MODEL ALIRAN KONVEKSI CAMPURAN YANG MELEWATI PERMUKAAN SEBUAH BOLA

Transkripsi

1 MODEL ALIRAN KONVEKSI CAMPURAN YANG MELEWATI PERMUKAAN SEBUAH BOLA Mohammad Ghani a, Basuki Widodo b, Chairul Imron c a Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 0111, mohghani08@yahoo.co.id b Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 0111, b_widodo@matematika.its.ac.id c Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 0111, imron_its@matematika.its.ac.id ABSTRAK Aliran konveksi campuran merupakan perpaduan antara aliran konveksi bebas (free convection flow) aliran konveksi paksa (forced convection flow). Dalam hal ini, pengaruh aliran gaya yaitu gaya tekanan (pressure forces) gaya apung (buoyant forces) pada aliran konveksi bebas menjadi signifikan. Aliran konveksi campuran dapat digunakan pada teknologi reaksi reaktor pendingin elektronik. Di dalam tesis ini persamaan lapisan batas (boundary layer) aliran konveksi campuran fluida viskoelastik yang melewati permukaan sebuah bola awalnya ditransformasikan kedalam bentuk nondimensi, kemudian ditransformasikan kedalam bentuk persamaan lapisan batas nonsimilar yang diselesaikan secara numerik menggunakan metode skema Crank- Nicholson. Hasil numerik yang diperoleh yaitu gesekan kulit, temperatur dinding ( ), profil laju, profil temperatur dengan parameter viskoelastik, konveksi campuran, bilangan Prandtl. Kata kunci: aliran konveksi campuran, fluida non-newtonian, viskoelastik, cranknicholson, bilangan Prandtl ABSTRACT Mixed convection flow is combination between free convection flow and forced convection flow. In this case, effect of force flow that is pressure forces and buoyant forces to be significant. Mixed convection flow can be used in reactor reaction technology and electronic cooling. In this thesis, the governing boundary layer equation mixed convection flow of viscoelastic fluid past the surface of a sphere is first transformed into non-dimension form, and then transformed into non-similar form that is then numerically solved by using Crank-Nicholson scheme. Numerical results obtained include skin friction, wall temperature ( ), velocity profile, and temperature profile with viscoelastic parameter, mixed convection parameter, Prandtl number parameter. Keywords: mixed convection fluid, non-newtonian fluid, viscoelastic, crank-nicholson, Prandtl number 93

2 Pendahuluan Perpindahan panas konvektif atau konveksi merupakan perpindahan panas dari suatu tempat ke tempat lain yang disebabkan oleh pergerakan fluida. Konveksi panas secara garis besar dibagi menjadi dua, yaitu konveksi bebas (free convection) konveksi paksa (forced convection). Konveksi bebas disebabkan oleh gaya apung (buoyancy forces) karena perbedaan temperatur pada fluida. Saat fluida dipanaskan, perubahan densitas pada lapisan batas menyebabkan fluida yang dipanaskan naik berubah menjadi fluida yang lebih dingin, segkan fluida paksa atau yang disebut sebagai adveksi panas disebabkan oleh gaya luar. Saat aliran gaya pada konveksi bebas menjadi signifikan, proses tersebut disebut sebagai aliran konveksi campuran yang merupakan gabungan antara aliran konveksi bebas konveksi paksa. Di dalam tesis ini, pada mulanya persamaan lapisan batas ditransformasikan kedalam bentuk nondimensi, kemudian ditransformasikan lagi kedalam bentuk non-similar yang diselesaikan secara numerik dengan menggunakan metode beda hingga implisit yaitu metode Crank-Nicolson untuk permasalahan aliran konveksi campuran fluida viskoelastik yang melewati permukaan sebuah bola. Permasalahan konveksi campuran atas sebuah bola telah banyak dilakukan beberapa penelitian karena penerapannya yang luas dalam big teknik seperti mengurangi hambatan benda bahkan menghasilkan daya angkat yang cukup untuk menumpu benda pada kondisi tertentu. Akhir akhir ini, terdapat beberapa peneliti menyelidiki permasalahan aliran fluida yang melewati sebuah bola untuk berbagai jenis fluida. Molla, dkk (2005) meneliti tentang aliran konveksi bebas magnet dinamis pada bola dengan pembangkitan panas menggunakan metode kotak Keller. Amin, dkk (2002) meneliti aliran konveksi campuran dalam kondisi tunak (steady) dari fluida viskos tak mampu-mampat (incompressible) yang melewati sebuah bola pejal dengan temperatur konstan. Akhter Alim (2008) meneliti pengaruh radiasi pada aliran konveksi bebas yang melewati sebuah bola dengan fluks panas permukaan yang seragam. Kasim (2014) meneliti tentang aliran konveksi campuran dalam kondisi tunak (steady) dari fluida viskoelastik tak mampu-mampat (incompressible) yang melewati permukaan sebuah bola dengan penyelesaian numerik metode kotak Keller. Namun, permasalahan 937

3 aliran konveksi campuran dalam kondisi tak-tunak (unsteady) dari fluida viskoelastik mampu-mampat (compressible) dengan penyelesaian numerik metode implisit Crank- Nicolson belum banyak yang meneliti. Dalam penelitian ini, dianalisa pengaruh parameter viskoelastik, parameter konveksi campuran, juga bilangan Prandtl yang mempengaruhi karakteristik aliran fluida dari gesekan kulit (skin friction), laju temperatur, profil temperatur. Aliran fluida konveksi campuran yang mengalir pada suatu bola membentuk suatu lapisan batas lingkaran seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.1, dengan merupakan jari jari bola. Aliran lapisan batas konveksi campuran tak-tunak (unsteady state) merupakan model fisik sistem koordinat yang digunakan untuk mendapatkan solusi secara numerik dari suatu persamaan lapisan batas nonsimilar dengan menggunakan metode implisit Crank-Nicolson. Metode Penelitian Penelitian ini dilaksanakan di Laboratorium Pemodelan Matematika Simulasi, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Tahapan Penelitian 1. Studi Literatur Pada tahap ini studi literatur yang terkait dengan penelitian digunakan untuk membantu dalam proses penyelesaian permasalahan aliran konveksi campuran yang melewati sebuah bola. Contoh studi literatur yang terkait itu adalah navierstokes, viskositas, aliran konveksi campuran, metode crank- Nicholson. 2. Pengkajian Model Matematika Pada tahap ini melakukan pengkajian model matematika pada aliran konveksi campuran yang melewati sebuah bola sehingga mendapatkan model matematika sesuai dengan yang diharapakn berdasarkan karakteristik dari tiaptiap model matematika. 3. Pengkonstruksian Model Matematika Pada tahap ini pengkonstruksian model matematika suatu lapisan batas dari aliran konveksi campuran yang melalui permukaan sebuah bola berupa persamaan konservasi massa (kontinuitas), momentum, energi. 4. Penyelesaian Model Matematika Pada tahap ini menggunakan metode implisit Crank-Nicholson 938

4 untuk mendapatkan diskritisasi dari permasalahan model matematika aliran konveksi campuran yang melewati sebuah bola. 5. Membuat Algoritma Program Pada tahap ini membuat suatu algoritma berdasarkan hasil diskritisasi dengan metode implisit Crank-Nicholson pada model matematika aliran konveksi campuran yang melewati sebuah bola.. Simulasi Algoritma Program Pada tahap ini melakukan suatu simulasi dengan menggunakan software MATLAB untuk melihat perilaku suatu model matematika aliran konveksi campuran yang melewati sebuah bola (hasil diskritisasi dengan metode implisit Crank-Nicholson). 7. Analisis Hasil Pembahasan. Hasil yang diperoleh dari beberapa simulasi yang dilakukan dianalisis dibahas, untuk kemudian dicari solusi numerik terbaik dari aliran konveksi campuran yang melewati sebuah bola. membuat kesimpulan. Model Matematika Gambar 1. Aliran Konveksi Campuran yang Melewati Permukaan Sebuah Bola Gambar 1 adalah arah aliran konveksi campuran yang melewati permukaan sebuah bola secara vertikal lateral dengan laju fluida viskoelastik sebesar temperatur fluida viskoelastik sebesar. Titik merupakan titik stagnasi, dengan kondisi saat sehingga laju fluida pada permukaan sebuah bola saat kondisi tersebut adalah. Laju aliran fluida viskoelastik di sepanjang permukaan sebuah bola pada saat posisi waktu tertentu membentuk sudut sebesar ( ), dengan merupakan jarak dari sumbu simetris terhadap permukaan sebuah bola. Pada penelitian ini, separasi pada posisi waktu tertentu dari aliran fluida viskoelastik yang melawan gaya gesek dianalisa. Separasi dapat menyebabkan momentum aliran fluida viskoelastik berkurang. Sehingga ketika aliran fluida 939

5 Prosiding ISSN : viskoelastik mempunyai momentum yang kecil, hal tersebut dapat menyebabkan aliran fluida viskoelastik berbalik arah. Gaya luar dalam aliran konveksi campuran menyebabkan momentum yang dihasilkan dari fluida viskoelastik semakin besar. Gaya gesek antara permukaan sebuah bola dengan aliran fluida viskoelastik menyebabkan terjadinya perubahan nilai energi yang semakin berkurang. Selanjutnya, penurunan persamaan konservasi massa, konservasi momentum, konservasi energi dijelaskan secara detail pada pembahasan subbab selanjutnya. Hasil Pembahasan A. Model Matematika dalam Bentuk Dimensi 1. Persamaan Kontinuitas Laju perubahan terhadap waktu dari massa sistem yang berimpit =Laju perubahan terhadap waktu dari massa dari kandungan volume atur +Laju aliran netto dari massa melalui permukaan atur = 0. Secara matematis dinyatakan dalam bentuk: Dalam notasi vektor, persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk: Sesuai fenomena aliran konveksi bebas fluida viskoelastik yang melewati permukaan sebuah bola dalam kodisi incompressible, dapat dikontruksi persamaan kontinuitas dalam bentuk dimensi sebagai berikut: ( ) ( ) 2. PersamaanMomentum Laju perubahan terhadap waktu dari momentum sistem =Laju perubahan terhadap waktu dari momentum kandungan volume atur +Laju aliran netto dari momentum melewati permukaan atur = Jumlah dari gayagaya luar yang bekerja pada sistem. Secara matematis dinyatakan dalam bentuk: 940

6 Dalam notasi vektor, persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk: ( ) Sesuai fenomena aliran konveksi bebas fluida viskoelastik yang melewati permukaan sebuah bola dalam kondisi, maka diperoleh persamaan momentum ke arah sumbu- ke arah sumbu- sebagai berikut: [ ] dengan mensubstitusikan persamaan persamaan ke persamaan stres tensorsebagai berikut: : ;= selanjunya untuk,,, merupakan stress tensor Cauchy untuk fluida Walter-B yang didefinisika sebagai: ( ) 7 dengan: 941

7 [ ] ( ) ] 7 Kemudian pada Persamaan (11) sampai (13) dilakukan penurunan fungsi terhadap variabel x atau y seperti berikut ini: Kemudian lakukan substitusi Persamaan (8) sampai (9) ke Persamaan (4), sehingga didapat persamaan momentum terhadap sumbu x dengan mendefinisikan, dengan 942

8 Prosiding ISSN : sebagai berikut: dengan 7 (1) menjadi:. /, maka Persamaan 7. / 7 7 Selanjutnya digunakan persamaan lapisan batas untuk mendapatkan bentuk persamaan yang lebih sederhana, yaitu diukur dalam bentuk. Maka diperoleh persamaan: ( ) Pada aliran konveksi bebas, tekanan yang bekerja adalah kombinasi dari tekanan hidrostatis tekanan dinamis, sehingga dapat ditulis: Persamaan Energi: Dengan kondisi batas: 943

9 Prosiding ISSN : Selanjutnya digunakan persamaan lapisan batas untuk mendapatkan bentuk persamaan yang lebih sederhana, yaitu diukur dalam bentuk. Maka diperoleh persamaan: 1. Model Matematika dalam Bentuk Non-Dimensi 7 Selanjutnya, dengan menggunakan variabel berikut ini: 7 ( ) Pada aliran konveksi bebas, tekanan yang bekerja adalah kombinasi dari tekanan hidrostatis tekanan dinamis, sehingga dapat ditulis: dengan Maka persamaan,, menjadi: (1) menjadi:. /, maka Persamaan 7. /

10 Prosiding ISSN : ( ) Maka persamaan,, menjadi: Persamaan Energi: 7 Dengan kondisi batas: dengan menjadi: kondisi batas 2. Model Matematika dalam Bentuk Non-Dimensi Selanjutnya, dengan menggunakan variabel berikut ini: ( ) Persamaan,, disebut sebagai model matematika dalam bentuk non -dimensi. 3. Prosedur penyederhanaan Model menggunakan fungsi arus Dengan menggunakan: 945

11 dengan kondisi batas: Maka: Kemudian disubstitusikan ke model dalam bentuk non-dimensi sebelumnya, didapat: Pada saat matematika menjadi:, maka model. / ( ) [. / ( )] Dengan kondisi batas: Kesimpulan Pada penelitian ini terdapat suatu korelasi antara bilangan Prandtl profil temperatur yaitu semakin besar bilangan Prandtl maka menyebabkan profil temperatur semakin kecil karena difusivitas termal yang semakin menurun.. / Ucapan Terima Kasih Penulis berterima kasih kepada Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc Dr. Chairul Imron, MI.Komp. atas 94

12 bimbingan saran yang telah diberikan selama penulisan artikel ini Pustaka Causon, D.M. Mingham, C.G. (2010).Introductory Finite Difference Methods for PDEs, Departement Of Computing and Mathematics,UK. Hakim, Imansyah I. (2012), Fenomena Thermophoresis Dan Pemanfaatannya Sebagai Thermal Precipitator Untuk Meningkatkan Kebersihan Udara, Disertasi Doktor, UniversitasIndonesia, Depok. Hoffmann, Klaus A. Chiang, Steve T. (2000), Computitational Fluid Dynamics, Engeneering Education System, USA. Kasim, A.R.M. (2014), Convective Boundary Flow of Viscoelastic Fluid, Disertasi Ph.D., Universiti Teknologi Malaysia, Malaysia. Kreith, Frank. (1994), Prinsip-Prinsip Perpindahan Panas,Edisi Ketiga, Erlangga, Jakarta. Potter, Merlec C. Wiggert, David C. (2008). Mekanika Fluida, Erlangga, Jakarta. Salleh, M. Z. Nazar, R. (2010), Modeling of Free Convection Boundary Layer Flow on a Sphere with Newtonian Heating, Acta Appl. Math., 112: Streeter, Victor L., Wyle, E. Benjamin, Prijno, Arko. (1988), Mekanika Fluida, Edisi Delapan, Erlangga, Jakarta. Widodo,Basuki. (2012), Pemodelan Matematika, Itspress, Surabaya 947