FUNGSI INTERPOLASI UNTUK TABEL MORTALITA ANNISAA

Transkripsi

1 FUNGSI INTERPOLASI UNTUK TABEL MORTALITA ANNISAA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

2 ABSTRAK ANNISAA. Fungsi Interpolasi untuk Tabel Mortalita Dibimbing oleh SRI NURDIATI dan I GUSTI PUTU PURNABA. Setiap manusia mempunyai risiko kematian. Asuransi adalah salah satu cara untuk meminimalisir risiko tersebut. Orang yang mengikuti asuransi mempunyai kewajiban untuk membayar premi, salah satu parameter untuk menghitung harga premi adalah tabel mortalita. Tujuan karya ilmiah ini adalah memodelkan tabel mortalita dengan metode interpolasi serta menganalisis perbedaan harga premi antara asuransi endowmen dengan asuransi berjangka. Metode interpolasi yang digunakan adalah metode interpolasi spline linear, kuadratik dan berderajat lebih dari dua. Metode interpolasi yang paling baik untuk tabel mortalita adalah interpolasi spline linear karena kesalahannya relatif kecil. Kata kunci: metode interpolasi, tabel mortalita, asuransi endowmen, asuransi berjangka.

3 ABSTRACT ANNISAA. Interpolation Function for Mortality Table. Supervised by SRI NURDIATI and I GUSTI PUTU PURNABA. Every human has a risk of death. Insurance is a way to minimize the risk. People who join the insurance have an obligation to pay a premium. One of the parameters to calculate the premium price is the table of mortality. The purpose of this paper is to model the table of mortality with the interpolation method and analyze the difference of premium price between endowment insurance with term insurance. We use the method of linear, quadratic, and more than two degree spline interpolation. The best interpolation method for the mortality table is a linear spline interpolation because the error of calculate is relative small. Key words: Interpolation method, table of mortality, endowment insurance, term insurance.

4 FUNGSI INTERPOLASI UNTUK TABEL MORTALITA ANNISAA Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

5 Judul Skripsi : Fungsi Interpolasi untuk Tabel Mortalita Nama : Annisaa NIM : G Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc NIP Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA NIP Mengetahui, Ketua Departemen Matematika Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP Tanggal Lulus :

6 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada Bapak dan Ibu tersayang, terimakasih atas kasih sayang, didikan, nasihat, semangat serta doa yang tiada henti-hentinya untuk penulis. Kepada Ibu Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc dan Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen pembimbing, terimakasih atas waktu, ilmu yang diberikan dan kesabaran dalam membimbing penulis serta Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku dosen penguji terimakasih atas waktu, ilmu dan saran yang bermanfaat bagi penulis. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Bapak dan Ibu dosen Departemen Matematika yang telah mengajar dan memberikan bekal ilmu pengetahuan kepada penulis. Tidak lupa ungkapan terimakasih kepada seluruh keluarga atas doa dan kasih sayangnya. Terimakasih kepada keluarga besar VISION atas semangat, kesabaran, doa dukungan dan bantuannya selama ini,serta terimakasih sahabat terdekat: Nurhayati, Suwaibatul Aslamyah, Raidinal Alifahrana, Previta Widiastana, Yoppy RM Yunus, Faris Itsnartasia, Raka Abimanyu, Fahrul Irianto, Lya, Agustina, Andromeda atas semangat, doa dan dukungannya. Terimakasih kepadateman-teman Math 45, adik kelas angkatan 46, dan temanteman Kos putri Nikita atas dukungan, bantuan, doa dan kebersamaannya. Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun demi penyempurnaan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, April 2013 Annisaa

7 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 20Agustus 1990 sebagai anak pertama dari dua bersaudara. Anak dari pasangan Sujiah dan Darmadji. Pada tahun 1996 penulis menyelesaikan pendidikan di TK Islam Qur an. Tahun 2002 penulis menyelesaikan pendidikan di SDN Lagoa 07 Jakarta. Tahun 2005 penulis menyelesaikan pendidikan di SLTPN 30 Jakarta Utara. Tahun 2008 penulis menyelesaikan pendidikan di SMAN 72 Jakarta pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor (IPB) malalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di kegiatan mahasiswa yaitu sebagai anggota Koperasi Mahasiswa IPB pada tahun

8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... ix DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR LAMPIRAN... ix PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan... 1 LANDASAN TEORI Interpolasi Interpolasi Polinomial Interpolasi Linear Fungsi Spline Spline Linear Syarat-syarat Spline Linear Spline Kuadratik Syarat-syarat Spline Kuadratik Spline Kubik Uji Kesesuaian Data Tabel Hayat Istilah Perhitungan Premi Asuransi... 3 HASIL DAN PEMBAHASAN Pemodelan Tabel Mortalita dengan Interpolasi Pemotongan Selang pada Tabel Mortalita Tabel Mortalita dengan Interpolasi Berderajat Banyak Tabel Mortalita dengan Interpolasi Kuadratik Tabel Mortalita dengan Interpolasi Spline Linear Penerapan Model pada Asuransi Asuransi Endowmen Asuransi Berjangka Kesalahan dari Nilai Premi Asuransi Endowmen dan Asuransi Berjangka... 9 KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN viii

9 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Mortalita dengan selang satu Mortalita dengan selang lima Hasil interpolasi spline linear Hasil interpolasi berderajat banyak DAFTAR TABEL Halaman 1 Nilai premi asuransi endowmen seorang laki-laki dengan tingkat bunga 10% Nilai premi asuransi endowmen seorang perempuan dengan tingkat bunga 10% Perbedaan kesalahan premi antara asuransi endowmen dan asuransi berjangka Nilai premi asuransi berjangka seorang laki-laki dengan tingkat bunga 10% Nilai premi asuransi berjangka seorang perempuan dengan tingkat bunga 10% Fungsi interpolasi linear spline laki-laki Fungsi interpolasi linear spline perempuan Tabel mortalita Indonesia Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval sama (laki-laki) Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval berbeda (laki-laki) Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval sama (perempuan) Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval berbeda (perempuan) Nilai fungsi kuadratik Fungsi kuadratik Keterangan garis DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Fungsi Interpolasi Spline Linear Program untuk Mencari Interpolasi Linear pada MATLAB Program untuk Mencari Fungsi Interpolasi Kuadratik pada MATLAB Program untuk Membuat Grafik Fungsi Kuadratik pada MATLAB Tabel Mortalita Indonesia Perbedaan Pemecahan Selang untuk Mendapatkan Fungsi Interpolasi Spline Linear pada Laki-laki Perbedaan Pemecahan Selang untuk Mendapatkan Fungsi Interpolasi Spline Linear pada Perempuan Nilai Fungsi Kuadratik Fungsi Kuadratik Hasil Interpolasi Berderajat Banyak viii ix

10 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pada masa kini kehidupan manusia telah mengalami banyak perubahan. Perubahan tersebut disebabkan oleh berbagai faktor seperti alam dan pola hidup manusia. Dari perubahan tersebut, manusia menghadapi berbagai bentuk risiko, antara lain risiko kematian. Risiko kematian yang terjadi pada manusia dapat dihindari dengan cara mengubah pola hidup atau risiko tersebut dapat diminimalisir dengan adanya asuransi. Asuransi dalam hukum dan ekonomi adalah bentuk menagemen risiko yang dipakai untuk proteksi terhadap kerugian. Asuransi adalah transfer sepadan dari risiko potensi kerugian dengan suatu premi. Perjanjian yang dibuat oleh seseorang yang mengikuti program asuransi dengan perusahaan asuransi disebut polis asuransi, sedangkan orang yang mengikuti program asuransi disebut pemegang polis. Para pemegang polis berkewajiban membayar sejumlah uang kepada perusahaan asuransi pada tiap periode tertentu atau dibayar lunas yang disebut premi asuransi. Perusahaan asuransi memberi jaminan terhadap risiko yang terjadi sesuai kesepakatan berupa sejumlah uang yang disebut klaim asuransi (Gunawan 2000). Dalam menentukan nilai premi asuransi dibutuhkan peluang seseorang meninggal. Peluang seseorang meninggal terdapat pada tabel mortalita. Tabel mortalita merupakan data statistik dari suatu penduduk yang menyatakan peluang seseorang meninggal. Fungsi atau hasil penelitian dapat disajikan dalam bentuk tabel yang memuat pasangan bilangan yang berurutan. Namun, seringkali data yang diperlukan belum bisa diperoleh, padahal kelengkapan data tersebut sangat diperlukan untuk menghasilkan suatu analisis yang akurat. Untuk memperoleh data yang tidak ada atau hilang di antara nilai-nilai data yang diberikan diperoleh suatu metode penaksiran. Interpolasi adalah suatu metode untuk menaksir nilai data yang tidak ada atau hilang di antara nilai-nilai data yang diberikan. Nilai data tersebut bisa berasal dari suatu parameter (dimensi satu) atau beberapa parameter (dimensi banyak). Untuk menaksir data yang hilang dalam nilai data yang berdimensi banyak, diperlukan metode interpolasi yang bekerja pada dimensi banyak pula. Interpolasi pada dimensi banyak diselesaikan dengan urutan interpolasi dimensi satu. Salah satu interpolasi dalam dimensi satu adalah interpolasi polinomial. Interpolasi polinomial adalah metode interpolasi yang dapat menghasilkan nilai data yang mempunyai tingkat ketelitian tinggi. Dalam metode interpolasi polinomial, telah dikenal antara lain interpolasi polinomial Newton, Lagrange dan spline, dengan kelebihan atau kelemahan masing-masing. Karya ilmiah ini, akan membahas penggunaan model dari tabel mortalita dengan metode interpolasi linear dalam menentukan besarnya premi asuransi yang akan dibayar oleh pemegang polis. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah: (i) Memodelkan tabel mortalita dengan metode interpolasi. (ii) Membandingkan model interpolasi dengan tabel mortalita padanilai premi asuransi endowmen dan asuransi berjangka.

11 LANDASAN TEORI 2.1 Interpolasi Interpolasi adalah proses pencarian dan perhitungan suatu fungsi yang grafiknya melewati sekumpulan titik yang diberikan (Sahid 2005). 2.2 Interpolasi Polinomial Suatu fungsi polinomial P(x) dengan p P n adalah interpolasi polinomial jika P(x) melalui setiap titik penginterpolasi berbentuk (x i,y i ) untuk dengan P n adalah himpunan fungsi polinomial berderajat n (Philips 2003). 2.3 Interpolasi Linear Metode interpolasi linear merupakan metode interpolasi untuk mencari nilai data di antara dua titik data, dengan membuat persamaan garis lurus dari dua titik data tersebut. Interpolasi linear hanya menggunakan dua titik data. Dengan demikian, untuk mencari nilai data yang hilang hanya diperlukan dua titik data dimana data itu ada diantaranya (Mutaqin1998). 2.4 Fungsi Spline Fungsi spline adalah suatu fungsi yang terdiri atas beberapa potong fungsi polinomial yang dirangkaikan bersama dengan beberapa syarat kemulusan (Sahid 2005). 2.5 Spline Linear Spline linear S(x) pada selang [x 1,x n ] dengan ( ) didefinisikan oleh ( ) { ( ) ( ) ( ) untuk x 1 x x 2 untuk x 2 x x 3 untuk x n x x n+1. (Sahid 2005) 2.6 Syarat-syarat Spline Linear Misalkan x 1 =a dan x n =b maka domain S(x) adalah [a,b]. Tahap selanjutnya adalah mensyaratkan bahwa S(x) kontinu pada [a,b]. Jadi, S(x) harus memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1. S(x) sepotong-sepotong linear dan 2. S(x) kontinu pada [a,b]. Untuk tujuan ekstrapolasi diasumsikan bahwa: 1. S(x) didefinisikan sama dengan S 1 (x) untuk x<a, dan 2. S(x) didefinisikan sama dengan S n-1 (x) untuk x>a. Konstanta-konstanta a k dan b k dipilih sedemikian sehingga S(x) kontinu pada [a,b]. Syarat kontinuitas ini bersamaan dengan persamaan-persaman di bawah ini: 1. ( ) ( ) 2. ( ) ( ) atau untuk ( ) 3. ( ). (Sahid 2005) 2.7 Spline Kuadratik Didefinisikan ( ) dengan fungsi S(x) didefinisikan sebagai ( ) { ( ) ( ) ( ) untuk x 1 x x 2 untuk x 2 x x 3 untuk x n x x n+1. (Sahid 2005) 2.8 Syarat-syarat Spline Kuadratik Suatu fungsi S(x) merupakan sebuah spline berderajat dua pada [a,b], jika S(x) memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1. S(x) sepotong-sepotong kuadratik pada [a,b], 2. S(x) kontinu pada [a,b], dan 3. ( ) kontinu pada [a,b]. Untuk tujuan ekstrapolasi diasumsikan bahwa: 1. S(x) didefinisikan sama dengan S 1 (x) untuk x<a, dan 2. S(x) didefinisikan sama dengan S n-1 (x) untuk x>a. (Sahid 2005)

12 3 2.9 Spline Kubik Sebuah fungsi spline S(x) dikatakan spline kubik (berderajat tiga), jika S(x) memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1. S(x) sepotong-sepotong merupakan polinomial kubik pada selang [a,b], 2. S(x) kontinu pada selang [a,b], 3. S (x) kontinu pada selang [a,b], dan 4. S (x) kontinu pada selang [a,b]. Untuk tujuan ekstrapolasi menggunakan 1. S(x) didefinisikan sama dengan S 1 (x) untuk x<a, dan 2. S(x) didefinisikan sama dengan S n-1 (x) untuk x>a. ( ) { ( ) ( ) ( ) Dengan ( ) (1 k n-1). untuk x 1 x x 2 untuk x 2 x x 3 untuk x n x x n+1 (Sahid 2005) 2.10 Uji Kesesuaian Data Untuk mengetahui kesesuaian data yang diperoleh berdasarkan suatu metode tertentu terhadap data sebenarnya perlu dilakukan uji kesesuaian data. Ada beberapa kriteria yang dapat dijadikan sebagai acuan diantaranya adalah galat mutlak (Absolute Error, AE). Misalkan y i adalah data ke-i yang sebenarnya y adalah data yang diperoleh dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk y i. Galat mutlak didefinisikan sebagai berikut: AE= y i -y. (Mathews 1992) 2.11 Tabel Hayat Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok yang dimulai dengan kelahiran pada waktu yang dimulai dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena kematian hingga kelompok penduduk tersebut tidak ada satu pun yang tertinggal (Siegel & Swanson 2004). Keterangan Tabel Hayat 1. x :usia x, kolom ini berisi x=0,1,2,...,, dengan adalah usia tertua. 2. jumlah orang yang hidup pada usia x. Kolom ini dimulai dengan yang biasanya bernilai :tingkat kematian penduduk usia x, dengan rumus 4. nq x :peluang seorang akan meninggal sebelum mencapai usia x+n untuk penduduk berusia x. 5. np x :peluang seorang hidup mencapai usiax + n untuk penduduk berusia x. 6. :tingkat harapan hidup pada usia x. (Bowers et al.1997) 2.12 Istilah Perhitungan Premi Asuransi 1. :nilai sekarang aktuaria orang berumur x dari asuransi berjangka dengan pembayaran premi selama n tahun sebesar satu satuan. Pembayaran santunan dibayarkan pada saat tertanggung meninggal pada jangka n tahun. kp x. 2. :nilai sekarang aktuaria dari asuransi endowmen orang berumur x dengan pembayaran premi selama n tahun sebesar satu satuan. Pembayaran santunan oleh penanggung akan di bayarkan saat tertanggung hidup sampai umur yang ditentukan atau meninggal sebelum usia itu. (Promislow 2006)

13 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Pemodelan Tabel Mortalita dengan Interpolasi Pemodelan tabel mortalita pada penelitian ini menggunakan interpolasi. Penelitian ini melakukan beberapa bentuk interpolasi untuk menentukan model yang tepat dalam tabel mortalita. Ketepatan interpolasi terhadap tabel mortalita dapat dilihat dari berbagai kategori, seperti jenis fungsi dan kesalahan relatif. Beberapa jenis metode interpolasi yang akan digunakan yaitu : 1. Interpolasi berderajat banyak, 2. Interpolasi kuadratik, 3. Interpolasi linear, dan 4. Interpolasi spline. Sebelum dilakukan analisis berdasarkan metode interpolasi, selang pada tabel mortalita dilakukan perubahan terlebih dahulu sebagai pembanding dalam menentukan metode interpolasi yang tepat digunakan untuk tabel mortalita Pemotongan Selang pada Tabel Mortalita Sebelum mengidentifikasi metode interpolasi tersebut, dilakukan perubahan selang usia pada tabel mortalita yang bertujuan untuk melihat seberapa cocok metode interpolasi dapat digunakan pada tabel mortalita. Perubahan selang pada tabel mortalita dijadikan pembanding dari hasil interpolasi. Selang yang digunakan pada tabel mortalita selang satu, artinya setiap selang hanya punya jarak satu. Namun, dalam penelitian ini akandigunakan selang lima untuk melihat apakah fungsi dari selang lima mempunyai perbedaan dengan selang satu. Dalam tabel mortalita sebelum dilakukan perubahan selang yang digunakan berawal dari angka nol. Namun, pada penelitian iniselang lima berawal dari angka lima. Berikut merupakan plot data dari tabel mortalita dengan selang satu dan selang lima. P e l u a n g Gambar 1 Tabel mortalita dengan selang satu. P e l u a n g Umur (tahun) Umur (tahun) Gambar 2 Tabel mortalita selang lima. Pada Gambar 1 dan Gambar 2 terdapat dua jenis warna yaitu birudan hijau. Warna biru menyatakan peluang seorang laki-laki meninggal dan warna hijau menyatakan peluang seorang perempuan meninggal Tabel Mortalita dengan Interpolasi Berderajat Banyak Penelitian ini menggunakan beberapa metode interpolasi untuk tabel mortalita. Metode interpolasi yang pertama adalah metode interpolasi berderajat banyak. Metode interpolasi berderajat banyak menggunakan selang satu. Hasil dari metode menyatakan bahwa semakin tinggi pangkat dari persamaan maka akan mengikuti data tabel mortalita. Langkah-langkah dari metode interpolasi berderajat banyak sebagai berikut: 1. Membuat variabel dari unsur fungsi, x untuk usia dan y untuk peluang seseorang meninggal. Selain itu, membuat p 1 untuk tempat fungsi dari interpolasi.

14 5 2. Menggunakan perintah polyfit untuk membuat fungsi. Fungsi yang diperoleh di simpan pada p 1. Penggunaan perintah polyfit menghasilkan polinom berderajat banyak. Fungsi yang digunakan adalah p 1 =polyfit(x,y,2), dengan 2 menjelaskan derajat polinom. 3. Membuat variabel y 2 untuk menyimpan hasil evaluasi polinom dari p 1, sehingga menghasilkan nilai baru. Interpolasi berderajat banyak di atas kemudian dihitung kesalahan atau galat dari fungsi yang baru. Berdasarkan hasil tersebut, galat yang didapat bernilai sangat besar. Fungsi berderajat banyak diawali dengan derajat tiga dan diakhiri dengan derajat 4. Semakin besar derajat maka nilai kesalahan atau galat semakin kecil. Namun, untuk menjadi suatu fungsi akan menjadi tidak valid jika nilai kesalahan terlalu besar. Gambar dari interpolasi berderajat banyak dapat dilihat pada Lampiran Tabel Mortalita dengan Interpolasi Kuadratik Percobaan pertama membuat fungsi berderajat banyak menghasilkan galat yang besar. Olehkarena itu, dilakukan percobaan kedua dengan metode interpolasi kuadratik untuk memperkecil galat dengan memotong fungsi atau menjadikan fungsi menjadi fungsi yang sepotong-sepotong. Langkah-langkah interpolasi kuadratik sebagai berikut : 1. Membuat fungsi baru. Mencari nilai a, b, dan c yang mengikuti pola kuadratik yaitu ax 2 +bx+c. Fungsi untuk menentukan nilai a, b, dan c dapat dilihat pada Lampiran Setelah membuat fungsi, selanjutnya memindahkan data ke dalam MATLAB R2008B agar data dapat diproses. 3. Menampilkan hasil dari interpolasi kuadratik dalam bentuk grafik. Program untuk membuat grafik dapat dilihat pada Lampiran 4. Hasil dari interpolasi kuadratik menimbulkan adanya keanehan yang menyebabkan beberapa peluang seseorang meninggal di usia tertentu memberikan nilai yang negatif padahal tidak mungkin negatif. Nilai negatif pada peluang. Nilai negatif dapat terjadi pada interpolasi kuadratik ketika titiktitik yang difitkan menyebabkan nilai minimum fungsi berada di bawah sumbu x Tabel Mortalita dengan Interpolasi Spline Linear Metode berikutnya adalah interpolasi spline linear, langkah untuk membuat interpolasi spline linear sebagai berikut: 1. Langkah pertama adalah membuat fungsi baru. Pertama, menentukan formula untuk nilai hasil interpolasi dengan fungsi dari nilaia dan b yang mengikuti pola linear ax+b. Kedua, mendefinisikan a dan b sebagai berikut: ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) Dengan k adalah bilangan real dari 1 sampai n-1. Rincian program dapat dilihat pada Lampiran Setelah membuat fungsi baru maka selanjutnya data dipindahkan ke dalam MATLAB R2008B agar data diproses. 3. Setelah data dipindahkan kemudian menghitung interpolasi spline linear dengan perintah [a,b]=spliner(x,y). Setelah itu, menemukan hasil dari nilai a dan nilai b yang membentuk suatu fungsi linear. Hasilnya dapat dilihat pada Lampiran 1. Dari langkah-langkah di atas hasil interpolasi seperti gambar di bawah ini: P e l u a n g Usia (tahun) Gambar 3 Hasil interpolasi spline linear.

15 6 Pada Gambar 3 terlihat dua buah garis yaitu garis biru dan garis hijau. Garis biru menyatakan nilai peluang meninggal dari tabel mortalita sedangkan garis hijau adalah nilai dari interpolasi spline linear. Terlihat bahwa garis biru dan hijau saling berhimpit. Hal tersebut menggambarkan kesalahan dari interpolasi linear bernilai kecil. Berdasarkan pembahasan pada dan 3.1.3, metode interpolasi yang paling bisa diterima untuk model ini adalah interpolasi spline linear karena pada interpolasi spline linear hasil dari peluang bukan negatif. Selain itu, model yang didapat dari interpolasi spline linear memiliki nilai kesalahan yang relatif kecil. 3.2 Penerapan Model pada Asuransi Model tabel mortalita ini digunakan untuk mencari harga premi asuransi, menghitung nilai premi pada asuransi berjangka dan asuransi endowmen. Dengan adanya pemodelan tabel mortalita untuk mengetahui peluang seseorang meninggal dapat digunakan fungsi dari hasil pemodelan. Perlu diketahui bahwa usia yang digunakan bukan usia bulat seperti 20 tahun melainkan 20 tahun 6 bulan yang akan dikonversi menjadi 20,5 tahun Asuransi Endowmen Asuransi endowmen adalah gabungan antara asuransi dengan tabungan. Pada umumnya asuransi endowmen ada dua jenis yaitu asuransi endowmen dan asuransi endowmen murni. Perbedaan dari kedua jenis asuransi endowmen ini adalah cara pembayaran santunan perusahaan asuransi kepada tertanggung. Santunan dari asuransi endowmenn tahun dibayarkan baik setelah kematian tertanggung atau kelangsungan hidup tertanggung pada akhir masa n tahun. Namun, untuk asuransi endowmen murni n tahun santunan akan dibayarkan jika dan hanya jika tertanggung bertahan hidup setidaknya n tahun dari saat penerbitan kebijakan. Nilai premi asuransi yang akan dihitung pada penelitian ini adalah asuransi endowmen. Misalkan orang dengan usia 20 tahun 6 bulan mengikuti asuransi endowmen, dengan jangka pembayaran 10 tahun, maka uang santunan akan diserahkan pada tertanggung saat orang tersebut masih hidup atau mati pada saat pembayaran, misalkan uang santunannya Rp Sebelumnya akan dihitung. Dalam kasus di atas dihitung kp 20,5 q 20,5+k +v 20,5 np 20,5. Disini terlihat nilai premi dengan usia 20 tahun 6 bulan pada Tabel 1 dan Tabel 2. Nilai peluang meninggal dari tabel mortalita menggunakan pembulatan. Misal, usia 20 tahun 6 bulan maka nilai tabel mortalitanya lihat pada usia 20 tahun begitu juga untuk seterusnya.

16 7 7 Tabel 1 Nilai premi asuransi endowmen seorang laki-laki dengan tingkat bunga 10% Usia Diskon faktor Peluang hidup Peluang meninggal Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Beda ((7)-(8)) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 20,5 0, , , , , , , ,9048E-05 21,5 0, , , , , , , ,7219E-06 22,5 0, , , , , , , ,7168E-05 23,5 0, ,9992 0, ,0008 0, , , ,4304E-05 24,5 0, , , , , , , ,9102E-06 25,5 0, , , , , , , ,2984E-06 26,5 0, , , , , , , ,9539E-06 27,5 0, , , , , , , ,1547E-05 28,5 0, , , , , , , ,3324E-05 29,5 0, , , , , , , ,6705E-06 Jumlah 0, , ,1285E-05 Jumlah harga premi yang dibayarkan selama 10 tahun (dalam rupiah (Rp)) , ,3 1128,46239 Kesalahan relatif dari harga premi (dalam %) 0,

17 8 8 Tabel 2 Nilai premi asuransi endowmen seorang perempuan dengan tingkat bunga 10% Usia Diskon faktor Peluang hidup Peluang meninggal Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Beda((7)-(8)) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 20,5 0, , , , , , , ,4727E-05 21,5 0, , , , , , , ,1025E-05 22,5 0, , , , , , , ,2951E-06 23,5 0, , , , , , , ,2058E-06 24,5 0, , , , , , , ,8731E-06 25,5 0, , , , , , , ,5283E-06 26,5 0, , , , , , , ,7989E-06 27,5 0, , , , , , , ,7761E-06 28,5 0, , , , , , , ,483E-06 29,5 0, , , , , , , ,5081E-06 Jumlah 0, , ,8706E-05 Jumlah harga premi yang dibayarkan selama 10 tahun (dalam rupiah (Rp)) , ,9 7870,61623 Kesalahan relatif dari harga premi (dalam %) 0,

18 9 Dapat dilihat bahwa nilai premi pada Tabel 1 dan Tabel 2 adalah nilai premi seorang laki-laki dan perempuan yang harus dibayarkan selama 10 tahun. Namun pada kenyataannnya nilai premi yang dibayarkan oleh nasabah kepada perusahan asuransi tidak dalam jangka tahun, melainkan dalam jangka bulan. Selain itu, nilai premi yang sampai pada nasabah adalah nilai premi yang sudah dikenakan biaya administrasi, sehingga nilai premi perbulan akan lebih besar lagi Asuransi Berjangka Asuransi berjangka adalah asuransi yang pembayarannya memiliki jangka waktu. Misalkan seseorang dengan usia 20 tahun 6 bulan mengikuti asuransi berjangka 10 tahun dengan santunan Rp Pembayaran premi akan dibayarkan tertanggung selama 10 tahun dan uang santunan akan diterima tertanggung pada saat orang tersebut meninggal pada pada jangka waktu yang ditentukan dan dibayarkan di akhir tahun. Untuk menghitung harga premi harus dihitung nilai kp 20,5. Hasilnya menunjukkan nilai premi dari seorang perempuan dengan usia 20 tahun 6 bulan pada Tabel 3 dan Tabel 5. Nilai peluang meninggal dari tabel mortalita menggunakan pembulatan. Misalkan, usia 20 tahun 6 bulan maka nilai tabel mortalitanya dilihat pada usia 20 dan seterusnya. Lebih jauh, terlihat bahwa nilai premi pada Tabel 4 dan Tabel 5 adalah nilai premi seorang laki-laki dan perempuan yang harus dibayarkan selama 10 tahun. Namun pada kenyataannya nilai premi yang dibayarkan oleh tertanggung kepada perusahan asuransi tidak dalam jangka tahun, melainkan dalam jangka bulan. Selain itu, nilai premi yang sampai pada nasabah adalah nilai premi yang sudah dikenakan biaya administrasi, sehingga nilai premi per bulan akan lebih besar lagi. Tabel 3 Perbedaan kesalahan relatif harga premi antara asuransi endowmen dengan asuransi berjangka Asuransi Laki-laki Perempuan Endowmen 0,003% 0,020% Berjangka 0,340% 0,020% Tabel 3 menjelaskan bahwa nilai kesalahan dari asuransi berjangka untuk orang berjenis kelamin laki-laki memiliki kesalahan paling besar yaitu sebesar 0,340%. Hal tersebut terjadi karena nilai kesalahan dari interpolasi linear dari peluang meninggal seorang lakilaki besar, dibandingkan dengan perempuan. Bila dilihat lagi akan ada perbedaan nilai premi asurasi antara asuransi endowmen dengan asuransi berjangka. Hal tersebut dikarenakan aturan dan proses perhitungan yang berbeda, sehingga akan menghasilkan transfer risiko yang berbeda bagi perusahaan asuransi. Nilai premi pada asuransi endowmen akan lebih besar daripada nilai premi pada asuransi berjangka. Hal tersebut dikarenakan pada asuransi endowmen selain sistem asuransi juga memakai sistem tabungan. Artinya seorang pemegang polis dapat mengambil uangnya dari perusahaan asuransi sebelum tanggal waktu pembayaran habis. Hal ini yang membuat transfer risiko pada perusahaan asuransi lebih besar, sehingga harga premi lebih mahal. Sedangkan, pada asuransi berjangka, seorang pemegang polis akan mendapatkan santunan pada saat pemegang polis meninggal pada jangka waktu yang telah ditentukan Kesalahan dari Nilai Premi Asuransi Endowmen dan Asuransi Berjangka Tabel di bawah ini menjelaskan perbedaan antara nilai kesalahan relatif dari tabel mortalita dengan kesalahan relatif dari hasil interpolasi.

19 10 10 Tabel 4 Nilai premi asuransi berjangka seorang laki-lakidengan tingkat bunga 10% Usia Diskon faktor Peluang hidup Peluang meninggal Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Beda((7)-(8)) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 20,5 0, , , , , , , ,9048E-05 21,5 0, , , , , , , ,7219E-06 22,5 0, , , , , , , ,7168E-05 23,5 0, ,9992 0, ,0008 0, , , ,4304E-05 24,5 0, , , , , , , ,9102E-06 25,5 0, , , , , , , ,2984E-06 26,5 0, , , , , , , ,9539E-06 27,5 0, , , , , , , ,1547E-05 28,5 0, , , , , , , ,3324E-05 29,5 0, , , , , , , ,6705E-06 Jumlah 0, , ,4961E-05 Jumlah harga premi yang dibayarkan selama 10 tahun (dalam rupiah (Rp)) , , ,06349 Kesalahan relatif dari harga premi (dalam %) 0,34969

20 11 11 Tabel 5 Nilai premi asuransi berjangka seorang perempuan dengan tingkat bunga 10% Usia Diskon faktor Peluang hidup Peluang meninggal Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Tabel Interpolasi Beda((7)-(8)) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 20,5 0, , , , , , , ,7326E-06 21,5 0, , , , , , , ,7248E-06 22,5 0, , , , , , , ,0022E-05 23,5 0, , , , , , , ,3014E-06 24,5 0, , , , , , , ,421E-20 25,5 0, , , , , , , ,1509E-06 26,5 0, , , , , , , ,9106E-06 27,5 0, , , , , , , ,3324E-06 28,5 0, , , , , , , ,4237E-06 29,5 0, , , , , , , Jumlah 0, , ,9777E-07 Jumlah harga premi yang dibayarkan selama 10 tahun (dalam rupiah (Rp)) , ,028 49, Kesalahan relatif dari harga premi (dalam %) 0,

21 12 KESIMPULAN Dalam penulisan karya ilmiah ini dapat disimpulkan bahwa: (i) Metode interpolasi dapat digunakan untuk memodelkan tabel mortalita. Interpolasi yang digunakaan adalah interpolasi berderajat banyak, interpolasi kuadratik, dan interpolasi spline linear. Dari beberapa model interpolasi di atas, interpolasi spline linear yang paling baik untuk model tabel mortalita karena hasil dari interpolasi spline linear baik untuk tabel mortalita karena hasil dari interpolasi spline linear adalah positif dan memiliki nilai kesalahan relatif kecil jika dibandingkan dengan interpolasi berderajat banyak dan interpolasi kuadratik. (ii) Perbedaan nilai premi asuransi endowmen dan asuransi berjangka antara tabel mortalita dengan model dari interpolasi terletak pada usia seseorang. Pada tabel mortalita hanya berselang satu, sedangkan dengan adanya model interpolasi usia dapat dihitung secara lebih spesifik. Selain itu nilai kesalahan dari asuransi berjangka untuk orang berjenis kelamin laki-laki memiliki kesalahan lebih besar dari orang berjenis kelamin perempuan. DAFTAR PUSTAKA Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, Nesbitt CJ Actuarial Mathematics Hesca. Ed ke-2. Schamburg: The Society of Actuaries. Gunawan B Penentuan Peluang Kebangkrutan Perusahaan Asuransi dari Peluang Survival. Skripsi, Jurusan Matematika FMIPA IPB, Bogor. Mathews JH Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering. London: Prentice-Hall. Mutaqin A Interpolasi Multi Dimensi. Skripsi, Jurusan Matematika FMIPA IPB, Bogor. Philips GM Interpolation and Approximation by Polynomials. New York: Springer. Promislow SD Fundamentals of Actuarial Mathematics. England: Wiley. Sahid Pengantar Komputasi Numerik dengan Matlab. Ed ke-1. Yogyakarta: ANDI. Siegel JS, Swanson DA The Methods and Materials of Demography. Ed ke-2. San Diego, California: Elsevier Inc.

22 13 Lampiran 1 Fungsi Interpolasi Spline Linear Keterangan: X : usia Y : nilai interpolasi tabel Y1 : nilai interpolasi dari fungsi baru F(x) : fungsi dari interpolasi linear Tabel 6 Fungsi Interpolasi linear laki-laki X Y Y1 F(x) (1) (2) (3) (4) 5 0, , ,00016x + 0, , , ,000022x + 0, , , ,000004x +0, , , ,00004x 0, , , ,000072x 0, , , ,000018x + 0, , , ,00003x 0, , , ,000124x 0, , , ,000252x 0, , , ,000518x 0, , , ,000846x 0, , , ,000912x 0, ,021 0,021 0,001366x 0, , , ,002164x 0, , ,0511 0,00423x -0, , , ,006884x 0, , , ,011288x 0, , , ,017224x 1, , , ,019658x 1, , , ,022584x 1, ,5545 0,5545 0,022952x 1, , , ,031132x 2,71436

23 14 Tabel 7 Fungsi Interpolasi Spline Linier Perempuan X Y Y1 F(x) (1) (2) (3) (4) 5 0, , ,00009x + 0, , , ,000004x + 0, , , ,000006x + 0, , , ,00004x + 0, , , ,000032x 0, , , ,000024x 0, , , ,000026x 0, , , ,000094x 0, , , ,000158x 0, , , ,000282x 0, , , ,000546x 0, , , ,00054x 0, , , ,00159x 0, , , ,001574x 0, ,0333 0,0333 0,002418x 0, , , ,003834x 0, , , ,007356x 0, , , ,01144x 0, , , ,01732x 1, , , ,019872x 1, ,4958 0,4958 0,032678x 2, , , ,041572x 3,86926

24 15 Lampiran 2 Program untuk Mencari Interpolasi Linear pada MATLAB function [a,b]=spliner(x,f) n=length(x); for k=1:(n-1), a(k)=(f(k+1)-f(k))/(x(k+1)-x(k)); b(k)=f(k)-a(k)*x(k); end Lampiran 3 Program untuk Mencari Fungsi Interpolasi Kuadratik pada MATLAB function [a,b,c]=kuad(x,f) n=length(x); a=zeros(floor(n/2),1); b=zeros(floor(n/2),1); c=zeros(floor(n/2),1); for k=1:2:(n-2), p = polyfit([x(k) x(k+1) x(k+2)],[f(k) f(k+1) f(k+2)],2); a((k+1)/2)=p(1); b((k+1)/2)=p(2); c((k+1)/2)=p(3); end Lampiran 4 Program untuk Membuat Grafik Fungsi Kuadratik pada MATLAB xx=0:1:110; yy=zeros(1,length(xx)); yy(1)=a(1)*xx(1)^2+b(1)*xx(1)+c(1); for n=2:length(xx), kn = ceil(xx(n)/10); yy(n)=a(kn)*xx(n)^2+b(kn)*xx(n)+c(kn); end plot(xx,yy,x,y); %plot(xx,abs(yy'-y(1:111))); xx=0:1:110;

25 16 Lampiran 5 Tabel Mortalita Indonesia 2011 P_laki-laki :peluang meninggal laki-laki P_perempuan :peluang meninggal perempuan Tabel 8 Tabel Mortalita Indonesia 2011 Umur P_laki-laki P_perempuan (1) (2) (3) 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0003 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0008 0, , , , , , , , ,00067

26 Umur P_laki-laki P_perempuan 36 0, , , , ,0012 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,021 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

27 Umur P_laki-laki P_perempuan 78 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1911 0, , , , , , , , , ,2845 0, , , , , , , ,3677 0, , , , , , , , , , , , , , , ,5545 0, , , , , , , , , , ,

28 19 19 Lampiran 6 Perbedaan Pemecahan Selang untuk Mendapatkan Fungsi Interpolasi Spline Linier pada Laki-laki Keterangan : X : usia seseorang dengan selang 1 X1 : usia seseorang dengan selang 5 Y : peluang seseorang mati berdasarkan tabel mortalitas Y1 : peluang seseorang mati berdasarkan model interpolasi linier E : nilai kesalahan (Y-Y1) % : nilai kesalahan relatif Tabel 9 Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval sama Tabel 10 Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval bebeda X Y Y1 X1 E % X Y Y1 X1 E % (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 1 0, , ,00 1 0, , ,75782E-19 0,00 2 0, , ,00 2 0, , ,0842E-19 0,00 3 0, , , ,42 3 0, , ,00 4 0, , , ,91 4 0, , ,42101E-20 0,00 5 0, , , ,53 5 0, , ,00 6 0, , ,8E-05 5,29 6 0, , ,8E-05 5,29 7 0, , , ,39 7 0, , , ,39 8 0, , , ,28 8 0, , , ,28 9 0, , , ,29 9 0, , , , , , , , , , , , E-06 1, , , E-06 1, , , ,8E-05 6, , , ,8E-05 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0003 0, E-05 10, ,0003 0, E-05 10, , , , , , , , , , , , , , , , ,89

29 20 20 X Y Y1 X1 E % X Y Y1 X1 E % 19 0, , E-05 9, , , E-05 9, , , , , , , , , ,8E-05 4, , , ,8E-05 4, , , ,6E-05 8, , , ,6E-05 8, , , ,4E-05 8, , , ,4E-05 8, , , ,2E-05 6, , , ,2E-05 6, , , , , , , , , E-06 0, , , E-06 0, , , ,4E-05 3, , , ,4E-05 3, , , ,6E-05 6, , , ,6E-05 6, , , ,8E-05 5, , , ,8E-05 5, , , , , , , ,0008 0, E-05 1, ,0008 0, E-05 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , E-05 2, , , E-05 2, , , , , , , , , ,4E-05 4, , , ,4E-05 4, , , ,8E-05 6, , , ,8E-05 6, ,0012 0, ,2E-05 6, ,0012 0, ,2E-05 6, , , ,6E-05 4, , , ,6E-05 4, , , , , , , , , ,2E-05 1, , , ,2E-05 1, , , ,4E-05 3, , , ,4E-05 3, , , ,6E-05 4, , , ,6E-05 4, , , ,8E-05 3, , , ,8E-05 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,40

30 21 21 X Y Y1 X1 E % X Y Y1 X1 E % 48 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6E-05 1, , , ,6E-05 1, , , ,2E-05 1, , , ,2E-05 1, , , ,8E-05 0, , , ,8E-05 0, , , ,4E-05 0, , , ,4E-05 0, , , , , , , , , ,2E-05 0, , , ,2E-05 0, , , ,4E-05 0, , , ,4E-05 0, , , ,6E-05 0, , , ,6E-05 0, , , ,8E-05 0, , , ,8E-05 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,021 0, , ,021 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0002 0, , , ,0002 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,17

31 22 22 X Y Y1 X1 E % X Y Y1 X1 E % 77 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,001 1, , , ,001 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1911 0, , , ,1911 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,2845 0, , , ,2845 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,3677 0, , , ,3677 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5545 0, , ,5545 0, ,00

32 23 23 X Y Y1 X1 E % X Y Y1 X1 E % 106 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00

33 24 24 Lampiran 7 Perbedaan Pemecahan Selang untuk Mendapatkan Fungsi Interpolasi Spline Linier pada Perempuan Keterangan : X : usia dengan selang 1 X1 : usia dengan selang 5 Y : peluang seseorang mati berdasarkan tabel mortalitas Y1 : peluang seseorang mati berdasarkan model interpolasi linier E : nilai kesalahan (Y-Y1) % : nilai kesalahan relatif Tabel 11 Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval sama Tabel 12 Proses perhitungan nilai kesalahan dengan interval bebeda X Y Y1 X1 E % X Y Y1 X1 E % (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 1 0, , , ,93 1 0, , ,1684E-19 0,00 2 0, , ,00 2 0, , ,00 3 0, , ,00 3 0, , ,42101E-20 0,00 4 0, , E-05 14,29 4 0, , ,00 5 0, , , ,44 5 0, , ,6263E-19 0,00 6 0,0003 2,66E-04 0, ,33 6 0,0003 2,66E-04 0, ,33 7 0, ,62E-04 0, ,48 7 0, ,62E-04 0, ,48 8 0,0003 2,58E-04 0, ,00 8 0,0003 2,58E-04 0, ,00 9 0, ,54E-04 0, ,29 9 0, ,54E-04 0, , , ,50E , , ,50E , , ,56E-04 1,6E-05 6, , ,56E-04 1,6E-05 6, , ,62E-04 2E-06 0, , ,62E-04 2E-06 0, , ,68E-04 1,2E-05 4, , ,68E-04 1,2E-05 4, , ,74E-04 1,6E-05 5, , ,74E-04 1,6E-05 5, , ,80E , , ,80E , , ,76E-04 0, , , ,76E-04 0, , , ,72E-04 0, , , ,72E-04 0, , , ,68E-04 0, , , ,68E-04 0, ,52

34 25 25 X Y Y1 X1 E % X Y Y1 X1 E % 19 0, ,64E-04 0, , , ,64E-04 0, , , ,60E , , ,60E , , ,92E-04 2E-06 0, , ,92E-04 2E-06 0, , ,24E-04 6E-06 1, , ,24E-04 6E-06 1, , ,56E-04 0, , , ,56E-04 0, , , ,88E-04 2E-06 0, , ,88E-04 2E-06 0, , ,20E , , ,20E , , ,44E-04 4E-06 0, , ,44E-04 4E-06 0, , ,68E-04 8E-06 1, , ,68E-04 8E-06 1, , ,92E-04 0, , , ,92E-04 0, , , ,16E-04 6E-06 1, , ,16E-04 6E-06 1, , ,40E , , ,40E , , ,66E-04 4E-06 0, , ,66E-04 4E-06 0, ,0006 5,92E-04 8E-06 1, ,0006 5,92E-04 8E-06 1, , ,18E-04 2E-06 0, , ,18E-04 2E-06 0, , ,44E-04 4E-06 0, , ,44E-04 4E-06 0, , ,70E , , ,70E , , ,64E-04 2,4E-05 3, , ,64E-04 2,4E-05 3, , ,58E-04 1,8E-05 2, , ,58E-04 1,8E-05 2, , ,52E-04 2,2E-05 2, , ,52E-04 2,2E-05 2, , ,05E-03 6E-06 0, , ,05E-03 6E-06 0, , ,14E , , ,14E , , , ,8E-05 3, , , ,8E-05 3, , , ,6E-05 3, , , ,6E-05 3, , , , , , , , , , , ,2E-05 1, , , ,2E-05 1, , , , , , , , , ,2E-05 3, , , ,2E-05 3, , , , , , , , ,35