Pembelajaran Aktif SD/SMP UNIT 6 BENTUK ALJABAR: VARIABEL, KOEFISIEN, DAN KONSTANTA 1

100 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta 82

101 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta UNIT 6 BENTUK ALJABAR: Variabel, Konstanta, dan Koefisien Pendahuluan Aljabar berasal dari Bahasa Arab "aljabr" yang berarti "pertemuan", "hubungan" atau "penyelesaian. Aljabar (Algebra) adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Di dalam aljabar, kita tidak bekerja secara langsung dengan bilangan melainkan bekerja dengan menggunakan simbol, variabel dan elemen-elemen himpunan. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Guru matematika sedang mendampingi kelompok siswa yang berdiskusi. Salah satu materi dalam aljabar yang sebagian besar siswa masih mengalami miskonsepsi adalah Bentuk Aljabar. Khususnya konsep variabel, konstanta, dan koefisien yang berdampak pada kesulitan siswa dalam menyelesaikan masalah matematika terkait bentuk aljabar. Ada beberapa faktor penyebab kondisi ini antara lain: 1) Penyajian Kebanyakan buku sumber/buku bacaan siswa masih berfokus pada contoh-contoh bentuk aljabar yang menggiring siswa menghafal tanpa memahami makna dari bentuk aljabar tersebut, 2) Beberapa guru dalam mengajarkan bentuk aljabar belum memberi ruang kepada siswa untuk mengalami dan berbuat. Dengan berdasar pada faktor penyebab tersebut di atas, maka dalam unit ini akan diuraikan cara menemukan konsep variabel,konstanta, dan koefisien, serta cara mengkonstruk masalah matematika terkait bentuk aljabar. Tujuan Setelah mengikuti pelatihan ini peserta diharapkan dapat: 1. memahami konsep variabel, konstanta dan koefisien 2. mengaplikasikan bentuk aljabar dalam menyelesaikan masalah nyata. 83

102 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta Sumber dan Bahan 1. Materi Presentasi Unit 6 2. Lembar Kerja Peserta Lembar Kerja Peserta Lembar Kerja Peserta Informasi Tambahan 6. ATK: (lihat Pengantar modul) Waktu 120 menit (2x60 ) Garis Besar Kegiatan Introduction 5 menit Fasilitator menyampaikan: Latar Belakang Tujuan Garis Besar Kegiatan Connection 25 menit Ungkap gagasan dan urun pengalaman Guru terkait bentuk aljabar baik kesulitan siswa maupun kesulitan dalam mengajarkan Application 70 menit Kegiatan 1. Mendefinisikan variabel Kegiatan 2. Mendefinisikan konstanta Kegiatan 3. Mendefinisikan koefisien Reflection 15 menit Mengajukan pertanyaan menggali dengan mengacu pada kondisi yang diberikan Extension/ Penguatan 5 menit Memberikan penguatan dengan memberikan tugas lanjutan. Kegiatan 4. Membuat soal cerita terkait bentuk aljabar 84

103 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta I Rincian Langkah Kegiatan Introduction (5 menit) (1) Fasilitator menyampaikan latar belakang/alasan topik ini dibahas, yaitu: a. Kebanyakan siswa masih kesulitan menyelesaikan masalah matematika terkait bentuk aljabar karena pemahaman konsep yang masih kurang b. Penyajian beberapa sumber belajar/ buku pegangan siswa berfokus pada bentuk aljabarnya tanpa ada penjelasan lebih rinci terkait variabel, koefisien dan konstanta. c. Beberapa Guru dalam mengajarkan bentuk aljabar belum memberi ruang kepada siswa untuk mengalami atau berbuat. (2) Fasilitator menyampaikan tujuan pembelajaran, yaitu peserta mampu: 1. Memahami konsep variabel, konstanta dan koefisien 2. Mengaplikasikan bentuk aljabar dalam menyelesaikan masalah nyata (3) Fasilitator menyampaikan garis besar kegiatan dalam sesi ini (Lihat Garis Besar Kegiatan di Atas) C Connection (25 menit) Curah pendapat (1). Fasilitator bertanya pada peserta tentang kesulitan siswa dalam memahami terkait konsep variable, konstanta dan koefisien (2). Fasilitator menggali informasi dari peserta tentang pengalamannya dalam mengajarkan konsep variabel, konstanta dan koefisien (3). Fasilitator menanyakan pada pesrrta mengenai kesulitan-kesulitan dalam mengajarkan konsep variable, konstanta dan koefisien Catatan: Fasilitator mencatat gagasan peserta A Application (70 menit) Peserta duduk dalam kelompok 4-6 orang Kegiatan1: Mendefinisikan Variabel (15 ) 1. Fasilitator meminta peserta untuk mengerjakan LKP 6.1 secara berpasangan di dalam kelompoknya. 85

104 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta 2. Fasilitator meminta peserta untuk menukarkan hasil kerja dengan pasangan lain dalam kelompoknya dan meminta untuk memberikan komentar atau saran-saran. 3. Fasilitator meminta peserta, sebagai kelompok, menuliskan hasil kerja yang sudah ada masukan-masukan dari pasangan lainnya dan telah diperbaiki untuk dituliskan pada kertas plano. 4. Fasilitator meminta peserta masing-masing kelompok untuk mempresentasikan hasil kerja kelompoknya secara klasikal. Kegiatan 2: Mendefinisikan Konstanta (15 ) 1. Fasilitator meminta peserta untuk mengerjakan LKP 6.2 secara berpasangan di dalam kelompoknya. 2. Fasilitator meminta peserta untuk menukarkan hasil kerja dengan pasangan lain dalam kelompoknya dan meminta untuk memberikan komentar atau saran-saran. 3. Fasilitator meminta peserta, sebagai kelompok, menuliskan hasil kerja yang sudah ada masukan-masukan dari pasangan lainnya dan telah direfisi untuk dituliskan pada kertas plano. 4. Fasilitator meminta peserta masing-masing kelompok untuk mempresentasikan hasil kerja kelompoknya secara klasikal. Kegiatan 3: Mendefinisikan Koefisien (15 ) 1. Fasilitator meminta peserta untuk mengerjakan LKP 6.3 secara berpasangan di dalam kelompoknya. 2. Fasilitator meminta peserta untuk menukarkan hasil kerja nya dengan dengan pasangan lain dalam kelompoknya dan meminta untuk memberikan komentar atau saran-saran. 3. Fasilitator meminta peserta, sebagai kelompok, menuliskan hasil kerja yang sudah ada masukan-masukan dari pasangan lainnya dan telah direfisi untuk dituliskan pada kertas plano. 4. Fasilitator meminta peserta masing-masing kelompok untuk mempresentasikan hasil kerja kelompoknya secara klasikal. Kegiatan 4: Membuat Soal Cerita terkait Bentuk Aljabar (15 ) 1. Fasilitator membagikan Informasi Tambahan: Aljabar, dan meminta peserta untuk membacanya; 2. Fasilitator meminta peserta, secara individual, untuk membuat soal cerita yang dapat dimodelkan dalam bentuk ax + b, a dan b 0 dan x adalah variabel; 3. Fasilitator meminta peserta untuk mendiskusikan hasil kerja individual dalam kelompok; 4. Fasilitator meminta peserta untuk menuliskan hasil diskusi kelompok pada kertas plano 5. Fasilitator meminta peserta mempresentasikan hasil kerja kelompok secara klasikal. 86

105 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta R Reflection (10 menit) (1) Fasilitator memberikan situasi sebagai berikut:. Sebuah Kontainer memuat sejumlah kardus dan setiap Kardus memuat sejumlah apel Misalkan, x = banyaknya apel dalam kardus y = banyaknya kardus dalam kontainer 1. Apa makna dari yx..* 2. Apakah y bisa dikatakan koefisien pada simbol xy 3. Apakah simbol xy mempunyai koefisien? Tuliskan. (2) Fasilitator mengajukan pertanyaan bersifat menggali dengan memilih beberapa pertanyaan yang disediakan sesuai kondisi (3) Fasilitator memilih salah seorang peserta untuk mengemukakan jawabannya terkait pertanyaan yang diajukan (4) Fasilitator memberikan kesempatan pada peserta lain untuk mengomentari jawaban dari peserta terpilih. E Penguatan Fasilitator memberi penguatan yaitu bahwa: Variabel adalah suatu lambang dalam aljabar yang mempunyai variasi nilai. Buku = X salah, karena buku tidak punya variasi nilai Banyaknya buku = X--- benar, karena banyak mempunyai variasi nilai Konstanta adalah sebuah simbol atau gabungan simbol yang mewakili atau menunjuk anggota tertentu pada suatu semesta pembicaraan Koefisien variabel adalah konstanta dari suku-suku yang memuat variabel Extension (5 menit) Fasilitator memberikan saran kepada peserta, agar sepulang dari pelatihan, peserta: 1. mengidentifikasi masalah sehari-hari yang alami peserta dan menuliskannya dalam bentuk aljabar. 2. Berlatihlah membuat soal cerita terkait bentuk-bentuk aljabar 87

106 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta Lembar Kerja Peserta 6.1 Banyaknya pohon jati milik Pak Makmur 10 batang lebihnya dari banyak pohon jati milik Pak Budi. 1. Jika banyak pohon milik Pak Makmur adalah p a. Berapa banyak pohon milik Pak Budi? b. Apakah mungkin P mewakili bilangan 9? c. Apakah mungkin P mewakili bilangan satu juta? Jelaskan jawabanmu d. Tuliskan himpunan semesta Bilangan yang dapat mewakili P? 2. Jika banyak pohon milik Pak Budi adalah k, a. berapa banyak pohon milik Pak Makmur? b. Apakah k dapat diwakili sembarang bilangan? Beri alasan c. Tuliskan himpunan bilangan yang dapat mewakili k Bila p, k, merupakan simbol aljabar yang disebut variabel. Nyatakan dengan bahasamu sendiri, apa yang dimaksud variabel? 88

107 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta Lembar Kerja Peserta 6.2 Pak Rahmat memiliki 3 anak berturut-turut Arman, Iwan, dan Susi. Umur Iwan lima tahun kurangnya dari umur Arman. Umur Susi dua tahun kurangnya dari umur Iwan. Umur mereka antara 5 dan 15 tahun. a. Berapa umur Arman dan Iwan jika umur Susi p tahun? b. Apakah jawaban Anda dapat dikatakan sebagaii variabel aljabar? Mengapa? c. Apakah jawaban anda memuat simbol lain selain variabel? Tuliskan simbol lain tersebut? d. Dapatkan simbol lain tersebut diwakili oleh sembarang anggota pada semesta pembicaraan?mengapa? e. Apakah simbol lain tersebut menyatakan anggota tertentu pada semesta pembicaraan? f. Jika simbol lain tersebut adalah konstanta. Nyatakan dengan bahasa sendiri apa yang dimaksud KONSTANTA 89

108 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta Lembar Kerja Peserta 6.3 Tiga diantara puluhan buku milik pak guru mempunyai banyak halaman yang unik. Banyak halaman buku II adalah 5 kali banyak halaman buku 1, sedangkan banyakya halaman buku III adalah 2 kali banyaknya halaman buku 1. Jika banyak halaman buku 1 adalah h, maka: a. Berapa banyak halaman buku II dan III? b. Apakah jawaban anda termasuk variabel? mengapa c. Apakah jawaban anda memuat konstanta?. Tuliskan d. Apa makna konstanta tersebut terhadap variabel e. Jika konstanta pada jawaban anda disebut koefisien. Nyatakan dengan bahasa sendiri, Pengertian Koefisien. 90

109 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta Informasi Tambahan ALJABAR Aljabar: Aljabar adalah cabang dari matematika yang mempelajari penyederhanaan dan pemecahan masalah dengan menggunakan simbol. Simbol adalah huruf atau tanda yang digunakan untuk menyatakan unsur, senyawa, sifat, atau satuan matematika (KBBI). Simbol bilangan disebut angka. Angka 5 merupakan simbol untuk menyatakan hasil dari mencacah benda sebanyak 5 buah atau hasil menghitung frekuensi kemunculan suatu peristiwa sebanyak 5 kali. Simbol Aljabar adalah simbol yang mewakili (menunjuk) sebarang bilangan. Simbol Aljabar dapat terdiri dari huruf, tanda tertentu, atau bilangan. Pada sebarang simbol Aljabar dapat diberikan nilai (bilangan) tertentu sesuai persyaratan yang dikehendaki. Contoh-1: Banyaknya pohon jati milik Pak Amir 10 batang kurangnya dari pohon milik Pak Budi. Berapakah kemungkinan pohon Pak Amir dan Pak Budi?. Pembahasan: a. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, dimisalkan banyak pohon Pak Amir diwakilkan kepada simbol Aljabar p, sehingga p ini adalah banyak pohon milik Pak Amir. Dengan demikian berarti banyak pohon Pak Budi p + 10 batang. b. Karena tidak ada petunjuk berapa banyak pohon Pak Amir atau Pak Budi, maka p dapat diganti dengan sebarang bilangan yang menunjukkan banyak pohon. Boleh jadi p mewakili bilangan 10, sehingga banyak pohon Pak Amir ada 10 batang dan pohon Pak Budi ada atau 20 batang. Boleh jadi p mewakili 15, sehingga banyak pohon Pak Amir ada 15 batang dan pohon Pak Budi ada atau 25 batang. c. Masih banyak bilangan lain yang dapat diwakili oleh p, dengan syarat p dan p+10 mewakili bilangan banyak pohon yang mungkin dimiliki oleh seseorang. Dalam hal ini tidak mungkin seseorang sampai memiliki satu triliun pohon. d. Kesimpulan: p dapat mewakili bilangan tertentu dengan persyaratan bahwa p dan 91

110 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta p+10 adalah banyak pohon yang memungkinkan untuk dimiliki oleh Pak Amir dan Pak Budi. Semesta pembicaraan adalah banyak pohon yang memungkinkan dimiliki oleh Pak Amir dan Pak Budi. Contoh-2: Tahun ini umur Dika dua kali umur Syauki, sedangkan umur Santi 1 tahun lebih tua dari Dika. Berapakah kemungkinan umur Dika, Syauki, dan Santi tahun ini?. Pembahasan: a. Umur seseorang dalam tahun menunjukkan hasil mencacah satu kali dalam setahun secara berurutan sejak lahir sampai tahun terakhir kehidupan orang tersebut. Dengan demikian umur menunjukkan bilangan. b. Untuk menjawab pertanyaan tersebut maka umur Syauki tahun ini dapat diwakilkan kepada simbol Aljabar U, sehingga U ini mewakili bilangan umur Syauki. Ini berarti tahun ini umur Syauki U tahun, umur Dika 2 U atau 2U tahun, sedangkan umur Santi (2U+1) tahun. c. Karena tidak ada petunjuk berapa umur Syauki, Dika dan Santi pada tahun ini maka U dapat diganti dengan sebarang bilangan yang menunjukkan umur manusia. Boleh jadi U mewakili bilangan 1, sehingga tahun ini umur Syauki 1 tahun, umur Dika 2 1 atau 2 tahun, dan umur Santi 2+1 atau 3 tahun. Boleh jadi U mewakili 5, sehingga tahun ini umur Syauki 5 tahun, umur Dika 2 5 atau 10 tahun dan umur Santi 10+1atau 11 tahun. Masih banyak bilangan lain yang dapat diwakili oleh U, dengan syarat U mewakili bilangan umur manusia dan mengakibatkan U, 2U dan 2U + 1 juga mewakili bilangan umur manusia. d. Kesimpulan: U dapat mewakili sebarang bilangan dengan persyaratan bahwa U, 2U, 2U+1 adalah bilangan umur manusia yang memungkinkan saat ini Semesta pembicaraan kejadian tesebut adalah bilangan umur manusia yang memungkinkan saat ini. Contoh-3: Toko buah KURNIA milik Pak Arif mengemas apel dalam kotak-kotak. Setiap kotak berisi beberapa biji apel yang sama banyak. Beberapa kotak apel dikemas dalam satu dos besar. Berapa banyak butir apel yang mungkin dalam satu kotak? Berapa banyak butir apel 92

111 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta yang mungkin dalam satu dos besar? Berapa banyak butir apel yang mungkin dalam dua dos besar? Pembahasan: a. Misalkan banyak apel dalam satu kotak ada a apel, maka dalam dua kotak ada a + a atau 2a apel, dalam 3 kotak ada a+a+a atau 3a apel. Jika satu kotak berisi 10 apel, dua kotak berisi 20 apel, dan 3 kotak berisi 30 apel. Ini berarti a mewakili 10 apel. b. Bila ada a 2 apel, berarti ada a kotak apel yang masing-masing kotak berisi a apel. Alasan: a 2 berarti a a atau (a+a+a+a+...+a) sebanyak a. Jika tiap satu kotak berisi 10 apel, berarti ada 10 kotak apel, sehingga banyaknya apel dalam a 2 apel ada apel atau ada 100 apel. c. Misalkan satu dos besar dapat memuat n kotak apel, berarti n mewakili banyak kotak apel dalam dos besar. Jika ada 2 dos besar berarti dalam 2 dos besar tersebut ada 2 n kotak apel. d. Karena dalam satu kotak apel ada a butir apel, dan dalam satu dos besar ada n kotak apel, maka dalam satu dos besar ada n a butir apel dan dalam 2 dos besar ada 2 n a. Kesepakatan: a. Tanda operasi kali tidak ditulis. Contoh: 3 d atau 3.d dan ditulis 3d, A + A = 2. A = 2A b. Simbol Aljabar yang berdekatan diartikan sebagai perkalian. Contoh: pq berarti p q atau berarti p.q c. p 2 berarti p p atau berarti p.p, dan dapat ditulis pp, dengan p adalah simbol Aljabar. d. p 2 p 4 berarti p 2 p 4 atau berarti p 2.p 4, atau berarti (p.p).(p.p.p.p) atau berarti (p p) (p p p p), dan dapat ditulis (pp)(pppp)dengan p adalah simbol Aljabar. e. Istilah-istilah yang tergolong simbol Aljabar antara lain adalah variabel (peubah), konstanta, suku, koefisien, dan bentuk Aljabar. Dalam matematika, istilah-istilah tersebut selanjutnya disebut variabel (peubah), kontanta, bentuk Aljabar, suku, koefisien. 93

112 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta 3. Variabel (Peubah) Variabel (peubah) adalah suatu lambang dalam aljabar yang mewakili anggota suatu himpunan tertentu (mempunyai variasi nilai). a. Simbol Aljabar p pada contoh-1, U pada contoh-2, dan a pada contoh-3 di atas adalah contoh variabel karena p mewakili banyak pohon yang mungkin dimiliki Pak Amir, U mewakili sebarang bilangan umur manusia dan a mewakili banyak butir apel dalam satu kotak. b. Variabel (peubah) umumnya disimbolkan dengan huruf kecil atau huruf besar. 4. Konstanta Aljabar: Konstanta adalah sebuah simbol atau gabungan simbol yang mewakili atau menunjuk anggota tertentu pada suatu semesta pembicaraan. a. Dalam contoh-1 uraian di atas, p adalah variabel dengan p mewakili bilangan yang menunjukkan banyak pohon Pak Amir. p+10 adalah simbol aljabar untuk mewakili bilangan yang menunjukkan banyak pohon milik Pak Budi. Dalam hal ini 10 disebut konstanta karena 10 tersebut menunjuk banyak pohon tertentu, yaitu 10 pohon. b. Dalam contoh-2 uraian di atas, U adalah variabel dengan U mewakili bilangan yang menunjukkan umur Syauki. 2U adalah simbol aljabar untuk mewakili bilangan yang menunjukkan umur Dika. 2U+1 adalah simbol aljabar untuk mewakili bilangan yang menunjukkan umur Santi. Dalam hal ini 1 disebut konstanta karena 1 tersebut menunjuk umur tertentu, yaitu 1 tahun. c. Catatan: Bila dijumpai konstanta negatif, misalnya dalam bentuk x 100, dengan konstanta 100, maka konstanta negatif tersebut tidak perlu dikongkretkan. Dalam proses pembelajaran, konstanta negatif tersebut sudah menjadi ranah pembahasan yaitu pembahasan tentang konsep matematika secara abstrak. 5. Suku Aljabar: a. Suku dapat berupa sebuah konstanta atau sebuah variabel. Suku dapat pula berupa hasil kali atau hasil pangkat atau hasil pernarikan akar konstanta atau variabel, tetapi bukan penjumlahan dari konstanta atau variabel. 94

113 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta b. Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang variabelnya menggunakan simbol yang sama, baik dalam huruf maupun pangkatnya. Bila a dan b adalah variabel, maka a, 2a, 10a adalah suku- suku sejenis, a dan 2b suku-suku tidak sejenis. c. Pada contoh-1 uraian di atas, p dan 10 masing-masing disebut suku. Pada contoh- 2 di atas U, 2U, 1 disebut suku, dengan U dan 2U disebut suku sejenis. Pada contoh-3 di atas, a, 2a, 3a, an, 2an disebut suku. a, 2a, 3a adalah suku-suku sejenis. an dan 2an juga suku-suku sejenis. 6. Koefisien Aljabar Koefisien adalah bagian konstanta dari suku-suku yang memuat atau menyatakan banyaknya variabel yang bersangkutan. Pada contoh-1 uraian di atas, koefisien dari p adalah 1 (satu). Pada contoh-2, koefisien dari U adalah 1, koefisien dari 2U adalah 2 dan koefisien 3U adalah 3. Pada contoh-3, koefisien dari 3 adalah Bentuk Aljabar a. Bentuk aljabar adalah semua huruf dan angka atau gabungannya yang merupakan simbol aljabar. Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan atau penarikan akar dari satu atau lebih simbol aljabar juga merupakan bentuk aljabar. b. Bentuk Aljabar dalam x berarti bentuk Aljabar dengan variabel x, sehingga simbol lainnya (huruf atau angka) bukan merupakan variabel. Contoh: 1) 3x +5 adalah bentuk aljabar dalam x. 2) 5 y adalah bentuk aljabar dalam y. 3) ax +bx +c adalah bentuk Aljabar dalam x, dengan a, b, c bukan variabel, tetapi konstanta. Dalam hal ini konstanta a dan b disebut koefisien, sedang c disebut konstanta. 4) p 2 adalah bentuk aljabar dalam p. c. Pada contoh-1 uraian di atas, p dan p+10 masing-masing merupakan bentuk aljabar. Pada contoh-2 di atas, U, 2U, dan 2U+1 masing-masing merupakan bentuk aljabar. Pada contoh-3, a, 2a, 3a juga merupakan bentuk aljabar. d. Bentuk Aljabar terdiri satu suku disebut suku satu. Contoh: 3y, x 2, - 4x. Bentuk Aljabar terdiri dua suku disebut suku dua (binom). Contoh: x 2 4, 5y+6. 95

114 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta Kepingan Aljabar Tujuan: Menyederhanakan bentuk Aljabar Siapkan kepingan yang dapat terbuat dari logam atau karton dengan berbagai bentuk, misalnya persegi, segitiga, lingkaran, dan sebagainya. Pilihlah kepingan yang berbentuk lingkaran dengan satu warna, misalnya putih. Pilihlah 2 bentuk kepingan lain, persegi dan segitiga masing-masing dengan dua warna berbeda, misalnya merah dan biru. Andaikan kita akan menyederhanakan bentuk aljabar yang melibatkan 2 variabel, katakan x dan y, maka dapat disediakan kepingan sebagaimana gambar di bawah ini. Merepresentasikan konstanta bertanda positif Merepresentasikan konstanta bertanda negatif Merepresentasikan variable x bertanda positif Merepresentasikan variable x bertanda negatif Mepresentasikan variable y bertanda positif Merepresentasikan variable y bertanda negatif Selanjutnya dapat dibuat kesepakatan tentang penggunaan operasi aljabar bahwa operasi penjumlahan bentanda + merepresentasikan penambahan kepingan dan operasi pengurangan bertanda merepresentasikan pengurangan kepingan dari yang tersedia. Serta penggabungan kepingan dalam bentuk yang sama dengan warna yang berbeda merepresentasikan nol (saling mengeliminasi). Selanjutnya pada saat hendak memulai bermain kepingan aljabar untuk menyederhanakan bentuk aljabar, berikan persediaan kepingan sesuai bentuk yang diperlukan secara berpasangan warna, merah dan biru. Sebagai contoh: Penyederhanaan bentuk aljabar dengan dua variabel: 2x + y ( 3x) 2y ( 2) dapat diselesaikan dengan bermain kepingan aljabar sebagaimana ditunjukkan pada gambar di bawah ini. (Persediaan x) (Penambahan: 2x) (Penambahan: 3x) Hasil: x Saling mengeliminasi 96

115 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta (Persediaan y: bernilai 0) (Penambahan: y) Hasil: y Saling Mengeliminasi Saling mengeliminasi Pengambilan +2y (Persediaan konstanta) (Penambahan: 4) (Hasil: +6) Saling mengeliminasi Pengambilan -2 Gambar. Representasi penyederhanaan bentuk aljabar dengan bermain kepingan. Berdasarkan permainan kepingan aljabar yang ditunjukkan pada gambar di atas, maka bentuk sederhana dari 2x + y ( 3x) 2y ( 2) adalah x y + 6. Daftar Bacaan Krismanto.Al Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar Di Kelas VII SMP. Modul Matematika SMP Program BERMUTU. Yogyakarta: PPPPTK Matematika. Sri Wardhani Permasalahan Kontekstual Mengenalkan Bentuk Aljabar di SMP. Paket Pembinaan Penataran Bagi Alumni Diklat Guru Matematika SMP oleh PPPPG Matematika Tahun Yogyakarta: PPPPG Matematika 97

116 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta JAWABAN LKP 1 LAMPIRAN Banyaknya pohon jati milik Pak Makmur 10 batang lebihnya dari banyak pohon jati milik Pak Budi. 1. Jika banyak pohon milik Pak Makmur adalah p a. Berapa banyak pohon milik Pak Budi? Jawab: p - 10 b. Apakah mungkin P mewakili bilangan 9? Jawab: Tidak, karena kalau mewakili bilangan 9 berarti banyaknya pohon pak budi jadi -1 c. Apakah mungkin P mewakili bilangan satu juta? Jelaskan jawabanmu Jawab: mungkin saja. d. Tuliskan himpunan semesta Bilangan yang dapat mewakili P? Jawab: 11 dst 2. Jika banyak pohon milik Pak Budi adalah k, a. Berapa banyak pohon milik Pak Makmur? Jawab: k + 10 b. Apakah k dapat diwakili sembarang bilangan? Beri alasan Jawab: Tidak, misal -12, tidak mungkin pohon jatinya -2 c. Tuliskan himpunan bilangan yang dapat mewakili k Jawab: Bilangan bulat positif atau bilangan asli Bila p, k, merupakan simbol aljabar yang disebut variabel. Nyatakan dengan bahasamu sendiri, apa yang dimaksud variabel? Jawab: Variabel (peubah) adalah suatu lambang dalam aljabar yang mewakili anggota suatu himpunan tertentu (mempunyai variasi nilai). 98

117 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta JAWABAN LKP 2 Pak Rahmat memiliki 3 anak berturut-turut Arman, Iwan, dan Susi. Umur Iwan lima tahun kurangnya dari umur Arman. Umur Susi dua tahun kurangnya dari umur Iwan. Umur mereka antara 5 dan 15 tahun. a. Berapa umur Arman dan Iwan jika umur Susi p tahun? Jawab: iwan p+2, arman p +7. b. Apakah jawaban Anda dapat dikatakan sebagai variabel aljabar? Mengapa? Jawab: bukan, karena p +2 adalah simbol yang mewakili umur iwan, sedangkan p + 7 suatu simbol yang mewakili umur arman. c. Apakah jawaban anda memuat simbol lain selain variabel? Tuliskan simbol lain tersebut? Jawab: iya, 2 dan 7 d. Dapatkan simbol lain tersebut diwakili oleh sembarang anggota pada semesta pembicaraan?mengapa? Jawab: tidak, karena 2 dan 7 menunjuk pada bilangan tertentu. e. Apakah simbol lain tersebut menyatakan anggota tertentu pada semesta pembicaraan? Jawab: iya JAWABAN LKP 3 Tiga diantara puluhan buku milik pak guru mempunyai banyak halaman yang unik. Banyak halaman buku II adalah 5 kali banyak halaman buku 1, sedangkan banyakya halaman buku III adalah 2 kali banyaknya halaman buku 1. Jika banyak halaman buku 1 adalah H, maka: a. Berapa banyak halaman buku II dan III? Jawab: buku 2 5H, buku 3 2H b. Apakah jawaban anda termasuk variabel? Mengapa Jawab: Bukan, karena memuat simbol lain. c. Apakah jawaban anda memuat konstanta?tuliskan Jawab: iya, 5 dan 2 d. Apa makna konstanta tersebut terhadap variabel Jawab: sebagai faktor e. Jika konstanta pada jawaban anda disebut koefisien. Nyatakan dengan bahasa sendiri, Pengertian Koefisien. Jawab: Ciri-ciri koefisien 1 adalah konstanta dan menyatakan banyaknya variabel 99

118 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta JAWABAN REFLECTION 1. Apa makna dari yx..? Jawab: Makna dari xy adalah: y+y+..+y sebanyak x faktor atau x+x+..+x sebanyak y faktor. 2. Apakah y bisa dikatakan koefisien pada simbol xy? Jawab: Tidak, karena y menunjuk pada anggota tertentu 3. Apakah simbol xy mempunyai koefisien? Tuliskan. Jawab: ya, yaitu 1 dan 1 adalah koefisien dari simbol xy 100

119 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta MATERI PRESENTASI UNIT 6 101

120 UNIT 6 UNIT C Bentuk Aljabar: Variabel, Koefisien, dan Konstanta 102