METODE BEDA HINGGA UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA LINEAR DENGAN SYARAT BATAS DIRICHLET GALUH MAHARANI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "METODE BEDA HINGGA UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA LINEAR DENGAN SYARAT BATAS DIRICHLET GALUH MAHARANI"

Transkripsi

1 METODE BEDA HINGGA UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA LINEAR DENGAN SYARAT BATAS DIRICHLET GALUH MAHARANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 216

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Metode Beda Hingga untuk Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua Linear dengan Syarat Batas Dirichlet adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 216 Galuh Maharani NIM G541263

4 ABSTRAK GALUH MAHARANI. Metode Beda Hingga untuk Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua Linear dengan Syarat Batas Dirichlet. Dibimbing oleh ELIS KHATIZAH dan ALI KUSNANTO. Persamaan diferensial dapat digunakan untuk memodelkan suatu fenomena dinamis. Seringkali model tersebut sangat kompleks yang mengakibatkan penyelesaian persamaan diferensial secara analitik sulit dilakukan sehingga dibutuhkan suatu pendekatan numerik untuk mencari solusi persamaan. Secara umum pendekatan numerik menggunakan prinsip hampiran sehingga hasil solusi numerik akan memiliki selisih nilai dengan hasil solusi analitik. Karya ilmiah ini berfokus pada penyelesaian persamaan diferensial biasa orde dua linear secara numerik menggunakan metode beda hingga. Solusi khusus dalam penelitian ini diperoleh dengan menggunakan syarat batas Dirichlet yang menspesifikasi nilai solusi fungsi pada nilai variabel bebas tertentu. Metode beda hingga bekerja dengan mengganti suatu persamaan diferensial dengan syarat batas menjadi sebuah sistem persamaan linear yang dilakukan dengan mendiskretisasi daerah asal dan mengubah turunan pada persamaan dengan hampiran beda hingga pusat. Hasil penelitian menunjukkan bahwa pendekatan secara numerik menggunakan metode beda hingga hasilnya tidak berbeda jauh dengan metode analitik, hal ini terlihat dari nilai MAPE yang memiliki kisaran kurang dari 1% pada setiap kasus. Kata kunci: persamaan diferensial biasa orde dua linear, syarat batas Dirichlet, metode beda hingga ABSTRACT GALUH MAHARANI. Finite Difference Method for Second Order Linear Differential Equation with Dirichlet Boundary Value Problem. Supervised by ELIS KHATIZAH and ALI KUSNANTO. Differential equation can be used to model a dynamical phenomenon. Oftentimes, the model can be very complex, which causes the solution of the problem using analytical method will be difficult to be done, so using numerical approach to solve the problem seems to be the very feasible method. Generally, numerical method uses approximation principal, it will yield a difference between numerical solution with analytical solution. This research focused on the solution of second order linear differential equation with numerical approach using finite difference method. Explicit solution obtained by using Dirichlet Boundary Value Problem, which specifies solution value function in each independent variable. Finite difference method works by replacing a differential equation with boundary value problem into linear equation systems through discretization of the initial value and change the derivative in the equation by central finite difference approximation. The results of this research shows that approximation using numerical method in solving differential equation problem will obtain a small

5 deviation with the solution using analytical method, this showed by MAPE value which less than 1% in each case. Keywords: Dirichlet boundary value problem, finite difference method, second order linear differential equation

6

7 METODE BEDA HINGGA UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA LINEAR DENGAN SYARAT BATAS DIRICHLET GALUH MAHARANI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 216

8

9

10 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 215 ini ialah mengenai metode numerik beda hingga, dengan judul Metode Beda Hingga untuk Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua Linear dengan Syarat Batas Dirichlet. Terima kasih penulis ucapkan kepada: 1 Ibu Elis Khatizah, SSi, MSi dan Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi selaku Pembimbing atas ilmu dan masukannya selama masa bimbingan, dan kepada Bapak Dr Ir Fahren Bukhari, MSc selaku Penguji. 2 Ayahanda Djoko Nurprianto dan Ibunda Titi Suryani yang banyak memberikan nasihat, doa serta dukungan. Kakakku Puri Mahestyanti yang selalu menjadi pengingat, pemberi masukan dan pemberi semangat. 3 Keluarga besar Departemen Matematika IPB. 4 Teman-teman seperjuangan Aulia Khoirunnisa, Lina Amalia, Nuzul Farina, dan Novalia Kartika yang selalu mejadi teman positif. 5 Teman-teman terbaik yang selalu memberikan motivasi positif Cynthia, Ghina, Mazaya, Olivia, Ajeng, Claudia, Henysya, dan seluruh Akselerasi 11th(Exelon) serta teman masa kecil Kiki dan Hanna. 6 Rekan-rekan mahasiswa Matematika Teman-teman lainnya yang telah memberikan dukungan moral yang tak bisa disebutkan satu persatu. 8 For Galuh Maharani, thank you for your hardwork. [VIP]. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus 216 Galuh Maharani

11 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 HASIL DAN PEMBAHASAN 1 Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua Linear Homogen dengan Koefisien Konstan 1 Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Nonhomogen dengan Koefisien Konstan 13 Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Homogen dengan Koefisien Variabel Jika Salah Satu Solusi Diketahui 17 Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Homogen dengan Koefisien Variabel 21 Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Nonhomogen dengan Koefisien Variabel Jika Kedua Solusi Diketahui 25 SIMPULAN DAN SARAN 28 Simpulan 28 Saran 29 DAFTAR PUSTAKA 29 LAMPIRAN 3 RIWAYAT HIDUP 37 vi vi vi

12 DAFTAR TABEL 1 Asumsi awal solusi partikular berdasarkan bentuk 4 2 Nilai MAPE dan interpretasinya 1 3 Eror hasil solusi khusus persamaan (25) pada setiap titik nilai 12 4 Nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (25) pada setiap titik nilai 13 5 Eror hasil solusi khusus persamaan (28) pada setiap titik nilai 16 6 Nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (28) pada setiap titik nilai 17 7 Eror hasil solusi khusus persamaan (35) pada setiap titik nilai 2 8 Nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (35) pada setiap titik nilai 21 9 Persamaan indeks untuk persamaan (43) 23 1 Solusi khusus persamaan (43) pada setiap titik nilai Eror hasil solusi khusus persamaan (52) pada setiap titik nilai Nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (52) pada setiap titik nilai 28 DAFTAR GAMBAR 1 Plot solusi khusus persamaan (25) metode analitik dan numerik 11 2 Plot solusi khusus persamaan (28) metode analitik dan numerik 15 3 Plot solusi khusus persamaan (35) metode analitik dan numerik 19 4 Plot solusi khusus persamaan (43) metode numerik beda hingga 24 5 Plot solusi khusus persamaan (52) metode analitik dan numerik 26 DAFTAR LAMPIRAN 1 Wronskian untuk memeriksa kebebasan linear 3 2 Hampiran beda hingga pusat 3 3 Penurunan metode variasi parameter untuk persamaan (52) 3 4 Metode beda hingga persamaan diferensial orde dua linear homogen dengan koefisien konstan 31

13 PENDAHULUAN Latar Belakang Hampir seluruh fenomena di alam semesta merupakan suatu hal yang dinamis. Mempelajari suatu fenomena yang dinamis dapat dilakukan dengan memodelkan fenomena tersebut secara matematis, yakni menggunakan persamaan diferensial karena persamaan diferensial dapat menggambarkan tingkat perubahan suatu kejadian. Suatu model persamaan diferensial dapat menggambarkan fenomena dinamis yang terjadi pada kondisi umum namun seringkali ingin diketahui lebih lanjut bagaimana jika fenomena tersebut terjadi pada kondisi tertentu sehingga model persamaan diferensial saja tidak akan cukup untuk menggambarkan fenomena tersebut. Kondisi khusus pada suatu fenomena dapat digambarkan menggunakan suatu syarat batas. Masalah syarat batas pada persamaan diferensial menyebabkan suatu persamaan diferensial memiliki suatu kondisi khusus pada batas ekstrim, yakni pada batas bawah dan batas atas. Dalam poses memodelkan suatu fenomena, model yang dihasilkan harus dapat dengan tepat menggambarkan fenomena tersebut atau dengan kata lain model yang akurat sangat diutamakan. Biasanya model yang akurat dibentuk dengan menggunakan sedikit asumsi atau bahkan tanpa menggunakan asumsiasumsi tertentu. Penggunaan sedikit asumsi akan menyebabkan model yang dihasilkan menjadi kompleks sehingga menurut LeVeque (27) untuk menyelesaikan suatu model persamaan diferensial dengan syarat batas atau mencari sebuah fungsi (atau hampiran diskret untuk fungsi tersebut) yang memenuhi hubungan antara turunan-turunan yang dimiliki dan memenuhi kondisi batas dalam suatu daerah asal yang diberikan dapat dilakukan dengan suatu pendekatan numerik. Hal ini terjadi ketika penyelesaian secara analitik tidak mudah untuk dilakukan. Metode beda hingga merupakan salah satu metode numerik yang didasarkan pada aplikasi ekspansi Taylor untuk menghampiri persamaan diferensial. Metode beda hingga bekerja dengan mengganti daerah asal suatu variabel terikat dalam suatu persamaan diferensial yang terdefinisi dengan titik-titik nilai berhingga dari hampiran variabel bebas. Turunan dalam suatu persamaan diferensial pada setiap titik nilai akan dihampiri dari nilai sekitar menggunakan teorema Taylor (Causon dan Mingham 21). Proses ini akan menghasilkan beberapa persamaan aljabar yang dapat dengan mudah diselesaikan dengan proses komputasi. Secara umum metode numerik menggunakan prinsip hampiran sehingga solusi yang dihasilkan berupa nilai yang mendekati solusi analitiknya. Oleh karena itu terdapat selisih nilai antara hasil metode numerik dengan hasil metode analitik yang biasa disebut kesalahan atau galat. Nilai kesalahan yang kecil menjadi indikasi bahwa metode numerik yang digunakan akurat dalam menyelesaikan permasalahan. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian persamaan diferensial biasa orde dua linear dengan masalah syarat batas Dirichlet menggunakan metode analitik dan metode numerik beda hingga. Selanjutnya, akan dievaluasi pula keakuratan metode beda hingga dalam menghasilkan solusi dari suatu model persamaan diferensial dengan syarat batas Dirichlet menggunakan nilai MAPE.

14 2 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk: 1 mempelajari penyelesaian analitik masalah nilai batas Dirichlet pada persamaan diferensial biasa orde dua linear homogen dan nonhomogen dengan koefisien konstan dan koefisien variabel, 2 mempelajari penyelesaian numerik masalah nilai batas Dirichlet pada persamaan diferensial biasa orde dua linear menggunakan metode beda hingga, 3 mengevaluasi keakuratan hasil penyelesaian numerik dengan metode beda hingga untuk masalah syarat batas Dirichlet persamaan diferensial biasa orde dua linear. TINJAUAN PUSTAKA Persamaan Diferensial Biasa Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang menghubungkan turunan dari sebuah fungsi tak diketahui, fugsi itu sendiri, variabel ketika fungsi tersebut terdefinisi, dan konstanta (Farlow 1994). Berdasarkan banyak variabel bebasnya, persamaan diferensial dibagi menjadi dua, yaitu persamaan diferensial biasa yang terdiri atas satu variabel bebas dan persamaan diferensial parsial yang terdiri atas dua atau lebih variabel bebas. Secara umum suatu persamaan diferensial biasa dapat dituliskan dalam bentuk Suatu persamaan diferensial dapat diklasifikasikan berdasarkan orde, kelinearan, dan kehomogenan persamaan. Orde dari suatu peramaan diferensial ialah orde dari turunan tertinggi persamaan diferensial tersebut, yakni persamaan diferensial dikatakan memiliki orde jika turunan tertinggi pada persamaan diferensial tersebut memiliki orde. Persamaan diferensial diklasifikasikan linear jika persamaan tersebut berupa fungsi linear, yakni tidak terdapat operasi perkalian, pembagian, atau pangkat antara variabel terikat dan turunannya. Persamaan diferensial diklasifikasikan kedalam persamaan homogen jika pada persamaan (1). Dalam karya ilmiah ini persamaan diferensial biasa yang dibahas akan difokuskan pada persamaan diferensial orde dua linear yang memiliki bentuk umum untuk setiap dengan merupakan sebuah fungsi yang kontinu pada selang I. Jika pada persamaan (2) merupakan sebuah konstanta, maka persamaan diferensial dikatakan memiliki koefisien konstan. Solusi dari suatu persamaan diferensial adalah sebuah fungsi yang dapat disubstitusikan kedalam persamaan sehingga persamaan tersebut berlaku. Solusi dari suatu persamaan diferensial biasa harus saling bebas linear. Menurut Farlow (1994) dua fungsi f dan g dikatakan bebas linear pada selang I jika terdapat dua konstanta tak nol dan yang memenuhi

15 3 untuk setiap pada selang I. Dua fungsi f dan g dikatakan bergantung linear pada selang I jika kedua fungsi tersebut tidak bebas linear pada selang I atau jika persamaan diatas berlaku untuk setiap pada selang I hanya jika. Kombinasi linier dari semua solusi yang saling bebas linear dari persamaan diferensial biasa disebut solusi umum. Metode Akar Karakteristik Pada prinsipnya metode akar karakteristik digunakan untuk mengubah persamaan diferensial biasa linear homogen dengan koefisien konstan menjadi persamaan karakteristik. Misalkan persamaan diferensial biasa orde dua linear koefisien konstan dengan bentuk umum dengan sebuah konstanta sembarang,. Persamaan (3) merupakan kombinasi linear dan sehingga turunan dari tidak akan merubah bentuk kecuali hanya mengalikannya dengan konstanta. Fungsi yang memenuhi kondisi ini ialah fungsi eksponensial. Misalkan persamaan (4) merupakan solusi dari (3) jika dan hanya jika Karena tidak pernah sama dengan nol, persamaan (4) merupakan solusi jika memenuhi dengan (5) merupakan persamaan karakteristik. Solusi dari persamaan (5) akan mengandung akar-akar persamaan. Berdasarkan jenis akar yang diperoleh dapat dibedakan menjadi tiga, yakni: 1 Dua akar real berbeda Jika diskriminan dari persamaan karakteristik lebih dari nol atau, maka solusi dari persamaan diferensial biasa orde dua ialah dengan,, dan merupakan konstanta (Farlow 1994). 2 Dua akar real sama Jika diskriminan dari persamaan karakteristik sama dengan nol atau, maka solusi dari persamaan diferensial biasa orde dua ialah dengan, dan merupakan konstanta (Farlow 1994).

16 4 3 Akar kompleks Jika diskriminan dari persamaan karakteristik kurang dari nol atau, maka solusi dari persamaan diferensial biasa orde dua ialah ( ) ( ) ( ) dengan,, dan merupakan konstanta (Farlow 1994). Metode Koefisien Taktentu Metode koefisien taktentu digunakan untuk mencari solusi partikular persamaan diferensial biasa nonhomogen koefisien konstan. Metode ini menggunakan asumsi awal untuk memperkirakan bentuk solusi partikular yang akan diperoleh, namun dengan nilai koefisien yang tidak spesifik. Jika nilai koefisien tidak dapat diperoleh setelah mensubstitusikan asumsi awal bentuk solusi partikular ke dalam persamaan diferensial, maka bentuk asumsi awal yang digunakan tidak tepat sehingga asumsi bentuk solusi partikular harus diubah sampai diperoleh nilai koefisien yang spesifik. Perlunya asumsi awal berbentuk solusi partikular menyebabkan metode ini terbatas untuk kelas fungsi tertentu. Pada umumnya fungsi nonhomogen ( ) merupakan fungsi polinom, eksponensial, sinus atau kosinus, atau perkalian dari fungsi-fungsi tersebut yang secara singkat dituliskan pada Tabel 1. Tabel 1 Asumsi awal solusi partikular berdasarkan bentuk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan atau ( ) ( ) ( ), dengan penjelasan: 1 jika ( ) merupakan fungsi polinom dan persamaan diferensial biasa merupakan kombinasi linear dari, maka solusi partikular akan merupakan fungsi polinom, 2 jika ( ) merupakan fungsi polinom dan eksponensial dan persamaan diferensial biasa merupakan kombinasi linear dari, maka solusi partikular akan merupakan fungsi polinom dan eksponensial (hal ini berlaku karena turunan dari fungsi eksponensial tetap, hanya berlipat sebesar ), 3 jika ( ) merupakan fungsi sinus atau kosinus dan persamaan diferensial biasa merupakan kombinasi linear dari, maka solusi partikular akan

17 merupakan fungsi polinom dan sinus kosinus karena turunan dari keduanya masih merupakan fungsi sinus atau kosinus. 5 Metode Reduksi Orde d Alembert Metode reduksi orde d Alembert digunakan untuk mentransformasi persamaan diferensial biasa orde tinggi menjadi sebuah persamaan diferensial biasa dengan orde lebih rendah. Metode reduksi orde dapat digunakan jika salah satu solusi tak nol dari persamaan diferensial biasa tersebut diketahui. Misalkan merupakan solusi dari persamaan maka berdasarkan prinsip superposisi, juga merupakan solusi dari persamaan (6) dengan sebuah konstanta sebarang. Solusi lain yang bebas linear terhadap dapat diperoleh jika solusi tersebut tidak dalam bentuk, sehingga konstanta sebarang diganti dengan sebuah fungsi, misal dengan Metode Deret Pangkat dan Deret Frobenius Metode deret digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa koefisien variabel. Misalkan suatu persamaan diferensial biasa dengan dan merupakan fungsi yang terdefinisi disekitar. Jika fungsi dan merupakan fungsi analitik, atau dengan kata lain memiliki ekspansi deret pangkat disekitar, maka merupakan titik regular. Namun, jika setidaknya salah satu fungsi atau tidak analitik disekitar atau dengan kata lain tidak memiliki ekspansi deret pangkat dengan pusat, maka merupakan titik singular. a Solusi disekitar titik regular Jika merupakan titik regular, maka setiap solusi dari persamaan (7) dapat direpresentasikaan sebagai deret pangkat dengan pusat. Perhatikan bahwa untuk kasus ini

18 6 Solusi dapat diperoleh dengan: 1 mensubstitusikan, dan ke dalam persamaan diferensial, 2 menuliskan ruas kiri persamaan (7) sebagai deret pangkat tunggal, 3 merepresentasikan koefisien deret yang diperoleh menjadi nol. Hal ini akan menghasilkan suatu persamaan rekursif, 4 jika memungkinkan, buat sebuah barisan yang merupakan fungsi dari. Setelah itu akan diperoleh solusi dalam bentuk deret pangkat. Jika solusi deret dapat dituliskan dalam bentuk fungsi dasar, maka solusi tersebut dikatakan dalam bentuk tertutup. b Solusi disekitar titik regular-singular Jika fungsi atau tidak analitik di, maka titik merupakan titik singular. Dalam kasus ini jika persamaan (7) dapat dituliskan dalam bentuk dengan fungsi dan analitik di, maka titik disebut titik regular-singular. Jika persamaan (7) tidak dapat dituliskan dalam bentuk (8), maka titik disebut titik iregular atau essential singularity. Penyederhanaan pengerjaan dapat dilakukan dengan mengasumsikan. Solusi dapat dicari dalam bentuk untuk beberapa nilai r. Deret (9) dinamakan deret Frobenius. Perhatikan bahwa untuk kasus ini Solusi dapat diperoleh dengan: 1 mensubstitusikan, dan ke dalam persamaan diferensial, 2 menuliskan ruas kiri persamaan (7) sebagai deret pangkat tunggal, 3 ambil koefisien deret dengan pangkat terendah, kemudian koefisien tersebut disamadengankan dengan nol dan akan diperoleh persamaan kuadratik yang akan menghasilkan nilai dan. Dari nilai dan yang diperoleh, substitusikan ke persamaan indeks sehingga akan diperoleh solusi deret dan. Dari nilai dan yang diperoleh, dengan, akan terdapat tiga kasus: 1 jika selisih nilai dan bukan bilangan bulat, maka akan diperoleh dua solusi bebas linear 2 jika selisih nilai dan bilangan bulat tak nol, memiliki nilai yang lebih besar, maka akan diperoleh dua solusi bebas linear 3 jika selisih nilai dan nol, maka akan diperoleh dua solusi bebas linear

19 7 Metode Variasi Parameter Metode variasi parameter digunakan untuk mencari solusi partikular persamaan diferensial biasa nonhomogen. Metode ini dapat digunakan jika dua solusi bebas linear persamaan homogen padanan diketahui. Meskipun metode ini hanya dapat digunakan jika dua solusi bebas linear diketahui, namun metode ini dapat diaplikasikan secara lebih mudah pada persamaan diferensial dengan orde yang tinggi jika dibandingkan dengan metode reduksi orde serta tidak diperlukannya asumsi awal bentuk solusi seperti pada metode koefisien tak tentu. Metode variasi parameter memperoleh solusi partikular dengan mengasumsikan parameter di solusi persamaan homogen padanan adalah suatu fungsi. Misalkan persamaan diferensial biasa orde dua linear nonhomogen dengan dan fungsi kontinu. Persamaan homogen padanan dari persamaan diferensial (1) ialah yang memiliki solusi homogen dengan bentuk umum dengan dan konstanta sembarang. Ide dari metode variasi parameter ialah mengganti konstanta dan pada persamaan (11) dengan fungsi dan untuk solusi partikular sehingga akan diperoleh bentuk umum solusi partikular Fungsi dan dapat dicari dengan memfokuskan pada dua kondisi. Persamaan (12) merupakan kondisi pertama, yakni bahwa solusi partikular harus memenuhi persamaan diferensial dengan turunan pertamanya Kondisi kedua yang digunakan Lagrange dalam kasus ini ialah sehingga turunan kedua menjadi lebih sederhana substitusikan persamaan (12), (13), dan (15) ke dalam persamaan (1) sehingga akan diperoleh Persamaan (14) dan (16) akan menghasilkan suatu sistem persamaan linear. Dengan metode Cramer akan diperoleh dengan (lampiran 1). Solusi partikular persamaan diferensial biasa dinyatakan dalam persamaan (18)

20 8 Syarat Batas Dirichlet Ketika suatu persamaan diferensial harus memenuhi kondisi batas pada lebih dari satu nilai variabel bebas, maka persamaan diferensial tersebut dikatakan memiliki masalah nilai batas atau boundary value problem. Pada umumnya kondisi batas yang harus dipenuhi ialah pada dua titik, yakni pada batas bawah dan batas atas. Kondisi batas ketika nilai solusi fungsi dispesifikasi pada nilai variabel bebas tertentu dinamakan syarat batas Dirichlet. Contoh syarat batas Dirichlet ialah atau Metode Beda Hingga Metode beda hingga merupakan sebuah teknik penyelesaian persamaan diferensial biasa yang menghampiri turunan dari fungsi dengan formula hampiran beda hingga hasil ekspansi Taylor yang dievaluasi pada titik-titik diskret hasil diskretisasi daerah asal sehingga menghasilkan solusi berupa nilai-nilai fungsi pada titik-titik diskret. Secara umum terdapat tiga langkah utama metode beda hingga yakni diskretisasi daerah asal, menghampiri turunan fungsi dengan formula beda hingga, dan menyelesaikan persamaan aljabar untuk memperoleh nilai hampiran fungsi pada setiap titik. Misalkan terdapat persamaan diferensial biasa orde dua linear dengan masalah syarat batas Dirichlet berikut pada dengan dan. Menurut Mathews (1987) persamaan (19) dapat diselesaikan menggunakan metode beda hingga dengan tahapan pengerjaan sebagai berikut: 1 Dikretisasi daerah asal. Diskretisasi daerah asal dilakukan dengan memartisi daerah asal menjadi beberapa titik nilai, seperti. Titik-titik nilai yang dihasilkan akan digunakan untuk mencari nilai fungsi yang merepresentasikan hampiran solusi dari persamaan diferensial. Memartisi daerah asal dapat dilakukan menggunakan uniform Cartesian grid dengan antar titik yang dihasilkan akan memiliki lebar selang yang seragam. Sebagai contoh misalkan suatu persamaan diferensial memiliki daerah asal yang akan dipartisi menjadi empat bagian. Proses diskretisasi akan menghasilkan lima titik nilai dengan lebar selang seragam, yakni dengan titik-titik nilai yang dihasilkan ialah. 2 Mengubah turunan pada persamaan diferensial dengan hampiran beda hingga pada setiap titik nilai untuk memperoleh beberapa sistem persamaan aljabar. Proses pengubahan turunan dapat dilakukan dengan memanfaatkan formula beda pusat hasil ekspansi Taylor (lampiran 2)

21 9 dan Agar penulisan lebih mudah,untuk selanjutnya akan dinotasikan dengan. Substitusi persamaan (2) dan (21) ke persamaan (19) ( ) Selanjutnya, kesalahan dihilangkan dan perubahan penulisan notasi,, sehingga persamaan (22) menjadi ( ) Dengan mengalikan setiap ruas persamaan (23) dengan sebuah sistem persamaan linear diperoleh ( ) ( ) untuk, dengan dan., dan mengatur menjadi 3 Menyelesaikan sistem persamaan aljabar untuk memperoleh hampiran solusi pada setiap titik. Sistem persamaan linear aljabar (24) dapat dituliskan dalam bentuk matriks dan vektor [ ] [ ] [ ] dengan ( ) dan ( ). Selanjutnya dapat diperoleh nilai,untuk. MAPE (Mean Absolute Percentage Error) MAPE (Mean Absolute Percentage Error) digunakan untuk mengukur keakuratan hasil peramalan. Nilai MAPE disajikan dalam bentuk persen. MAPE memiliki formula

22 1 dengan menyatakan banyaknya ukuran contoh, menyatakan nilai hasil prediksi pada titik, dan menyatakan nilai pada titik. Tabel 2 mensajikan nilai MAPE dan interpretasinya Tabel 2 Nilai MAPE dan interpretasinya MAPE Interpretasi < 1 Tingkat keakuratan tinggi 1-2 Tingkat keakuratan baik 2-5 Tingkat keakuratan cukup baik > 5 Tidak akurat Sumber: Lewis (1982) HASIL DAN PEMBAHASAN 1 Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua Linear Homogen dengan Koefisien Konstan Berikut ini akan dibahas penyelesaian persamaan diferensial biasa orde dua linear homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode analitik akar karakteristik dan menggunakan metode numerik beda hingga. Contoh persamaan diferensial biasa orde dua linear homogen dengan koefisien konstan diberikan pada persamaan (25). Misalkan persamaan diferensial biasa orde dua linear dengan syarat batas Dirichlet a Metode Akar Karakteristik Persamaan karakteristik dari persamaan diferensial (25) maka diperoleh solusi umum persamaan (25) Dengan syarat batas, maka eliminasi persamaan (26) dan (27) menggunakan metode eliminasi Gauss, diperoleh, dan, sehingga solusi khusus persamaan (25)

23 11 b Metode Beda Hingga Penyelesaian persamaan diferensial orde dua linear homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode numerik beda hingga diawali dengan mendiskretisasi daerah asal, yakni memartisi daerah menjadi beberapa titik nilai dengan. Untuk terdapat 5 titik nilai hasil partisi, untuk terdapat 11 titik nilai dan untuk terdapat 21 titik nilai. Selanjutnya, mengubah turunan pada persamaan (25) dengan hampiran beda hingga pada setiap titik nilai sehingga diperoleh sistem persamaan linear Dengan program MATLAB diperoleh solusi khusus persamaan (25) pada setiap titik nilai. Gambar 1 menunjukkan plot solusi khusus persamaan (25) metode analitik dan metode numerik beda hingga untuk tiga nilai yang berbeda dengan eror untuk masing-masing nilai pada setiap titik nilai ditunjukkan pada Tabel 3 dan nilai MAPE pada setiap titik nilai ditunjukkan pada Tabel 4. Analitik Gambar 1 Plot solusi khusus persamaan (25) metode analitik dan numerik Titik-titik warna pada Gambar 1 menunjukkan hasil pendekatan solusi numerik pada setiap titik nilai hasil diskretisasi dengan metode beda hingga. Titik warna merah menunjukkan hasil pendekatan untuk, titik warna hijau menunjukkan hasil pendekatan untuk, dan titik warna biru menunjukkan hasil pendekatan untuk dengan garis hitam menunjukkan hasil solusi analitik. Pada Gambar 1 terlihat plot solusi numerik metode beda hingga bertumpuk dengan plot solusi analitik metode akar karakteristik untuk setiap nilai. Nilai eror hasil solusi khusus persamaan (25) pada setiap titik nilai diperlihatkan pada Tabel 3.

24 12 Tabel 3 Eror hasil solusi khusus persamaan (25) pada setiap titik nilai Eror Tabel 3 menunjukkan ketika nilai eror hasil solusi khusus persamaan (25) kurang dari.5, ketika lebar selang diperkecil menjadi memiliki eror kurang dari.7, dan ketika lebar selang diperkecil menjadi.5 memiliki eror kurang dari.7. Secara umum terlihat pemilihan nilai memengaruhi hasil pendekatan metode beda hingga terhadap solusi analitik, seperti saat, untuk hasil pendekatan metode beda hingga memiliki eror sebesar.346, ketika nilai diperkecil menjadi.1, hasil pendekatan metode beda hingga memiliki eror sebesar.17 dan ketika nilai diperkecil kembali menjadi.5, hasil pendekatan metode beda hingga memiliki eror.17 sehingga untuk kasus ini hasil pendekatan metode beda hingga secara umum memiliki nilai eror terkecil ketika. Pada Tabel 4 ditunjukkan nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (25) pada setiap titik nilai.

25 13 Tabel 4 Nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (25) pada setiap titik nilai MAPE % % % % %.7572 % % %.868 % % % %.4992 % % %.3451 % % %.131 % % % %.8246 % % %.3746 % % % % % % % % % % % % Dari Tabel 4 terlihat solusi khusus persamaan (25) secara keseluruhan memiliki nilai MAPE kurang dari 1% dengan rata-rata nilai MAPE saat sebesar.18732%, saat memiliki rata-rata.7749% dan rata-rata terkecil terjadi saat yakni sebesar.5676% sehingga dapat dikatakan bahwa metode numerik beda hingga memiliki tingkat keakuratan yang tinggi dalam mendekati solusi analitik persamaan (25). 2 Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Nonhomogen dengan Koefisien Konstan Penyelesaian persamaan diferensial orde dua linear nonhomogen dengan koefisien konstan secara analitik yang akan dibahas pada bagian ini dilakukan dengan menyelesaikan persamaan homogen padanan persamaan menggunakan metode akar karakteristik dilanjutkan dengan penyelesaian persamaan partikular menggunakan metode koefisien taktentu. Pada bagian ini akan dibahas pula penyelesaian persamaan diferensial orde dua linear nonhomogen dengan koefisien konstan secara numerik menggunakan metode beda hingga. Contoh dari

26 14 persamaan diferensial orde dua linear nonhomogen koefisien konstan diberikan pada persamaan (28). Misalkan persamaan diferensial biasa orde dua linear dengan syarat batas Dirichlet a Metode Akar Karakteristik dan Koefisien Taktentu Persamaan homogen padanan dari persamaan (28) Persamaan karakteristik dari (29) maka solusi homogen padanan Persamaan partikular dari persamaan (28) substitusi persamaan (3), (31), (32) ke persamaan (28) maka solusi partikular persamaan (28) Dengan syarat batas, sehingga diperoleh solusi umum, maka eliminasi persamaan (33) dan (34) menggunakan metode eliminasi Gauss, diperoleh, sehingga solusi khusus persamaan (28) b Metode Beda Hingga Penyelesaian menggunakan metode beda hingga untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde dua linear nonhomogen dengan koefisien konstan diawali dengan mendiskretisasi daerah asal menjadi beberapa titik nilai dengan. Dalam karya ilmiah ini terdapat tiga nilai yang digunakan yakni, sehingga untuk terdapat 5 titik nilai hasil partisi, untuk terdapat 11 titik nilai dan untuk terdapat 21 titik nilai. Selanjutnya, dilakukan pengubahan turunan pada persamaan

27 (28) dengan hampiran beda hingga pusat pada setiap titik nilai sehingga diperoleh sistem persamaan linear 15 Solusi khusus persamaan (28) pada setiap titik nilai diperoleh dengan program MATLAB. Gambar 2 menunjukkan plot solusi khusus persamaan (28) metode analitik dan metode numerik beda hingga untuk tiga nilai yang berbeda dengan eror untuk masing-masing nilai pada setiap titik nilai ditunjukkan pada Tabel 5 dan pada Tabel 6 ditunjukkan nilai MAPE pada setiap titik nilai untuk masingmasing nilai. Analitik Gambar 2 Plot solusi khusus persamaan (28) metode analitik dan numerik Hasil pendekatan solusi numerik pada setiap titik nilai hasil diskretisasi dengan metode beda hingga ditunjukkan dengan plot yang berupa titik-titik diskret pada Gambar 2. Titik warna merah menunjukkan hasil pendekatan untuk, titik warna hijau menunjukkan hasil pendekatan untuk, dan titik warna biru menunjukkan hasil pendekatan untuk dengan garis hitam menunjukkan hasil solusi analitik. Pada Gambar 2 terlihat plot solusi numerik metode beda hingga bertumpuk dengan plot solusi analitik metode akar karakteristik dan koefisien tak tentu untuk nilai sementara ketika plot solusi numerik tidak tepat bertumpuk dengan plot solusi numerik. Nilai eror hasil solusi khusus persamaan (28) pada setiap titik nilai diperlihatkan pada Tabel 5.

28 16 Tabel 5 Eror hasil solusi khusus persamaan (28) pada setiap titik nilai Eror Tabel 5 menunjukkan ketika nilai eror hasil solusi khusus persamaan (28) kurang dari.5, ketika lebar selang diperkecil menjadi memiliki eror kurang dari.8, dan ketika lebar selang diperkecil menjadi.5 memiliki eror kurang dari.2. Secara umum terlihat pemilihan nilai memengaruhi hasil pendekatan metode beda hingga terhadap solusi analitik, seperti saat, untuk hasil pendekatan metode beda hingga memiliki eror sebesar.41844, ketika nilai diperkecil menjadi.1, hasil pendekatan metode beda hingga memiliki eror sebesar.644 dan ketika nilai diperkecil kembali menjadi.5, hasil pendekatan metode beda hingga memiliki eror.1544 sehingga untuk kasus ini hasil pendekatan metode beda hingga secara umum memiliki nilai eror terkecil ketika. Pada Tabel 6 ditunjukkan nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (28) pada setiap titik nilai.

29 17 Tabel 6 Nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (28) pada setiap titik nilai MAPE % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Keakuratan metode beda hingga dalam mendekati solusi analitik persamaan (28) dapat dilihat pada Tabel 6 yang menunjukkan nilai MAPE untuk solusi khusus persamaan (28) dengan rata-rata nilai MAPE untuk sebesar %, untuk dan memiliki rata-rata nilai MAPE kurang dari 1% yakni sebesar % saat dan % saat yang merupakan rata-rata terkecil sehingga dapat dikatakan bahwa metode numerik beda hingga memiliki tingkat keakuratan yang tinggi dalam mendekati solusi analitik persamaan (28). 3 Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Homogen dengan Koefisien Variabel Jika Salah Satu Solusi Diketahui Pada bagian ini akan dibahas metode analitik reduksi orde d Alembert untuk menyelesaian persamaan diferensial orde dua linear homogen dengan koefisien variabel jika salah satu solusi persamaan sudah diketahui. Selanjutnya, akan dibahas pula penyelesaian menggunakan metode numerik beda hingga. Persamaan diferensial orde dua linear homogen dengan koefisien variabel diberikan pada persamaan (35) dengan salah satu nilai solusi yang telah diketahui.

30 18 Misalkan adalah solusi dari persamaan diferensial dengan syarat batas Dirichlet a Metode reduksi orde d Alembert Persamaan (35) memiliki bentuk umum Misalkan substitusi persamaan (36), (37), (38) ke persamaan (35) ( ) misalkan,, maka persamaan (39) dapat dituliskan menjadi pilih, akan diperoleh pilih, akan diperoleh substitusikan persamaan (4) ke persamaan (36), akan diperoleh dengan Jadi, dan bebas linear. Maka solusi umum persamaan (35) dengan syarat batas Dirichlet

31 19 eliminasi persamaan (41) dan (42) menggunakan metode eliminasi Gauss diperoleh,. Jadi solusi khusus persamaan (35) b Metode Beda Hingga Penyelesaian persamaan (35) menggunakan metode numerik beda hingga diawali dengan mendiskretisasi daerah asal, yakni memartisi daerah menjadi beberapa titik nilai dengan. Dalam karya ilmiah ini terdapat tiga nilai yang digunakan yakni, sehingga untuk terdapat 5 titik nilai hasil partisi, untuk terdapat 11 titik nilai dan untuk terdapat 21 titik nilai. Selanjutnya, proses penyelesaian dilakukan dengan mengubah turunan pada persamaan (35) dengan hampiran beda hingga pada setiap titik nilai sehingga diperoleh sistem persamaan linear dengan program MATLAB diperoleh solusi khusus persamaan (35) pada setiap titik nilai. Gambar 3 menunjukkan plot solusi khusus persamaan (35) metode analitik dan metode numerik beda hingga untuk tiga nilai yang berbeda dengan eror untuk masing-masing nilai pada setiap titik nilai ditunjukkan pada Tabel 7 dan nilai MAPE pada setiap titik nilai untuk masing-masing nilai ditunjukkan pada Tabel 8. Analitik Gambar 3 Plot solusi khusus persamaan (35) metode analitik dan numerik

32 2 Gambar 3 menunjukkan plot solusi analitik yang berupa garis berwarna hitam dan plot hasil pendekatan solusi numerik pada setiap titik nilai hasil diskretisasi dengan metode beda hingga yang berupa titik-titik diskret dengan titik warna merah menunjukkan hasil pendekatan untuk, titik warna hijau menunjukkan hasil pendekatan untuk, dan titik warna biru menunjukkan hasil pendekatan untuk. Pada Gambar 3 terlihat plot solusi analitik tidak tepat bertumpuk dengan plot solusi numerik metode reduksi orde d Alembert. Nilai eror hasil solusi khusus persamaan (35) pada setiap titik nilai diperlihatkan pada Tabel 7. Tabel 7 Eror hasil solusi khusus persamaan (35) pada setiap titik nilai Eror Tabel 7 menunjukkan nilai eror hasil solusi khusus persamaan (35) pada setiap titik nilai untuk setiap nilai. Pemilihan nilai mempengaruhi hasil pendekatan metode beda hingga terhadap solusi analitik, seperti saat, untuk hasil pendekatan metode beda hingga memiliki eror sebesar , ketika nilai diperkecil menjadi.1, hasil pendekatan metode beda hingga memiliki eror sebesar dan ketika nilai diperkecil kembali menjadi.5, hasil pendekatan metode beda hingga memiliki eror Solusi khusus persamaan (35) hasil pendekatan metode beda hingga secara umum

33 memiliki nilai eror terkecil ketika. Pada Tabel 8 ditunjukkan nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (35) pada setiap titik nilai. Tabel 8 Nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (35) pada setiap titik nilai MAPE 1 % % % % % % % % 42.5 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Dari Tabel 8 terlihat untuk memiliki rata-rata nilai MAPE lebih dari 1%, yakni untuk secara rata-rata memiliki nilai MAPE sebesar %, dan untuk memiliki rata-rata nilai MAPE sebesar %, sedangkan untuk memiliki rata-rata nilai MAPE kurang dari 1%, yakni sebesar %. Dari nilai MAPE yang diperoleh dapat dikatakan bahwa metode beda hingga memiliki tingkat keakuratan yang baik dalam mendekati solusi analitik persamaan (35) Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Homogen dengan Koefisien Variabel Berikut ini akan dibahas penyelesaian persamaan diferensial orde dua linear homogen dengan koefisien variabel menggunakan metode analitik deret dan metode numerik beda hingga. Salah satu contoh persamaan diferensial orde dua linear homogen koefisien variabel ialah persamaan Chebysev yang memiliki

34 22 bentuk menyerupai persamaan Legandre yang biasa digunakan dalam mekanika quantum. Persamaan Chebysev diberikan pada persamaan (43). Misalkan persamaan diferensial biasa orde dua linear dengan syarat batas Dirichlet a Metode Deret Persamaan (43) merupakan persamaan Chebysev, yang memiliki titik regular singular, dan sehingga penyelesaian secara analitik dapat menggunakan metode deret pangkat. Substitusi persamaan (44), (45), dan (46) ke persamaan (43), akan diperoleh dari persamaan (47) diperoleh

35 23 dan persamaan indeks Persamaan (48) dan (49) merupakan kasus khusus persamaan (5), yakni ketika dan, maka persamaan (5) dapat dituliskan menjadi Tabel 9 Persamaan indeks untuk persamaan (43) Sehingga solusi umum persamaan Chebysev dengan ( ) ( ) Solusi khusus persamaan (43) tidak dapat diperoleh karena solusi umum tidak dalam bentuk tertutup. b Metode Beda Hingga Penyelesaian persamaan diferensial orde dua linear homogen dengan koefisien variabel menggunakan metode numerik beda hingga diawali dengan mendiskretisasi daerah asal, yakni memartisi daerah menjadi beberapa titik nilai dengan. Untuk terdapat 5 titik nilai hasil partisi, untuk terdapat 11 titik nilai dan untuk terdapat 21 titik nilai. Selanjutnya, mengubah turunan pada persamaan (43) dengan hampiran beda hingga pada setiap titik nilai sehingga diperoleh sistem persamaan linear Dengan program MATLAB diperoleh solusi khusus persamaan (43) pada setiap titik nilai. Gambar 4 menunjukkan plot solusi khusus persamaan (43) metode analitik dan metode numerik beda hingga untuk tiga nilai yang berbeda dengan eror untuk masing-masing nilai pada setiap titik nilai ditunjukkan pada Tabel 1.

36 24 Gambar 4 Plot solusi khusus persamaan (43) metode numerik beda hingga Tabel 1 Solusi khusus persamaan (43) pada setiap titik nilai Numerik

37 Penyelesaian persamaan Chebysev dengan metode deret tidak menghasilkan solusi dalam bentuk tertutup sehingga syarat batas tidak dapat disubstitusikan ke dalam solusi umum untuk memeroleh solusi khusus. Pada Gambar 4 metode beda hingga dapat menggambarkan nilai solusi pada setiap titik diskret hasil metode numerik beda hingga dengan nilai solusi pada setiap titiknya ditunjukkan pada Tabel 1. Secara keseluruhan untuk setiap nilai plot solusi memiliki pola yang sama. Terlihat bahwa nilai yang lebih kecil dapat lebih mulus menunjukkan kurva solusi dibandingkan dengan nilai yang lebih besar. Dari contoh kasus ini dapat dilihat bahwa metode beda hingga mampu memberikan gambaran bentuk kurva solusi ketika metode analitik tidak memungkinkan untuk digunakan dalam menyelesaikan suatu permasalahan, namun pada kasus ini tidak dapat dilihat apakah metode beda hingga akurat dalam mendekati solusi analitik untuk persamaan (43) Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Nonhomogen dengan Koefisien Variabel Jika Kedua Solusi Diketahui Jika solusi persamaan homogen padanan dari persamaan diferensial orde dua linear nonhomogen dengan koefisien variabel diketahui, maka penyelesaian persamaan partikular dapat dilakukan menggunakan metode variasi parameter yang akan dibahas pada bagian ini. Akan dibahas pula metode numerik beda hingga untuk penyelesaian persamaan diferensial orde dua linear nonhomogen dengan koefisien variabel. Contoh persamaan diferensial orde dua linear nonhomogen dengan koefisien variabel diberikan pada persamaan (52) dengan solusi homogen padanan yang telah diketahui. Misalkan, dan adalah solusi dari persamaan diferensial biasa dengan syarat batas Dirichlet a Metode Variasi Parameter Misalkan dengan metode variasi parameter, misalkan dapat dicari menggunakan persamaan (18), dari persamaan (17) akan diperoleh (lampiran 3). Substitusikan persamaan (54) dan (55) ke persamaan (53) akan diperoleh Sehingga solusi umum persamaan (52) Dengan syarat batas, maka

38 26 substitusi persamaan (56) ke persamaan (57) diperoleh, sehingga solusi khusus persamaan (52) b Metode Beda Hingga Penyelesaian persamaan diferensial orde dua linear homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode numerik beda hingga diawali dengan mendiskretisasi daerah asal, yakni memartisi daerah menjadi beberapa titik nilai dengan. Untuk terdapat 5 titik nilai hasil partisi, untuk terdapat 11 titik nilai dan untuk terdapat 21 titik nilai. Selanjutnya, mengubah turunan pada persamaan (52) dengan hampiran beda hingga pada setiap titik nilai sehingga diperoleh sistem persamaan linear Dengan program MATLAB diperoleh solusi khusus persamaan (52) pada setiap titik nilai. Gambar 5 menunjukkan plot solusi khusus persamaan (52) metode analitik dan metode numerik beda hingga untuk tiga nilai yang berbeda dengan eror untuk masing-masing nilai pada setiap titik nilai ditunjukkan pada Tabel 11 dan nilai MAPE pada setiap titik nilai untuk masing-masing nilai ditunjukkan pada Tabel 12. Analitik Gambar 5 Plot solusi khusus persamaan (52) metode analitik dan numerik Gambar 5 menunjukkan plot solusi analitik yang berupa garis berwarna hitam dan plot hasil pendekatan solusi numerik pada setiap titik nilai hasil diskretisasi dengan metode beda hingga yang berupa titik-titik diskret dengan titik warna merah menunjukkan hasil pendekatan untuk, titik warna hijau menunjukkan hasil pendekatan untuk, dan titik warna biru menunjukkan hasil pendekatan untuk. Pada Gambar 5 terlihat plot solusi numerik metode beda hingga bersinggungan dengan plot solusi analitik metode variasi

39 27 parameter untuk setiap nilai pada Tabel 11. dengan nilai eror untuk setiap titik ditunjukkan Tabel 11 Eror hasil solusi khusus persamaan (52) pada setiap titik nilai Eror Pada Tabel 11 terlihat metode beda hingga memiliki nilai eror kurang dari.2 secara keseluruhan untuk setiap nilai pada setiap titik nilai. Secara umum terlihat pemilihan nilai mempengaruhi hasil pendekatan metode beda hingga terhadap solusi analitik. Seperti saat, untuk hasil pendekatan metode beda hingga memiliki eror sebesar.16813, ketika nilai diperkecil menjadi.1, hasil pendekatan metode beda hingga memiliki eror sebesar dan ketika nilai diperkecil kembali menjadi.5, hasil pendekatan metode beda hingga memiliki eror Dari Tabel 11 terlihat solusi khusus persamaan (52) hasil pendekatan metode beda hingga secara umum memiliki nilai eror terkecil ketika dengan penjelasan lebih lanjut dapat dilihat pada Tabel 12.

40 28 Tabel 12 Nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (52) pada setiap titik nilai MAPE % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Pada Tabel 12 terlihat solusi khusus persamaan (52) secara keseluruhan memiliki nilai MAPE kurang dari 1% dengan rata-rata nilai MAPE saat sebesar %, saat memiliki rata-rata % dan rata-rata terkecil terjadi saat yakni sebesar % sehingga dapat dikatakan bahwa metode numerik beda hingga memiliki tingkat keakuratan yang baik dalam mendekati solusi analitik persamaan (52). SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Dalam pembahasan pada skripsi ini, dapat ditarik kesimpulan bahwa metode numerik beda hingga dapat digunakan untuk menyelesaikan semua jenis persamaan diferensial biasa orde dua linear. Dalam hal metode analitik tidak dapat menyelesaikan solusi secara eksak, metode beda hingga dapat menyelesaikan persamaan diferensial biasa orde dua linier seperti terlihat pada kasus ketiga yakni

41 metode beda hingga mampu menunjukkan bentuk kurva solusi khusus secara eksplisit. Metode beda hingga juga mengubah suatu persamaan diferensial dengan syarat batas menjadi sebuah sistem persamaan linear yang dapat diselesaikan dengan proses komputasi sederhana. Pemilihan nilai pada metode beda hingga menentukan keakuratan hasil pendekatan solusi, namun pemilihan nilai yang kecil tidak menjamin solusi akan semakin akurat atau akan memiliki eror yang kecil jika dibandingkan dengan metode analitik. Metode beda hingga memiliki nilai MAPE kurang dari 1% untuk semua jenis kasus yang diselesaikan. 29 Saran Dalam karya ilmiah ini telah dibahas penyelesaian persamaan diferensial biasa orde dua linier. Metode ini dapat dikembangkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak linier. Saran dari penulis adalah dapat dilakukan penelitian lebih lanjut untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa orde dua tak linier menggunakan metode beda hingga. DAFTAR PUSTAKA Causon D M dan Mingham C G. 21. Introductory Finite Different Methods Fr PDEs. Manchester(UK): Ventus Publishing ApS. Farlow S J An Introduction to Differential Equations and Their Applications. Singapore(SG): McGraw-Hill. LeVaque R J. 27. Finite Difference Methods For Ordinary and Partial Differential Equation. Philadelphia(PA): SIAM. Lewis C D Industrial and business forecasting methods. London: Butterworths. Mathews J Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering. Ed ke-2. New Jersey(US): Prentice-Hall, Inc.

42 3 LAMPIRAN Lampiran 1 Wronskian untuk memeriksa kebebasan linear Misalkan dua fungsi terturunkan dinamakan Wronskian dari dan dan Lampiran 2 Hampiran beda hingga pusat Deret Taylor dari fungsi di (atau di sekitar atau yang berpusat di ) memenuhi persamaan Misalkan ekspansi deret Taylor pada (Varberg et al.28) Pada akan diperoleh Pada akan diperoleh Untuk k=2, dengan mengurangi persamaan (69) dan (7) akan diperoleh persamaan (71) dapat dituliskan menjadi Untuk k=4 dengan menjumlahkan persamaan (69) dan (7) akan diperoleh persamaan (72) dapat dituliskan menjadi Lampiran 3 Penurunan metode variasi parameter untuk persamaan (52) Nilai dapat diperoleh dengan mensubstitusikan solusi homogen persamaan (52) ke persamaan (17), akan diperoleh

Perbandingan Skema Numerik Metode Finite Difference dan Spectral

Perbandingan Skema Numerik Metode Finite Difference dan Spectral Jurnal Ilmiah Teknologi dan Informasia ASIA (JITIKA) Vol.10, No.2, Agustus 2016 ISSN: 0852-730X Perbandingan Skema Numerik Metode Finite Difference dan Spectral Lukman Hakim 1, Azwar Riza Habibi 2 STMIK

Lebih terperinci

TINJAUAN KASUS PERSAMAAN GELOMBANG DIMENSI SATU DENGAN BERBAGAI NILAI AWAL DAN SYARAT BATAS

TINJAUAN KASUS PERSAMAAN GELOMBANG DIMENSI SATU DENGAN BERBAGAI NILAI AWAL DAN SYARAT BATAS Tinjauan kasus persamaan... (Agus Supratama) 67 TINJAUAN KASUS PERSAMAAN GELOMBANG DIMENSI SATU DENGAN BERBAGAI NILAI AWAL DAN SYARAT BATAS ANALITICALLY REVIEW WAVE EQUATIONS IN ONE-DIMENSIONAL WITH VARIOUS

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Konsep Dasar dan Pembentukan (Differential : Basic Concepts and Establishment ) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan

Lebih terperinci

Solusi Persamaan Laplace Menggunakan Metode Crank-Nicholson. (The Solution of Laplace Equation Using Crank-Nicholson Method)

Solusi Persamaan Laplace Menggunakan Metode Crank-Nicholson. (The Solution of Laplace Equation Using Crank-Nicholson Method) Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember, 19 November 2014 320 Persamaan Laplace Menggunakan Metode Crank-Nicholson (The Solution of Laplace Equation Using Crank-Nicholson Method) Titis

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA NONLINIER ORDE DUA DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA NONLINIER ORDE DUA DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA NONLINIER ORDE DUA DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada

Lebih terperinci

METODE PSEUDOSPEKTRAL CHEBYSHEV PADA APROKSIMASI TURUNAN FUNGSI

METODE PSEUDOSPEKTRAL CHEBYSHEV PADA APROKSIMASI TURUNAN FUNGSI Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 50 57 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND METODE PSEUDOSPEKTRAL CHEBYSHEV PADA APROKSIMASI TURUNAN FUNGSI ILHAM FEBRI RAMADHAN Program Studi Matematika

Lebih terperinci

Mata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb

Mata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Mata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XII Differensial e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 PENDAHULUAN Persamaan diferensial

Lebih terperinci

METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR. Rino Martino 1 ABSTRACT

METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR. Rino Martino 1 ABSTRACT METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR Rino Martino 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya

Lebih terperinci

PERBANDINGAN PENYELESAIAN SISTEM OREGONATOR DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL DAN METODE ITERASI VARIASIONAL TERMODIFIKASI

PERBANDINGAN PENYELESAIAN SISTEM OREGONATOR DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL DAN METODE ITERASI VARIASIONAL TERMODIFIKASI PERBANDINGAN PENYELESAIAN SISTEM OREGONATOR DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL DAN METODE ITERASI VARIASIONAL TERMODIFIKASI oleh AMELIA FEBRIYANTI RESKA M0109008 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi

Lebih terperinci

PENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE

PENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE PENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE Viska Noviantri Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus University Jln. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah,

Lebih terperinci

METODE ELEMEN BATAS UNTUK MASALAH TRANSPORT

METODE ELEMEN BATAS UNTUK MASALAH TRANSPORT METODE ELEMEN BATAS UNTUK MASALAH TRANSPORT Agusman Sahari. 1 1 Jurusan Matematika FMIPA UNTAD Kampus Bumi Tadulako Tondo Palu Abstrak Dalam paper ini mendeskripsikan tentang solusi masalah transport polutan

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN POISSON 2D DENGAN MENGGUNAKAN METODE GAUSS-SEIDEL DAN CONJUGATE GRADIENT

PENYELESAIAN PERSAMAAN POISSON 2D DENGAN MENGGUNAKAN METODE GAUSS-SEIDEL DAN CONJUGATE GRADIENT Teknikom : Vol. No. (27) E-ISSN : 2598-2958 PENYELESAIAN PERSAMAAN POISSON 2D DENGAN MENGGUNAKAN METODE GAUSS-SEIDEL DAN CONJUGATE GRADIENT Dewi Erla Mahmudah, Muhammad Zidny Naf an 2 STMIK Widya Utama,

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Poisson 2D dengan Menggunakan Metode Gauss-Seidel dan Conjugate Gradient

Penyelesaian Persamaan Poisson 2D dengan Menggunakan Metode Gauss-Seidel dan Conjugate Gradient Teknikom : Vol. No. (27) ISSN : 2598-2958 (online) Penyelesaian Persamaan Poisson 2D dengan Menggunakan Metode Gauss-Seidel dan Conjugate Gradient Dewi Erla Mahmudah, Muhammad Zidny Naf an 2 STMIK Widya

Lebih terperinci

METODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT

METODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT METODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR I. P. Edwar, M. Imran, L. Deswita Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika

Lebih terperinci

METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL

METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL oleh ASRI SEJATI M0110009 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )

II. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( ) II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai.

I. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai. I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Dalam kehidupan, polusi yang ada di sungai disebabkan oleh limbah dari pabrikpabrik dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Tujuan Instruksional: Mampu memahami definisi Persamaan Diferensial Mampu memahami klasifikasi Persamaan Diferensial Mampu memahami bentuk bentuk solusi Persamaan

Lebih terperinci

PEMBUKTIAN RUMUS BENTUK TUTUP BEDA MUNDUR BERDASARKAN DERET TAYLOR

PEMBUKTIAN RUMUS BENTUK TUTUP BEDA MUNDUR BERDASARKAN DERET TAYLOR Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. Hal. 68 76 ISSN : 233 29 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PEMBUKTIAN RUMUS BENTUK TUTUP BEDA MUNDUR BERDASARKAN DERET TAYLOR WIDIA ASTUTI Program Studi Matematika, Fakultas

Lebih terperinci

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai

Lebih terperinci

PENYELESAIAN MASALAH NILAI EIGEN UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL STURM-LIOUVILLE DENGAN METODE NUMEROV

PENYELESAIAN MASALAH NILAI EIGEN UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL STURM-LIOUVILLE DENGAN METODE NUMEROV Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 415-422 PENYELESAIAN MASALAH NILAI EIGEN UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL STURM-LIOUVILLE DENGAN METODE NUMEROV Iyut Riani, Nilamsari

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Banyak sekali masalah terapan dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, dan lain-lain yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk pesamaan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik

BAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud

Lebih terperinci

PENYELESAIAN MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA MENGGUNAKAN MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

PENYELESAIAN MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA MENGGUNAKAN MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 1 (2015), hal 9 16. PENYELESAIAN MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA MENGGUNAKAN MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

Lebih terperinci

BAB V PERSAMAAN LINEAR TINGKAT TINGGI (HIGHER ORDER LINEAR EQUATIONS) Persamaan linear tingkat tinggi menarik untuk dibahas dengan 2 alasan :

BAB V PERSAMAAN LINEAR TINGKAT TINGGI (HIGHER ORDER LINEAR EQUATIONS) Persamaan linear tingkat tinggi menarik untuk dibahas dengan 2 alasan : BAB V PERSAMAAN LINEAR TINGKAT TINGGI (HIGHER ORDER LINEAR EQUATIONS) Bentuk Persamaan Linear Tingkat Tinggi : ( ) Diasumsikan adalah kontinu (menerus) pada interval I. Persamaan linear tingkat tinggi

Lebih terperinci

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada 5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal

Lebih terperinci

METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN VARIABEL ABSTRACT

METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN VARIABEL ABSTRACT METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN VARIABEL Marpipon Haryandi 1, Asmara Karma 2, Musraini M 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

Lebih terperinci

TEKNIK ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT

TEKNIK ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT TEKNIK ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Koko Saputra 1, Supriadi Putra 2, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika

Lebih terperinci

METODE MODIFIKASI NEWTON DENGAN ORDE KONVERGENSI Lely Jusnita 1

METODE MODIFIKASI NEWTON DENGAN ORDE KONVERGENSI Lely Jusnita 1 METODE MODIFIKASI NEWTON DENGAN ORDE KONVERGENSI 1 + Lely Jusnita 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya

Lebih terperinci

METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE

METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE oleh HILDA ANGGRIYANA M0109035 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN

Lebih terperinci

RPKPS (Rencana Program Kegiatan Pembelajaran Semester) Program Studi : S1 Matematika Jurusan/Fakultas : Matematika/FMIPA

RPKPS (Rencana Program Kegiatan Pembelajaran Semester) Program Studi : S1 Matematika Jurusan/Fakultas : Matematika/FMIPA Ver.1.0 : Desember 2015 1. Nama Mata kuliah Persamaan Biasa Semester/Kode/SKS IV / MAM2201 / 3 2. Silabus Mata kuliah ini berisi teori tentang diferensial. Solusi diferensial orde satu dan dua homogen

Lebih terperinci

Penyelesaian Masalah Syarat Batas dalam Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua dengan Menggunakan Algoritma Shooting Neural Networks

Penyelesaian Masalah Syarat Batas dalam Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua dengan Menggunakan Algoritma Shooting Neural Networks Penyelesaian Masalah Syarat Batas dalam Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua dengan Menggunakan Algoritma Shooting Neural Networks Dewi Erla Mahmudah 1, Ratna Dwi Christyanti 2, Moh. Khoridatul Huda 3,

Lebih terperinci

METODE BERTIPE STEFFENSEN SATU LANGKAH DENGAN KONVERGENSI SUPER KUBIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Neng Ipa Patimatuzzaroh 1 ABSTRACT

METODE BERTIPE STEFFENSEN SATU LANGKAH DENGAN KONVERGENSI SUPER KUBIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Neng Ipa Patimatuzzaroh 1 ABSTRACT METODE BERTIPE STEFFENSEN SATU LANGKAH DENGAN KONVERGENSI SUPER KUBIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Neng Ipa Patimatuzzaroh Mahasiswa Program Studi S Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Lebih terperinci

BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU

BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU Sistem persamaan linear orde/ tingkat satu memiliki bentuk standard : = = = = = = = = = + + + + + + + + + + Diasumsikan koefisien = dan fungsi adalah menerus

Lebih terperinci

BAB VI PENYELESAIAN DERET UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB VI PENYELESAIAN DERET UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB VI PENYELESAIAN DERET UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL Bila persamaan diferensial linear homogen memiliki koefisien constant maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metoda aljabar (seperti yang

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Painleve Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian Laplace

Penyelesaian Persamaan Painleve Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian Laplace Penyelesaian Persamaan Painleve Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian Laplace M. Nizam Muhaijir 1, Wartono 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan

II. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Differential Equation Fungsi mendeskripsikan bahwa nilai variabel y ditentukan oleh nilai variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi

Lebih terperinci

EFEK DISKRITASI METODE GALERKIN SEMI DISKRET TERHADAP AKURASI DARI SOLUSI MODEL RAMBATAN PANAS TANPA SUKU KONVEKSI

EFEK DISKRITASI METODE GALERKIN SEMI DISKRET TERHADAP AKURASI DARI SOLUSI MODEL RAMBATAN PANAS TANPA SUKU KONVEKSI JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER EFEK DISKRITASI METODE GALERKIN SEMI DISKRET TERHADAP AKURASI DARI SOLUSI MODEL RAMBATAN PANAS TANPA SUKU KONVEKSI Kushartantya dan Awalina Kurniastuti Jurusan Matematika

Lebih terperinci

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada 5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya

Lebih terperinci

METODE CHEBYSHEV-HALLEY DENGAN KEKONVERGENAN ORDE DELAPAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Anisa Rizky Apriliana 1 ABSTRACT ABSTRAK

METODE CHEBYSHEV-HALLEY DENGAN KEKONVERGENAN ORDE DELAPAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Anisa Rizky Apriliana 1 ABSTRACT ABSTRAK METODE CHEBYSHEV-HALLEY DENGAN KEKONVERGENAN ORDE DELAPAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Anisa Rizky Apriliana 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika

Lebih terperinci

PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A

PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan

Lebih terperinci

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi

Lebih terperinci

METODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK ABSTRACT

METODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK ABSTRACT METODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK Risvi Ayu Imtihana 1, Asmara Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Lebih terperinci

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR Birmansyah 1, Khozin Mu tamar 2, M. Natsir 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

Lebih terperinci

MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG

MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI

Lebih terperinci

APLIKASI FUNGSI GREEN MENGGUNAKAN ALGORITMA MONTE CARLO DALAM PERSAMAAN DIFERENSIAL SEMILINEAR

APLIKASI FUNGSI GREEN MENGGUNAKAN ALGORITMA MONTE CARLO DALAM PERSAMAAN DIFERENSIAL SEMILINEAR APLIKASI FUNGSI GREEN MENGGUNAKAN ALGORITMA MONTE CARLO DALAM PERSAMAAN DIFERENSIAL SEMILINEAR SKRIPSI Oleh TILSA ARYENI 110803058 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS

Lebih terperinci

PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL

PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL Ro fah Nur Rachmawati Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Binus University Jl.

Lebih terperinci

MODIFIKASI METODE NEWTON DENGAN KEKONVERGENAN ORDE EMPAT. Yenni May Sovia 1, Agusni 2 ABSTRACT

MODIFIKASI METODE NEWTON DENGAN KEKONVERGENAN ORDE EMPAT. Yenni May Sovia 1, Agusni 2 ABSTRACT MODIFIKASI METODE NEWTON DENGAN KEKONVERGENAN ORDE EMPAT Yenni May Sovia, Agusni 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi

BAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi

Lebih terperinci

PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN

PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI

Lebih terperinci

METODE FINITEDIFFERENCE INTERVAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN PANAS

METODE FINITEDIFFERENCE INTERVAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN PANAS METODE FINITEDIFFERENCE INTERVAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN PANAS Aziskhan, Mardhika W.A, Syamsudhuha Jurusan MatematikaFMIPA Universitas Riau Abstract. The aim of this paper is to solve a heat equation

Lebih terperinci

PENGARUH PERUBAHAN PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDO-2 SKRIPSI MIZWAR ARIFIN SRG

PENGARUH PERUBAHAN PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDO-2 SKRIPSI MIZWAR ARIFIN SRG PENGARUH PERUBAHAN PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDO-2 SKRIPSI MIZWAR ARIFIN SRG 070803030 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA

Lebih terperinci

SOLUSI MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA DENGAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT NUR AISYAH MUKARROMAH

SOLUSI MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA DENGAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT NUR AISYAH MUKARROMAH SOLUSI MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA DENGAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT NUR AISYAH MUKARROMAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Pada metode numerik, dikenal suatu metode untuk menaksir atau mencari solusi pendekatan nilai eksak dari suatu ordinat y n+1 dengan diketahui nilai dari y n,

Lebih terperinci

PEMBUKTIAN BENTUK TUTUP RUMUS BEDA MAJU BERDASARKAN DERET TAYLOR

PEMBUKTIAN BENTUK TUTUP RUMUS BEDA MAJU BERDASARKAN DERET TAYLOR Jurnal Matematika UAD Vol. 5 o. 4 Hal. 8 ISS : 233 29 c Jurusan Matematika FMIPA UAD PEMBUKTIA BETUK TUTUP RUMUS BEDA MAJU BERDASARKA DERET TAYLOR ADE PUTRI, RADHIATUL HUSA Program Studi Matematika, Fakultas

Lebih terperinci

METODE ITERASI BEBAS TURUNAN BERDASARKAN KOMBINASI KOEFISIEN TAK TENTU DAN FORWARD DIFFERENCE UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT

METODE ITERASI BEBAS TURUNAN BERDASARKAN KOMBINASI KOEFISIEN TAK TENTU DAN FORWARD DIFFERENCE UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT METODE ITERASI BEBAS TURUNAN BERDASARKAN KOMBINASI KOEFISIEN TAK TENTU DAN FORWARD DIFFERENCE UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Mahrani 1, M. Imran, Agusni 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

Lebih terperinci

KAJIAN DISKRETISASI DENGAN METODE GALERKIN SEMI DISKRET TERHADAP EFISIENSI SOLUSI MODEL RAMBATAN PANAS TANPA SUKU KONVEKSI

KAJIAN DISKRETISASI DENGAN METODE GALERKIN SEMI DISKRET TERHADAP EFISIENSI SOLUSI MODEL RAMBATAN PANAS TANPA SUKU KONVEKSI KAJIAN DISKRETISASI DENGAN METODE GALERKIN SEMI DISKRET TERHADAP EFISIENSI SOLUSI MODEL RAMBATAN PANAS TANPA SUKU KONVEKSI Suhartono dan Solikhin Zaki Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Penelitian

Lebih terperinci

MODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT. Masnida Esra Elisabet ABSTRACT

MODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT. Masnida Esra Elisabet ABSTRACT MODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT Masnida Esra Elisabet Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau Kampus

Lebih terperinci

ASPEK STABILITAS DAN KONSISTENSI METODA DALAM PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA DENGAN MENGGUNAKAN METODA PREDIKTOR- KOREKTOR ORDE 4

ASPEK STABILITAS DAN KONSISTENSI METODA DALAM PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA DENGAN MENGGUNAKAN METODA PREDIKTOR- KOREKTOR ORDE 4 ASPEK STABILITAS DAN KONSISTENSI METODA DALAM PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA DENGAN MENGGUNAKAN METODA PREDIKTOR- KOREKTOR ORDE 4 Asep Juarna, SSi, MKom. Fakultas Ilmu Komputer, Universitas

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDA LINIER ORDE 1 DENGAN METODE KARAKTERISTIK

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDA LINIER ORDE 1 DENGAN METODE KARAKTERISTIK Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 45 49 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDA LINIER ORDE 1 DENGAN METODE KARAKTERISTIK FEBBY RAHMI ALFIONITA,

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Salah satu bentuk model matematika adalah berupa persamaan diferensial. Persamaan diferensial sering digunakan dalam memodelkan suatu permasalahan untuk menggambarkan

Lebih terperinci

APROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI

APROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI APROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Lebih terperinci

PENERAPAN METODE DERET PANGKAT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDEDUA KHUSUS SKRIPSI

PENERAPAN METODE DERET PANGKAT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDEDUA KHUSUS SKRIPSI PENERAPAN METODE DERET PANGKAT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDEDUA KHUSUS SKRIPSI Oleh: SAMSIATI NUR HASANAH NIM: 11321432 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN

Lebih terperinci

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu

Lebih terperinci

MODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE-4 KUTTA BERDASARKAN RATA-RATA HARMONIK TUGAS AKHIR. Oleh : EKA PUTRI ARDIANTI

MODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE-4 KUTTA BERDASARKAN RATA-RATA HARMONIK TUGAS AKHIR. Oleh : EKA PUTRI ARDIANTI MODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE-4 KUTTA BERDASARKAN RATA-RATA HARMONIK TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh : EKA PUTRI ARDIANTI

Lebih terperinci

Persamaan Di erensial Orde-2

Persamaan Di erensial Orde-2 oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y

Lebih terperinci

PRAKTIKUM 3 PAM 253 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

PRAKTIKUM 3 PAM 253 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PRAKTIKUM 3 PAM 253 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TOPIK: PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA ========== Dalam praktikum ini selalu gunakan Worksheet Mode dengan tipe input Maple Notation ========== I. Pendahuluan

Lebih terperinci

FORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU ABSTRACT

FORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU ABSTRACT FORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU Syofia Deswita 1, Syamsudhuha 2, Agusni 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial adalah suatu persamaan diantara derivatif-derivatif yang dispesifikasikan pada suatu fungsi yang tidak diketahui nilainya dan diketahui jumlah

Lebih terperinci

SOLUSI POLINOMIAL TAYLOR PERSAMAAN DIFERENSIAL-BEDA LINEAR DENGAN KOEFISIEN VARIABEL ABSTRACT

SOLUSI POLINOMIAL TAYLOR PERSAMAAN DIFERENSIAL-BEDA LINEAR DENGAN KOEFISIEN VARIABEL ABSTRACT SOLUSI POLINOMIAL TAYLOR PERSAMAAN DIFERENSIAL-BEDA LINEAR DENGAN KOEFISIEN VARIABEL Siti Nurjanah 1, Musraini M 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika

Lebih terperinci

FORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK GELOMBANG INTERNAL PADA LAUT DALAM RINA PRASTIWI

FORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK GELOMBANG INTERNAL PADA LAUT DALAM RINA PRASTIWI FORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK GELOMBANG INTERNAL PADA LAUT DALAM RINA PRASTIWI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan

Lebih terperinci

EVALUASI DETERMINAN MATRIKS REKURSIF DENGAN FAKTORISASI LB RUDIANSYAH

EVALUASI DETERMINAN MATRIKS REKURSIF DENGAN FAKTORISASI LB RUDIANSYAH EVALUASI DETERMINAN MATRIKS REKURSIF DENGAN FAKTORISASI LB RUDIANSYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007 ABSTRAK RUDIANSYAH. Evaluasi

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Dalam kehidupan sehari-hari banyak permasalahan yang muncul di lingkungan sekitar. Hal tersebut dapat dikembangkan melalui pemodelan matematika. Sehingga dengan

Lebih terperinci

Jurnal Matematika Integratif ISSN Volume 12 No 1, April 2016, pp 35 42

Jurnal Matematika Integratif ISSN Volume 12 No 1, April 2016, pp 35 42 Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Volume 12 No 1, April 2016, pp 35 42 Perbandingan Tingkat Kecepatan Konvergensi dari Newton Raphson dan Secant Setelah Mengaplikasikan Aiken s dalam Perhitungan

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. syarat batas, deret fourier, metode separasi variabel, deret taylor dan metode beda

BAB II KAJIAN TEORI. syarat batas, deret fourier, metode separasi variabel, deret taylor dan metode beda BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang beberapa teori dasar yang digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab III. Beberapa teori dasar yang dibahas, diantaranya teori umum tentang persamaan

Lebih terperinci

Solusi Numerik Persamaan Gelombang Dua Dimensi Menggunakan Metode Alternating Direction Implicit

Solusi Numerik Persamaan Gelombang Dua Dimensi Menggunakan Metode Alternating Direction Implicit Vol. 11, No. 2, 105-114, Januari 2015 Solusi Numerik Persamaan Gelombang Dua Dimensi Menggunakan Metode Alternating Direction Implicit Rezki Setiawan Bachrun *,Khaeruddin **,Andi Galsan Mahie *** Abstrak

Lebih terperinci

PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL

PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan

Lebih terperinci

FAMILI METODE ITERASI DENGAN KEKONVERGENAN ORDE TIGA. Rahmawati ABSTRACT

FAMILI METODE ITERASI DENGAN KEKONVERGENAN ORDE TIGA. Rahmawati ABSTRACT FAMILI METODE ITERASI DENGAN KEKONVERGENAN ORDE TIGA Rahmawati Mahasiswa Program Studi S Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya,

Lebih terperinci

MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA ABSTRACT

MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA ABSTRACT MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA Kristiani Panjaitan 1, Syamsudhuha 2, Leli Deswita 2 1 Mahasiswi Program

Lebih terperinci

INTERPOLASI CHEBYSHEV MAKALAH. Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik yang dibimbing oleh. Dr. Trisilowati, S.Si., M.

INTERPOLASI CHEBYSHEV MAKALAH. Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik yang dibimbing oleh. Dr. Trisilowati, S.Si., M. ITERPOLASI CHEBYSHEV MAKALAH Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode umerik yang dibimbing oleh Dr. Trisilowati, S.Si., M.Sc Disusun Oleh: Danang Indrajaya (146090400111008) M. Adib Jauhari Dwi

Lebih terperinci

PERBANDINGAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR MENGGUNAKAN METODE NEWTON- RAPHSON DAN METODE JACOBIAN

PERBANDINGAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR MENGGUNAKAN METODE NEWTON- RAPHSON DAN METODE JACOBIAN E-Jurnal Matematika Vol. 2, No.2, Mei 2013, 11-17 ISSN: 2303-1751 PERBANDINGAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR MENGGUNAKAN METODE NEWTON- RAPHSON DAN METODE JACOBIAN NANDA NINGTYAS RAMADHANI UTAMI 1,

Lebih terperinci

JAWABAN ANALITIK SEBAGAI VALIDASI JAWABAN NUMERIK PADA MATA KULIAH FISIKA KOMPUTASI ABSTRAK

JAWABAN ANALITIK SEBAGAI VALIDASI JAWABAN NUMERIK PADA MATA KULIAH FISIKA KOMPUTASI ABSTRAK JAWABAN ANALITIK SEBAGAI VALIDASI JAWABAN NUMERIK PADA MATA KULIAH FISIKA KOMPUTASI ABSTRAK Kasus-kasus fisika yang diangkat pada mata kuliah Fisika Komputasi akan dijawab secara numerik. Validasi jawaban

Lebih terperinci

KEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

KEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT KEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Ro fah Nur Rachmawati Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus

Lebih terperinci

DERET TAYLOR UNTUK METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ABSTRACT

DERET TAYLOR UNTUK METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ABSTRACT DERET TAYLOR UNTUK METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Lucy L. Batubara 1, Deswita. Leli 2, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika

Lebih terperinci

PERBANDINGAN METODE PEMULUSAN (SMOOTHING) EKSPONENSIAL DAN ARIMA (BOX-JENKINS) SEBAGAI METODE PERAMALAN INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN (IHSG) SKRIPSI

PERBANDINGAN METODE PEMULUSAN (SMOOTHING) EKSPONENSIAL DAN ARIMA (BOX-JENKINS) SEBAGAI METODE PERAMALAN INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN (IHSG) SKRIPSI PERBANDINGAN METODE PEMULUSAN (SMOOTHING) EKSPONENSIAL DAN ARIMA (BOX-JENKINS) SEBAGAI METODE PERAMALAN INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN (IHSG) SKRIPSI WARSINI 070803042 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA

Lebih terperinci

METODE ITERASI ORDE EMPAT DAN ORDE LIMA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Imaddudin ABSTRACT

METODE ITERASI ORDE EMPAT DAN ORDE LIMA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Imaddudin ABSTRACT METODE ITERASI ORDE EMPAT DAN ORDE LIMA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Imaddudin Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lebih terperinci

VARIAN METODE HALLEY BEBAS TURUNAN KEDUA DENGAN ORDE KEKONVERGENAN ENAM. Siti Mariana 1 ABSTRACT ABSTRAK

VARIAN METODE HALLEY BEBAS TURUNAN KEDUA DENGAN ORDE KEKONVERGENAN ENAM. Siti Mariana 1 ABSTRACT ABSTRAK VARIAN METODE HALLEY BEBAS TURUNAN KEDUA DENGAN ORDE KEKONVERGENAN ENAM Siti Mariana 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lebih terperinci

PEMILIHAN KOEFISIEN TERBAIK KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DAN TIGA TITIK. Nurul Ain Farhana 1, Imran M. 2 ABSTRACT

PEMILIHAN KOEFISIEN TERBAIK KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DAN TIGA TITIK. Nurul Ain Farhana 1, Imran M. 2 ABSTRACT PEMILIHAN KOEFISIEN TERBAIK KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DAN TIGA TITIK Nurul Ain Farhana, Imran M Mahasiswa Program Studi S Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Lebih terperinci

Jurnal MIPA 37 (2) (2014): Jurnal MIPA.

Jurnal MIPA 37 (2) (2014): Jurnal MIPA. Jurnal MIPA 37 (2) (2014): 192-199 Jurnal MIPA http://journal.unnes.ac.id/nju/index.php/jm PENYELESAIAN PERSAMAAN DUFFING OSILATOR PADA APLIKASI WEAK SIGNAL DETECTION MENGGUNAKAN METODE AVERAGING Z A Tamimi

Lebih terperinci

PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL

PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Jika y = f(x) dengan f(x) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap

TINJAUAN PUSTAKA. Jika y = f(x) dengan f(x) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Diferensial Jika y = f(x) dengan f(x) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap variabel bebas x, maka dy adalah diferensial dari variabel tak bebas (terikat) y, yang

Lebih terperinci

PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL FUZZY ORDE SATU MENGGUNAKAN METODE ADAMS BASHFORTH MOULTON ORDE TIGA

PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL FUZZY ORDE SATU MENGGUNAKAN METODE ADAMS BASHFORTH MOULTON ORDE TIGA Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 2 (2014), hal 117 124. PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL FUZZY ORDE SATU MENGGUNAKAN METODE ADAMS BASHFORTH MOULTON ORDE TIGA

Lebih terperinci

SOLUSI NON NEGATIF PARSIAL SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU

SOLUSI NON NEGATIF PARSIAL SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU SOLUSI NON NEGATIF PARSIAL SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU Muhafzan Jurusan Matematika Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Andalas Kampus Unand Limau Manis Pag 25163 email:

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib. : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib. : Aip Saripudin, M.T. DESKIPSI MATA KULIAH EL-121 Matematika Teknik I: S1, 3 SKS, Semester II Mata kuliah ini merupakan kuliah lanjut. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI Yuni Yulida Program Studi Matematika FMIPA Unlam Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km. 36

Lebih terperinci

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia.

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia. METODE SIMPSON-LIKE TERKOREKSI Ilis Suryani, M. Imran, Asmara Karma Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Lebih terperinci

TINJAUAN MATA KULIAH... Kegiatan Belajar 2: PD Variabel Terpisah dan PD Homogen Latihan Rangkuman Tes Formatif

TINJAUAN MATA KULIAH... Kegiatan Belajar 2: PD Variabel Terpisah dan PD Homogen Latihan Rangkuman Tes Formatif iii Daftar Isi TINJAUAN MATA KULIAH... xiii MODUL 1: PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU 1.1 Pengertian PD Orde Satu dan Solusinya... 1.2 Latihan... 1.7 Rangkuman... 1.9 Tes Formatif 1..... 1.10 PD Variabel

Lebih terperinci

FAMILI BARU METODE ITERASI BERORDE TIGA UNTUK MENEMUKAN AKAR GANDA PERSAMAAN NONLINEAR. Nurul Khoiromi ABSTRACT

FAMILI BARU METODE ITERASI BERORDE TIGA UNTUK MENEMUKAN AKAR GANDA PERSAMAAN NONLINEAR. Nurul Khoiromi ABSTRACT FAMILI BARU METODE ITERASI BERORDE TIGA UNTUK MENEMUKAN AKAR GANDA PERSAMAAN NONLINEAR Nurul Khoiromi Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Contoh. Ditinjau dari sistem yang didefinisikan oleh:

II LANDASAN TEORI. Contoh. Ditinjau dari sistem yang didefinisikan oleh: 5 II LANDASAN TEORI 2.1 Keterkontrolan Untuk mengetahui persoalan sistem kontrol mungkin tidak ada, jika sistem yang ditinjau tidak terkontrol. Walaupun sebagian besar sistem terkontrol ada, akan tetapi

Lebih terperinci

MODEL MATEMATIKA PERPINDAHAN KELOMPOK BELALANG DENGAN METODE GELOMBANG BERJALAN NURUDIN MAHMUD

MODEL MATEMATIKA PERPINDAHAN KELOMPOK BELALANG DENGAN METODE GELOMBANG BERJALAN NURUDIN MAHMUD MODEL MATEMATIKA PERPINDAHAN KELOMPOK BELALANG DENGAN METODE GELOMBANG BERJALAN NURUDIN MAHMUD SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan

Lebih terperinci