PERANGKAT PEMBELAJARAN

Transkripsi

1 PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : TEORI GRAPH KODE : MKK DOSEN : EDY MULYONO, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

2 KONTRAK PEMBELAJARAN TEORI GRAPH MKK Semester V / 2 SKS Program Studi Pendidikan Matematika Oleh : EDY MULYONO, M.Pd. FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

3 A. Identitas Mata Kuliah Mata Kuliah : TEORI GRAPH Semester / SKS : III / 2 SKS Pengampu Mata Kuliah : EDY MULYONO, M.Pd. Kode Mata Kuliah : MKK B. Manfaat Mata Kuliah Setelah mengikuti kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat : 1. Memiliki pemahaman tentang konsep dasar teori graph, jejak, lintasan, karakteristik graph khusus, pohon, graph euler, graph hamilton, pohon, graph bidang dan pewarnaan. 2. Mampu menerapakan konsep teori graph dalam kehidupan nyata. C. Deskripsi Mata Kuliah Teori Graph adalah mata kuliah yang mempelajari tentang konsep-konsep dasar pada graph yang meliputi pengertian, dan karakteristik graph-graph khusus. Selain itu juga akan dibahas mengenai graph euler, graph hamilton, graph bidang dan pewarnaan. D. Kompetensi Dasar dan Indikator Kompetensi Dasar 1. Mendefinisikan berbagai macam konsep graph dan membuat beberapa graph khusus. 2. Menggunakan konsep graph dalam pemecahan masalah. Indikator 1.1 Menjelaskan definisi dasar graph 1.2 Menentukan sifat isomorphisme graph 1.3 Mengidentifikasi sifat bipartite pada graph 1.4 Menentukan subgraph dari suatu graph 1.5 Menentukan path dan cycle pada suatu graph 1.6 Membuat tree serta menetukan bridge dan cut vertex 1.7 Menggunakan konsep minimum spanning tree dalam pemecahan masalah 1.8 Mengidentifikasi graph euler dan graph hamilton 1.9 Mengidentifikasi sifat ke-planar-an graph 1.10 Menentukan dual dari plane graph 2.1 Menentukan bilangan kromatis pada pewarnaan graph 2.2 Menggunakan konsep pewarnaan dalam pemecahan masalah E. Organisasi Materi KD I KD II F. Pendekatan Dan Strategi Pembelajaran Strategi pembelajaran yang digunakan mengarah pada Active Learning. Metode-metode yang digunakan adalah sebagai berikut : 1. Practice Rehearsal Pairs 2. Kelompok Belajar (The Study Group) 3. Two stay two stray 4. Gallery of Learning 5. The Learning Cell G. Sumber Belajar [1] Rinaldi Munir Matematika Diskrit. Bandung: Informatika [2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset [3] Modul Kuliah

4 H. Penilaian Dan Kriteria Pembelajaran 1. Presensi dan Keaktifan : 30 % 2. Tugas Terstruktur : 20 % 3. UTS : 20 % 4. UAS : 30 % 100 % I. Jadwal Perkuliahan Pertemuan P E M B E L A J A R A N 1 Materi : Menjelaskan definisi dasar graph 2 Materi : Menentukan sifat isomorphisme graph 3 Materi : Mengidentifikasi sifat bipartite pada graph 4 Materi : Menentukan subgraph dari suatu graph Menentukan path dan cycle pada suatu graph 5 Materi : Membuat tree serta menetukan bridge dan cut vertex 6 Materi : Menggunakan konsep minimum spanning tree dalam pemecahan masalah 7 QUIZ I 8 Ujian Tengah Semester 9 Materi : Mengidentifikasi graph euler 10 Materi : Mengidentifikasi graph hamilton 11 Materi : Mengidentifikasi sifat ke-planar-an graph 12 Materi : Menentukan dual dari plane graph QUIZ II Materi : Menentukan bilangan kromatis pada pewarnaan graph Menggunakan konsep pewarnaan dalam pemecahan masalah 15 REVIEW: Persiapan Ujian Semester 16 Ujian Akhir Semester

5 UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN SILABUS Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Kode Mata Kuliah : MKK Mata Kuliah : TEORI GRAPH Bobot : 2 SKS Semester : V Mata Kuliah Prasyarat : Logika dan Himpunan, Riset Operasi Standar Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar teori graph, jejak, lintasan, karakteristik graph khusus, pohon, graph euler, graph hamilton, pohon, graph bidang dan pewarnaan dan mampu menerapakan konsep teori graph dalam permasalahan kehidupan nyata. Kompetensi Dasar Indikator Pengalaman Belajar Materi Pokok 1. Mendefinisikan berbagai macam konsep graph dan membuat beberapa graph khusus. 1.1 Menjelaskan definisi dasar graph 1.2 Menentukan sifat isomorphisme graph 1.3 Mengidentifikasi sifat bipartite pada graph 1.4 Menentukan subgraph dari suatu graph 1.5 Menentukan path dan cycle pada suatu graph 1.6 Membuat tree serta menetukan bridge dan cut vertex 1.7 Menggunakan konsep minimum spanning tree dalam pemecahan masalah 1.8 Mengidentifikasi graph euler dan graph hamilton 1.9 Mengidentifikasi sifat ke-planaran graph 1.10 Menentukan dual dari plane graph Tatap muka Memberikan teori dasar yang ada pada graph Menjelaskan sifat sifat khusus pada graph : isomorphisme, dan bipartisi graph. Memberikan penjelasan tentang Sub Graph, Path dan Cycle Menjelaskan tentang Tree dan Aplikasinya Menjelaskan tentang Euler Graph dan Hamiltonian Cycle Menjelsakan tentang sifat keplanar-an graph. Kegiatan terstruktur Mendiskusikan sifat pada berbagai jenis graph Post-test Graph theory Trees Euler tour dan Hamiltonian Cycle Plane dan Planar Graph Alokasi Waktu (menit) Sumber/ Bahan/ Alat Sumber : Buku panduan mata kuliah TEORI GRAPH Alat : Laptop, LCD, Whiteboard Penilaian/ Evaluasi Bentuk evaluasi : Pre-test Post-test Instrumen : Lembar Kerja Individu Lembar Kegiatan kelompok

6 2. Menggunakan konsep graph dalam pemecahan masalah. 2.1 Menentukan bilangan kromatis pada pewarnaan graph 2.2 Menggunakan konsep pewarnaan dalam pemecahan masalah Tatap muka Memberikan deskripsi singkat tentang jenis pewarnaan graph. Memberikan deskripsi singkat tentang cara pewarnaan graph. Menjelaskan tentang aplikasi pewarnaan graph. Kegiatan terstruktur Mendiskusikan berbagai permasalahan yang dapat diselesaikan dengan graph Post-test Colouring Sumber : Buku panduan mata kuliah TEORI GRAPH Alat : Laptop, LCD, Whiteboard Bentuk evaluasi : Pre-test Post-test Instrumen : Lembar Kerja Individu Lembar Kegiatan kelompok

7 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : TEORI GRAPH Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 SKS Semester : V Pertemuan ke- : 1 s.d 4 Standart Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar teori graph, jejak, lintasan, karakteristik graph khusus, pohon, graph euler, graph hamilton, pohon, graph bidang dan pewarnaan dan mampu menerapakan konsep teori graph dalam permasalahan kehidupan nyata. Kompetensi Dasar : 1. Mendefinisikan berbagai macam konsep graph dan membuat beberapa graph khusus. Indikator : 1.1 Menjelaskan definisi dasar graph 1.2 Menentukan sifat isomorphisme graph 1.3 Mengidentifikasi sifat bipartite pada graph 1.4 Menentukan subgraph dari suatu graph 1.5 Menentukan path dan cycle pada suatu graph Tujuan : Menjelaskan definisi graph, unsur-unsur pada graph dan kekhususan bentuk graph tertentu Menentukan sifat isomorphisme dari dua buah graph Mengidentifikasi graph bipartite dan non-bipartite Mengkonstruk sub graph dan spanning sub graph Menentukan walk, trail, path dan cycle yang aa pada suatu graph MATERI DEFINISI GRAPH Suatu graph G = {V(G), E(G)} terdiri atas dua buah himpunan berhingga. V(G) adalah himpunan vertex (titik) pada graph, yang sering dinotasikan dengan V, yang merupakan himpunan tak kosong dan terdiri atas elemen-elemen yang dinamakan dengan vertices. E(G) adalah himpunan edge (sisi) pada graph, yang sering dinotasikan dengan E, yang mungkin merupakan himpunan kosong. Elemenelemen pada E dinamakan dengan edges. lain tentang Graph adalah sebagai berikut. Suatu graph (undirected graph) G terdiri dari suatu himpunan vertex V (node) dan himpunan edge (arcs) E sedemikian sehingga tiap edge e E dikawankan dengan suatu pasangan tak berurut vertex. Jika ada edge tunggal e dikawankan dengan vertex-vertex v dan w, maka dapat ditulis e = (v, w) atau e = (w, v). Dalam hal ini (v, w) menyatakan suatu edge dalam undirected graph dan bukan pasangan berurutan. Suatu directed graph (digraph) G terdiri dari suatu himpunan vertex (node ) V dan himpunan edge (arcs) E sedemikian sehingga tiap edge e E dikawankan dengan suatu pasangan berurutan vertexvertex. Jika ada edge tunggal e dikawankan dengan pasangan berurutan vertex-vertex (v, w), maka dapat ditulis e = (v, w).

8 Diketahui suatu graph G = {V(G), E(G)}. Jika ada edge e E yang dikawankan dengan sepasang vertex yang identik (v, v), atau dapat ditulis e = (v, v) maka e disebut sebagai loop. Diketahui suatu graph G = {V(G), E(G)}. Jika ada edge e1, e2 E dengan e1 = (u, v) dan e2 = (u, v) maka e1 dan e2 disebut sebagai parallel edges atau multiple edges. Diketahui suatu graph G = {V(G), E(G)}. a. Sebuah vertex v V yang tidak terhubung dengan setiap egde pada graph G dikatakan sebagai isolated vertex. b. Jika ada dua buah vertex u,v V terhubung dengan sebuah sisi e E maka dapat dikatakan bahwa vertex u,v incident dengan edge e, serta dapat pula dikatakan bahwa vertex u dan vertex v adjacent. a. Suatu graph G dikatakan simple graph jika graph tersebut tidak memiliki loop dan parallel edge. b. Kn adalah suatu complete graph dengan n vertex jika setiap vertex dihubungkan dengan vertex yang lain oleh sebuah edge (tidak ada loop dan multiple edges). Sebuah graph G1 = {V1, E1} dikatakan isomorphic dengan graph G1 = {V2, E2} jika ada korespondensi satusatu antara himpunan vertex V1 dengan V2, dan ada korespondensi satu-satu antara himpunan edge E1 dan E2. Dengan kata lain, jika e1 adalah sebuah edge pada G1 yang incident dengan u1 dan v1 pada G1 maka e2 pada G2 yang berkorespondensi dengan e1 harus incident dengan u2 dan v2 pada G2 yang juga berkorespondensi dengan u1 dan v1. Contoh Perhatikan pasangan graph isomorphic berikut. Dapatkah anda jelaskan mengapa pasangan graph berikut isomorphic? (a) (b) (c) Gambar 1. 1 Contoh Isomorphism graph

9 a. Bipartite graph adalah suatu graf yang vertex-vertex nya dapat dipartisi menjadi himpunan disjoint V1 dan V2 dengan setiap edge incident pada satu vertex di V1 dan satu vertex di V2. b. Km,n adalah complete bipartite graph dengan m dan n vertex jika graph tersebut mempunyai disjoint set V1 dengan m vertex dan V2 dengan n vertex. Setiap vertex dalam V1 dikawankan dengan setiap vertex dalam V2 oleh sebuah edge. (Tidak ada parallel edges). Contoh Perhatikan graph berikut. e d b d f f c a Graph G1 b a Gambar Bipartite Graph Graph c G2 e Graph G1 memiliki 6 vertex, yaitu a, b, c, d, e, dan f. Apabila keenam vertex tersebut dikelompokkan menjadi 2, yaitu E1 = {a, c, f} dan E2 = {b, d, f} kemudian kita letakkan setiap vertex menurut kelompoknya, maka diperoleh posisi vertex seperti Gambar Setiap dua vertex yang adjacent pada G1, juga harus adjacent pada G2. Sehingga graph yang baru diperoleh adalah seperti G2. Pada G2, setiap vertex anggota E1 tidak berpasangan dengan anggota E1, demikian pula untuk setiap vertex anggota E2 tidak berpasangan dengan anggota E2 juga. Artinya setiap edge incident dengan satu vertex di E1 dan satu vertex di E2. Karena pada graph G1 vertex-vertex nya dapat dipartisi menjadi himpunan disjoint E1 dan E2 dengan setiap edge incident pada satu vertex di E1 dan satu vertex di E2 maka graph G1 adalah suatu Bipartite Graph. Perhatikan pula bahwa : vertex a adjacent dengan vertex b, d, dan f vertex c adjacent dengan vertex b, d, dan f vertex e adjacent dengan vertex b, d, dan f Artinya, setiap vertex dalam E1 dikawankan dengan setiap vertex dalam E2 oleh sebuah edge. Hal ini berarti, graph G1 adalah sebuah comlplete bipartite graph (K3,3). Mengapa K3,3? DERAJAT VERTEX Misalkan v adalah suatu vertex pada graph G. Derajat dari vertex v (d(v)) adalah banyaknya edge yang incident dengan v. Apabila vertex v incident dengan sebuah loop maka derajat dari v adalah dua. Contoh Perhatikan graph berikut. Tentukan derajat setiap vertex pada graph tersebut! Gambar 1. 2

10 Teorema (Handshaking Theorem) Untuk setiap graph G dengan e edge dan n vertex, v1, v2,..., vn, berlaku: (Jelaskan!) n i 1 v i d = 2e Suatu vertex dikatakan ganjil atau genap bergantung pada derajat vertex tersebut, ganjil atau genap. Akibat teorema Untuk setiap graph G ada sebanyak genap vertex yang berderajad ganjil. (Buktikan!) SUBGRAPHS Misalkan H adalah suatu graph dengan V(H) adalah himpunan vertex pada H dan dan E(H) adalah himpunan edge pada H. G suatu graph dengan V(G) adalah himpunan vertex pada G dan dan E(G) adalah himpunan edge pada G. H adalah subgraph dari G jika V(H) V(G) dan E(H) E(G). Atau dengan istilah lain dapat dikatakan pula bahwa G adalah supergraph dari H. Sebagai contoh, perhatikan gambar di bawah ini. h g d c g d c h e a b a f e G f 1 G 2 G 3 Gambar b Berdasarkan gambar di atas terlihat bahwa G3 G1, G2 G1. Mengapa? Jelaskan! Apakah setiap graph yang isomorphic dengan subgraph dari G juga merupakan subgraph dari G? Jelaskan! Spanning subgraph dari G adalah suatu subgraph H dari G, dengan V(H) = V(G), H dan G adalah himpunan vertex yang sama. PATHS DAN CYCLES Sebuah walk (jalan) dari graph G adalah barisan berhingga W = v0 e1 v1 e2 v2... vn 1 en vn yang berawal dari vertex v0 dan berakhir di vn dan sering dinamakan dengan v0 vn walk. Jika setiap edge e1, e2,..., en pada walk W = v0 e1 v1 e2 v2... vn 1 en vn semuanya berbeda maka W disebut sebagai trail (jejak). Misal v0 dan vn adalah vetex-vertex dalam suatu graph. Suatu path (lintasan) dari v0 ke vn dengan panjang n adalah suatu barisan bergantian dari (n + 1) vertex dan n edge yang dimulai dari vertex v0 dan berakhir di vertex vn, (v0, e1, v1, e2, v2,..., vn-1, en, vn) dengan edge ei incident pada vertex vi-1 dan vi untuk i = 1, 2,..., n, dan vertex v0, v1,..., vn semuanya berbeda.

11 Contoh Perhatikan graph berikut Buatlah path dengan panjang 12! Gambar 1. 3 Suatu graph G dikatakan connected jika diberikan sebarang vertex v dan w, maka terdapat suatu path dari v ke w. Jika tidak demikian dikatakan disconnected. Ambil sebarang vertex u pada graph G, misalkan C(u) adalah himpunan semua vertex pada G yang connected dengan u, maka subgraph dari G yang termuat dalam C(u) disebut connected component yang memuat u. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut. Gambar 1. 4 Graph dengan enam buah connected component Banyak component dari graph G dinotasikan dengan (G). Suatu cycle (circuit) adalah suatu path dengan panjang tidak nol dari v ke v dengan tidak ada edge yang diulang. Contoh Perhatikan graph berikut. Gambar 1. 5 Dapatkah anda menemukan simple path, cycle, dan simple cycle pada graph tersebut?

12 METODE PEMBELAJARAN Learning Cell LANGKAH PEMBELAJARAN PERTEMUAN 1 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan a. Apersepsi Memberi gambaran tentang pemanfaatan graph dan memberikan gambaran tentang permasalahan sehari-hari yang memanfaatkan teori graph. 2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan definisi dasar pada graph dan beberapa jenis graph khusus. b. Menjelsakan tentang isomorphisme graph. c. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok. Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi contoh permasalahan tentang isomorphisma graph. b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup menuliskan permasalahan tentang isomorphisme graph. c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II bertanya, dan grup I menjawab. Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu sebuah graph dengan ketentuan tertentu, kemudian diminta membuat sebuah graph yang isomorphic dengan graph tersebut. Alokasi Waktu 10 menit 1 1 PERTEMUAN 2 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan a. Apersepsi Memberi gambaran tentang bipartisi graph. b. Motivasi Memberikan gambaran tentang permasalahan sehari-hari yang memanfaatkan teori graph. 2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan definisi bipartisi graph. b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok. Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi contoh permasalahan tentang bipartisi graph. b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup menuliskan permasalahan bipartisi graph. c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II bertanya, dan grup I menjawab. Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu sebuah graph dengan ketentuan tertentu, kemudian diminta menentukan apakah graph tersebut bipartisi atau tidak. Alokasi Waktu 10 menit 1

13 PERTEMUAN 3 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan a. Apersepsi dan motivasi Memberikan gambaran tentang permasalahan sehari-hari yang memanfaatkan teori graph. 2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan definisi subgraph dan spanning sub graph. b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok. Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi contoh permasalahan tentang subgraph dan spanning sub graph. b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup menuliskan permasalahan subgraph dan spanning sub graph. c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II bertanya, dan grup I menjawab. Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu sebuah graph dengan ketentuan tertentu, kemudian diminta menentukan sub graph dan spanning subgraphnya. Alokasi Waktu 10 menit 1 PERTEMUAN 4 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi Memberikan gambaran tentang permasalahan sehari-hari yang memanfaatkan teori tentang path dan cycle. 2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan definisi tentang walk, trail, path, dan cycle. b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok. Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi contoh permasalahan tentang path dan cycle. b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup menuliskan permasalahan path dan cycle. c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II bertanya, dan grup I menjawab. Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu sebuah graph dengan ketentuan tertentu, kemudian diminta menentukan walk, trai, path, and cycle.nya. Alokasi Waktu 10 menit 1 MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Rinaldi Munir Matematika Diskrit. Bandung: Informatika [2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset [3] Modul Kuliah

14 PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

15 SOAL 1 1. Buatlah sebuah graph yang isomorphic dengan graph berikut! 2. Diantara graph berikut mana yang saling isomorphic? (a) (b) (c) (d) (e) (f) Gambar 1. 6

16 SOAL 2 Perhatikan gambar berikut Apakah kedua graph di atas merupakan bipartite graph? Jelaskan! G1 G2

17 SOAL 3 Berikan contoh 3 spanning subgraph dari graph berikut.

18 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : TEORI GRAPH Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 SKS Semester : V Pertemuan ke- : 5 s.d 6 Standart Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar teori graph, jejak, lintasan, karakteristik graph khusus, pohon, graph euler, graph hamilton, pohon, graph bidang dan pewarnaan dan mampu menerapakan konsep teori graph dalam permasalahan kehidupan nyata. Kompetensi Dasar : 1. Mendefinisikan berbagai macam konsep graph dan membuat beberapa graph khusus. Indikator : 1.6 Membuat tree serta menetukan bridge dan cut vertex 1.7 Menggunakan konsep minimum spanning tree dalam pemecahan masalah Tujuan : Mengkonstruksi tree serta menetukan bridge dan cut vertex. Memecahkan beberapa permasalahan menggunakan konsep minimum spanning tree. MATERI DEFINISI DAN SIFAT SEDERHANA Tree adalah acyclic dan connected graph. Suatu tree T adalah suatu graf sederhana yang memenuhi : jika v dan w vertex-vertex dalam T, maka terdapat dengan tunggal simple path dari v ke w. Suatu rooted tree adalah suatu tree dimana vertex tertentu dijadikan sebagai akar. Level dari suatu tree adalah panjang dari simple path dari root v. Height dari suatu tree adalah maksimum level dari tree. Contoh Perhatikan graph berikut root level 0 level 1 Gambar 2. 1 Contoh Rooted Tree level 2 Berdasarkan contoh di atas diperoleh bahwa tree di atas memiliki height (maksimum level) 2.

19 Teorema : Characterisation of Trees Misal T adalah suatu graf dengan n vertex. Pernyataan berikut adalah ekuivalen : a. T adalah suatu tree b. T connected dan acyclic c. T connected dan mempunyai (n 1) edge d. T acyclic dan mempunyai (n 1) edge Teorema T adalah sebuah tree yang paling tidak terdiri atas 2 vertex, jika P = u0 u1... un adalah path terpanjang pada T, maka u0 dan u1 keduanya berderajat 1. (Jelaskan!) Akibat teorema Setiap tree T yang paling tidak terdiri atas 2 vertex pasti memiliki lebih dari 1 vertex yang berderajat 1. Misal T adalah suatu tree dengan root v0. Andaikan bahwa x, y dan z adalah vertex-vertex dalam T dan (v0, v1,..., vn) adalah simple path dalam T. Maka a. vn-1 adalah parent (orang tua) dari vn b. v0, v1,..., vn-1 adalah ancestors (nenek moyang) dari vn c. vn adalah child (anak) dari vn-1 Teorema BRIDGES Misalkan e adalah salah satu edge pada graph G, dan G e adalah subgraph dari G dengan menghilangkan edge e, maka (G) (G e) (G) + 1. Buktikan! Suatu egde e pada graph G dikatakan sebagai bridge (a cut edge) jika grapg G e memiliki lebih banyak connected components dari pada graph G. Contoh Perhatikan graph berikut. Gambar 2. 2 Graph dengan menghilangkan 3 buah bridge

20 SPANNING TREE : Spanning Tree Suatu tree T adalah spanning tree dari suatu graf G jika T adalah subgraf dari G yang memuat semua vertex dari G. Contoh Perhatikan graph berikut. Tentukan 2 buah spanning tree dari graph di atas! Gambar 2. 3 : Minimum Spanning Tree Misal G adalah suatu graf berbobot. Suatu MST dari G adalah suatu spanning tree dari G dengan bobot minimum. Contoh Perhatikan gambar graph berbobot berikut. B A F C E 2 D Graph G Gambar graf berbobot G di atas menunjukkan enam kota dan biaya pembangunan jalan yang menghubungkan di antara pasangan kota tertentu. PROBLEM Membangun sistem jalan dengan beaya terendah yang menghubungkan enam kota tersebut. Solusi Dinyatakan dengan subgraf berupa suatu spanning tree karena harus memuat semua vertex (sehingga bahwa tiap kota termuat dalam sistem jalan itu) dan terhubung (sehingga bahwa sebarang kota bisa dicapai dari kota yang lain), serta harus mempunyai path yang tunggal diantara sepasang vertex (karena suatu graf yang memuat multiple path di antara sepasang vertex tidak mungkin menyatakan sistem beaya

21 minimum). Sehingga yang diperlukan adalah suatu spanning tree dengan jumlah bobot yang dimilikinya minimum. Tree semacam ini disebut dengan Minimum Spanning Tree (MST). PRIM S ALGORITHM Algoritma ini mencari MST dalam connected, weighted graph G. Input : Connected, weighted graph G with vertices v1, v2,..., vn. Output : MST T 1. Initialisation Let T be the graph consisting of the vertex v1 and no edges. 2. Done? If T has n 1 edges, STOP. (T is a MST.) 3. Add edge Among all the edges not in T that are incident on a vertex in T and do not complete a cycle if added to T, select one having minimum weight and add it and the vertices on which it is incident to T. If more than one edge has the same minimum weight, select (vi, vj) with the smallest i, say vi0. If two or more edges (vi0, vj) have the same minimum weight, select the edge with the smallest j. Go to line 2. Contoh Dengan Prim s Algorithm di atas, dapat ditentukan MST dari graph G pada Gambar 2.3. a. Pilih salah satu vertex, misal dipilih vertex A. b. Banyak edge pada graph G ada 10 dengan 5 vertex, sehingga e > n 1 artinya algorithm harus dilanjutkan. c. Berikut adalah urutan pemilihan edge-nya. (Jelaskan mengapa demikian?) (A, E) (E, F) (F, C) (F, B) (E, D) Sehingga diperoleh minimum spanning tree dengan bobot 9 sebagai berikut. B A F 6 1 C E 2 D Gambar 2. 4 MST dari graph G dengan Prim s Algorithm Apakah ada MST yang lain selain bentuk di atas?? KRUSKAL S ALGORITHM Algoritma ini mencari MST dalam connected, weighted graph G. Input : Connected, weighted graph G with vertices v1, v2,..., vn Output : MST T 1. Initialisation Let T be the graph consisting of no vertevertices and no edges. 2. Done? If T has n 1 edges, STOP. (T is a MST.)

22 3. Add edge Among all the edges that if added to would not complete a cycle, choose one of minimum weight. If more than one edge has the same minimum weight, select(vi, vj) with the smallest i, say vi0. If two or more edges (vi0, vj) have the same minimum weight, select the edge with the smallest j. Add the edge and the vertices on which it is incident to T. Go to Line 2. Contoh Dengan Prim s Algorithm di atas, dapat ditentukan MST dari graph G pada Gambar 2.3. a. Pilih satu edge dengan bobot terkecil, yaitu (F, C). b. Banyak edge pada graph G ada 10 dengan 5 vertex, sehingga e > n 1 artinya algorithm harus dilanjutkan. c. Berikut adalah urutan pemilihan edge-nya. (F, C) (F, E) (E, D) (E, A) (A, B) Sehingga diperoleh minimum spanning tree dengan bobot 9 sebagai berikut. A F 2 Gambar 2. 5 MST Graph G dengan Kruskal s Algorithm Apakah ada MST lain yang bisa diperoleh dari Kruskal s Algorithm selain bentuk di atas?? E B D 3 C CUT VERTICES DefinisI Suatu vertex v pada graph G disebut sebagai cut vertex (articulation point) dari graph G jika (G v)> (G). Contoh Perhatikan cut vertex dari graph G berikut. Jika ada, tentukan cut vertex yang lain! Gambar 2. 6 Cut vertex pada graph G

23 METODE PEMBELAJARAN Two Stay Two Stray dan Gallery of Learning LANGKAH PEMBELAJARAN PERTEMUAN 5 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Mengulas beberapa jenis graph, path dan cycle. 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang tree, bridge dan cut vertex. Elaborasi a. Memberikan permaslahan tentang tree, bridge dan cut vertex. b. Kegiatan Kelompok Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan penyelesaiannya. Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat yang telah disediakan. c. Diskusi antar kelompok 3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain. 3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan bertanya pekerjaan kelompok lain. Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang sudah dibuat dikerjakan mahasiswa. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai tree, bridge dan cut vertex. Alokasi Waktu 1 30 menit 1 PERTEMUAN 6 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Menjelaskan penerapan graph dalam pemecahan beberapa permasalahan. 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang Minimum Spanning Tree.. Elaborasi a. Memberikan permaslahan Minimum Spanning Tree dalam kehidupan sehari-hari. b. Kegiatan Kelompok Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan penyelesaiannya. Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat yang telah disediakan. c. Diskusi antar kelompok 3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain. 3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan bertanya pekerjaan kelompok lain. Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang sudah dibuat dikerjakan mahasiswa. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai kegunaan Minimum Spanning Tree. Alokasi Waktu 1 30 menit 1

24 MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Rinaldi Munir Matematika Diskrit. Bandung: Informatika [2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset [3] Modul Kuliah PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian 3. Contoh instrumen : Terlampir

25 SOAL 1. Tentukan semua bridges yang terdapat pada graph berikut. Gambar Suatu graph G disebut unicyclic jika graph tersebut adalah suatu connected graph dan memuat tepat satu cycle. Berikan contoh unicyclic graph! 3. Buktikab bahwa suatu graph G dengan n vertex dan e edge disebut unicyclic jika dan hanya jika G connected dan n = e.

26 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : TEORI GRAPH Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 SKS Semester : V Pertemuan ke- : 9 s.d 10 Standart Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar teori graph, jejak, lintasan, karakteristik graph khusus, pohon, graph euler, graph hamilton, pohon, graph bidang dan pewarnaan dan mampu menerapakan konsep teori graph dalam permasalahan kehidupan nyata. Kompetensi Dasar : 1. Mendefinisikan berbagai macam konsep graph dan membuat beberapa graph khusus. Indikator : 1.8 Mengidentifikasi graph euler dan graph hamilton Tujuan : Mengidentifikasi graph euler Mengidentifikasi graph hamilton. MATERI EULER TOUR Sebuah trail pada graph G disebut sebagai Euler trail jika memuat setiap edge pada G Tour pada graph G adalah sebuah jalan tertutup (closed walk) yang memuat setiap edge pada graph G paling tidak sekali. Euler tour pada graph G adalah sebuah tour yang memuat setiap edge pada graph G dengan tepat sekali. Suatu graph G dikatakan Euler Graph jika graph tersebut memiliki Euler tour. Contoh Perhatikan graph G1 dan G2 berikut. G1 Gambar 1 G2 Apakah graph G1 dan G2 merupakan Euler graph? Jelaskan! Teorema Jika G adalah sebuah graph yang setiap vertex-nya memiliki derajat minimal 2, maka G memuat cycle.

27 Teorema Sebuah connected graph G adalah suatu Euler Graph jika dan hanya jika derajat dari setiap vertex-nya adalah genap. HAMILTONIAN GRAPHS Hamiltonian path adalah pada graph G adalah sebuah path yang melalui setiap vertex pada graph G. Hamiltonian cycle (Hamiltonian circuit) pada graph G adalah cycle yang memuat setiap vertex pada graph G. Suatu graph G disebut sebagai Hamiltonian graph jika graph tersebut memuat Hamiltonian cycle. Contoh (Travelling Salesman Problem) Perhatikan gambar berikut. Gambar di atas menunjukkan 20 kota yang harus dikunjungi oleh seorang salesman. PROBLEM carilah jalur tertutup dengan mengunjungi tiap kota dengan tepat sekali dan kembali ke kota semula! SOLUSI Ada. Bisa dimulai dari sebarang titik!!! Cycle yang ditemukan disebut dengan Hamiltonian cycle. Salah satu solusinya adalah sebagai berikut : Suatu simple graph G disebut sebagai maximal non-hamiltonian graph jika graph G bukan Hamiltonian graph, tetapi dengan penambahan beberapa edge yang menghubungan vertex yang tidak adjacent pada graph G dapat membentuk Hamiltonian graph.

28

29 NON-HAMILTONIAN GRAPH Perhatikan aturan berikut. Showing That a Graph Is not Hamiltonian Rule 1 : If a vertex v has degree 2, then both of its incident edges must be part of any Hamiltonian cycle. Rule 2 : During the construction of a hamiltonian cycle, no cycle can be formed until all the vertices have been visited. Rule 3 : If during the construction of a Hamiltonian cycle two of the edges incident on a vertex v are shown to be required, then all other incident edges can be deleted. METODE PEMBELAJARAN Practice Rehearsal Pairs LANGKAH PEMBELAJARAN PERTEMUAN 9 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan a. Apersepsi Mengulas kembali tentang Minimum Spanning Tree. b. Motivasi 1. Memberikan permasalahan Jembatan Konigsberg. 2. Mengungkapkan kesulitan yang dialami pada saat menentukan solusinya 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang Euler trail, Euler Tour, dan Euler Graph. Elaborasi a. Meminta mahasiswa berkelompok. b. Memberikan mahasiswa permasalahan tentang Euler Graph. c. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus menyelesaiakan permassalahan yang ada pada LKM. d. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran. Eksplanasi Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada mahasiswa tentang permasalahan Euler Graph. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal tentang ciri dari euler graph. Alokasi Waktu 10 menit 10 menit 1 10 menit PERTEMUAN 10 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan a. Apersepsi Mengulas kembali tentang Euler Graph. b. Motivasi 1. Memberikan permasalahan yang akan diselesaikan dengan Hamiltoian Graph. 2. Mengungkapkan kesulitan yang dialami pada saat menentukan penyelesaian pada kasus tersebut 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang Hamiltonian Graph. Alokasi Waktu 10 menit 10 menit

30 Elaborasi a. Meminta mahasiswa berkelompok, dan memberikan mahasiswa permasalahan yang menyangkut Hamiltoian. b. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus menyelesaiakan permassalahan yang ada pada LKM. c. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran. Eksplanasi Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada mahasiswa tentang permasalahan tidak seimbang. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal tentang ciri Hamiltonian Graph 1 10 menit MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Rinaldi Munir Matematika Diskrit. Bandung: Informatika [2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset [3] Modul Kuliah PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian 3. Contoh Instrumen : terlampir

31 SOAL 1 Perhatikan graph berikut. Apakah graph di atas merupakan maximal non-hamiltonian graph? Jelaskan!

32 SOAL 2 Perhatikan dua graph berikut. Graph G Graph H Diantara dua graph di atas, manakah yang memiliki Euler Tour dan Euler Trail?

33 SOAL 3 Perhatikan gambar berikut. Gambar 3. 2 Selidiki apakah graph di atas adalah non-hamiltonian graph!

34 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : TEORI GRAPH Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 SKS Semester : V Pertemuan ke- : 11 s.d 12 Standart Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar teori graph, jejak, lintasan, karakteristik graph khusus, pohon, graph euler, graph hamilton, pohon, graph bidang dan pewarnaan dan mampu menerapakan konsep teori graph dalam permasalahan kehidupan nyata. Kompetensi Dasar : 1. Mendefinisikan berbagai macam konsep graph dan membuat beberapa graph khusus. Indikator : 1.9 Mengidentifikasi sifat ke-planar-an graph 1.10 Menentukan dual dari plane graph Tujuan : Mengidentifikasi sifat ke-planar-an pada suatu graph. Menentukan dual dari suatu plane graph dan sebaliknya MATERI PLANE DAN PLANAR GRAPH Plane graph adalah suatu graph yang digambarkan dalam suatu bidang datar, yang setiap pasang edge-nya hanya bertemu pada setiap titik akhir (jika kedua edge tersebut bertemu pada satu titik). Planar graph adalah suatu graph yang isomorphic dengan plane graph, dengan kata lain, graph tersebut dapat digambar ulang sebagai plane graph. Contoh G1 G2 G3 G4 Gambar 4. 1 Lima buah planar graph Jordan curve adalah sebuah bidang yang dibatasi oleh kurva kontinu yang tidak memiliki potongan, dengan titik asal dan titik akhirnya berhimpit. Contoh Perhatikan beberapa kurva berikut. Manakah diantara kurva di atas yang merupakan Jordan curve?

35 Teorema 4. 1 K5, complete graph dengan 5 vertex adalah non planar. Jelaskan! Latihan 4. 1 Tunjukkan bahwa jika e adalah suatu edge pada K5, maka K5 e adalah planar graph. Perhatikan graph berikut. Apakah graph di atas merupakan planar graph? Jelaskan! FORMULA EULER Suatu plane graph G membuat beberapa partisi dari suatu bidang datar menjadi sejumlah daerah yang disebut sebagai face. Teorema (Euler Formula) (Buktikan!) Jika G adalah suatu connected plane graph, misalkan n adalah banyaknya vertex, e adalah banyaknya edge, dan f adalah banyaknya face pada graph G, maka berlaku: n e + f = 2 Latihan Perhatikan gambar graph berikut! Uji kebenaran Formula Euler pada graph diatas! DUAL DARI PLANE GRAPH Diketahui G adalah sebuah plane graph. Dual dari graph G yang dinyatakan dengan G* didefinisikan sebagai berikut.

36 Untuk setiap face f pada graph G berkorespondensi dengan vertex f* pada graph G* dan setiap edge e pada G berkorespondensi dengan edge e* pada G* sedemikian sehingga jika edge e terdapat pada perbatasan 2 buah edge f dan g, maka edge e* incident dengan vertex f* dan g* pada G*. (Jika edge e adalah sebuah bridge, maka kita menghilangkan edge e kemudian korespondensi edge e* adalah sebuah loop yang incident dengan vertex f* di G*) Contoh Perhatikan gambar dua buah graph berikut. Gambar Sebuah Plane Graph dan dualnya METODE PEMBELAJARAN Two Stay Two Stray dan Gallery of Learning LANGKAH PEMBELAJARAN PERTEMUAN 11 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Mengulas tentang Euler Graph dan Hamiltonian Graph 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang Plane dan Planar Graph. Elaborasi a. Memberikan permasalahan tentang Plane dan Planar Graph b. Kegiatan Kelompok Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan penyelesaiannya. Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat yang telah disediakan. c. Diskusi antar kelompok 3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain. 3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan bertanya pekerjaan kelompok lain. Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang sudah dibuat dikerjakan mahasiswa. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai ke-planar-an graph. Alokasi Waktu

37 PERTEMUAN 12 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan contoh permasalahan Plane Graph dan aplikasi dual dari plane graph. 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang teknik penyusunan dual dari suatu plane graph. Elaborasi a. Memberikan permaslahan Dual dari Plane Graph. b. Kegiatan Kelompok Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan penyelesaiannya. Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat yang telah disediakan. c. Diskusi antar kelompok 3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain. 3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan bertanya pekerjaan kelompok lain. Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang sudah dibuat dikerjakan mahasiswa. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai Dual dari suatu Plane Graph. Alokasi Waktu MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Rinaldi Munir Matematika Diskrit. Bandung: Informatika [2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset [3] Modul Kuliah PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian 3. Contoh Instrumen : terlampir

38 SOAL 1. Perhatikan kedua graph berikut. Gambar 4. 2 Tentukan dual dari kedua graph di atas! 2. Perhatikan kedua graph berikut. Graph G1 Gambar 4. 3 Graph G2 a. Apakah kedua graph di atas adalah sepasang isomorphic graph? b. Gambarkan dual dari kedua graph di atas! c. Apakah dual dari kedua graph di atas adalah sepasang isomorphic graph? Jelaskan!

39 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : TEORI GRAPH Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 SKS Semester : V Pertemuan ke- : 13 Standart Kompetensi : Memiliki pemahaman tentang konsep dasar teori graph, jejak, lintasan, karakteristik graph khusus, pohon, graph euler, graph hamilton, pohon, graph bidang dan pewarnaan dan mampu menerapakan konsep teori graph dalam permasalahan kehidupan nyata. Kompetensi Dasar : 2. Menggunakan konsep graph dalam pemecahan masalah. Indikator : 2.1 Menentukan bilangan kromatis pada pewarnaan graph 2.2 Menggunakan konsep pewarnaan dalam pemecahan masalah Tujuan : Menentukan bilangan kromatis pada pewarnaan graph, dan melakukan pewarnaan pada graph Menggunakan konsep pewarnaan dalam pemecahan masalah Macam Pewarnaan Graph MATERI PENDAHULUAN 1. Pewarnaan simpul (vertex colouring) yaitu teknik mewarnai semua vertex pada graph sehingga tidak ada vertex vertex yang saling adjacent memiliki warna yang sama dan jumlah warna yang digunakan diusahakan seminimal mungkin. 2. Pewarnaan sisi (edge colouring) 3. Pewarnaan wilayah(face colouring) Pewarnaan edge dan face hanyalah bentuk lain dari pewarnaan vertex dan dapat diubah kembali menjadi model pewarnaan vertex Bilangan kromatik VERTEX COLOURING Jumlah warna minimum yang dapat digunakan untuk mewarnai semua vertex disebut bilangan kromatik dari graph G, dan disimbolkan dengan χ(g). Sifat-sifat bilangan kromatik 1. χ(g) = 1 jika dan hanya jika G adalah graph kosong. (mengapa?) 2. χ(g) 3 jika dan hanya jika Gmemiliki subgraph yang merupakan K3. 3. Untuk setiap graph planar berlaku χ(g) Graph lengkap Kn memiliki χ(g) = n. 5. Graph Lingkaran Cn memiliki χ(g) =2 bila n genap dan χ(g) =3 bila n ganjil. 6. Bipartite graph selalu bisa diwarnai dengan2 warna. 7. Graph yang berupa pohon selalu dapat diwarnai dengan2 warna.

40 ALGORITMA PEWARNAAN 1. Untuk inisialisasi, catat semua vertex yang ada beserta derajat tiap vertex. 2. Urutkan vertex berdasarkan derajatnya dari besar ke kecil. 3. Cari vertex dengan derajat terbesar dan belum terwarnai, berikan warna ke vertex tersebut. 4. Cari vertex lain yang belum diwarnai, tidak adjacent dengan vertex langkah nomor 3, dan tidak adjacent dengan vertex berwarna sama. 5. Ulangi ke langkah nomor 3 sampai semua vertex terwarnai. Contoh 5. 1 Perhatikan graph berikut Gambar 5. 1 Bagaimana cara memberikan warna di setiap vertex pada graph tersebut? SOLUSI Berikut adalah solusinya. EDGE AND FACE COLOURING Contoh 5. 2 Perhatikan kembali graph pada gambar 5.2 dalam memberikan warna pada setiap edge-nya? Contoh 5.1. Bagaimana hasilnya jika kita akan SOLUSI

41 Bagaimana dengan face colouring? Contoh 5. 3 Perhatikan graph berikut. Gambar 5. 2 Hasil dari face colouring adalah sebagai berikut. Bagaimana bisa demikian? Gambar 5. 3 METODE PEMBELAJARAN Kelompok belajar (The Study Group) LANGKAH PEMBELAJARAN PERTEMUAN 13 No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan gambaran tentang manfaat pewarnaan graph dalam menyelesaikan permasalahan. 2. Penyajian Eksplorasi Memberikan penjelasan tetang jenis dan teknik pewrnaan graph. Elaborasi a. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok. b. Setiap kelompok diminta menentukan penyelesaian permasalahan pewarnaan graph. Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Menyimpulkan cara penentuan solusi pada permasalahan pewarnaan graph Alokasi Waktu 1 10 menit 50 menit 50 menit

42 MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Rinaldi Munir Matematika Diskrit. Bandung: Informatika [2] Drs. Jong Jek Siang, M.Sc Matematika Diskrit. Yogyakarta: Andi offset [3] Modul Kuliah PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian 3. Contoh Instrumen :

43 APLIKASI COLOURING Latihan Berikut ini adalah peta dari suatu kecamatan yang terdiri dari 5 kelurahan. Warnailah peta tersebut dengan warna minimal! 2. Misalkan terdapat delapan orang mahasiswa (M1, M2, M3, M4,..., M8) dan lima buah mata kuliah yang dapat dipilihnya (A, B, C, D, E). Tabel berikut memperlihatkan matriks antara mahasiswa dan mata kuliah yang dipilihnya. Angka 1 menunjukkan bahwa mahasiswa memilih mata kuliah tersebut. Mata Kuliah Mahasiswa A B C D E M1 1 1 M2 1 1 M3 1 1 M4 1 1 M5 1 1 M6 1 1 M7 1 1 M8 1 1 Berapa paling sedikit jumlah hari yang dibutuhkan untuk jadwal ujian tersebut sedemikian sehingga semua mahasiswa dapat mengikuti ujian mata kuliah yang diambilnya tanpa bertabrakan waktunya dengan jadwal ujian kuliah lain yang juga diambilnya?