BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran

Transkripsi

1 BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran Orang Biologi Tidak Anti Statistika

2 Silabus Distribusi normal, penaksiran parameter, penaksiran titik dan penaksiran selang, selang kepercayaan untuk mean dan proporsi.

3 Tujuan 1 Mempelajari distribusi normal dan menghitung peluang suatu p.a berdistribusi normal standar 2 Memahami konsep penaksiran titik dan penaksiran selang 3 Menghitung selang kepercayaan untuk mean dan proporsi

4 Ilustrasi Ilustrasi Definisi Perhatikan fungsi peluang dari X, p.a yang menyatakan kandungan serum trigliserida dalam tubuh. Distribusi peluangnya tidak simetri dan menceng ke kanan (skew to the right atau positively skewed) sbb (Gb 4.1):

5 Ilustrasi Definisi densitas serum trigliserida (mg/dl) Figure: Fungsi peluang serum trigliserida

6 Ilustrasi Definisi Sedangkan fungsi peluang dari tekanan darah diatolik (DBP - diastolic blood presure) pada laki-laki usia tahun adalah seperti gambar berikut (Gb 4.2). Area A, B, C berturut-turut menyatakan peluang terjadinya hipertensi ringan, sedang dan berat. Umumnya DBP terjadi disekitar 80 mm Hg, dimana kemudian kemungkinannya berkurang seiring dengan berubahnya nilai DBP yang jauh dari 80.

7 Ilustrasi Definisi 0.03 densitas A B C DBP Figure: Fungsi peluang tekanan darah diatolik

8 Ilustrasi Definisi Fungsi peluang dari peubah acak yang menyatakan Berat Badan Lahir berikut fungsi distribusinya saat BB-nya 88 atau P(X 88) (Gb 4.3). Area tersebut memiliki arti khusus dalam kebidanan atau obstetrics dimana 88 adalah nilai batas atau cutoff point yang digunakan untuk mengidentifikasi bayi BBLR.

9 Ilustrasi Definisi 0.02 densitas Berat Badan Lahir (BBL) Figure: Fungsi peluang Berat Badan Lahir

10 Definisi Ilustrasi Definisi Misalkan X peubah acak berdistribusi normal dengan parameter µ dan σ 2. Fungsi peluangnya adalah ( 1 f X (x) = exp 1 ) (x µ)2, < x <, 2 π σ 2 σ2 Notasi: X N(µ, σ 2 ), dengan mean µ = E(X ) dan variansi σ 2 = Var(X ).

11 Ilustrasi Definisi Contoh: fungsi peluang untuk distribusi normal dengan mean 50 dan variansi 100 (Gb 4.4) f(x) σ σ (µ-σ) µ (µ+σ) x Figure: Fungsi peluang dari distribusi normal

12 Ilustrasi Definisi Distribusi N(0, 1) adalah kasus khusus dari distribusi N(µ, σ 2 ) dengan mean 0 dan variansi 1. Distribusi ini disebut juga distribusi normal standar/baku (Gb 4.5). Sifatnya adalah simetrik disekitar 0. Sifat empirik yang penting dari distribusi normal baku adalah P( 1 < X < 1) = , P( 1.96 < X < 1.96) = 0.95, P( < X < 2.576) = 0.99.

13 Ilustrasi Definisi f(x) % area 95% area 99% area (µ) x Figure: Fungsi peluang dari distribusi normal standar

14 Contoh/Latihan Ilustrasi Definisi 1 Diketahui Z N(0, 1). Tentukan nilai c dari persamaan peluang berikut: (a) P(Z > c) = 0 (b) P( Z c) = 0.25 (c) P( c < Z < 2 c) = 0.68 (d) P(c Z < 0) = Misalkan diameter pohon dari suatu spesies tertentu adalah peubah acak berdistribusi normal dengan mean 8 (inchi) dab deviasi standar 2 (inchi). Hitung peluang bahwa sebuah pohon memiliki diameter yang tak wajar yaitu lebih dari 12.

15 Definisi Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Misalkan suatu populasi memiliki mean µ. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari populasi tersebut. Penaksir untuk µ (disebut penaksir sampel) adalah X = 1 n n X i, i=1

16 Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean dengan sifat E( X ) = µ, Var( X ) = σ 2 /n, dimana deviasi standarnya adalah σ/ n yang disebut standard error of mean atau sem atau standard error. Standard error adalah ukuran kuantitatif dari variablitas mean sampel yang diperoleh dari sampel acak (berulang) berukuran n dari populasi yang sama.

17 Teorema Limit Pusat Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari populasi dengan mean µ dan variansi σ 2. Maka, untuk n besar, X N(µ, σ 2 /n), meskipun distribusi populasinya tidak normal.

18 Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Contoh. Hitung peluang bahwa mean BBL dari sampel berukuran 10 akan berada diantara 98 dan 126 (diketahui data populasi: mean 112 dan deviasi standar 20.6).

19 Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Solusi: ( ) ( ) P(98 < X < 126) = Φ 20.6/ Φ / = 10

20 Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Perhatikan transformasi peubah acak: Z = X µ σ/ n, dimana Z berdistribusi normal standar. Akibatnya, 95% nilai Z akan berada diantara dan Dengan kata lain, 95% mean sampel berada di selang ( µ 1.96 σ/ n, µ σ/ ) n Catatan: Dalam praktiknya, nilai σ tidak diketahui dan harus ditaksir oleh deviasi standar sampel s.

21 Distribusi t Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Jika X 1, X 2,..., X n sampel acak berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ 2, maka X µ S/ n t n 1, berdistribusi t dengan derajat kebebasan (degrees of freedom) n 1, dimana P(t d < t d,u ) = u.

22 Selang Kepercayaan untuk Mean Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean 100%(1 α) selang kepercayaan (SK) atau confidence interval (CI) untuk mean dari distribusi normal dengan variansi tidak diketahui adalah ( x t n 1,1 α/2 s/ n, x + t n 1,1 α/2 s/ ) n atau dituliskan x ± t n 1,1 α/2 s/ n

23 Contoh/Latihan Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean 1 Tentukan persentil ke-5 (atas) atau persentil ke-95 dari distribusi t dengan derajat kebebasan Hitung 95% selang kepercayaan untuk mean BBL berdasarkan sampel berukuran 10. Diketahui: x = 116.9; s = 21.7.

24 Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Selang Kepercayaan untuk Mean - Sampel Besar Nilai pendekatan 100%(1 α) selang kepercayaan (SK) atau confidence interval (CI) untuk mean dari distribusi normal (sampel besar) dengan variansi tidak diketahui adalah ( x z 1 α/2 s/ n, x + z 1 α/2 s/ ) n dengan ukuran sampel n > 200.

25 Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean Catatan: Panjang SK dipengaruhi oleh nilai n, s, dan α. Jika: n membesar, maka panjang SK... s membesar, maka panjang SK... α mengecil, maka panjang SK...

26 Contoh/Latihan Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean 1 Hitung 95% dan 99% selang kepercayaan untuk mean temperatur berdasarkan sampel berukuran 10 dan 100. Diketahui: x = 97.2; s = Pandang soal no 1. Hitung 95% SK dengan s = 0.4.

27 Penaksir Proporsi SK untuk Proporsi Misalkan X i p.a Bernoulli dengan peluang sukses p. Kita dapat menghitung E(X i ) = p, Var(X i ) = p(1 p). Untuk sejumlah n p.a Bernoulli, X = n i=1 X i, kita dapatkan p.a Binomial dengan E(X ) = dan Var(X ) =.

28 Penaksir Proporsi SK untuk Proporsi Pandang X p.a Binomial dengan parameter n dan p. Penaksir untuk p adalah ˆp atau proporsi sampel, yaitu ˆp = 1 n n X i = X /n, i=1 dengan E(ˆp) =, Var(ˆp) =

29 Penaksir Proporsi SK untuk Proporsi Untuk n besar, berdasarkan TLP, maka ˆp berdistribusi normal dengan mean p dan variansi p(1 p)/n. Dengan demikian, 100%(1 α) selang kepercayaan untuk p adalah (ˆp z 1 α/2 ˆp(1 ˆp)/n, ˆp + z1 α/2 ˆp(1 ˆp)/n )

30 Contoh/Latihan Penaksir Proporsi SK untuk Proporsi 1 Tentukan 95% SK untuk proporsi penderita kanker pada wanita berusia tahun, dimana diketahui 400 diantaranya menderita kanker. 2 Lakukan perhitungan diatas untuk α = 0.01 dan sampel berukuran n = 1000.