p =...(2-4) Distribusi Probabilitas Empiris

Transkripsi

1 Ditribui Probabilita Empiri Seperti telah diketahui, bahwa ecara gari bear fugi ditribui terbagi mejadi dua jei, yaitu fugi ditribui dikrit da fugi ditribui kotiyu. Sedagka cara peghituga peluag etiap ditribui tergatug pada fugi padat peluag ( probability deity fuctio) maig-maig ditribui. Sehigga dapat diebutka bahwa fugi padat peluag utuk kau dikrit da fugi padat peluag utuk kau kotiyu merupaka cara utuk mejelaka ditribui probabilita uatu populai atau item. Pegguaka metode tatitik ( fugi ditribui teoriti), tetuya tidak mugki mecukupi utuk mecirika probabilita tertetu dari uatu item atau populai pada proe pegamata da peelitia. Oleh kareya himpua data yag diperoleh dari pegamata lebih baik dipakai utuk mecirika atau merigka berbagai karakteritik probabilita yag dimiliki oleh item yag beragkuta. Ditribui probabilita yag terbetuk dari himpua data pegamata yag mecirika karakteritik item ii dikeal dega ebagai ditribui probabilita empiri (pegamata). Serig dijumpai, dalam uatu peelitia yag meyagkut variabel radom/acak, fugi padat peluag ditribui tertetu f(x) tidak diketahui ecara pati, oleh kareaya betuk uatu fugi ditribui terebut haru dimialka da diduga. Agar pemiliha f(x) tidak terlalu meyimpag, maka peetua uatu fugi ditribui tertetu haru didaarka pada pertimbaga yag meyeluruh aka uatu himpua data pegamata dega pedekata tatitik yag bear. Utuk dapat membuat uatu ditribui probabilita dari uatu himpua data pegama diperluka beberapa lagkah : 1. Pegumpula Data Lagkah pertama adalah pegumpula data pegamata yag kemudia diyataka ebagai himpua data pegamata yag aka diduga fugi ditribuiya. Data pegamata haru diambil dega cara yag bear da memiliki jumlah kuatitatif yag cukup repeetatif. Bayakya data pegamata yag diperluka diyataka dalam peramaaa berikut : ( X i ) k N X N 1 = i, N > N 1...(-1) X i Dimaa : N 1 = Jumlah pegamata yag eharuya dilakuka. K = Tigkat kepercayaa dalam pegamata.(k =, 1-α=95%) S = Derajat ketelitia dalam pegamata (5%) N = Jumlah pegamata yag udah dilakuka. X i = Data pegamata. Data pegamata dikataka cukup apabila N > N 1.. Peetua Rage/retag, didefiiika ebagai data yag memiliki ilai terbear dikuragi data yag memiliki ilai terkecil : Rage = X max X mi...(-) 3. Peetua bayakya kela iterval. Meurut Prof.Dr. Sudjaa [9] jumlah kela yag palig erig diguaka adalah 5 ampai dega 15 kela iterval, da dipilih berdaarka keperlua. Utuk meetuka jumlah kela iterval bagi himpua data dega berukura bear dapat megguaka atura turge, yaitu : Jumlah _ kela _ it erval = 1+ (3,3) log'...(-3) 4. Peetua pajag kela iterval p, ditetuka dega atura : re ta g / rage p =...(-4) bayakya _ kela Harga p diambil euai dega ketelitia atua data yag diguaka. Jika data berbetuk atua, diambil harga p yag teliti ampai tigkat atua. Utuk data higga atu deimal, p diambil higga atu deimal, begitu eteruya. 1

2 5. Sebelum daftar ebearya ditulika, ada baikya membuat kolom tabulai utuk meetuka jumlah frekuei maig-maig kela iterval, lalu dibuatlah daftar yag bear. 6. Lagkah terakhir adalah meerjemahka tabel yag telah dibuat dalam betuk hitogram frekuei atau probabilita dari data yag ada. 7. Utuk keperlua tertetu dapat juga diguaka tabulai frekuei atau ditribui kumulatif utuk meetuka daftar kumulatif kurag dari atau daftar kumulatif lebih dari. Uji Statitik Uji tatitik atau yag biaa diebut dega uji hipotei adalah ebuah proe utuk pegambila keimpula tetag bagaimaa harga parameter uatu populai. Hipotei adalah aumi atau dugaa megeai euatu hal yag dibuat utuk mejelaka hal itu erig ditutut utuk melakuka pegeceka. Goode of Fit (Chi-quare Tet) Tet Goode of Fit pada priipya megguaka uji Chi-kuadrat utuk meguji apakah uatu ditribui data hail obervai memiliki kecocoka dega uatu ditribui teoriti, eperti ditribui ormal, poio, ekpoeial, da ebagaiya. Jadi, mialya ada ebuah ampel yag terdiri dari kumpula data, aka diuji apakah ditribui data terebut euai dega alah atu ditribui frekuei yag ditetuka. Utuk megguaka metode uji terebut terlebih dahulu kita tetuka : 1. F x(0): Merupaka probabilita kumulatif dari ditribui teoriti. F x(n): Merupaka probabilita kumulatif dari ditribui frekuei pegamata. Selajutya utuk memudahka peghituga dalam uji kecocoka dega metode Chi-quare maka F x(0) diaggap ebagai probabilita teoriti yag dilambagka dega E 1 da F x(n) diaggap ebagai probabilita obervai yag dilambagka dega O i. Sehigga mialya diketahui ebara variabel radom X 1, X, X 3,,X yag ormal mempuyai rata-rata (x)=e(x)=µ da keeragama atau variai (x) = σ. Variabel radom ormal demikia dapat diubah ke dalam betuk tadar dega rumu: χ µ z =...(3-1) σ dega rata-rata E(x)=0 da keeragama (x)=σ =1 mialya terdapat tatitik χ = χ1 + χ χ, maka tatitik ii mempuyai ebara Chi-quare (X ) dega fugi kepadata: 1 1 / ( / ) 1/ F(x) = x e ; x > 0 / r...(3-) 0 ; x laiya Dega jumlah variabel radom idepede yag dijumlahka da mempuyai derajat beba ebear -1. Sebagaimaa telah dikemukaka diata, bahwa uji kecocoka atau diebut uji kompatibilita, memiliki tujua adalah meguji apakah frekuei yag diobervaika (dihailka) memag koite dega frekuei teoritiya (perecaaaya)? Apabila koite, maka tidak terdapat perbedaa yata, dega kata lai hipotiiya dapat diterima. Sebalikya apabila tidak ada koitei, maka hipoteiya ditolak. Artiya hipotei teoritiya tidak didukug oleh hail obervaiya. Rumu yag diguaka adalah: ( οi Εi ) χ =...(3-3) E i 0 I = frekuei obervai (hail produki) da E I = frekuei teoriti atau perecaaa produki dega derajat beba = k-1 χ meruapaka ukura perbedaa atara frekueai obervai dega frekuei teoriti. Apabila tidak ada perbedaa atar frekuei obervai dega frekuei teoriti, maka χ aka emaki bear pula. Nilai χ aka dievaluai dega ebara Chi-quare.berikut adalah lagkah-lagkah yag haru dilakuka: 1. Meyatka H 0 da hipotei alteratifya,. Tetuka taraf yata (tigkat igifikai), 3. Tetuka tatitik uji χ da derajat bebaya, 4. Tetuka daerah peolakaya, 5. Hitug χ da tetuka ditolak atau diterima H 0-ya 6. Buatlah keimpula

3 Uji Chi-Square di uu dega daar utuk megecek kecocoka yag ada pada ditribui probabilita dikrit, amu dega edikit modifikai uji ii dapat diguaka pada ditribui probabilita kotiyu Uji Kolomogorov-Smirov Telah dijelaka bahwa jika uatu fugi ditribui populai tidak diketahui, maka haru ditakir. Fugi ditribui empiri meakir fugi eugguhya dari ditribui yag medaariya. Adalah Kolmogorov da Smirov yag mulai megembagka proedur tatitik ii dega megguaka jarak tegak makimum atar kedua fugi ditribui (alah aatuya empiri, laiya teoriti, atau kedua-duaya empiri) ebagai ukura jarak atar kedua fugi ditribui terebut. a. Uji Kolomogorov-Smirov atu ampel. Adaika X 1, X,,X merupka ampel acak berukura dari uatu populai dega ditribui F(x) yag tidak diketahui (diaumika kotiyu). Da mialka F 0(x) meruapak uatu fugi ditribui yag epeuhyatertetu (teoriti). Tujua kita adalah meguji H 0:F(X)=F 0(X) utuk emua X I lawa H I:F(X) F 0(X). Kolomogorov-Smirov meyaraka agar dihitug terlebih dahulu meghitug ditribui empiri F (X) utuk etiap ilai X 1, X,,X daa kemudia memadag tatitik D = Supreme F ( x ) F 0( x ) ebagai ukura keeuaia atar ditribui empiri teoriti. D merupaka jarak tegak makimum atara fugi empiri F (X) da ditribui teoriti F 0(X) yag dihipoteia, d karea ilaiya, terdapat pada uatu tempat yag tepat ebelum titik locat F (X). Berdaarka uji Kolomogorov-Smirov maka H 0 aka ditolah pada taraf α bila D >d, α yag memeuhi P H0 (D >d, α )= α Titik kritik aimot Tabel 3.1. Tabel Daerah Kriti utuk Uji Kolmogorov-Smirov atu ii α d / 1.36 / 1. /,α Proedur ii dapat diguaka utuk meguji H 0: (x) adalah N( µ, α ) utuk µ da σ diketahui. Dalam praktek yag biaya µ da σ tidak diketahui maka proedur Kolomogorov-Smirov telah dieuaika oleh Liliefor b. Uji Kolomogorov-Smirov dua ampel. Adaika X 1,X,.,X merupaka ampel acak berukura m dari uatu populai dega ditribui F(x) yag tidak diketahui (diaumika kotiyu). Da adaika juga Y 1, Y,,Y ampel acak berukura dari uatu populai dega ditribui D(x) yag tidak diketahui. Tujua kita adalah meguji apakah kedua populai terebut memiliki ditribui yag ama H 0 : F(x) = G(x) utuk emua x 1 lawa H 1 : F(x) G(x) Kolomogorov da Smirov meyaraka agar meghitug fugi ditribui empiri F m(x) da G (x) meghitug D m, = Supreme Fm (x) G (x).h 0 aka ditolak pada taraf D m, d m,, β yag memeuhi titik kriti aimtot: Tabel 3.. Nilai Daerah Kriti Uji Kolmogorov-Smirov dua ii α D m,,α m +, m m +, m 1. m +,m Uji Hipotei Parameter Ditribui Apabila dega mempertimbagka bahwa ebuah hipotei tertetu adalah bear da teryata kita peroleh bahwa hail-hail yag diamati dalam ebuah ampel radom berbeda ecara yata dari hail-hail yag diharapka dega hipoteiya ata daar memakai teori amplig, maka kita aka meyataka bahwa perbedaa yag diamati adalah perbedaa yata da kita cederug meolak hipotei itu. Walpole da Myer [3] dalam bukuya megataka bahwa pada daarya uji hipotei adalah proedur-proedur yag 3

4 memugkika kita utuk meetuka apakah meerima atau meolak hipotei da dapat juga utuk meetuka apakah ampel-ampel yag diamati berbeda ecara yata dari hail-hail yag diharapka. Ata daar ilai ttatitik ampel, keput yag diambil gua meetuka apakah H 0 diterima atau ditolak. Apabila H 0 diterima, maka ama artiya dega H 1 ditolak. Begitu juga ebalikya. Dalam uji hipotei dikeal dega apa yag diamaka tigkat/jei kealaha, Yaitu kealaha tipe I (α) da kealaha tipe II (β). α terjadi apabila kita meolak ebuah hipotei, padahal eharuya kita meerima hipotei terebut. β terjadi apabila kita meerima ebuah hipotei, padahal eharuya kita meolak hipotei terebut. Tigkat keyakia (level of igificace) didefiiika ebagai peluag makimum dimaa kita beredia meaggug kealaha tipe I. Tigkat kepercayaa (level of cofidece) didefiiika ebagai peluag meerima H 0 yag memag H 0 bear. Utuk mejelaka, dapat diguaka model diagram deita kemugkia dari ditribui ormal : Daerah Peolaka 1 - α Daerah Peerimaa Gambar 3.1. Diagram Peerimaa Uji Hipotei dalam fugi Proedur daar pegujia hipotei Proedur daar pegujia hipotei diyataka dalam beberapa lagkah, : 1. Pegambila keputua dalam proedur pegujia hipotei yag megguaka jumlah ampel bear dega megguaka tatitik uji Z (diambil dari ormal tadar). tatitik _ ampel parameter _ hipotei Z =...(3-4) deviai ta darampel. Apabila ampel yag diperguaka kecil (biaaya kurag dari 30), maka daar keputua dalam proedur pegujia hipotei aka dilakuka dega tatitik uji t (Ditribui t). tatitik _ ampel parameter _ hipotei t =...(3-5) deviai ta darampel 3. Pada etiap pegujia hipotei tatitik, proedur yag haru diikuti tergatug pada hipoteiya ediri da ditribui populaiya. Adapu uruta cara utuk melakuka uji hipotei dapat dibagi dalam beberapa lagkah, atara lai: 1) Meyataka hipotei ol erta hipotei alteratifya. ) Pilih tigkat keyakia tertetu da tetuka bearya ampel. 3) Pilih tatitik uji yag euai ebagai daar bagi proedur pegujia da hal ii bergatug pada aumi tetag betuk ditribui da hipoteiya. 4) Tetuka daerah kritiya. 5) Kumpulka data ampel da hitug tatitik ampelya yag kemudia diubah ke dalam variabel ormal tadar Z. Meguji Rata-rata µ Mialya kita mempuyai ebuah populai berditribui ormal dega rata-rata µ da impaga baku σ. Aka diuji megeai parameter rata-rata µ. Utuk meguji rata-rata aka diguaka proedur Z tet da t Tet. 1. Uji ii a. σ diketahui utuk paaga hipotei H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0, 4

5 Dega µ 0 merupaka harga yag diketahui, maka diguaka tatitik uji : x µ Z = 0...(3-6) σ b. σ tidak diketahui Jika impaga baku σ tidak diketahui, maka diambil takiraya, ialah impaga baku yag dihitug dari ampel. Utuk paaga hipotei yag ama dega diata, maka tatitik uji yag diguaka adalah : x µ t = 0...(3-7) Utuk populai yag σ ya tidak diketahui, maka diguaka Statitik uji dega pedekata ditribui t. Daerah Peerimaa H 0 Gambar 3.. Daerah Peerimaa Uji dua Sii. Uji 1 ii a. σ diketahui Paaga Hipoteiya : H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0, (uji kaa) atau H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 (uji kiri) Maka diguaka tatitik ama dega uji ii. b. σ tidak diketahui Diguka ditribui t eperti pada uji dua ii. Daerah Peerimaa H 0 Gambar 3.3. Daerah Peerimaa Uji atu Daerah Peerimaa H 0 Gambar 3.4. Daerah Peerimaa Uji atu 5

6 Meguji Variai. σ Parameter berikutya yag aka diuji adalah variai uatu populai. Ketika meguji rata-rata µ utuk populai ormal, didapat hal dimaa impaga baku σ diketahui. Harga ii umumya didapat dari pegalama, da utuk meetuka bearya perlu diadaka pegujia. Utuk itu kita mialka populai berditribui ormal dega variai σ da dari itu dapat diambil ampel acak berukura. Utuk meguji variai, kita bedaka mejadi dua, yaitu : 1. Uji dua ii Utuk paaga hipotei H 0 : σ = σ 0 H 1 : σ σ 0 Utuk pegujia ii dipakai tatitik uji Chi Kuadrat : ( 1). X =...(3-8) σ 0. Uji atu ii Paaga hipoteiya H 0 : σ = σ 0 H 1 : σ > σ 0 (uji ii kaa), da H 0 : σ = σ 0 H 1 : σ < σ 0 (uji ii kiri). Statitik ujiya ama dega uji dua ii. Meguji keamaa dua rata-rata ; Uji dua ii Dalam hal ii kita aka membadigka dua populai yag idepede dega cara membadigka parameter-parameter dari populai terebut. Mialya kita memiliki dua populai ormal yag memiliki rata-rata µ 1 da µ edagka impaga bakuya σ 1 da σ. Secara idepede daripadaya diambil ampel berukura 1 da. Dari kedua ampel terebut, berturut-turut didapat x 1, 1 da x,. Aka diuji rata-rata µ 1 da µ. Maka paaga hipoteiya adalah : H 0 : µ 1 = µ H 1 : µ 1 µ Utuk σ 1 = σ = σ, da σ diketahui, maka tatitik ujiya adalah : x 1 x z =...(3-8) 1 1 σ + 1 H 0 aka diterima jika z 1/(1 - α) < z < z 1/(1 - α) dimaa z 1/(1 - α) didapat dari daftar ormal baku dega peluag ½(1 - α). Dalam hal laiya H 0 ditolak. Sedagka utuk populai dega σ 1 = σ = σ, dimaa σ ya tidak diketahui, aka megguaka tatitik Uji ebagai berikut ; x 1 x t =...(3-9) x 1 x Jika 1 ama dega maka t =...(3-10) dega : ( 1 1). 1 + ( 1). =...(3-11) 1 + Meurut teori ditribui amplig, maka tatitik t diata berditribui tudet dega derajat beba = ( 1 + ).. Kriteria pegujia adalah meerima H 0 jika t 1/(1 - α) < t < t 1/(1 - α) dimaa t 1/(1 - α) didapat dari daftar ditribui t dega derajat beba = ( 1 + ) da peluag ½(1 - α). Dalam hal laiya H 0 ditolak. 6

7 Jika ditemui kau σ 1 σ. Artiya jika kedua impaga baku keduaya tidak ama, aka tetapi kedua populai terebut berditribui ormal, maka pedekata tatitik yag memuaka adalah dega tatitik t ebagai berikut : ' t = x1 x...(3-1) kriteria pegujia adalah meerima H 0 jika : w1t1 + wt ' w1t1 + wt < t < w1 + w w1 + w...(3-13) dega : w 1 = 1 / 1 ; w = / t 1 = t (1 0.5 α ), ( 1 1) da t = t (1-0.5 α ), ( 1 ). t β,m didapat dari daftar ditribui tudet dega peluag β da derajat beba m. Utuk harga-harga t laiya, H 0 ditolak. Meguji Keamaa dua Rata-rata ; Uji atu ii Sebagaimaa uji dua ii, utuk uji atu iipu kedua populai dimialka berditribui ormal dega ratarata µ 1 da µ da impaga baku σ 1 da σ. Karea umumya bear σ 1 da σ tidak diketahui, maka diii aka ditijau hal-hal terebut utuk keadaa σ 1 = σ atau σ 1 σ. Pada uji atu ii ebagaima uji-uji atu ii laiya aka ditijau uji ii kaa da uji ii kiri. 1. Uji ii Kaa : Hipotei ujiya adalah : H 0 : µ 1 = µ H 1 : µ 1 > µ Kriteria pegujiaya jika σ 1 = σ adalah meerima H0 jika t < t 1 - α Peluag utuk megguaka daftar ditribui t ialah (1 - α) edagka derajat bebaya = ( 1 + ). ' w1t1 + wt Jika σ 1 σ, maka kriteria pegujiaya adalah meolak H 0 jika : t da meerima H 0 jika w1 + w terjadi ebalikya dega w 1 = 1 / 1 ; w = /, t 1 = t (1 0.5 α ), ( 1 1) da t = t (1-0.5 α ), ( 1 ).. Peluag utuk megguaka daftar ditribui t ialah (1 - α) edagka derajat bebaya maig-maig ( 1 1 ) da ( ).. Uji ii Kiri : Perumua hipotei utuk uji kiri yaitu : H 0 : µ 1 = µ H 1 : µ 1 < µ Jika α 1 = σ maka kriteria pegujiaya adalah meolak H 0 jika t - t 1 - α, dimaa t 1 - α didapat dari daftar ditribui t dega derajat beba = ( 1+ -) da peluag (1 - α). Jika σ 1 σ, maka kriteria pegujiaya adalah meolak H 0 jika : t w t w ' 1 1 da meerima H 0 jika terjadi ebalikya, dimaa w 1, w, t 1, da t emuaya eperti telah diuraika ebelumya. Jika didapati teryata t memiliki harga yag lebih bear dari harga terebut, maka H 0 diterima w t w Meguji Keamaa dua Variai Dalam meguji keamaa dua rata-rata ditekaka bahwa kedua populai diaumika memiliki variai yag ama agar kegiata meakir da meguji dapat berlagug. Utuk hal dimaa variai yag berlaia, maka diperluka beberapa pedekata, yaitu lagkah pegujia megeai keamaa dua variai atau kebih. Populai-populai yag memiliki variai yag ama diamaka populai dega variai homoge, da populai-populai yag memiliki variai yag berbeda diamaka populai dega variai heteroge. 7

8 Mialya kita mempuyai dua populai ormal dega variai σ 1 da σ. Aka diuji dua pihak dalam keamaaya, maka hipotei ujiya adalah : H 0 : σ 1 = σ H 1 : σ 1 σ Berdaarka ampel acak yag idepede maka diperoleh populai atu dega ukura 1 da variai 1 edagka populai dua dega ukura da variai, maka utuk meguji hipoteiya diguaka tatitik 1 uji : F =. Kriteria pegujia adalah meerima H 0 jika F α (1 1, - 1) < F < F 0,5 α (1 1, 1). Utuk taraf yata α, dimaa F β ( m, ) didapat dari daftar ditribui F dega peluag β, dega derajat beba pembilag = m da peyebut =. Utuk ilai laiya maka H 0 ditolak. Statitik uji yag lai yag diguaka utuk meguji hipotei diata juga adalah : VariaiTerbear F = da H 0 ditolak jika F F 0,5 α (v1, v). Dega F 0,5 α (v1, v) VariaiTerkecil didapat dari daftar ditribui F dega peluag 0,5 α, edagka derajat beba v 1 da v euai dega dega rumu ebelumya. Jika pegujia yag dihadapi merupaka uji atu ii, yaitu uji ii kaa, maka hipotei ujiya adalah : H 0 : σ 1 = σ da H 1 : σ 1 > σ, edagka utuk uji pihak kiri : H 0 : σ 1 = σ da H 1 : σ 1 < σ, Utuk uji ii kaa, kriteria pegujia adalah meolak H 0 jika F Fα ( 1 1, 1) edagka utuk uji ii kiri kriteria pegujiaya adalah meolak H 0 jik F F( 1 α )( 1 1, 1). Sedag utuk ilai-ilai elai itu maka H 0 diterima. Meetapka Ukura Kealaha Sebagaimaa diketahui ada 4 metode dalam aalii output yaitu Metode Replikai, metode Pegelompokka Nilai Rata rata/ Batch Mea Method, metode pegelompokka rata-rata ekueial/ Sequetial Batch Mea Method, da metode keadaa regeerai/ Regeeratia tate Method. Utuk meetuka model aalii output yag terbaik, maka haru ditetuka diatara keempat model terebut yag memiliki tigkat kealaha terkecil. Adapu dua ukura kelaha yag biaa diguaka adalah Mea Square Error (MSD) da Mea Abolut Error (MAD). MSD da MAD di terjemahka dalam peramaa : X i X i i= MAD = 1, da...(3-14) X i X i i= MSE = 1, Dimaa :...(3-15) = Sampel /data Aktual Hail Pegamata X i X i = Sampel Hail Simulai dega Metode Aalii Tertetu = Jumlah Pegamata/Replikai/Batch Pegamata. Setelah kita dapat meetuka metode aalii apa yag memiliki kealaha terkecil, maka kita aka megguaka metode terebut gua megaalii ecara detail item riil yag diamati da megaalii uula pegembaga model yag telah diuu. 8

9 DIAGRAM ALIR PENYELESAIAN MASALAH SIMULASI Mulai Studi Literatur Formulai MAalah Meetuka Tujua Pemecaha Maalah da Recaa keeluruha dari Deai model Pembuata Model Koeptual Pegumpula Data 1 Validai Data Ya Tidak Tralai Model Dalam Bahaa Komputer (Pemrograma) Mejalaka Program Verifikai Program Tidak Ya Validai Model Tidak Ya 9

10 1 Deai Ekperime Jalaka Program da Aalii Lebih Baik dari Model Awal? Tidak Ya Pedokumetaia da Pelapora Implemetai Seleai ANALISIS OUTPUT/HASIL SIMULASI Pedahulua Model imulai Kejadia Dikrit (Dicrete Evet Sytem Simulatio) memiliki karakteritik yag berbeda dari ebagia bear jei model yag ada. Hal itu dikareaka model imulai kejadia dikrit terdiri dari bayak variabel radom yag mucul beramaa dalam uatu tate yag membetuk karakteritik uatu mekaime perubaha item yag diamati. Variabel radom yag ada pada imulai item kejadia dikrit tidak haya pada probabilita iput yag ada, bahka hail/output imulaiya-pu merupaka variabel radom, karea memiliki probabilita da tidak dapat dietimaika ebagai euatu yag pati (defiitif). Megguaka output dari proe imulai khuuya imulai item kejadia dikrit ebagai padua utuk megetahui perubaha da karakteritik item riil bia jadi merupaka proe yag rumit. Hail/output dari proe imulai aka agat mudah diiterpretaika ecara tidak cermat, da meghailka koklui yag tidak tepat pada item riil yag direpreetaika oleh model terebut. Tipe Simulai item berdaarka metode aalii Output Sebuah piliha pedekata, utuk meetuka metode aalii yag tepat dari uatu model imulai adalah dega meilai tipe imulai yag ada. Berkeaa dega metoe aalii, maka imulai dibedaka mejadi dua jei yaitu Termiatig Simulatio da No-Termiatig Simulatio. Perbedaa atara kedua tipe terebut adalah ketergatugaya pada kejelaa utuk meghetika proe imulai. 10

11 Termiatig Simulatio Characteritic of it Behaviour The Nature of Sytem Traiet Parameter No-Termiatig Simulatio Steady-State Parameter Steady-State Cyclical Parameter Gambar..10. Tipe Simulai Sitem Berkeaa dega Aalii Output/Hail [17] Simulai yag merepreetaika ebuab mekaime kejadia yag memiliki iitial coditio dapat dikataka ebagai ebuah imulai yag bertipe termiatig. Kodii iiial dapat dipahami ebagai ebuah kodii dimaa keadaa item aka di Set-up eperti keadaa emula etiap aka melakuka imulai. Sebagai cotoh adalah adalah ebuah item atria pada uatu bak. Bak mejalaka kegiata operaiya etiap hari dari pukul 8.00 pagi ampi dega pukul di ore hari. Pada aat etiap imulai mulai dijalaka, yag merepreetaika pukul 8.00 pagi, maka belum aka pegujug yag berada dalam ite atria. Da imulai aka berakhir bila teller telah meyeleaika pelayaa pada emua aabah yag maih ada pada item atria pada waktu pukul 4.00 ore. Dalam artia etelah pukul tidak ada lagi aabah yag datag, ehigga teller aka melayai aabah yag teria di dalam atria. Dega demikia retag waktu jalaya item adalah mulai jam 8.00 pagi ampai dega tereleaikaya pelayaa aabah terakhir yag pada waktu pukul maih ada dalam atria bak. Peghetia imulai dilakuka pada aat pegujug terakhir meiggalka bak etelah diriya dilayai oleh teller. Setiap kita melakuka replikai/pegulaga imulai, berarti kita aka merepreetaika item epajag 8 jam kerja. Simulai jei ii termauk imulai item dega karakteritik termiatig karea etiap kita aka memulai mejalaka imulai diperluka ebuah iitial coditio, yag meggambarka keadaa pada pukul 8.00 pagi hari. Sigkatya bahwa akhir imulai bagi item termiatig tergatug pada bataa item riilya dalam arti kata kodii akhir imulai buka merupaka kodii awal utuk melakuka imulai pada replikai berikutya. Utuk pegukura output imulai dari item diata dapat diguaka parameter pegukur eperti etimai waktu ratarata aabah yag meuggu, rata-rata jumlah aabah berada dalam item, yag tetuya aka memiliki ilai yag berbeda etiap hariya. Sitem diata memiliki karakteritik yag berbeda dega item produki ebuah peruahaa maufaktur. Mialya diketahui ebuah peruahaa maufaktur yag memiliki kegiata produki utuk membuat uatu produk yag dibagi-bagi kedalam beberapa taiu kerja yag beruruta ampai eleaiya produk terbeut. Produk aka diproe berdaarka urutaya ampai eleai. Mekipu peruahaa terbeut meetapka bahwa etiap hari haya memiliki 10 jam kerja da 5 hari kerja dalam emiggu, aka tetapi item diata termauk dalam item otermiatig. Hal itu dikareaka bahwa etiap, kodii akhir imulai merupaka kodii awal dari replikai elajutya. Jadi mialya pada ore hari dimaa merupaka akhir jam kerja, ebuah produk X telah meyeleaika proe di taiu kerja 4 ebelum elajutya aka diproe pada taiu kerja 5 ebagai proe akhir. Keeoka hariya, kodii terebut mejadi awal dari keadaa item, bahwa produk yag mejadi work i proce aka diteruka amapai akhir proe. Hal itu berbeda dega item atria pada kau diata. Pada kodii otermiatig maka peghetia imulai tidak didaarka 11

12 pada jam kerja ebagaimaa pada item atria, aka tetapi karea item pada daarya berjala epajag waktu haya di potog oleh waktu itirahat tapa ada iiialiai baru, maka peghetia imulai didaarka pada kebutuha eberapa pajag imulai diperluka agar dapat megambil keimpula tatitikal yag cukup aka karakteritik ebuah item. Dapat dikataka ada dua hal petig yag membedaka atara item Termiatig da o-termiatig, yaitu peetapa iitial coditio da peghetia imulai. Traiet Phae Obervatio k+1 Steady-State Begi V = E(Y) Y i Y Y i3 Y i E(Y i ) Y i1 I 1 I I 3 I 4 Gambar..11. Karakteritik Fugi Traiet da Steady State pada Simulai item Probabilitik/Stokatik [17] Probabilita Jumlah P 0 (t) P 1 (t) P 5 (t) Jam Jam Gambar.1. Cotoh Perilaku Sitem Atria pada fae STEADY-STATE [11] 1

13 Selai dari karakteritik terebut diata, maka dua hal yag biaaya mejadi perhatia dalam megamati ebuah item elai ciri termiatig da o-termiatig adalah fae perubahaya yaitu fae Traiet da fae Steady-State. Meurut Hoover [11], dalam megaalii hail imulai perlu membedaka pegambila data atara item yag maih berada dalam fae Traiet da fae Steady-State. Perbedaa atara Traiet da Steady-State dalam karakteritik item kadag ulit dipahami da membigugka dega pembedaa imulai Termiatig da o-termiatig. Aka tetapi pada keyataaya ebagia bear item, termiatig da o-termiatig memiliki kodii dalam fae Steady-State. Sifat Traiet da Steady-State dari Simulai Sitem Stokatik Dimialka (t) merupaka keadaa atau tate dari ebuah item pada waktu t da P (t) merupaka probabilita yag meujukka keadaa item pada waktu t, maka item aka megalami fae teady-tate utuk variabel pada aat: dp ( t) = 0...(-5) dt jika kodii tidak tercapai, maka item dikataka berada dalam fae traiet. Dimialka ebuah cotoh dari ebuah item atria tuggal dega proe kedataga da pola pelayaa yag berditribui ekpoeial. Keadaa item item digambarka dega (t) yag meujukka jumlah pelagga dalam item pada waktu t. Gambar. 14 meujukka P (t) utuk = 0, 1, da 5 da E[(t)] aat tigkat kedataga pelagga 8,0 per jam da tigkat pelayaa adalah 10,0 per jam. Mekipu ecara teki probabilita ditribui fae teady-tate P ( ) merupaka bata yag aimtotik, tetapi dalam waktu yag igkat, item yag direpreetaika oleh P (t) da E[(t)] memiliki karakteritik yag agat medekati ifat teady-tate [11]. Keberadaa ebuah item pada fae Steady-State dapat diilai ecara alah, artiya walaupu probabilita dari variabel item pada fae Steady-State cederug kota, amu hal terebut buka berarti item pada fae ii tidak berubah ecara diami. Perubaha item dari waktu ke waktu pada fae Steady- State cederug memiliki kadar aktivita da variai yag ama dega pada waktu item berada dalam fae Traiet. Bahka, pada keyataaya, tidak jarag variai yag terjadi pada fae Steady-State lebih bear dibadig pada fae Traiet. Perbedaa atara keadaa item pada fae Traiet da pada fae Steady-State buka pada variai hailya, tetapi pada ditribui probabilita keadaa item (Probability Ditributio of the tate) yag pada fae Steady-State yag cederug utuk kotat, tidak megalami fluktuai yag bear ebagaimaa pada fae Traiet. Berikut ii adalah cotoh item yag mecapai fae Steady-State : 1. Sebuah proe maufaktur yag meerima peaa yag cederug kotat pada tigkat tertetu. Pada awal imulai bagia produki bia aja tidak memiliki tuga utuk dikerjaka, aka tetapi proe maufaktur aka teru berlagug etelah peaa mulai diproe ecara dikrit da teru-meeru. Sitem ii haya membutuhka atu kodii iiial awal da memiliki karakteritik o-termiatig. Sitem ii aka mecapai fae Steady-State pada waktu tertetu.. Sebuah item perediaa darah PMI di uatu rumah akit. Puat PMI di ebuah rumah akit aka beruaha megumpulka darah da meditribuikaya pada paie yag membutuhka. Dilai pihak permitaa aka darah epajag tahu cederug utuk megikuti ditribui uiform. Hal itu aka megakibatka ditribui probabilita perediaa darah mecapai fae Steady-State. Sitem ii memiliki karakteritik otermiatig. 3. Sitem pearika ogko jala tol didefiiika bahwa aka diadaka pearika biaya pegguaa jala tol yag aka ditarik melalui pitu tol di maig-maig ujug jala. Aka diambil ampel utuk waktu yag agat ibuk, ytaitu pada jam ampai 08.00, aat karyawa beragkat kerja. Jika iteita lalu lita tidak berubah dalam teggag waktu terebut, da tigkat kedataga kedaraa tiggi, maka item terebut haya aka melewati fae traiet ebetar aja ebelum mecapai fae Steady-State. Sitem ii memiliki karakteritik termiatig dega bata termiaiya adalah jam pagi. 13

14 Aalii Output Simulai Sitem Berperilaku Termiai / Termiatig Sytem Metode yag palig erig diguaka utuk megetimaika karakteritik dari uatu item dega pedekata imulai adalah megambil ampel karakteritik itrem ebagai model imulai. Setelah data-data terebut diambil, maka dapat diguaka utuk membetuk etimai titik atau iterval dari karakteritik terebut. Sebagai cotoh, kita dapat megetimaika waktu rata-rata pelagga meuggu dalam lii atria ebuah bak dega cara meimulaika kedataga pelagga, proe atri, da waktu pelayaa pelagga elama beberapa hari gua megambil uatu keimpula megeai karakteritik item yag diamati. Berikut adalah dua etimator titik yag palig erig diguaka yaitu x utuk rata-rata da utuk deviai tadar dari ampel : ( ) xi xi x i= x = 1 i= 1, da = ( 1) utuk (x i, i=1,,3,...)....(-6) Hal terebut dapat lebih mudah dipahami jika ilai ekpektaiya diyataka ebagai : E(x i) = µ utuk emua i maka E(X) = µ, da E( ) = σ...(-7) Utuk kau imulai eperti terebut diata, maka utuk ertiap x i tidak diperluka obervai yag alig idepede, tetapi yag petig memiliki iai ekpektai tertetu.. Dilai pihak, cara yag palig lazim diguaka dalam imulai termiatig utuk mejami diperolehya obervai x i yag idepede atara atu dega laiya da memiliki uatu ilai ekpektai tertetu adalah metode Replikai. Setiap imulai diekekui ejumlah kali dalam jagka waktu tertetu, dega etiap replikai idepede terhadap replikai yag laiya. Utuk imulai yag direplikai ebayak R kali, dega K jumlah obervai dalam etiap imulai, maka :X ij = obervai ke-j pada replikai ke-i, dimaa i = 1,...R da j = 1,...K. Da Y i = uatu ukura performai etiap replikai ke-i, maka : X j R xij i= = 1 R, j = 1,...K,...(-8) R Yi i= Y = 1 R,...(-9) R ( xij X j ) j i= 1 = ( R 1),...(-10) R ( yi Y ) i= 1 y = ( R 1)...(-11) Dari peramaa-peramaa diata, kita dapat memprakiraka iterval kovidei utuk E(x ij) da E(y i) dega megguaka peramaa : j P( µ j = X j ± tα ) = 1 α,.( R 1) R...(-1) da y P( µ y = Y ± tα ) = 1 α.( R 1) R...(-13) ehigga memiliki retag iterval kovidei : l = t α.( R 1) R...(-14) 14

15 Peramaaa peramaaa terebut megidikaika eberapa akurat kita megetimaika ukura performai. Iterval kovidei merupaka prakiraa iterval yag berdaarka aumi bahwa X ij da Y i terditribui ecara ormal. Jika ii tidak dipeuhi, maka preii atau ketepata utuk iterval kovidei mugki tidak pada (1-α). Dari teorema limit etral (Cetral Limit Theorem) dikemukaka bahwa bagaimaapu juga jika jumlah replikai yag emaki bayak maka ilai rata-rata dari ampel aka emaki terditribui ecara ormal [11]. Selai hal terebut, ecara filoofi utuk item yag termiatig kita haru meetuka kodii iiial pada aat awal imulai dijalaka. Pada imulai item termiatig, maka tidak ada maalah pada fae traiet atau teady-tate yag telah dicapai, ehigga utuk etimai performai erta aalii perilaku item relatif dapat lebih mudah dilakuka dibadig dega imulai item otermiatig, yag haru dapat medefiiika fae yag dialalui oleh item yag diamati. Aalii Output Simulai Sitem Yag Berperilaku Notermiai / Notermiatig Sytem Dalam megaalii output hail imulai utuk item Notermiatig, ada beberapa maalah yag belum dijumpai pada aalii item Termiatig, eperti : a) Keadaa Bia Kodii Iiial. Karea imulai item otermiatig aka melewati fae traiet ebelum mejadi tabil pada fae Steady-tate. Karea pada awal imulai, item maih berada pada fae traiet, maka terjadi fluktuai pada probabilita tate/tatu item. Hal ii tetu megakibatka data yag dikumpulka pada aat awal imulai memiliki kodii yag bia dega kodii iiial aat dimulaiya imulai. Perilaku item pada aat awal imulai aka megakibatka adaya kealah tafira atau mileadig jika diamatai tidak ecara hati-hati. Hal ii meruapka akibat keadaa item yag maih fluktuatif ehigga tidak bia dijadika baha amata yag baik. b) Kovaria atara ampel. Kumpula data yag diperoleh pada imulai item otermiatig ecara kolektif tidak idepede atara atu dega yag laiya. Da jika atu et ampel tidak idepede maka etimai variai dari ampel terbeut aka bia. c) Lamaya ekekui imulai ( Ru Leght/Leght of Replicatio ) Mekipu itemya ediri memiliki ifat Notermiatig tetapi ekekui imulai tetap haru diakhiri. Jika kita megakhiri item terlalu awal, maka kemugkia data yag diperoleh dari hail imulai tidak bia diamati ecara tepat, karea kemugkia item maih berada pada fae traiet aat imulai berakhir, da ii megakibatka keadaa da perilaku item belum tabil, yag dapat megakibatka tidak tepatya pegamata aka perilaku item yag didaari pada kedaa terebut. Jadi perlu ditetuka pajag imulai yag tepat agar mecukupi yarat utuk dilakuka pegamata tatitikal pada outputya. Utuk item yag berperilaku Notermiatig, hampir eluruhya megalami dua fae probabilita keadaa/ tate dari itemya yaitu fae traiet da fae Steady tate. Kita haru beruaha edapat mugki baru meghetika imulai pada aat item memauki fae teady-state. Karea pada fae ii probabilita tate/tatu dari item yag diamati aka relatif tabil, ehigga memudahka kita dalam megamati bagaimaa perilaku da karakteritik item terbeut. Ada empat metode utuk megaalii hail imulai bagi item yag berperilaku otermiai yag erig diguaka yaitu : a) Metode Replikai/Peghetia Simulai. b) Metode Pegelompokka Nilai Rata-Rata atau Batchig Mea Method c) Metode Pegelompokka Nilai Rata-Rata Sekueial atau Sequetial Batchig Mea Method d) Metode Keadaa Regeerai / Regeeratio State Method Metode Replikai/Peghetia Simulai Output imulai ebuah item dega karakteritik otermiatig dapat diaalii megguaka metode Replikai. Metode ii juga biaa diguaka pada aalii output item termiatig. Maalah utama yag timbul dalam metode ii adalah bagaimaa kita meetuka jumlah replikai yag cukup ehigga output imulai cukup repreetatif utuk diaalii gua megetahui perilaku item yag diamati. Utuk imulai item dega perilaku otermiatig kita haru meghidari atau edapat mugki memiimai efek dari kodii iiial item, ehigga peghetia imulai haru dilakuka pada jumlah replikai tertetu da pajag imulai tertetu pada aat item memauki fae teady-tate. Cara yag palig umum utuk meghidari efek 15

16 dari kodii iiial adalah dega cara meghilagka hail imulai pada aat-aat awal imulai atau pada aat item berada pada fae traiet da haya megguaka data pada aat item telah mecapai fae teadytate. Walaupu tampakya ii adalah metode yag mudah utuk dilakaaka, amu dalam implemetaiya, ada beberapa maalah yag timbul. Salah atuya adalah meetuka bata waktu imulai utuk meetuka bata aat item meiggalka fae traiet da memauki fae teady-tate utuk elajutya meghilagka data-data yag berada pada fae traiet. Hal ii haya ditetuka dega pertimbaga khuu dari i pemodel. Hal ii membuat awal imulai atau pada aat item berada pada fae traiet da haya megguaka data pada aat item telah mecapai fae teady-tate. Walaupu tampakya ii adalah metode yag mudah utuk dilakaaka, amu dalam implemetaiya, ada beberapa maalah yag timbul. Salah atuya adalah meetuka bata waktu imulai utuk meetuka bata aat item meiggalka fae traiet da memauki fae teady-tate utuk elajutya meghilagka data-data yag berada pada fae traiet. Hal ii haya ditetuka dega pertimbaga khuu dari i pemodel. Hal ii membuat validita model yag aka diguaka utuk aalii agat tergatug pada kemampua pemodel dalam megetimaika aat terebut.[11] ada beberapa maalah yag timbul. Salah atuya adalah meetuka bata waktu imulai utuk meetuka bata aat item meiggalka fae traiet da memauki fae teady-tate utuk elajutya meghilagka data-data yag berada pada fae traiet. Hal ii haya ditetuka dega pertimbaga khuu dari i pemodel. Hal ii membuat validita model yag aka diguaka utuk aalii agat tergatug pada kemampua pemodel dalam megetimaika aat terebut.[11] Peetua jumlah replikai diyataka dalam otai berikut : P( E( W ) = ± q W q tα ) = 1 α,...(-15).( R 1) R Dimaa : W q = Suatu paramater item pada fae Steady-State. W = Nilai Rata Rata Parameter dari R kali Replikai q = Nilai Stadar Deviai dari ampel ilai Parameter dari R kali replikai 1-α = Iterval Kovidei (95%) = Nilai fugi dari ditribui tudet t dega tigkat t α.( R 1) igifikai α da derajat beba R 1. Kita guaka pedekata Ditribui Stude t karea yag diambil adalah kumpula ampel ehigga variai populai tidak diketahui. ( jika variai populai tidak diketahui diguaka pedekata ditribui tudet t.[3 )). Setelah kita tetuka retag kepercayaa terebut maka dari ampel hail imulai atau dari maig maig ilai W q utuk etiap replikai di plot kedalam uatu grafik da haru berada dalam retag kepercayaa terebut, da apabila ada ilai W q yag berada diluar retag kepercayaa terbeut, maka perlu ditambah ejumlah replikai ampai eluruh ilai W q berada dalam retag kepercayaa yag udah ditetuka. Metode Pegelompokka Nilai Rata-rata / Batchig Mea Method Dua maalah yag merupaka kelemaha metode replikai adalah biaya da waktu yag dibutuhka utuk komputai pegulaga imulai terutama pada item yag komplek erta peetua retag waktu elama imulai berada pada fae traiet. Metode Pegelompokka ilai Rata-rata beruaha meguragi hal terebut, tetapi tidak meghilagka kedua maalah terebut. Dalam metode ii kita tidak melakuka imulai dalam jumlah replikai yag bayak, melaika haya perlu atu replikai dega retag waktu imulai yag pajag da ecara periodik me- reet ukura tatitik yag dihailka dega cara megelompokka dalam uatu retag waktu tertetu. Dalam proe me- reet ukura-ukura tatitik yag dihailka biaaya didaarka pada uit waktu tertetu atau jumlah kejadia defiitif yag ada eperti jumlah atria. Artiya ebagai cotoh kita dapat megguaka daar waktu imulai ebagai atua pegelompokka ataupu jumlah kejadia ebagai daar pegelompokka atau pembetuka batch. Dalam meetuka batch atara proe reet ukura tatitik, maka etiap iterval batch terebut haru memiliki iterval waktu yag cukup da dalam etiap pegambila ukura tatitik dari maig-maig iterval haru diuahaka ebagai proe yag idepede da ampel haru radom. Oleh karea itu ebelum diadaka pegambila ukura tatitik dari 16

17 maig maig iterval ampel, haru terlebih dahulu di yakika bahwa maig-maig ampel idepede da radom. Alat uji yag diguaka adalah Ru Tet da Uji Tada/ Sig Tet. Metode Pegelompokka Sekueial/ Sequetial Batch Method Jika kita mejalaka imulai dega batch yag agat bayak, maka output da proe aalii tidaklah efiie, amu ebalikya jika batch yag diguaka terlalou kecil, maka aka ulit megambil koklui bahwa ampel berifat idepede da radom. Proedur pegelompokka ilai rata-rata ekueial pertama kali diterapka dalam imulai oleh Averill. M Law yag bertujua meetuka jumlah batch terkecil yag perlu dilakuka gua mecukupi aalii tatitikal, amu maih cukup bayak gua megambil koklui bahwa ampel idepede da radom. Sebagai ukura tigkat idepede uatu kumpula data ampel diguaka koefie kelambata korelai / Lag Correlatio Coefiie : Metode Keadaa Regeerai / Regeerative method Jika aali dari batch dilakuka beramaa aat awal imulai, maka proe imulai epajag maa waem up atau aat item berada dalam fae traiet aka mejadi percuma. Metode keadaa regererai beruaha memiimai efek dari hal terebut. Metode ii tidak medaarka aat aalii pada perubaha keadaa item dari traiet ke keadaa teady-tate, amu metode ii membagi keadaa item dalam beberapa iklu regeerai. Dalam metode ii kita aka meetuka titik regeerai ebagai bata iklu gereai dari item. Titik regeerai/ Regeeratio poit adalah uatu keadaa item diamaa perilaku item etelah titik terebut memiliki ifat yag idepede terhadap perilaku item ebelum titik regeerai. Berikut adalah cotoh titik regerai utuk beberapa item : SISTEM Sitem atria dega kedataga ekpoeial Sitem perediaa yag berdaarka ROP da ROQ tetap Bak darah Sebuah lift pada ebuah bagua kator TITIK REGENERASI Saat tidak ada eoragpu pelagga dalam atria atau item Saat perediaa mecapai level makimumya. Saat perediaa darah mecapai agka ol. Saat lift kembali ke latai daar da tidak ada orag yag meuggu Tidak mudah utuk meetuka titik regeerai etiap item, da tidak etiap item memiliki ttik regeerai. Metode ii diguaka utuk item yag dapat ditetuka titik regeeraiya Setiap item yag memiliki titik regeerai pati memiliki iklu regeerai. Sebagaimaa keadaaya dega titik regeerai, dalam ebuah item yag memiliki beberapa iklu regeerai, maka etiap iklu regeerai idepede terhadap iklu regeerai yag lai. Utuk iklu ke-i aka dietimai uatu keadaa item X, da perbadiga dua variabel radom Y i dat i. Dega ebuah peramaa E(X) = E(Y)/E(T). Adapu cotoh maig maig variabel adalah : Tabel.. Cotoh Variabel Regeerai Sitem SISTEM X Y T Sitem atria Rata-rata waktu tuggu pelagga Total waktu tuggu utuk emua pelagga dalam Tidak ada pelagga yag datag dalam Sitem Atria Rata-rata jumlah pelagga dalam atria atu iklu Waktu dari ejumlah pelagga dalam atria iklu Pajag Siklu Bak Darah Rata-rata perediaa Waktu ejumlah perediaa Pajag iklu 17