(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 29, 2007
Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Maka, f dikatakan mempunyai turunan di titik c apabila limit f (x) f (c) lim x c x c ada, dan dalam hal ini nilai limit tersebut disebut turunan dari f di titik c, yang biasanya dilambangkan dengan f (c) atau Df (c).
Jadi, untuk fungsi f yang mempunyai turunan di c, kita mempunyai f f (x) f (c) (c) = lim. x c x c Dengan mengganti x dengan c + h, kita peroleh f f (c + h) f (c) (c) = lim. h 0 h
Catat bahwa f mempunyai turunan di c jika dan hanya jika terdapat suatu bilangan L = f (c) sedemikian sehingga dengan ɛ(h) h 0 untuk h 0. f (c + h) f (c) Lh = ɛ(h)
Secara intuitif, sebuah fungsi f mempunyai turunan di titik c berarti bahwa grafik fungsi y = f (x) mempunyai garis singgung di titik (c, f (c)) dan gradien garis singgung tersebut adalah f (c). Persamaan garis singgung pada grafik fungsi y = f (x) di titik (c, f (c)) dalam hal ini adalah y = f (c) + f (c)(x c). Untuk ilustrasi, lihat Gambar 9.1 pada halaman berikut.
Gambar 9.1 Grafik fungsi f yang mempunyai turunan di titik c
Contoh 1 Daftar Isi Misalkan f (x) = x 2 dan c = 1. Untuk memeriksa apakah f mempunyai turunan di 1, kita hitung f (x) f (1) x 2 1 lim = lim x 1 x 1 x 1 x 1 = lim (x + 1) = 2. x 1 Jadi f mempunyai turunan di 1, dengan f (1) = 2. Secara umum dapat ditunjukkan bahwa f (x) = x 2 mempunyai turunan di setiap titik c R, dengan f (c) = 2c. Fungsi f : c 2c disebut sebagai turunan dari f.
Contoh 2 Daftar Isi Misalkan f (x) = x dan c = 0. Perhatikan bahwa f (h) f (0) h lim = lim h 0 h h 0 h tidak ada. (Mengapa?) Karena itu, f tidak mempunyai turunan di 0.
Proposisi 3 Daftar Isi Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Jika f mempunyai turunan di c, maka f kontinu di c. Bukti. Perhatikan bahwa f (x) f (c) = f (x) f (c) x c (x c) f (c) 0 = 0 untuk x c. Jadi f (x) f (c) untuk x c.
Kontraposisi Proposisi 2 menyatakan: jika f tidak kontinu di c, maka f tidak akan mempunyai turunan di c. Sebagai contoh, fungsi f : [0, 2] R yang didefinisikan sebagai { 2x, 0 x < 1; f (x) = 1, 1 x 2, tidak mungkin mempunyai turunan di 1 karena f tidak kontinu di titik tersebut.
Catatan Daftar Isi Proposisi 3 menyatakan bahwa kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi f untuk mempunyai turunan di c. Namun Contoh 2 memperlihatkan bahwa kekontinuan f di c bukan merupakan syarat cukup bagi f untuk mempunyai turunan di c.
Soal Latihan 1 Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x 2 di titik (1, 1). 2 Tunjukkan bahwa f (x) = x 2 mempunyai turunan di setiap titik c R, dengan f (c) = 2c. 3 Diketahui f (x) = x x, x R. Selidiki apakah f mempunyai turunan di 0. 4 Berikan sebuah contoh fungsi f yang kontinu di 0 tetapi tidak mempunyai turunan di sana, selain f (x) = x.
Teorema 4 Daftar Isi Misalkan f dan g terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Misalkan λ dan µ bilangan real sembarang. Jika f dan g mempunyai turunan di c, maka λf + µg, fg, dan f /g mempunyai turunan di c, dan (i) (λf + µg) (c) = λf (c) + µf (c); (ii) (fg) (c) = f (c)g(c) + f (c)g (c); ( ) (iii) f (c) g = f (c)g(c) f (c)g (c) asalkan g(c) 0. g 2 (c)
Bukti. (i) Perhatikan bahwa [ ] 1 h[ λf (c + h) + ] µg(c [ + h) λf (c) ] µg(c) = λ f (c+h) f (c) + µ g(c+h) g(c) untuk h 0. h λf (c) + µg (c) h
(ii) 1 h = g(c + h) untuk h 0. (iii) Latihan. [ ] λf (c + h)g(c + h) ] f (c)g(c) + f (c) [ f (c+h) f (c) h g(c)f (c) + f (c)g (c), [ g(c+h) g(c) h ]
Contoh 5 Daftar Isi Misalkan n N dan f (x) = x n. Maka turunan dari f adalah f (x) = nx n 1. Ini dapat dibuktikan secara induktif. Untuk n = 1 atau f (x) = x, jelas bahwa f (x) = 1. Sekarang misalkan pernyataan di atas benar untuk n = k, yakni jika f (x) = x k, maka f (x) = kx k 1. Maka, untuk n = k + 1 atau f (x) = x k+1, kita peroleh f (x) = D(x k.x) = D(x k ).x +x k.d(x) = kx k 1.x +x k = (k +1)x k. Jadi, menurut Prinsip Induksi Matematika, pernyataan benar untuk setiap n N.
Teorema 6 (Aturan Rantai) Misalkan g mempunyai turunan di x dan f mempunyai turunan di y = g(x). Maka, f g mempunyai turunan di x dan (f g) (x) = f (g(x))g (x). Bukti. Lihat Binmore.
Soal Latihan 1 Misalkan n N dan f (x) = x n. Buktikan dengan menggunakan definisi bahwa f (x) = nx n 1. 2 Misalkan n N. Buktikan jika f (x) = x n (x 0), maka f (x) = nx n 1. jika f (x) = x 1/n (x > 0), maka f (x) = 1 n x 1/n 1. 3 Buktikan bahwa untuk bilangan rasional r sembarang berlaku asalkan x > 0. D(x r ) = rx r 1 4 Misalkan f : R R mempunyai turunan di x. Buktikan jika f mempunyai invers f 1 : R R dan f 1 mempunyai turunan di y = f (x), maka Df 1 (y) = 1 Df (x).
Jika f mempunyai turunan di setiap titik dalam suatu interval terbuka I, maka kita katakan f mempunyai turunan pada I. Dalam hal ini turunan dari f, yaitu f, merupakan fungsi yang juga terdefinisi pada I. Selanjutnya kita dapat mendefinisikan turunan kedua dari f sebagai turunan dari f, yang nilainya di c adalah asalkan limit ini ada. f f (x) f (c) (c) = lim, x c x c Turunan ketiga dan seterusnya dari f dapat didefinisikan secara serupa. Secara umum, f (n) (x) menyatakan turunan ke-n, n N.
Contoh 7 Daftar Isi Jika f (x) = 1 x, maka f (x) = 1 x 2 ; dan seterusnya. f (x) = 2 x 3 ; f (x) = 6 x 4 ; Dapatkah anda menentukan rumus umum f (n) (x) untuk n N?
Soal Latihan 1 Diketahui f (x) = x. Tentukan f (x), f (x), dan f (x). Tentukan rumus umum f (n) (x) untuk n N. 2 Misalkan p(x) adalah polinom berderajat n. Buktikan bahwa p (m) (x) = 0 untuk m > n. 3 Berikan sebuah contoh fungsi yang mempunyai turunan pertama tetapi tidak mempunyai turunan kedua di 0.