PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU. 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 S T A T I S T I K A. Oleh: Drs. Marsudi Raharjo, M. Sc., Ed

Transkripsi

1 PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU 8 JULI s.d. 0 AGUSTUS 00 S T A T I S T I K A Oleh: Drs. Marsudi Raharjo, M. Sc., Ed DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN GURU (PPPG) MATEMATIKA YOGYAKARTA 00

2 S T A T I S T I K A A. PENGERTIAN Statistika ialah ilmu tentang pengolahan dan analisis suatu data hingga penarikan kesimpulan dari data itu. Sedangkan statistik adalah hasil pengolahan dan analisis dari data itu. Pengertian (batasan) lainnya dalam ilmu statistika antara lain adalah sebagai berikut.. Data dan Datum. Data ialah sekumpulan inormasi yang diperoleh dari suatu pengamatan. Inormasi yang diperoleh dari pengamatan itu dapat berupa angka-angka (seperti misalnya, nilai siswa, tinggi badan, berat badan, volume perdagangan dan lainlain) maupun bukan angka (seperti misal data proesi: dokter, insinyur, pengacara, guru, petani, pedagang, pelaut, ABRI, dan lain-lain). Datum ialah elemen-elemen dalam data. Misal inormasi yang diperoleh tentang tinggi badan 5 orang siswa dalam cm terdekat ialah 70, 6, 66, 75, dan 6. Maka 70, 6, 66, 75, 6 datum datum datum datum datum data. Populasi dan Sampel. Dalam penelitian, keseluruhan obyek yang akan diteliti disebut populasi, sedangkan bila tidak seluruh obyek diteliti melainkan hanya sebagian dari yang seharusnya diteliti, sebagian obyek penelitian itu disebut sampel. Namun pemilihan sampel tersebut harus representati yaitu inormasi yang diperoleh dari sampel harus mencerminkan populasi secara keseluruhan. Sampel macam ini biasanya diambil secara acak dari populasi. Contoh : Misalkan seorang peneliti pendidikan akan maneliti prestasi akademis sisw di suatu kelas yang terdiri dari 0 orang siswa. Peneliti akan mengambil 0 siswa sebagai sampel. Untuk maksud tersebut agar diperoleh sampel yang representati pemilihan harus dilakukan secara acak (random). Cara memperoleh sampel : a. Tanpa tabel bilangan random. Bila pengambilan sampel tanpa menggunakan tabel bilangan random, setelah kempat puluh orang siswa kita beri nama kode dengan angka sampai dengan 0, kita buat lintingan kertas bernomor 0 s.d. 0. Lintingan kertas model arisan tersebut kemudian kita kocok (diacak) untuk dikeluarkan setiap kali satu demi satu (juga secara acak) hingga 0 lintingan. Misalkan setelah lintingan-lintingan itu dibuka yang muncul adalah nomor-nomor 9,, 0, 05, 08, 8, 9, 5, 6, 0. Maka para siswa dengan kode-kode tersebut yang dipilih sebagai sampel. MARSUDI 0

3 b. Dengan bilangan random. Misalkan kita mempunyai tabel bilangan random sebagai berikut dst. Kita boleh memilih mulainya dari baris mana saja. Kita mulai misal dari baris kedua. Penelusuran dilakukan dua angka-dua angka mulai dari kiri ke kanan. Bila kita jumpai bilangan yang kurang dari 0, maka siswa dengan nomor itu kita jadikan sampel. Bila kita jumpai bilangan yang lebih dari 0 atau bilangan yang tadinya sudah terpilih, maka bilangan-bilangan itu kita hindari dan penelusuran diteruskan sampai diperoleh sampel berukuran 0 dengan bilangan-bilangan terbesar adalah 0 dan terkecil 0. Mari kita lihat baris kedua x x x x x x x x x x x x Hingga bilangan terakhir inilah penelusuran dihentikan sex x bab sudah diperoleh 0 obyek. Ke 0 obyek tersebut adalah para siswa yang berkode: 05, 0, 5, 08, 8, 7,,,, 6, dan 0. Bila nomor kode tersebut kita urutkan, akan diperoleh 0, 05, 08, 0,,, 6, 8,, dan 7. Para siswa dengan nomor-nomor kode inilah yang kita pilih sebagai sampel dan secara ilmiah sudah dapat diterima sebagai sampel yang representati. B. PENGUMPULAN, PEMBULATAN, DAN PEMERIKSAAN DATA Misalkan kita akan mengadakan penelitian tentang prestasi akademis siswa atas pelajaran matematika. Seperti pada contoh sebelumnya, misalkan 0 orang siswa kita ambil secara acak sebagai sampel dari populasi berupa siswa di suatu kelas yang berjumlah 0 siswa. Sampel yang kita dapatkan adalah para siswa bernomor 0,05,08,0,,,6,8,, dan 7. Dari hasil pengujian, misal nilai-nilai yang mereka peroleh masing-masing adalah 6,5 5,9 8,6,7 7,0 5, 7,8 6,7,8 7,5. Bila peneliti membulatkannya ke bilangan bulat terdekat, data nilai yang diperolehnya adalah 7, 6, 9,, 7, 5, 8, 7, 5, 8 Selanjutnya daru data terakhir itu akan dicari rata-ratanya (rataan data), median, modus, kuartil bawah dan kuartil atas.. Rataan (rata-rata). Rataan suatu data ialah jumlah seluruh data dibagi dengan banyaknya data. Dengan demikian rataan dari ke-0 datum di atas adalah X , 6 0 Jadi rata-ratanya adalah 6,6. Secara umum rumus yang dideinisikan adalah MARSUDI 0

4 X X N dengan : X N rataan (rata - rata) X jumlah keseluruhan data banyaknya data. Median dan Modus. Median dari suatu data ialah nilai tengah, yaitu nilai yang membagi data terurut menjadi bagian yang sama. Dengan demikian untuk menentukan median suatu data, data itu harus diurutkan terlebih dahulu. Data semula : 7, 6, 9,, 7, 5, 8, 7, 5, 8 (sebelum diurutkan) Data terurut :, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9 (setelah diurutkan) Me Jadi untuk data berukuran 0, mediannya adalah pertengahan antara data ke-5 dan data ke-6. Dalam hal ini Me 7 Modus dari suatu data ialah datum yang paling sering muncul. Untuk data :, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9 yang paling sering muncul ialah 7. Jadi modusnya adalah Mo 7. Secara umum untuk data tunggal (data yang tak dikelompokkan) seperti contoh di atas, jika banyaknya kumpulan data N maka mediannya adalah sebagai berikut. Data tak terkelompok Banyaknya data N N genap Me (data ke- N ditambah data ke-( N + )) Me X N Ganjil Median X N + X ( N + ) N + Modus : Mo Data yang paling sering muncul. Jangkauan dan kuartil. MARSUDI 0

5 Pada kebanyakan data statistik, datum-datumnya beragam, hampir mustahil bila keseluruhan data memuat bilangan-bilangan yang semuanya sama. Untuk itu pada data kita kenal data terendah (X min ) dan data tertinggi (X maks ) Jangkauan : J X maks - X min Untuk data seperti :, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9. Jangkaunnya J X maks - X min 9 5 Untuk kuartil (dari istilah Quarter yang artinya perempatan), kuartil ialah nilainilai X yang membagi data menjadi (empat) bagian yang sama. N N X X maks X N min X N Q Q Me Q Q disebut kuartil bawah Q Me (median) Q disebut kuartil atas. Untuk data seperti contoh sebelumnya kuartil-kuartilnya ialah, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9 Q Q Q Tampak bahwa kuartil-kuartil itu membagii data atas kelompok data yang sama banyaknya (dalam hal ini masing-masing kelompok data berukuran dua). Perhatikan bahwa (i) Kuartil pertama Q atau kuartil bawah membagi data menjadi N data yang nilainya Q dan N data di sebelah kanannya yang nilainya Q. (ii) Kuartil kedua atau median Q membagi data menjadi bagian ( N (iii) bagian di bawah Q dan N bagian lainnya di atas Q ). Kuartil ke tiga Q atau kuartil atas membagi (memisahkan) data menjadi N bagian di bawah Q dan N bagian lainnya di sebelah kanan Q. Untuk selanjutnya dideinisikan bahwa jangkauan antar kuartil atau hamparan H dideinisikan sebagai H Q Q Untuk data di atas diperoleh nilai H Q Q 8 5. Jangkauan semi antar-kuartil Q d dideinisikan sebagai MARSUDI 0

6 Q d H (Q Q ) Untuk data di atas diperoleh Q d H () Langkah (L) dideinisikan sebagai H yaitu L H (Q Q) Pagar dalam (P d ) dan Pagar luar (P l ) dideinisikan sebagai P d Q L P l Q + L Umumnya nilai-nilai data terletak antara pagar dalam dan pagar luar. Jadi X i nilainya secara normal (umum) adalah P d X i P l Untuk nilai data yang berada di luar itu disebut data ekstrim atau data tak wajar atau pencilan. Dengan demikian X i dikatakan sebagai pencilan bila X i < Q L atau X i > Q + L.. Menggambar graik. Menggambar graik yang dimaksud dalam hal ini adalah menggambar histogram dan poligon rekuensi. Perhatikan bahwa dari data skor tes matematika tersebut nilai-nilai seperti, 5, 6 dan seterusnya sebenarnya adalah hasil-hasil pembulatan, yaitu : x, sebenarnya adalah, 5 x <, 5 x 5, sebenarnya adalah, 5 x < 5, 5 x 6, sebenarnya adalah 5, 5 x < 6, 5 titik Tepi Tepi tengah bawah (T b ) atas (T a ) Jadi x 6 sebenarnya adalah titik tengah x 5,5 disebut tepi bawah (T b ) untuk nilai x 6 x 6,5 disebut tepi atas (T a ) untuk nilai 6 Graik yang akan digambar dalam suatu salib sumbu adalah : sumbu mendatar untuk menunjukkan nilai-nilai datanya. Sumbu tegak untuk menunjukkan rekuensi data (berapa kali data itu muncul) Untuk itu dari data semula :, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9 MARSUDI 0 5

7 kita nyatakan (sajikan) dalam bentuk data distribusi (sebaran) rekuensi seperti berikut : Titik tengah Frekuensi (x) Histogram yang bersesuaian adalah x Dalam bentuk poligon rekuensi graiknya adalah sebagai berikut Poligon rekuensi X Jadi graik poligon rekuensi diperoleh dengan cara menghubungkan titik-titik puncak dari titik-titik tengah data dengan titik-titik tengah lainnya yang berdekatan. C. MENGELOMPOKKAN DATA DALAM INTERVAL-INTERVAL KELAS. Teknik Mengelompokkan Data. Apabila ukuran yang diamati sangat banyak, maka biasanya ukuranukuran itu dikelompokkan ke dalam interval-interval kelas. Contoh berikut menunjukkan datar ukuran diameter pipa-pipa yang dibuat oleh mesin, diukur teliti sampai milimeter terdekat Untuk menyatakan data tersebut dalam bentuk interval-interval kelas yang identiikasi adalah X min, X maks, dan N ( banyak data). Ketiganya untuk menentukan jangkauan, banyak kelas, dan panjang interval kelas. MARSUDI 0 6

8 X maks 80 X min 66 N 0 banyak kelas : k +, log n (rumusan Sturges) k +, log 0 +, (,600) + 5,8 6,8 dibulatkan ke k 6. Jadi banyak kelas 6 jangkauan Panjang interval kelas : i banyak kelas, 6 Agar titik-titik tengahnya menjadi bilangan-bilangan yang baik, biasanya dipilih bilangan ganjil. Untuk itu i, dibulatkan ke bilangan ganjil menjadi i. Karena X min 66, selanjutnya datum itu dapat disepakati sebagai titik tengah interval kelas yang pertama. Titik-titik tengah interval kelas berikutnya adalah 66 + i, 66 + i,, i. Selengkapnya adalah 66, 69, 7, 75, 78, dan 8. Dengan demikian tabel distribusi rekuensinya menjadi. 5 6 kelas Interval (i) jangkauannya: j Titik tengah x i Turus II IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII II Frekuensi () 5 x _ x 97 Rataan data : x 7, dibulatkan ke mm terdekat. Histogram dari distribusi rekuensi tersebut adalah 0 x MARSUDI 0 7 x

9 . Menentukan Median. Seperti telah dikemukakan sebelumnya bahwa median ialah nilai tengah x sedemikian sehingga nilai itu membagi data menjadi bagian di kiri dan kanannya dalam banyak rekuensi yang sama. Sedangkan rekuensi kumulati adalah jumlah rekuensi mulai dari interval kelas pertama hingga interval kelas terakhir N. Gambaran berikut kiranya dapat memperjelas di mana letak N dan dimana letak median (Me). N kumulati 00%N 7 75%N %N T P S Q R %N + + x x Q Q Gambar (b) Gambar (a) Me T b T a Me Keterangan : Gambar (a) adalah gambar histogram suatu distribusi rekuensi yang terdiri dari 7 kelas interval. Gambar (b) adalah graik rekuensi kumulati mulai dari, hingga 7. Median Me adalah nilai x yang bersesuaian dengan rekuensi kumulati 50%N atau N. Dari gambar tersebut : T a Tepi atas kelas median T b Tepi bawah kelas median rekuensi kelas median x Jarak T b ke Me (median) i panjang kelas T a - T b Perhatikan bahwa : MARSUDI 0 8 x

10 TPQ ~ TSR, sehingga diperoleh PQ SR TQ TQ atau TR TR x i PQ SR 50%N ( + MARSUDI (50%N ( + + )) x.i ( N k ) atau x. i Me Karena mediannya : Me T b + x maka Me T b + ( N Me k Keterangan : T b tepi bawah kelas median N jumlah seluruh data k rekuensi kumulati sebelum kelas median Me rekuensi kelas median i panjang interval kelas. Perhatikan median untuk distribusi (sebaran) rekuensi seperti data pada ) ). i contoh sebelumnya adalah sebagai berikut. Karena N 0 maka 50% dari N adalah 0. Jadi median berada di wilayah kelas dengan rekuensi kumulati yang memuat bilangan 0. kelas saja k (belum memuat bilangan 0) hingga kelas k (belum memuat bilangan 0) hingga kelas k (sudah memuat bilanga 0) Dengan demikian mediannya berada di kelas yang ketiga, yaitu Me. Sedang rekuensi kumulatinya (sebelum kelas median) ialah k Karena prakiraan mediannya di kelas, maka tepi bawahnya T b terletak ditengah-tengah batas atas kelas dan batas bawah kelas, yaitu T b 70, 5. Lebih jelasnya lihat data.

11 Frekuensi Frekuensi Kelas Interval Titik tengah Kumulati k i Sehingga perhitungan median yang dimaksud adalah ( N k ) Me T b +. i Me (0 7) 70, ,5 + 7,5. Menentukan Modus. Modus ialah data yang paling sering muncul. Karena data mana yang paling sering muncul akan mudah sekali dilihat berdasarkan histogramnya, untuk selanjutnya dalam menganalisis letak modus kita cukup memperhatikan detail dari kelas modus dengan kelas-kelas di sebelahnya. Yaitu sebagai berikut : PQR ~ PTS. P K Dari kesebangunan itu diperoleh R S L hubungan perbandingan garis T tingginya akan sama dengan Q perbandingan alasnya, atau : x i T b M o T a MARSUDI 0 0

12 Tampak bahwa modusnya M o T b + x atau M o T b + ( ) I + Keterangan : M o modus T b tepi bawah kelas modus selisih rekuensi kelas modus selisih dengan rekuensi kelas sebelumnya kelas modus dengan kelas sesudahnya KP RQ PL ST x i x x (i x) i x x + x i ( + ) x i + ( ) x i x. i.( ) + x ( ) i + Perhitungan modus untuk data distribusi rekuensi seperti yang dicontohkan adalah sebagai berikut. Karena modus adalah data yang paling sering muncul ( tertinggi ) maka kelas modus berada di kelas. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat ulang detailnya distribusi rekuensi yang dimaksud. Kelas Interval (i) Titik tengah (x) Frekuensi () i dst. Maka tepi bawah untuk kelas modus tersebut adalah batas antara kelas dan kelas yaitu T b 7, 5 Dengan demikian modus yang dimaksud adalah : Mo T b + ( ) i + 7,5 + ( ) ,5 + 0,7 7,77. Menentukan Q dan Q. MARSUDI 0

13 Sejalan dengan analisis menentukan median, rumus menentukan kuartil setipe dengan rumus untuk median sebab median juga kuartil, yaitu kuartil kedua. Bila ( N ( k )) Q T b +. i M e T b + N ( M e k ). i maka Q T b + Q ( N ( k )). i Q Untuk lebih memahaminya, marilah kita tinjau detail pada contoh tabel distribusi rekuensi sebelumnya. Untuk perhitungan Q dan Q Karena N (0) 0. Maka Q terletak pada kelas yang memuat rekuensi kumulati k 0, yaitu kelas ke-. Karena N (0) 0. Maka Q terletak pada kelas yang memuat rekuensi kumulati k 0, yaitu kelas ke-. Sehingga Kelas Interval (i) Titik tengah (x) Frekuensi () Frekuensi kumulati ( k ) I II Kelas Q III Kelas Q IV V VI Tepi bawah kelas Q 70, 5 sedang Q 7, 5 Frekuensi kelas Q, sedangkan untuk Q Frekuensi kumulati sebelum kelas Q + 5 7, sedangkan rekuensi kumulati sebelum kelas Q Panjang interval Selisih dua titik tengah dst. Untuk selanjutnya k MARSUDI 0 ( N ) Q T b +. i Q ( 0 0) 7,5 +.

14 Q T b + ( N Q k ). i ( 0 7) 70, ,5 + 70,5 + 0,69 7,9 LATIHAN. Tentukan rata-rata, median, dan modus, kuartil bawah, dan kuartil atas untuk data (a), 5,, 6, 5, 9, 5,, 8, 6 (b) 7, 5, 8, 7, 6, 8,, 57,, (c) 5,6 ; 8,7 ; 50, ; 9,5 ; 8,9 Kunci: (a) x 5,, Me 5, Mo 5 Q Q 6 (b) x 0,5, Me 0,5, Mo Q 7 Q 5 Modus tak ada (c) x 9,8, Me 9,5 Mo Q 8,8 Q 50,95 Modus tak ada. Misalkan tabel disebelah kanan ini adalah datar gaji mingguan dari tingkatantingkatan buruh suatu jasa kontruksi (dalam ribuan rupiah) (a) gaji rata-rata (b) median (c) modus (d) kuartil bawah (e) kuartil atas Kunci: (a) Rp 8.500,00 (b) Rp ,00 (c) Rp ,00 (d) Rp ,00 (e) Rp ,00 Jenis Pekerjaan A B C D E F G Gaji Mingguan (dalam ribuan rupiah) Banyaknya Buruh MARSUDI N 70. Pertanyaan yang sama untuk perusahaan yang lain dengan pekerjaan sejenis.

15 Jenis Pekerjaan Gaji perminggu (dalam ribuan rupiah) Banyaknya Buruh A B C D E F G N 65. Dalam satu kotak kecil berisi penjepit kertas (klips) biasanya isi standarnya 00 keping. Suatu sampel berukuran 50 kotak diambil secara acak dari kardus besar yang berisi kotak-kotak penjepit kertas tersebut. Hasilnya seperti ditunjukkan pada tabel berikut: Banyaknya penjepit dalam sebuah kotak standart siap jual Banyaknya kotak N 50 Tentukan: (a) rata-rata (jawab: 99,67) (b) median (jawab: 99) (c) modus (jawab: 99) (d) kuartil bawah (jawab: 98) (e) kuartil atas (jawab: 0) 5. Dari data panjang 0 helai daun laurel yang dicatat dalam satuan mm terdekat berikut: Nyatakan data itu ke dalam distribusi rekuensi berikut. Isi secara lengkap. MARSUDI 0

16 Panjang (mm) Tally Frekuensi () Titik tengah (x) x Tentukan: (a) Rata-rata, median, modus, kuartil bawah dan kuartil atasnya (b) Gambarkan histogram dan poligon rekuensinya. Kunci: (a) x 6,98 Me 6,75 Mo 7, Q 7,5 Q 55, 6. Lakukan hal yang sama untuk data 80 siswa yang mengikuti tes standar matematika di suatu sekolah ke dalam interval-interval kelas sebagai berikut: (a) Kunci: (b) Interval Frekuensi Interval Frekuensi MARSUDI 0 5

17 (a) (b) Interval Frekuensi Interval Frekuensi Kunci (a) Rata-rata 75,8 Q 67,5 (b) Rata-rata 75,0 Q 67,7 Median 75,5 Q 8,0 Median 7,98 Q 78,0 Modus 76,8 Modus 7,5 7. Tabel di sebelah kanan ini adalah tabel distribusi rekuensi masa pakai suatu komponen mesin sejenis yang diuji oleh perusahaan pembuat. Masa pakai dinyatakan dalam jam terdekat. Mengacu pada tabel tersebut tentukan: (a) batas atas kelas ke-5 (b) batas bawah kelas ke-8 (c) titik tengah kelas ke-7 (d) batas atas untuk kelas yang terakhir. (e) panjang interval kelas () rekuensi kelas yang ke- (g) rekuensi komulati hingga kelas yang ke-6 (h) persentase komponen-komponen mesin sejenis yang masa pakainya 600 jam (i) rata-rata (j) median (k) modus (l) bawah (m) kuartil atas Masa pakai (dalam jam) Banyaknya komponen alat Kunci: (a) 799 (b) 000 (c) 99,5 (d) 099,5 (e) 00 jam (g) 0, (h) 9,5% (i) 75,5 (j) 708, (k) 668,7 (l) 568,7 (m) 860,79 MARSUDI 0 6

18 DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard kolman, Bernard. (98) Applied Finite Mathematics. (Third Edition). New York: Anton Textbooks, Inc Depdikbud. (99). Garis-garis Besar Program Pengajaran (GBPP) Matematika SLTP Kurikulum Pendidikan Dasar 99. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. (Ibid). (99). Garis-garis Besar Program Pengajaran (GBPP) Matematika SMU Kurikulum 99. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. Harmed, Donald L. (98). Statistical Methods (Third Edition). Philippines. Addison Wesley Publishing Company. Spiegel, murray R. (98). Statistics (Theory and Problems). Schaum,s Outline Series. New delhi: Mc Graw-Hill International Book Company. (Ibid) (98). Probability and Statistics (Theory and Problems). Schaum s Outline Series. Singapore: Mc Grow-Hill International Book Company. MARSUDI 0 7