Gas Dalam Saluran Pipa Menggunakan

Transkripsi

1 Pemodelan dan Solusi Numerik Aliran Gas Dalam Saluran Pipa Menggunakan Metode Crank-Nicolson Oleh: Zusnita Meyrawati Dosen Pembimbing: 1. Prof. DR. Basuki Widodo, M.Sc.. Drs. Kamiran, M.Si. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi sepuluh Nopember Surabaya 010

2 PENDAHULUAN Gas merupakan salah satu sumber energi alternatif yang layak diperhitungkan, mengingat kenyataan bahwa cadangan minyak dunia saat ini telah menipis. Gas alam dapat berbahaya karena sifatnya yang sangat mudah terbakar dan menimbulkan ledakan. Apabila berada di dalam ruang tertutup, t t seperti di dalam pipa, konsentrasi gas dapat mencapai titik campuran yang mudah meledak. Sehingga cukup sulit untuk menyimpan gas alam karena hal ini sangat mahal dan berbahaya. Pengiriman gas alam dari daerah produksi ke konsumen dapat dilakukan dengan beberapa cara tergantung situasi dan kondisi, cara yang digunakan antara lain dengan sistem transmisi pipa.

3 Rumusan Masalah Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah: Menurunkan model matematika dari aliran gas dalam suatu saluran pipa. Mendapatkan solusi numerik dari pemodelan aliran gas dalam suatu saluran pipa. Melakukan visualisasi hasil perhitungan numerik dari model tersebut menggunakan bantuan program MATLAB 7.6.

4 Batasan Masalah Temperatur pada setiap titik di sepanjang saluran pipa pp sama dan tidak ada perubahan terhadap waktu (isothermal). Pipa transimi i lurus dan luas penampangnya konstan. Aliran gas bersifat satu fasa dan menggunakan hubungan aliran satu dimensi. Laju aliran gas konstan. Pemuaian dinding pipa diabaikan. Kecepatan suara (c) konstan. Tidak ada kerja yang dilakukan gas selama aliran terjadi. Massa jenis gas konstan.

5 Tujuan dan Manfaat Tujuan dari penelitian inii adalah untuk mengkaji model transportasi gas melalui saluran pipa dan diharapkan pemodelan aliran gas dalam saluran pipa pp yang efisien akan sangat berguna untuk memperoleh pengetahuan yang lebih mendalam mengenai sistem jaringan pipa gas.

6 TINJAUAN PUSTAKA Penelitian Sebelumnya tahun 1995, Junyang Zhou dan Adewumi, skema numerik Total Variations Diminishing (TVD) tahun 1996, Junyang Zhou dan Adewumi, skema numerik Godunov tahun 000, Zhou dan Adewumi. hybrid TVD/Godunov Scheme, hybrid TVD/Roe Scheme dan hybrid TVD/Lax-Wendrof.

7 Gas Alam TINJAUAN PUSTAKA Gas alam (natural gas) sering juga disebut sebagai gas bumi atau gas rawa, adalah bahan bakar yang berasal dari fosil kemudian menjadi gas, dimana susunan kimiawinya yang utama terdiri dari metana (CH 4 ). Gas alam dapat ditemukan di ladang minyak, ladang gas bumi dan juga tambang batu bara. Komponen utama dalam gas alam adalah metana (CH 4 ), yang merupakan molekul hidrokarbon rantai terpendek dan teringan. Gas alam juga mengandung molekul- molekull hidrokarbon yang lebih berat seperti etana (C H 6 ), propana (C 3 H 8 ) dan butana (C 4 H 10 ), selain juga gas-gas yang mengandung sulfur (belerang). Gas alam juga merupakan sumber utama untuk sumber gas helium.

8 TINJAUAN PUSTAKA Jaringan Pipa Jaringan pipa adalah sistem dengan rangkaian pipa yang panjang. Panjang dari jaringan pipa ini bisa mencapai ribuan kilometer. Sedangkan distribusi gas bisa memiliki arti menghubungkan pusat produksi dengan tempat-tempat penyimpanan gas. Dengan menerapkan hukum konservasi massa, momentum, energi dan persamaan keadaan gas pada perhitungan volume kendali seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut, akan didapatkan suatu model yang menjelaskan aliran gas dinamik satu dimensi yang melalui suatu saluran pipa.

9 Persamaan Keadaan Gas Nyata TINJAUAN PUSTAKA Pada kenyataanya semua gas yang ada di alam tidak ada yang bersifat ideal. Namun, perilaku dari kebanyakan gas nyata tidak berbeda jauh dari perilaku gas ideal. Oleh karena itu, digunakan Z sebagai faktor pengkoreksi atau faktor deviasi persamaan gas ideal, sehingga persamaan keadaan gas nyata dapat dinyatakan sebagai: pv = ZnR Temp u (.1) Dengan mensubstitusi persamaanm= ρv danm= nm pada persamaan (.1) maka persamaan keadaan gas tersebut dapat ditulis: dengan = / g ρzrρ u Temp p = = ρzrgtemp M R R M u (.)

10 1. Faktor Deviasi Z =. Faktor Gesekan f = V actual V ideal 1 τ ρ v 3. Persamaan Kecepatan Suara TINJAUAN PUSTAKA (.3) 3 (.4) ZRu Temp c= = M ZR Temp g (.5)

11 TINJAUAN PUSTAKA Persamaan Dasar Aliran Gas Unsteady 1) Persamaan Konservasi Massa ρ + = t x ( ρv) 0 ) Persamaan Konservasi Momentum t ρvs + ps + ρv S + τ πd + ρsg sinθ = 0 x ( ) ( ) (.6) (.7) Node Network atau Mesh

12 Metode Crank-Nicolson TINJAUAN PUSTAKA Metode Crank-Nicolson diperoleh dari rata-rata metode Eksplisit dan metode Implisit. t u u u jn, + 1 jn, jn, Δt (.8) u 1 uj+ 1, n uj 1, n uj+ 1, n+ 1 uj 1, n+ 1 + x jn, Δx Δx (.9) u u + u u u + u Δ Δ u 1 j 1, n j, n j + 1, n j 1, n + 1 j, n + 1 j + 1, n x x x jn, (.10)

13 PROSEDUR KERJA

14 PEMODELAN DAN PENYELESAIAN NUMERIK Pemodelan Matematika Aliran Gas Unsteady dalam Saluran Pipa Pemodelan aliran gas pada Tugas Akhir ini didasarkan pada model aliran gas unsteady yang dikembangkan oleh Zhou dan Adewumi (1995). Namun pada Tugas Akhir ini, pipanya tidak horizontal seperti pada penelitian Zhou dan Adewumi, tetapi mempunyai sudut inklinasi. Kemudian, karena aliran diasumsikan isothermal, maka persamaan konservasi energi tidak diperlukan dalam membangun model matematika disini.

15 Model matematika aliran gas unsteady dalam saluran pipa dibangun dengan menggunakan persamaan berikut: ρ t t p + = x ( ρ v ) 0 ρvs + ps + ρv S + τ πd + ρsg sinθ = 0 x ( ) ( ) ZR Temp u = ρ. = M ρzr Temp g (4.1) (4.) (4.3) dengan Rg = Ru / M

16 Dengan menggunakan kecepatan suara, persamaan keadaan gas menjadi: p = c ρ (4.4) Kecepatan diganti dengan laju alir massa yang didefinisikan sebagai berikut: q = ρvs = ρq= ρnqn (4.5) Untuk penyederhanaan pertama, persamaan konservasi massa dan momentum dapat dinyatakan sebagai fungsi dari laju alir dalam kondisi normal dan tekanan. Maka Persamaan (4.1) dapat ditulis kembali menjadi: p c ρn Qn (4.6) = t S x Sedangkan dengan menggunakan faktor Fanning, Persamaan (4.) dapat ditulis menjadi: q q fq (4.7) + Sp + + D Sg sin 0 t x Sρ ρs π + ρ θ =

17 Karena konstan terhadap jarak maka Persamaan (4.7) menjadi: Q fc Q t x DS p c n S p ρn n Sg sin = ρn ρn θ p (4.8) Sehingga dari Persamaan (4.6) dan (4.8) didapatkan penyederhanaan pertama untuk model adalah: p c ρn Qn = t S x (4.9) Qn S p fc ρn Q n Sg sin θ = p t ρn x DS p ρnc Kemudian, dengan mengekspresikan lagi model tersebut sebagai fungsi dari laju alir dalam kondisi normal dan tekanan. Didapatkan persamaan sebagai berikut: p q fc ρ Q g = x S t DS p c 1 n n sin Dari asumsi yang diberikan bahwa konstan terhadap jarak dan waktu, maka: p fc ρn Qn gsinθ = p x DS p c θ p

18 p x p = p x Dengan menggunakan persamaan didapatkan: p 4 fc ρ (4.10) nqn gsinθ = p x DS c Dan ketika Persamaan (4.10) diturunkan parsial terhadap x, didapatkan: p 8 Qfc n ρn Qn g sin θ p (4.11) = x DS x c x Dari Persamaan (4.6) dimasukkan ke Persamaan (4.11), maka diperoleh: p 8Qn f ρn p gsinθ p (4.1) = x DS t c x p p Dengan menggunakan hubungan = p didapatkan: t t p 16Qf n ρn p gsinθ p = 3 x c ρπ D t c x Dengan menggunakan kembali hubungan Q ρ = Q n ρ n, maka penyederhanaan kedua dari model sebagai berikut: p g sinθ p 16Qf p + = 3 x c x c π D t

19 Maka didapatkan model aliran gas unsteady dalam saluran pipa sebagai berikut: p p p + β = α x x t (4.13) 16Qf g sinθ dengan α = dan β = 3 c π D c

20 Skema dan Penyelesaian Numerik Syarat awal dan syarat batas: 1. Syarat Dirichlet: p 00 0,0 = p 0 ( ) ( ) ( ) p( ) p 0, t = 0; t > 0 ( ) Q x, t = konstan; 0 x L. Syarat Neumann: p x= 0 = 0 t Q Q 0 x L= 0 t

21 Untuk perhitungan tekanan pada tiap titik pada saat t = 0 sepanjang pipa dapat dinyatakan oleh Persamaan (4.14) untuk kasus dimana saluran pipa mempunyai sudut inklinasi dan oleh Persamaan (4.15) untuk saluran pipa horizontal. μ ( ) ( 0) ( μ p x p e x 1) = e σ ( ) ( 0) p x = p μ x μx (4.14) (4.15) dengan f ρcq μ = dan g σ = D S sinθ c Sedangkan untuk perhitungan nilai Z menggunakan: p rata rata Z = dengan prata rata = p( 0) + p( L)

22 Algoritma untuk menghitung Z dan p(l)

23 Skema Numerik Dengan memisalkan p = u, maka model aliran gas pada Persamaan (4.13) dapat ditulis kembali sebagai berikut: u u u + β = α x x t Dengan menerapkan pendekatan metode Crank-Nicolson, maka akan didapatkan skema numerik sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) ( a + b) u + ( a ) u + ( a b ) u a b u + a u + a+ b u = j 1, n+ 1 j, n+ 1 j+ 1, n+ 1 j 1, n j, n j+ 1, n dengan a Δt Δt = = α x t x dan βδδ x t βδt b = = x t α Δ x Δx Δt α Δx α Δ Δ

24 Selanjutnya didapatkan hasil pendiskritan sebagai berikut: ( a ) ( a b ) u1, n+ 1 ( a b) ( a ) ( a + b) u, n+ 1 0 ( a b) ( a ) ( a + b) u3, n ( a b) ( a ) ( a + b) 0 0 u4, n ( a b) ( a ) u J, n + 1 ( a ) ( a b ) ( a + b) ( a ) ( a b) 0 ( a + b) ( a ) ( a b) ( a + b) ( a ) ( a b) u1,n u, n u 3, n = u4, n ( a + b) ( a ) u J, n ( a + b )( u 0, n + u 0, n+ + 1 ) ( a b)( uj+ 1, n + uj+ 1, n+ 1 )

25 SIMULASI DAN PEMBAHASAN Algoritma Program 1. Mendefinisikan parameter-parameter yang dibutuhkan.. Menghitung syarat batas dan faktor deviasi Z. 3. Dari Z yang telah diperoleh pada langkah, dihitung nilai syarat awal. 4. Memasukkan syarat awal dan syarat batas ke dalam skema numerik. 5. Skema numerik yang berupa matrik tridiagonal diselesaiakan menggunakan algoritma eliminasi Gauss. 6. Selanjutnya dihitung nilai error berdasarkan hasil perhitungan numerik dan perhitungan eksak.

26 Simulasi Untuk kebutuhan simulasi, digunakan parameter-parameter sebagai berikut: 5 p ( 0, t) = 50bar L= 10 m D = 0.6 m T 3600 s f = Temp = 78 o K 1. Kasus 1 v = 8 m / s ρ = 0.73 kg / a. Untuk Q o = 50 m 3 /s dan H = 3000 m m 3 = Rg = 39 m / s K p(l)= 33,485 bar ; error= 0,000758

27 b. Untuk Q o = 50 m 3 /s dan H = 7800 m p(l)= 19,193 bar ; error= 0, c. Untuk Q o = 50 m 3 /s dan H = 500 m p(l)=44,191 bar ; error= 0,

28 . Kasus a. Untuk Q = 100 m 3 o /s dan H = 4750 m p(l)=10,734 bar ; error= 0, b. Untuk Q o = 100 m 3 /s dan H = 000 m p(l)= 4,3797 bar ; error= 0,000681

29 3. Kasus 3 a. Untuk Q = 3 o 50 m /s,h = 3000 m, M=N=30 error = 0, b. Untuk Q o = 50 m 3 /s,h = 3000 m, M=N=70 error = 0,

30 4. Kasus 4 a. Untuk Q = 3 o 50 m /s,h = m p(l)= 5,059 bar ; error= 0, b. Untuk Q o = 50 m 3 /s,h = m p(l)= 65,4484 bar ; error= 0,

31 Kesimpulan SIMPULAN 1. Model matematika yang menggambarkan perilaku aliran gas dalam suatu saluran pipa dapat dinyatakan sebagai berikut: p p p + β = α x x t 16Qf g sinθ dengan α = dan β = 3 c π D c. Dari simulasi dan penyelesaian numerik yang diperoleh dengan bantuan program Matlab 7.6, terlihat bahwa nilai tekanan di outlet dipengaruhi oleh nilai parameter-parameter, p diantaranya laju alir dan ketinggian di ujung pipa. Sedangkan besarnya error, selain dipengaruhi oleh nilai parameter, juga dipengaruhi oleh banyaknya pendiskritan. Semakin banyak pendiskritan, maka nilai error semakin kecil.

32 Saran 1. Pada Tugas Akhir inii menggunakan asumsi bahwa laju alir gas konstan sepanjang saluran pipa, selanjutnya dapat dikembangkan penelitian untuk laju alir gas yang tidak konstan agar lebih mendekati kondisi di lapangan.. Tugas Akhir ini masih bersifat analitis pada tahap pemodelan dan numerik untuk penyelesaiannya, belum ada data laboratorium yang dipakai sebagai pembanding. Diharapkan kedepannya bisa dilakukan uji laboratorium sehingga model ini dapat diterapkan di lapangan.

33 DAFTAR PUSTAKA Gonzalez, Alberto H., dkk Modeling and Simulation of a Gas Distribution Pipeline Network. Journal of Applied Mathematical Modelling, Lurie, Michael V Modeling of Oil Product and Gas Pipeline Transportation. Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. McCain, William D. Jr The Properties of Petroleum Fluids. Oklahoma: PennWell Publishing Company. Segeler, C.G., Ringler, M.D., dan Kafka, E.M Gas Engineers Handbook. NewYork: AGA. Smith, G.D Numerical Solution of Partial Differential Equations. Oxford: Clarendon Press. Streeter, V.L. dan Wylie, E.B Diterjemahkan oleh Prijono, A. Mekanika Fluida Jilid I Edisi 8. Jakarta: Erlangga. Sulistyarso, Harry B Aplikasi Suatu Model Aliran Gas Transient pada Kasus Line Packing untuk Lapangan Gas. Disertasi, Departemen Teknik Perminyakan, Institut Teknologi Bandung. Sulistyarso, Harry B., dkk Solusi Model Aliran Gas Dalam Pipa pada Kondisi Line Packing Menggunakan Skema Richtmyer. Proceedings ITB Sains & Teknik, Vol. 36A, No., Yang, Won Y., dkk Applied Numerical Methods Using MATLAB. John Wiley & Sons, Inc. Zhou, Junyang dan Adewumi, M.A Simulation of Transient in Natural Gas Pipelines. Paper SPE No. 3104, 1 7. Zhou, Junyang dan Adewumi, M. A Simulation of Transient in Natural Gas Pipelines UsingHybridTVDSchemes. International Journal of Numerical Method for Fluids, 3:

34 SEKIAN DAN TERIMA KASIH