R a n g k u m a n d a n S o a l L a t i h a n U U S G a n j i l

Transkripsi

1 R a n g k u m a n d a n S o a l L a t i h a n U U S G a n j i l Matriks Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Yang dijumlahkan/dikurangkan adalah komponen matriks di posisi sama. Bisa dilakukan hanya kalau ordo matriksnya sama.. ( 3 ) + ( ) = ( ) = ( 6 8 ) Perkalian Matriks Aturan : baskom (baris kolom) INGAT!!! Misal matriks A ordo p q dan matriks B ordo r s A dan B bisa dikalikan jika q = r hasilnya matriks ordo p s.. ( 3 ) (5 6 ) = ( ) = (7 39 ). ( ) (5 6) = tidak bisa dikalikan 3 Transpose Matriks Aturan : baris jadi kolom / ke kanan jadi ke bawah. ( )t = ( 5) 3 6 Determinan Matriks Rumus : a b = ad bc c d INGAT!!! Matriks yang punya determinan hanya yang bentuknya persegi.. 3 = 3 =. Determinan Matriks Ordo Tiga = + ( ) ( ) 3 3 ( ) ( ) = 8 Invers Matriks Rumus : ( a b c d ) = ( d b det c a ) INGAT!!! Matriks yang punya invers hanya yang bentuknya persegi.. ( 3 ) = ( 3 ) = ( 3 ) The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7

2 . Invers Matriks Ordo Tiga 3 ( ) = 3 # Cari determinannya det = 8 # Buat matriks bantuan dengan cara : + + ( + ) + + tentukan determinan matriks-matriks kecil yang selain baris dan kolom anggota matriks tersebut ( ) ( 8 ) #3 Buat transpos dari matriks bantuan t ( 8 ) = ( 8 ) # Invers = (matriks #3) det = 8 ( 8 ) = ( ) Persamaan Matriks Rumus : AX = B X = A B XA = B X = BA. X ( ) = (3 ) X = ( 3 ) (7 5 3 ) = ( 3 ) [ ( )] = ( 3 ) Program Linier Pertidaksamaan Grafik Aturan : kandang ayam (tipot sb-x dan sb-y) ; titik uji untuk menentukan HP (,) Grafik yang harus dihafalkan : y = x y = x y = b x = a The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7

3 . Grafik dari 3x + y 6 x y 3 3 HP Titik (,) memenuhi pertidaksamaan masuk daerah HP Nilai Optimum Fungsi Tujuan Aturan : Gambar semua grafik pilih titik-titik sudut HP masukkan ke fungsi tujuan, pilih yang minimum / maksimum. INGAT!!! Ada beberapa HP yang tidak mempunyai nilai maksimum dan atau minimum.. Tentukan nilai maksimum dari fungsi Z = x + y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 3x + y 6, x + y, sumbu-x dan sumbu-y. # Gambar grafiknya (gunakan aturan kandang ayam) Grafik Persamaan Aturan : kalau tipot sb-y (, a) dan tipot sb-x (b, ) ax + by = ab pakai titik uji untuk tahu tanda / (biasanya (,)) Grafik yang harus dihafalkan sama dengan bagian sebelumnya. Pertidaksamaan dari grafik berikut ini adalah Tipot nya (,9) dan (3,) 9x + 3y = 7 titik (,) termasuk dalam HP, < 7 9x + 3y 7 # Tentukan titik sudut HP O(,) ; A(,) ; C(,) Titik B adalah perpotongan 3x + y = 6 dan x + y = gunakan substitusi-eliminasi diperoleh B ( 8 5, 6 5 ) #3 Masukkan ke fungsi Z O(,) Z = + = A(,) Z = + = B ( 8, 6 ) Z = = nilai maksimum Z C(,) Z = + = The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7 3

4 Integral Integral Biasa Aljabar Aturan : pangkat + pangkat INGAT!!! Bentuk aljabar tidak bisa diintegralkan langsung kalau ada perkalian rumit / pembagian rumit / bentuk pangkat rumit harus pakai metode lain Ubah bentuk akar jadi pangkat.. Tentukan nilai dari x 3 + x dx x 3 + x dx = x 3 + x dx. Tentukan nilai dari = x +. 3 x3 + c = x + x x + c 3 x 3 x dx x x 3 x dx = x x (x 3x ) dx = x 3x 3 dx = x 3. ( )x + c = x + 6 x + c Integral Biasa Trigonometri Rumus dasar : ʃ sin = cos ʃ cotan. cosec = cosec ʃ cos = sin ʃ tan. sec = sec ʃ sec = tan ʃ cosec = cotan Rumus trigonometri yang bisa digunakan : sin x + cos x = sin A cos B = sin(a + B) + sin(a B) tan x + = sec x cos A sin B = sin(a + B) sin(a B) sin cos x cos A cos B = cos(a + B) + cos(a B) x = sin A sin B = cos(a + B) cos(a B) cos + cos x x = Jangan lupa untuk menghafal rumus trigonometri lainnya. INGAT!!! Bentuk trigonometri tidak bisa diintegralkan langsung kalau ada perkalian trigono / pangkat rumit / sudut beda harus diubah bentuknya / pakai metode lain.. Tentukan nilai dari sin 7x + sec 3x dx sin 7x + sec 3x dx = 7 cos 7x + tan 3x + c 3. Tentukan nilai dari cos 5x sin x dx cos 5x sin x dx = (sin 6x sin x) dx = sin 6x sin x dx =. ( 6 cos 6x). ( cos x) + c = cos 6x + cos x + c 8 The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7

5 Integral Substitusi Aturan : yang dimisalkan (jadi u) adalah yang akan diturunkan INGAT!!! Metode integral substitusi hanya bisa dilakukan jika ada bentuk turunan dari u (du). Terkadang, ada soal yang perlu disubstitusi lebih dari kali.. Tentukan nilai dari Misalkan u = x du du = x dx = dx x 3x(x ) dx = 3x. u. du x. Tentukan nilai dari 3x(x ) dx = 3 u du = u3 + c = (x ) 3 + c sin 3 3x cos 3x dx Misalkan u = sin 3x du = 3 cos 3x dx = du dx 3 cos 3x sin 3 3x cos 3x dx = u 3 du. cos 3x. 3 cos 3x = 3 u3 du = u + c = sin 3x + c Integral Parsial Aturan : tabulasi / tabel yang satu diturunkan, yang satu di naik kan di depan suku yang diturunkan diberi + / lalu dikalikan INGAT!!! Yang mau diturunkan harus bisa jadi. Tentukan nilai dari 3x(x ) dx Perhatikan bahwa (x ) kalau diturunkan supaya jadi butuh kali turunan ribet. Jadi, yang akan diturunkan adalah 3x. + 3x (x ) 3 (x )5 + turun 5 (x )6 6 naik = 3x. 5 (x ) (x )6 + c = 3 5 x(x )5 (x )6 + c. Tentukan nilai dari x sin x dx Perhatikan bahwa sin x kalau diturunkan tidak akan bisa jadi. Jadi, yang akan diturunkan adalah x. + x sin x x cos x + sin x cos x naik turun = x. ( cos x) x. ( sin x) + cos x + c = x cos x + x sin x + cos x + c The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7 5

6 Integral Substitusi Trigonometri ~ TIDAK IKUT UUS ~ Luas dan Volume Aturan : gambar grafik pilih daerah tertutup tentukan batasbatasnya hitung Grafik yang harus dihafalkan : y = x y = x y = x 3 y = x 3 b. Kuadrat Langkah-langkah : # Tentukan tipot sb-x # Kalau a > hadap ke atas, kalau a < hadap ke bawah #3 Gambar sketsanya. Grafik y = x 3x # x 3x = (x )(x + ) = x = atau x = # a = > hadap ke atas #3 y = x y = x y = x Selain grafik di atas, cara menggambarnya adalah : a. Linier Gunakan aturan kandang ayam (lihat bab Program Linier) c. Grafik x = Langkah-langkah : # Gambar sketsa y = # Rotate grafik 9 searah jarum jam terhadap (,). Grafik x = y # # The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7 6

7 Aturan dan Rumus Luas : dalam dx (soal normal) b L x = dx b fungsi y = batas (b dan b ) sumbu-x b L x = (atas) (bawah) dx b Aturan dan Rumus Volume : diputar mengelilingi sb-x b V x = dx b fungsi y = batas (b dan b ) sumbu-x b V x = (atas) (bawah) dx b dalam dy b L y = dy b fungsi x = batas (b dan b ) sumbu-y b L y = (kanan) (kiri) dy b diputar mengelilingi sb-y b V y = dy b fungsi x = batas (b dan b ) sumbu-y b V y = (kanan) (kiri) dy. Luas, volume diputar sb-x, dan volume diputar sb-y daerah yang dibatasi oleh y = x dan y = x Grafik : b y = x y = x Batas-batasnya adalah tipot antar grafik. Aturan tipot antar grafik : y = y. y = y x = x x x = x(x ) = x = atau x = batasnya (sb-x) dari sampai L = x x dx = [ x 3 x3 ] = ( 3 ) = 6 SL V x = (x) (x ) dx = x x dx = [ 3 x3 5 x5 ] = ( 3 5 ) = 5 SV Untuk menghitung volume diputar sb-y : Batas yang digunakan adalah batas sb-y Dari batas sb-x ( dan ), kita masukkan ke salah satu fungsi, misal y = x. Diperoleh hasilnya (batas sb-y) berturut-turut dan. Fungsi harus dalam x = y = x x = y y = x x = y V y = ( y) (y) dx = y y dx = [ x 3 x3 ] = ( 3 ) = 6 SV The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7 7

8 Aplikasi dalam Grafik Aturan : Keterangan pada Soal melalui titik (x, y) turunan pertama dy dx = titik stasioner di (x, y) Bentuk Matematika f(x) = y f (x) = f (x) = titik balik di (x, y) grafik naik f (x) > grafik turun f (x) < gradien garis singgung di (x, y) turunan kedua d y dx = m = f (x) = f (x) = titik belok di (x, y) f (x) =. Diberikan sebuah fungsi f(x) dimana mempunyai titik stasioner di (,) dan dy = x + a. Tentukan f(). dx Titik stasioner di (,) f () = dy dx = x + a f (x) = x + a Dari persamaan di atas, diperoleh f () =. + a = a =. Jadi, f (x) = x. f(x) = x x + c. Dari soal diketahui bahwa grafik melalui titik (,) f() =. + c = c =. Jadi, f(x) = x x +. Transformasi Geometri Transformasi Kali Rumus : Jenis Transformasi Translasi T = ( a b ) Refleksi titik (,) (x + a ) = (x y y + b ) ( x y ) = ( x y ) Matriks Hasil titik (a, b) ( x x ) = (a y b y ) sb-x / M y= ( x y ) = ( ) (x y ) sb-y / M x= ( x y ) = ( ) (x y ) garis x = a / M x=a ( x x ) = (a ) y y garis y = b / M y=b ( x y ) = ( x b y ) garis y = x / M y=x ( x y ) = ( ) (x y ) garis y = x / M y= x Rotasi α, pusat (,) / R (O,α ) α, pusat (a, b) Dilatasi ( x y ) = ( ) (x y ) ( x α sin α ) = (cos y sin α cos α ) (x y ) ( x α sin α a ) = (cos ) (x y sin α cos α y b ) + (a b ) skala k, pusat (,) / [O, k] ( x y ) = (k k ) (x y ) skala k, pusat P(a, b) / [P, k] Transformasi ( x y ) = (k a ) (x k y b ) + (a b ) ( x y ) = (a b c d ) (x y ) f() =. + =. The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7 8

9 . Bayangan M(, 6) oleh dilatasi [A, 3] dimana A(3,) ( x y ) = ( 3 3 ) ( 3 6 ) + (3 ) = ( 3 3 ) ( ) + (3 ) = ( 3 3 ) + (3 ) = ( 6 ) Jadi, M (, 6).. Bayangan Garis Bayangan y = 3x 7 oleh R (O,9 ) # Masukkan matriks yang sesuai ( x 9 sin 9 ) = (cos y sin 9 cos 9 ) (x y ) = ( ) (x y ) = ( y x ) x = y dan y = x # Ubah menjadi x = dan y = x = y y = x y = x x = y #3 Masukkan ke persamaan awal y = 3x 7 x = 3y 7 hasil : x = 3y 7 Transformasi > Kali Aturan : khusus translasi T T = matriks T + matriks T selain translasi T T = matriks T matriks T T lanjut T T T. Bayangan dari P(3,) oleh transformasi T T dimana T = ( 3 ) dan T = ( 5 3 ) T tot = T T = ( 5 3 ) ( 3 ) = ( ) ( x y ) = T tot ( 3 ) = ( ) (3 ) = ( 65 ) Jadi, P (65, ). Luas Rumus : Jika ada bangun ABC lalu ditransformasikan oleh T sehingga menjadi A B C, maka L ABC = { A B + B C + C A } L A B C = T L ABC INGAT!!! Jika bangunnya bersisi > 3, gambar terlebih dahulu koordinat masing-masing titik sudutnya di bidang Cartesius untuk menentukan urutannya.. Diketahui segi- PQRS dengan P(,), Q(8,), R(8,5), S(,5) PQRS akan ditransformasi menurut matriks ( 5 3 ) S P L PQRS = { P S + S R + R Q + Q P } = { } = {8 + ( 3) + ( 3) + 6} =. 8 =. 8 = SL R Q Dari gambar di samping, Mulai dari P, lalu searah jarum jam, jadi urutannya P, S, R, Q. The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7 9

10 L P Q R S = M L PQRS = 5 = = SL 3 Vektor Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Yang dijumlahkan/dikurangkan adalah komponen vektor di posisi sama.. a = ( ), b = ( 3 ) a + b = ( ) = ( 6 ) Perbandingan Vektor dan Koordinat Rumus : AB BC = m n AC CB = (m + n) ( n) Misalkan A(x A, y A ), B(x B, y B ), C(x C, y C ), maka x B = n. x A + m. x c m + n dan berlaku juga A m b = B n, y B = n. y A + m. y c m + n n. a + m. c m + n C Ingat bahwa vektor bisa bernilai negatif kalau arahnya ke kiri / ke bawah.. Titik P(3, ) dan Q(6,5) terdapat pada sebuah garis lurus l. Titik R juga berada di garis l menurut perbandingan PR RQ = 3. Koordinat titik R adalah R(x,y) P(3,-) INGAT!!! m dan n pada rumus di samping adalah untuk perbandingan yang nilainya positif semua (dicetak tebal pada gambar di atas) x Q =. x P +. x R + 6 =.3 +. x R 3 x R = 5 Jadi, koordinat R adalah R ( 5, 8) Panjang Vektor Rumus Panjang Vektor Tunggal : Misal a = ( x a y a ) a = (x a ) + (y a ) 3 Q(6,5) - y Q =. y P +. y R + 5 =. ( ) +. y R + y R = 8 The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7

11 Rumus Panjang Vektor Ganda : Misal a = ( x a y a ) dan b = ( x b y b ) a + b = a + b + a b cos θ atau a + b = (x a + x b ) + (y a + y b ) a b = a + b a b cos θ atau a b = (x a x b ) + (y a y b ). Vektor a = ( ) dan vektor b = ( 3 ). a = + = 5 b = 3 + = 5 a + b = ( + 3) + ( + ) = 5 a b = ( 3) + ( ) = 8. Panjang vektor a adalah 3 dan panjang vektor b adalah. Kedua vektor membentuk sudut 6ᴼ. a + b = cos 6 = 37 a b = cos 6 = 3 Perkalian Vektor (Skalar / Dot) Rumus : Misal a = ( x a y a ) dan b = ( x b y b ) a. b = x a x b + y a y b. Vektor a = ( ) dan vektor b = ( 3 ) a. b =.3 +. = Sudut Antara Dua Vektor Rumus : cos θ = a. b a b. Vektor a = ( ) dan vektor b = ( 3 ). Kosinus sudut antara kedua vektor adalah cos θ = a. b.3 +. = = a b = 5 5. Vektor a = ( ) dan vektor b = ( 3 ). Keduanya tegak lurus. k Tentukan nilai k. Tegak lurus θ = 9 cos θ = = a. b a. b = a b.3 +. k = k = 3 Vektor Proyeksi dan Panjang Proyeksinya Rumus : Proyeksi skalar ortogonal (disebut juga panjang proyeksi) vektor a terhadap b c = a. b b Proyeksi vektor ortogonal vektor a terhadap b c = a. b b b The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7

12 Vektor p = ( ) dan vektor q = (3 ). Proyeksi skalar ortogonal dari p terhadap q p. q.3 +. c = = q 3 + = 5. Proyeksi vektor ortogonal dari p + q terhadap q (p + q ). q ( c = q q = 6 ). (3 ) ( 3 + ) (3 ) = ( 3 5 ) = 36 5 (3 ) = ( 5 ) 5 S o a l - s o a l L a t I h a n. Diketahui matriks A, B, C, dan D dimana A B t + C = D t. Jika A = ( 7 s ), B = (q ), C = (3 ), dan D = 3 p 5 r 3 ( ), nilai s = p q r A. 3 B. C. D. E.. Diketahui A = ( x ), B = (3 ), dan C = ( ). Nilai x 5 sehingga AB B = C adalah A. B. C. D. E. 3. Jika I matriks identitas berordo dan I ( a b ) = ( ), nilai a b = A. 6 B. C. D. E. 6 The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7

13 3. Jika diketahui matriks ( p ) determinannya 38, salah 3 p satu nilai p yang memenuhi adalah A. 3 B. 3 C. 3 D. E. 5. Diketahui P = ( 3 3 ). Nilai dari P P = A. ( ) B. ( 9 9 ) C. ( ) D. ( 6 6 ) E. ( 6 6 ) 6. Diketahui X, Y, dan Z matriks berordo. Jika X = ( ), Z = ( 3 ), dan X Y = Z t, determinan matriks Y adalah A. 5 B. 7 C. D. 7 E Diketahui A = ( 6 ) dan B = (p q ). Jika invers dari matriks x r A sama dengan transpose dari matriks B, nilai p q r = A. B. C. D. E. n 8. Ada matriks, K dan M, dimana K = ( ), M = (n n 3 ), dan kedua matriks tersebut determinannya sama. Jika n dan n adalah kemungkinan nilai n yang memenuhi, nilai + = n n A. 6 B. 5 C. 5 6 D. 6 5 E Matriks Q yang memenuhi persamaan ( 3 ) Q = ( ) adalah A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) E. tidak ada The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7 3

14 3. Nilai dari 6 ( ) 3 A. ( ) B. ( 8 ) C. ( ) D. ( 8 ) 8 E. ( 6 ) 8 adalah k 3. Diketahui matriks ( 3 k k ) singular. Misalkan a k 3 3 menyatakan jumlahan semua k yang mungkin, dan b menyatakan hasil kalinya, nilai a b = A. 9 B. 9 C. D. E. 6. Nilai dari ( x x A. B. 73 C. 9 D E. 3. Nilai dari ) dx = (x ) 3 dx = A. x x 3 + 3x x + c B. x x 3 + 3x + c C. x x 3 + 3x + c D. x x3 + 3 x x + c E.. Nilai dari x x3 + 3 x + c cos 8x dx = A. cos 3x sin 6x + 3 x + c 8 8 B. cos 3x sin 6x + x + c 8 8 C. D. E. cos 3x sin 6x + 3 x + c cos 3x sin 6x + x + c cos 3x cos 6x + x + c The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7

15 5. Nilai dari 6 sin x cos x dx = A. cos 6x + cos x + c 6 B. cos 6x + 3 cos x + c C. cos 6x + 3 cos x + c D. cos 6x 3 cos x + c E. cos 6x cos x + c 6 6. Nilai dari π/ A. ( + sin x) (sin x ) dx B. C. D. E. 7. Nilai dari sin 3 x dx = A. 6 cos3 x cos x + c B. 3 cos3 x cos x + c C. cos3 x cos x + c D. 6 cos3 x + cos x + c E. 3 cos3 x + cos x + c = 8. Nilai dari x x dx = The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7 5 A B C. 3 D. + 3 E. 9. Nilai dari x sin(x ) cos (x ) dx = A. 6 cos3 (x ) + c B. cos3 (x ) + c C. 6 cos3 (x ) + c D. 9 cos3 (x ) + c E. cos3 (x ) + c. Nilai dari x x 5 dx = A. 3 x (x 5) (x 5)5 + c B. 3 x (x 5)3 + 5 (x 5)5 + c C. x (x 3 5)3 + (x 5 5)5 + c D. x (x 3 5)3 (x 5 5)5 + c E. 3 x (x 5)3 5 (x 5)5 + c

16 . Nilai dari (3x ) sin(x 3) dx = A. (3x ) cos(x 3) 3 sin(x 3) + c 6 B. (3x ) sin(x 3) + cos(x 3) + c 6 C. (3x ) sin(x 3) sin(x 3) + c 6 D. (3x ) sin(x 3) + 3 cos(x 3) + c 6 E. (3x ) cos(x 3) + 3 cos(x 3) + c 6. Diketahui fungsi f(x) dimana gradien garis singgung di titik (x, y) bernilai 3 3 x. Jika f(x) melalui (,), maka garis singgung di titik berabsis persamaannya A. y = B. y = C. y x = D. 3y + x = E. 3y x = 3. Diketahui fungsi f(x) di mana d y dx = 6x +, f() =, f( ) =. Nilai dari f() = A. B. C. D. E.. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x 3 dan y = x adalah SL. A. B. 3 C. D. 6 E Luas daerah yang dibatasi oleh y = x dan y = x x dimana x 3 adalah SL. A. B. 6 C. D. 6 5 E Volume benda diputar mengelilingi sumbu-x yang dibatasi oleh x = y + dan y = x adalah SV. A. 3 6 π B. 7 C. π 6 π 6 D. 5 6 π E. 6 π The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7 6

17 7. Volume benda diputar mengelilingi sumbu-y yang dibatasi oleh y = x dan y = x adalah SV. A. 3 π B. C. π 8 π 3 D. 8 6 π E. 6π Soal nomor 8-9 menggunakan informasi berikut ini. Sebuah daerah tertutup dalam koordinat Cartesius dibatasi oleh grafik y = x 3, x =, dan y = Luas daerah tersebut adalah SL. A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 E. 9. Volume benda yang terbentuk jika daerah tersebut diputar 36ᴼ mengelilingi sumbu-y adalah SV. A π B. 3 C. π 5 8 π 5 D. 7 π 5 E. π 5 3. Sistem pertidaksamaan yang tepat untuk grafik di bawah ini adalah... A. y x +, y 3x + 8, 3y x + 3 B. y x +, y 3x + 8, 3y x + 3 C. y x +, y 3x + 8, 3y x + 3 D. y x +, y 3x + 8, 3y x + 3 E. y x +, y 3x + 8, 3y x Dari grafik di bawah, yang merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x y, x + 3y, sumbu-x, dan sumbu-y adalah A. I B. II C. III D. IV E. V (,) (,6) HP (,3) The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7 7

18 3. Nilai maksimum fungsi Z = x + y yang memenuhi 3x + 6y 8, 5x + y, sumbu-x, dan sumbu-y tercapai pada titik A. tidak ada B. (,3) C. (,) D. (,5) E. (6,) 33. Nilai minimum fungsi Z = 3x + y yang memenuhi x + y 8, 3 x 6, dan y 5 adalah A. 3 B. C. 5 D. E Nilai minimum fungsi Z = x + y yang memenuhi y x, x + y 3, sumbu-x, dan y = adalah A. tidak ada B. C. D. 8 E Seorang pembuat kue mempunyai 8 kg tepung dan kg pasir. Ia ingin membuat dua macam kue: kue dadar dan kue apem. Unutk membuat kue dadar dibutuhkan gram gula pasir dan gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue apem dibutuhkan 5 gram gula pasir dan 5 gram tepung. Jika kue dadar dijual dengan harga Rp 3, per buah dan kue apem dengan harga Rp 5, per buah, pendapatan maksimum yang diperoleh pembuat kue adalah A. Rp. 55., B. Rp. 6., C. Rp. 75., D. Rp. 8., E. Rp. 95., 36. Mbah To mempunyai lahan hektar untuk ditanami padi dan jagung. Dengan kondisi yang ada, Mbah To memutuskan untuk menanami padi seluas sampai 6 hektar dan untuk jagung seluas sampai 6 hektar. Dibutuhkan biaya Rp., per hektar untuk proses penanaman dan perawatan padi, sedangan untuk jagung diperlukan Rp.,. Agar biaya yang dikeluarkan minimum, luas lahan yang ditanami padi adalah hektar. A. B. C. 6 D. 8 E. The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7 8

19 37. Pak Gembul punya modal Rp..., dan hendak menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pak Gembul membeli buah mangga dengan harga Rp 8,/kg dan membeli buah pisang dengan harga Rp 6,/kg. Gerobaknya hanya bisa menampung beban paling berat 8 kg. Jika Pak Gembul menjual mangga Rp,/kg dan pisang Rp 7,/kg, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh Pak Gembul dari berjualan buah adalah A. Rp. 8., B. Rp.., C. Rp. 3., D. Rp..., E. Rp..5., 38. Seorang penjahit mempunyai persediaan kain sutera 6 meter, kain wol meter, dan kain katun 5 meter. Kain-kain tersebut akan dibuat menjadi model baju, model A membutuhkan m kain sutera, m kain wol, dan m kain katun, dan model B membutuhkan m kain sutera, m kain wol, dan 3 m kain katun. Bila keuntungan penjualan baju model A Rp 3., dan model B Rp 5., per baju, banyak baju kodel B yang perlu diproduksi sehingga keuntungan penjahit tersebut maksimum adalah A. 8 B. 6 C. 5 D. 3 E.. Matriks M berordo. Jika matriks M memetakan titik P(,) dan Q(,7) ke titik P (,3) dan Q (5,), maka matriks M = A. ( 5 3 ) B. ( ) 3 3 C. ( 5 ) 3 D. ( 5 3 ) E. ( ). Bayangan titik (,) oleh rotasi 9ᴼ searah jarum jam terhadap (, ) adalah A. ( 5, 3) B. (, ) C. (,) D. (6,) E. (5,3). Garis x = 3y 7 didilatasi dengan skala 3 terhadap titik asal, lalu direfleksi terhadap garis y = x. Hasil dilatasi garis tersebut adalah ax + by =. Nilai dari a b =. A. 5 B. 39. Bayangan garis y = 3x + oleh translasi ( ) dilanjutkan ( 3 5 ) adalah A. y = 3x 7 B. y = 3x 5 C. y = 3x + 5 D. y = 3x + 7 E. y = 3x + The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7 9 C. 5 3 D. 5 3 E. 5

20 3. Diberikan titik K( 3,). Koordinat titik K jika titik K mengalami transformasi T T dimana T = ( 3 5 ) dan T = ( ) adalah A. ( 8, 7) B. ( 3, 85) C. ( 37, 65) D. ( 3, 83) E. (, 95). Bayangan garis g terhadap transformasi R (O,8 ) dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu-y adalah g : 3x + y = 5. Persamaan garis berikut ini yang tepat adalah A. g: 3x + y = 5 B. g: 3x y = 5 C. g: 3x + y = 5 D. g: 3x + y = 5 E. g: x + 3y = 5 5. Segi- KMNP mempunyai koordinat K(,), M(3,5), N(5,6), dan 8 3 P(7,). Segi- ini akan ditransformasi menurut matriks ( 9 ) menjadi K M N P. Selisih luas bangun K M N P dengan KMNP adalah SL. A. B. C. D. 3 E Bayangan titik N terhadap transformasi ( ) M y=x adalah N ( 6, ). Koordinat titik N adalah A. (, ) B. (, ) C. (, 8) D. (, 6) E. (, 3) 7. Bayangan garis 3x + y = terhadap transformasi ( ) adalah A. x + 7y + = B. x 7y + = C. x y = D. 6x + y = E. x + y = 6 8. Diketahui vektor a = ( ) dan b = ( ). Nilai x sehingga vektor 3 x a tegak lurus terhadap vektor b adalah A. B. 3 C. D. 3 E. The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7

21 9. ABC adalah sebuah segitiga sama sisi. Jika koordinat A(, k, ), B(,, ), dan C(,, k) dan keliling segitiga ABC adalah m, nilai dari m = A. B. C. D. 3 E Diketahui vektor p = ( ), q = ( 5 ), dan r = ( 8). Nilai dari p q + r =. A. 5 6 B. 3 C. 6 3 D. 3 6 E Titik A( 5,3,), B(7,,), dan C(x, y, z) kolinier. Jika BA AC = 3, nilai nilai dari x + y + z = A. B. C. 3 D. E Proyeksi skalar ortogonal dari vektor a terhadap vektor a + b, jika vektor a = ( ) dan b = ( ), adalah 3 A B. 8 3 C. 7 D E Proyeksi vektor ortogonal dari vektor b a terhadap vektor a, jika 3 diketahui bahwa vektor a = ( ) dan b = ( ), adalah 9 A. ( 9 9 B. ( ) C. ( D. ( ) ) ) The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7 E. ( )

22 3 5. Diketahui vektor u = ( ), v = ( p), dan panjang proyeksi vektor u terhadap v sama dengan setengah panjang vektor v. Nilai p = A. atau B. atau C. atau D. atau E. atau 55. Nilai n sehingga (a, b ) = π dimana a = ( 3 ), b = ( n) adalah 3 A. n = n = B. n = C. n = D. n = E. n = n = KUNCI JAWABAN B B D 3 C D 5 E E B E 3 D E 5 D 3 A 3 A 3 B 33 E 3 A 53 C E C A 3 A C 5 B 5 D 5 D 5 B 35 E 5 A 55 E 6 A 6 D 6 E 36 B 6 B 7 C 7 A 7 C 37 C 7 D 8 D 8 B 8 B 38 D 8 A 9 A 9 C 9 A 39 E 9 D E E 3 B C 5 B The essence of mathematics lies in its freedom. / J s Mathematics Tutorial / 7