BAB 2 PENGANTAR LOGIKA PROPOSISIONAL

Transkripsi

1 BAB 2 PENGANTAR LOGIKA PROPOSISIONAL 1. Pendahuluan Dilihat dari bentuk struktur kalimatnya, suatu pernyataan akan memiliki bentuk susunan minimal terdiri dari subjek diikuti predikat kemudian dapat diikuti objeknya. Contoh 1: Dewi belajar. Badu adalah seorang mahasiswa yang pandai pada mata kuliah Bahasa Indonesia. Kalimat pertama hanya memiliki subjek dan predikat, sedangkan kalimat kedua memiliki subjek, predikat, objek dan keterangan. Pernyataan yang hanya memiliki satu nilai benar atau salah disebut proposisi sehingga logika yang memproses penarikan kesimpulan secara logis dari proposisi proposisi disebut logika proposisional. Proposisi dapat digabungkan dengan perangkai perangkai, sehingga disebut proposisi majemuk. Proposisi majemuk terdiri dari banyak proposisi atomic. Proposisi atomic adalah proposisi yang tidak dapat dipecah pecah menjadi beberapa proposisi lagi. Contoh 2: Kadang-kadang suatu proposisi atomik dapat dijumpai hanya terdiri dari satu kata. Belajarlah! Kata tersebut dapat diubah menjadi kalimat lengkap tanpa mengubah artinya sehingga menjadi: Anda harus belajar dengan rajin Contoh 3: Disini akan dijumpai dua buah proposisi Belajarlah, atau anda gagal Jadi, kalimat lengkapnya adalah: Anda harus belajar dengan rajin atau anda akan gagal ujian.

2 Proposisi yang pertama Anda harus belajar dengan rajin dan proposisi kedua Anda akan gagal, keduanya dirankai dengan perangkai atau. Jadi sekarang proposisi dibentuk dari suatu kalimat yang lengkap atau dari suatu pernyataan yang lengkap. Contoh 4: Persoalan lain yang mungkin terjadi adalah suatu kalimat yang telah memiliki perangkai pada subjeknya. Ayah dan ibu pergi ke Solo. Kalimat tersebut harus dipisah pada perangkainya untuk dijadikan proposisi, tetapi tetap memiliki arti yang sama. Untuk itu, kalimat tersebut harus diubah seperti berikut: Ayah pergi ke Solo dan Ibu pergi ke Solo. Kalimat tersebut menjadi dua proposisi yang dirangkai dengan perangkai dan, walaupun dapat saja ditafsirkan ayah dan ibu pergi ke Solo tidak dilakukan secara bersama-sama. 2. Argumen-argumen Argumen adalah kumpulan pernyataan yang disebut premis-premis diikuti oleh kesimpulan yang selaras dengan premis-premisnya. Ada suatu argumen yang dikatakan secara logis kuat, tapi ada juga yang secara logis tidak kuat. Contoh argumen yang secara logis kuat: a. Jika anda belajar rajin, maka anda lulus ujian. b. Jika anda lulus ujian, maka anda senang. c. Dengan demikian, jika anda belajar rajin, maka anda senang. Pernyataan (a) dan (b) merupakan premis dari argument, sedangkan pernyataan (c) merupakan kesimpulan yang mengikuti / berasal dari premis premisnya. Jika premis bernilai benar, maka kesimpulan juga harus bernilai benar sehingga argument tersebut disebut argumen yang logis kuat. Untuk memanipulasi logika, Aristoteles telah mengembangkan suatu pola untuk argumen yang bernilai benar atau salah. Setiap huruf akan menggantikan satu proposisi, termasuk semua premis dan kesimpulan, baik berbentuk majemuk ataupun tunggal. Contoh penggantian proposisi dengan huruf:

3 A = Anda belajar rajin. B = Anda lulus ujian. C = Anda senang. Selanjutnya, bentuk argumen tersebut menjadi: 1) Jika A, maka B 2) Jika B, maka C 3) Jika A, maka C 3. Proposisi-proposisi Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi. Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya. Contoh : a. Yogyakarta adalah kota pelajar b = 4 c. 13 adalah bilangan ganjil d. Soekarno adalah alumnus UGM. e = 2 f. 8 akar kuadrat dari g. Ada monyet di bulan h. Hari ini adalah hari Rabu i. Untuk sembarang bilangan bulat n 0, maka 2n adalah bilangan genap j. x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil Tidak semua kalimat berupa proposisi Contoh :

4 a. Dimanakah letak pulau bali? b. Pandaikah dia? c. Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir? d. Isilah gelas tersebut dengan air! e. x + y = 8 f. x > 3 Kalimat a, b dan c jelas bukan proposisi karena merupakan kalimat tanya sehingga tidak dapat ditentukan kebenarannya. Kalimat d jelas bukan proposisi karena merupakan kalimat perintah. Kalimat e dan f juga bukan proposisi karena nilai kebenaran kalimat tergantung dari harga x dan y. Penalaran Deduktif Penalaran yang didasarkan premis-premis yang diandaikan benar untuk menarik kesimpulan. contoh: a. Semua mahasiswa baru mengikuti ospek. b. Wulandari adalah mahasiswa baru. c. Dengan demikian, Wulandari mengikut ospek. Penalaran Induktif Penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang bersifat faktual untuk menarik kesimpulan yang bersifat umum. contoh: premis 1 : ayam 1 berkembang biak dengan telur premis 2 : ayam 2 berkembang biak dengan telur premis 3 : ayam 3 berkembang biak dengan telur premis 50 : ayam 50 berkembang biak dengan telur Dengan demikian, semua ayam berkembang biak dengan telur

5 Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (salah/benar) Pernyataan yang tidak mengandung kata hubung kalimat, disebut pernyataan primer/tunggal/atom. Sedangkan pernyataan yang mengandung satu atau lebih kata hubung kalimat, disebut pernyataan majemuk. Preposisi Kalimat yang benar atau salah, tetapi tidak keduanya Preposisi atau kalimat dalam logika, preposisi bisa berupa o atom / kalimat sederhana o kalimat kompleks, komposisi kalimat menggunakan operator logika. Kalimat sederhana bisa berupa o simbol konstanta : true dan false o simbol variabel proposisi dengan huruf kecil : p, q, r, s, p 1, q 1, Literial adalah atom atau negasinya. Contoh: p : 13 adalah bilangan ganjil q : Soekarno adalah alumni UGM r : Ayam adalah binatang unggas s : 2+2=4 Latihan soal: 1. Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan proposisi, dan tentukan nilai kebenarannya T atau F? a. Semarang adalah ibukota Propinsi Jawa Tengah. b. Bandung adalah ibukota Propinsi Jawa Timur. c = 5 d = 10 e. x + 5 = 11 f. Jawablah pertanyaan ini! g. x + y = y + x untuk semua pasangan bilangan real dari x dan y h. Jam berapakah ini? i. x + 1 = 5 jika x = 2

6 j. x + y = y + z jika x = z 2. Apa bentuk kebalikan (negasi) dari proposisi berikut? a. Hari ini adalah hari Minggu b. Tidak ada musim hujan di Indonesia c = 5 d. Musim kemarau di Indonesia adalah panas dan kering e. Tidak ada Candi Borobudur di Daerah Istimewa Yogyakarta 3. Manakah dari pernyataan berikut yang berupa proposisi atomik dan yang berupa proposisi majemuk? a. Setiap orang Indonesia kaya raya b. Bowo kaya raya, demikian juga Dewi c. Bowo dan Dewi sama-sama kaya raya d. Badu kaya raya dan memiliki banyak harta e. Dino kaya raya atau banyak hartanya