Program Integer. Riset Operasi TIP FTP UB

Transkripsi

1 Program Integer Riset Operasi TIP FTP UB

2 Model Pemrograman Integer Tipe Model Total Integer Model: Semua variabel keputusan diharuskan mempunyai nilai solusi integer. 0 1 Integer Model: Semua variabel keputusan mempunyai nilai integer 0 atau 1. Biner / Binary Boolean dan True/False Mixed Integer Model: Beberapa variabel keputusan (tetapi tidak semua) diharuskan mempunyai solusi integer. 2

3 Model Total Integer (1 of 2) Toko mesin ingin membeli mesin pencetak dan mesin bubut baru Keuntungan marjinal: mesin cetak $100/hari; mesin bubut $150/hari. Batasan sumberdaya: $40,000, tempat tersedia 200 ft 2. Biaya pembelian mesin dan kebutuhan ruang: Mesin Pencetak Bubut Kebutuhan Ruang ( ft 2 ) Harga beli $8,000 4,000 3

4 Model Total Integer (2 of 2) Integer Programming Model: Memaksimalkan Z = $100x 1 + $150x 2 dengan kendala: 8,000x 1 + 4,000x 2 $40,000 15x x ft 2 x 1, x 2 0 dan integer x 1 = jumlah mesin pencetak x 2 = jumlah mesin bubut 4

5 Model Integer 0-1 (1 of 2) Pemilihan fasilitas rekreasi untuk memaksimalkan penggunaan harian warga. Batasan sumberdaya: anggaran $120,000; tanah 12 acres. Batasan tambahan: salah satu dari kolam renang atau lapangan tenis. Data: Fasilitas Rekreasi Penggunaan (orang/hari) Biaya ($) Kebutuhan Tanah (acres) Kolam renang Lapangan tenis Lapangan atletik Gymnasium ,000 10,000 25,000 90,

6 Model Integer 0-1 (2 of 2) Integer Programming Model: Memaksimalkan Z = 300x x x x 4 dengan kendala: $35,000x ,000x ,000x ,000x 4 $120,000 4x 1 + 2x 2 + 7x 3 + 3x 4 12 acres x 1 + x 2 1 fasilitas x 1, x 2, x 3, x 4 = 0 atau 1 x 1 = pendiriian sebuah kolam renang x 2 = pendirian sebuah lapangan tenis x 3 = pendirian sebuah lapangan atletik x 4 = pendirian sebuah gymnasium 6

7 Model Integer Campuran (1 of 2) Anggaran $250,000 tersedia untuk inverstasi dengan pengembalian terbesar setelah setahun. Data: Harga villa $50,000/unit, $9,000 keuntungan jika dijual setelah satu tahun. Harga tanah $12,000/acre, $1,500 keuntungan jika dijual setelah setahun. Harga obligasi $8,000/bond, $1,000 keuntungan jika dijual setalah setahun. Tersedia hanya 4 villa, 15 acres tanah, dan 20 obligasi. 7

8 A Mixed Integer Model (2 of 2) Integer Programming Model: Memaksimalkan Z = $9,000x 1 + 1,500x 2 + 1,000x 3 dengan kendala: 50,000x ,000x 2 + 8,000x 3 $250,000 x 1 4 villa x 2 15 acres x 3 20 bond x 2 0 x 1, x 3 0 dan integer x 1 = villa yang dibeli x 2 = acre tanah yang dibeli x 3 = obligasi yang dibeli 8

9 Solusi Grafis Pemrograman Integer Pembulatan solusi non-integer ke atas (ke bawah) dapat menghasilkan solusi tak layak Sebuah solusi layak mungkin ditemukan dengan pembulatan tetapi tidak optimal (sub-optimal). Apakah sebuah variabel dibulatkan ke atas atau ke bawah tergantung pada hasil dan kendala yang ada. 9

10 Contoh Pemrograman Integer Solusi Grafis Model Maksimasi Maximize Z = $100x 1 + $150x 2 subject to: 8,000x 1 + 4,000x 2 $40,000 15x x ft 2 x 1, x 2 0 dan integer Solusi Optimal: Z = $1, x 1 = 2.22 pencetak x 2 = 5.55 bubut Kedua nilai ini dapat diperoleh dengan pembualatan, tetapi nilai setiap fungsi tetap perlu dicek ulang Feasible Solution Space with Integer Solution Points 10

11 Branch and Bound Method Pendekatan tradisional untuk pemecahan masalah pemrograman integer. Berdasarkan prinsip bahwa kumpulan solusi layak total dapat dipecah menjadi sub-kumpulan solusi yang lebih kecil. Sub-kumpulan yang lebih kecil dievaluasi sampai solusi terbaik ditemukan. Metode ini sangat melelahkan dan sering kali meliputi proses matematis yang kompleks. Penggunaan alat bantu dapat dipakai (Excel and QM for Windows). 11

12 Ringkasan Metode Branch and Bound 1. Dapatkan solusi simpleks optimal dari PL dg batasan integer 2. Tentukan solusi simpleks relaxed sebagai batas atas sedangkan solusi hasil pembulatan ke bawah sebagai batas bawah pada node 1 3. Pilih variabel dengan bagian pecahan terbesar untuk percabangan. Ciptakan dua batasan baru untuk variabel ini yang mencerminkan pembagian nilai integer berupa batasan dan 4. Ciptakan node baru, satu batasan dan satu batasan 5. Selesaikan model PL relaxed dengan batasan baru yang ditambahkan pada tiap node 6. Solusi simpleks relaxed adalah batas atas tiap node, dan solusi integer maksimum yang ada (pada node mana saja) adalah batas bawah 7. Jika solusi integer layak dengan nilai batas atas terbesar dihasilkan, maka solusi integer optimal tercapai. Jika solusi integer belum ada, lakukan percabangan dari node dengan batas atas terbesar 8. Ulangi langkah 3. 12

13 13

14 Computer Solution of IP Problems 0 1 Model with Excel (1 of 5) Recreational Facilities Example: Maximize Z = 300x x x x 4 subject to: $35,000x ,000x ,000x ,000x 4 $120,000 4x 1 + 2x 2 + 7x 3 + 3x 4 12 acres x 1 + x 2 1 facility x 1, x 2, x 3, x 4 = 0 or 1 14

15 Computer Solution of IP Problems 0 1 Model with Excel (2 of 5) Exhibit

16 Computer Solution of IP Problems 0 1 Model with Excel (3 of 5) Exhibit 9.3 Instead, one could just specify $C$12:$C$15 as binary (= 0 or 1 ). 16

17 Computer Solution of IP Problems 0 1 Model with Excel (4 of 5) To constrain a range of variables to be integers, enter: Exhibit 9.4 and note that it doesn t matter what you put in the right-hand side field, but it must not be empty. Instead, one could just specify the bin option (= 0 or 1 ), thus avoiding the additional, 0 and 1 constraints. 17

18 Computer Solution of IP Problems 0 1 Model with Excel (5 of 5) Exhibit