ANALISIS HUBUNGAN KETAKSAMAAN NILAI SINGULAR PADA PEMETAAN LINIER DAN RENTANG NUMERIK UNTUK FUNGSI EKSPONENSIAL MATRIKS MNatsir 1) Asli Sirait ) Musraii 3) Rola Pae 4) Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Correspodig author: atsir100@gmailcom Abstrak Suatu matriks kompleks M didefiisika pada pemetaa liier pada M Diduga jika semi defiit positip utuk A X B maka merupaka rataa dari ilai sigular terbesar ke- j Suatu ekspoesial matriks A diyatakadalam betuk da retag umerik dari didefiisika dega Pada peelitia ii diaalisis sifat-sifat dasar dari serta aalisis kasus utuk A Hermitia key words : ketaksamaa ilai sigular pemetaa liier PENDAHULUAN Matriks sebagai salah satu bahagia matematika mempuyai pera da kotribusi dalam meyelesaika berbagai persoala baik dalam bidag matematika itu sediri maupu dalam bidag disipli ilmu laiya dega matriks da sifat-sifatya sebagai alat peyelesaia masalah tersebut Peelitia ii bersifat studi kepustakaa da recaa kegiata peelitia ii medalami tetag hubuga ketaksamaa ilai sigular pada pemetaa liier yag direpresetasika dalam suatu betuk: yag merupaka matriks semi defiit positip utuk setiap blok berukura x yag pembuktiaya dega meujukka pada pertaksamaa dega yag merupaka rataa ilai sigular terbesar ke-j Pada peelitia ii dibahas suatu matriks kompleks berukura x pada pemetaa diperoleh hubuga pada : Dugaa 1 Jika dimaa adalah semidefiit positif maka Trace dilambagka dega traspos kojugat dari adalah ilai sigular dari diotasika dega diatur sama Utuk dua matriks hermitia da kita tulis atau utuk megartika adalah semidefiit positif da mempuyai akar semidefiit positif tuggal diotasika dega berarti matriks idetitas x Ekspoesial matriks merupaka deret dari fugsi ekspoesial yag kostataya digati mejadi matriks A berukura sehigga terbetuklah deret matriks A berukura Suatu deret matriks dapat diperluas berdasarka Teorema Cayley-Hamilto yag meguraika polyomial ilai eige dari suatu matriks A kedalam betuk poliomial matriks A x Retag umerik dari suatu matriks secara umum telah mejadi topik peelitia yag luas selama setiap dekade yag megugkapka bayak iformasi tetag matriks Retag umerik dari matriks da kovex adalah himpua kompak Jural Saistek STT Pekabaru - 017 44
dega meujukka orm spektral matriks Defiisi utuk diaalisis oleh Choriaopoulos et al (010) dega memuat semua ilai eige dari Jika adalah matriks poliomial maka retag umerik dari didefiisika sebagai Utuk aalisis fugsi dari matriks difokuska pada fugsi ekspoesial di maa da Utuk ekspoesial dari didefiisika sebagai Peelitia ii bersifat studi literatur dega meelusuri lebih medalam dari hasil peelitia yag ditulis oleh Li (016) dalam peelitia yag berjudul Ketaksamaa Nilai Sigular Terkait Peta Liier da pedalama hasil peelitia oleh Choriaopoulos da Guo (016) tetag Retag Numerik Utuk Fugsi Ekspoesial Matriks da kelajuta dari hasil peelitia dari peeliti tetag metode alteratif utuk peyelesaia sistem x!= Ax Kajia Literatur da Perumusa Masalah Keterkaita ketaksamaa ilai sigular pada pemetaa liier memeuhi hubuga yag diyataka dalam lema berikut : Lemma 1 [4 h 75] Misal Lemma [4 h 6] Misal adalah sebuah kotraksi jika Lemma 3 (Apostol 1969) Jika dimaa adalah semidefiit positif maka terdapat kotraksi sehigga Lema berikutya merupaka Lema tambaha Lemma 4 Misal Dibagia ii dijelaska pegertia ilai eige da vektor eige utuk mejelaska teorema Cayley- Hamilto Defiisi 1 (Peterse 01) Skalar λ disebut ilai eige bila persamaa liier AX=λx utuk x 0 dega matriks A x da X adalah vektor eige Selajutya dapat dibetuk (λi A)X = 0 da det (λi A) = 0 diperoleh ilai eige λ 1 λ λ (1) Defiisi (Peterse 01) Jika λ 1 λ λ adalah ilai-ilai eige dari matriks A ordo x maka dapat dibetuk poliomial ilai eige 1 P c c () 1 1 c0 Teorema 1 (Peterse 01) Misalka A matriks x da λ 1 =λ = =λ adalah ilai-ilai eigeya Da Jika polyomial ilai eige matriks A : P(λ) = det (λi A) = a 0 +a 1 λ+a λ + +a -1 λ (-1) +λ maka diperoleh P(λ) =a 0 I+a 1 A+a A + +A = 0 (3) Teorema (Choriaopoulos et al 010) Jika A matriks kosta x kosta dega polyomial karakteristik P maka ekspoesial matriksya adalah: At e x t I x t A x t A L 1 x 3 t A 1 t t t t x1 1 dega x 1 B 0 1 x t B adalah matriks utuk t 0 da S 0 t t t 1 merupaka basis solusi sistem persamaa differesial homoge yag persamaa karakteristikya adalah persamaa karakteristik dari matriks A dega 0 p Peelusura literatur tetag materi yag berkaita dega ekspoe matriks memberika iformasi yag diperluka dalam megaalisis perumusa dari ekspoe matriks baik dari segi peelaaha ilai eige dari matriks A tersebut maupu tijaua tetag solusi dari sistem persamaa diferesial liier yag dibagu oleh A x sebagai matriks koefisie sistem liier tersebut Jural Saistek STT Pekabaru - 017 45
HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil da pembahasa pada bagia ii berisika ketaksamaa ilai eige Weyl da ketaksamaa ilai sigular blok matriks semi defiit positip 1 Ketaksamaa ilai eige Weyl Ketaksamaa ilai eige Weyl (Bhatia 007) meyataka jika adalah matriks Hermitia maka Sebagai kesatua Dugaa 1: Utuk utuk suatu matriks Bukti : Peggatia dega pada Lemma 4 Tapi ii megimplikasika Utuk setiap Dega megguaka Lemma 1 da Lemma 3 utuk meujukka kotraksi diperoleh Dari persamaa diperoleh pada Lemma Maka ketaksamaa (lemma 1) terbukti dari Misalka pada dugaa 1 diperoleh Karea adalah kotraksi sehigga ( memeuhi persamaa utuk megkofirmasi dugaa 1 Ketaksamaa Nilai Sigular Block Matriks Semi Defiit Positip Diketahui ketaksamaa rata-rata aritmatika da geometri utuk ilai sigular dalam betuk σ j (AB * ) σ j (A * A + B * B) j = 1 (Bhatia da Kittaeh 008) Utuk suatu A B ϵ M telah dibuktika (Zhag 005) dimaa σ j (A B) σ j (A B) j = 1 utuk matriks semi defiit positip A B M da σj(k) σ j j = 1 r (4) Utuk suatu block matriks semi defiit positip dimaa M M m N M m r = mi {m } Zhag (005) meujuka ilai sigular dari block matriks semi defiit positip bahwa jika A B da C merupaka matriks kompleks sedemikia higga 0 dimaa A berukura m m C berukura B berukuras m ad rak B = r maka log σ (B) log μ dimaa μ = (μ 1 μ μ ) dega μ i = max {λ i (A) λ i (C)} jika [ da 0 utuk laiya σ (B) μ selajutya misalka A B da C merupaka matriks persegi yag mempuyai orde sama maka log λ (B) log μ Ketaksamaa ilai sigular dari block matriks x dega megguaka operator jumlah lagsug dari matriks semi defiit positip memeuhi Jural Saistek STT Pekabaru - 017 46 (5)
Utuk suatu block matriks semi defiit where A M m C M m r = mi {m } Sebagai Jadi kosekwesiya (6) Utuk suatu block matriks semi defiit dimaa ABda C matriks persegi berukura x memeuhi hubuga j=1 (7) j=1 (8) Utuk suatu block matriks semi defiit dimaa ABda C matriks persegi berukura x diperoleh hubuga jika Ai maka Ai)j=1 (9) lemma 31 Jika memeuhi Maka lemma 3 Misalka AB merupaka matriks Hermitia Maka lemma 33 Jika AB Hermitia Maka merupaka matriks lemma 34 Misalka A da B merupaka matriks kompleks berukura maka lemma 35 Misalka A da B merupaka matriks semi defiit positip berukura sama maka 3 Ekspoesial Matriks Perumusa tetag ekspoesial dari suatu matriks persegi sebelumya dijabarka melalui perluasa fugsi matriks A yag mempuyai eige value λ 1 λ λ 3 λ yag diformulasika dalam betuk: dega e At kt e k 1 k x( t) e Z o At x Z da o j1 jk Z k k0 I j e kt (A - } k Sebagai ilustrasi Selesaika persamaa 0 1 1 x! = Ax dega A = xo 3 Diperoleh c(λ) = det (A λi) = 0 meghasilka λ = { -1 - } maka A - I 1 Z1 ; 1 - - -1 1 1 4 Z 1 x o - -1 4 Sehigga peyelesaia dari persamaa x adalah k1 kt -t -t k e xo e Z1 xo e x o x( t) Z Z j x o = Ax -t 4 -t - 3 e e 4 6 Jika dibadigka dega cara biasa dari ilaieige λ = { -1 - } diperoleh matriks P yag dibetuk oleh eigevektor [v 1 v ] 1 1 sehigga P = [v 1 v ] = 1 1 1 1 4 P -1 x o = diperoleh 1-3 hubuga Z 1 x o = c 1 v 1 da Z x o = c v Jadi solusi persamaa adalah t t 1 1 1 e 0 4 x( t) Pe P xo -1 - t 0 3 e Jural Saistek STT Pekabaru - 017 47
1-1 1 - -t 4 e - 3 4 Retag Numerik Retag umerik dari matriks adalah himpua kompak da kovex dega meujukka orm spektral matriks Defiisi utuk diaalisis serta memuat semua ilai eige dari (Choriaopoulos et al 010) Jika adalah dari matriks poliomial maka retag umerik didefiisika sebagai Utuk aalisis fugsi dari matriks difokuska pada fugsi ekspoesial di maa da Utuk ekspoesial dari didefiisika sebagai Retag Numerik pada operator T merupaka himpua bagia dari bilaga kompleks C yag didefiisika dalam betuk : Sifat-sifat dari W(T) memeuhi : e -t y = Diperoleh persamaa: Yag merupaka himpua ligkara dega Diferesialka ke wrt diperoleh : Dega megelimiasi kedua persamaa diperoleh : Yag merupaka ellips dega pusat 0 sumbu mior b da sumbu may Perumusa tetag retag umerik matriks ekspoesial ditelaah berdasarka difiisi berikut : Utuk suatu misalka retag umerik didefiisika sebagai berikut : Defiisi 3 (Li da Rodma 1997) Retag umerikal dari adalah da memeuhi : (10) ) = { utuk suatu matriks Uitary U Sebagai ilustrasi Misalka matriks A ditrasformasi : yag direpresetasika oleh Da misalka (fg) merupaka vektor satua dalam Diperoleh: Da = x + iy + (11) Teorema 3 Misalka maka tidak kosog jika da haya jika A buka matriks skalar Bukti: Jika adalah matriks skalar maka adalah kosog karea da jelas Misalka buka matriks skalaraka dutujukka tidak kosog dega iduksi pada ukura dari Ambil suatu matriks uitary sedemikia higga da adalah matriks segitiga atas Diperoleh sedemikia higga utuk setiap Oleh karea itu Sehigga A merupaka matriks segitiga atas Jural Saistek STT Pekabaru - 017 48
Misalka A matriks kompleks diperoleh maka dega Jika A memiliki dua ilai eige yag berbeda maka adalah kovex utuk semua itu sudah cukup utuk meujukka bahwa selalu ada kompleks yag meghubugka segme garis da melalui titik 0 atau dega kata lai utuk suatu sedemikia higga maka Atau sehigga karea itu dapat dipilih t sehigga di maa Oleh (1) Jika maka Misalka retag umerik A didefiisika dega Teorema 4 Misalka utuk setiap Uitary Misalka Sifat da karakteristik meggambarka iteraksi atara sifat-sifat geometris dari da sifatsifat aljabar (Li 014) Teorema 5 Misalka jika da haya jika jika da haya jika adalah defiit positif jika da haya jika adalah semidefiite positif jika da haya jika Retag umerik dari matriks Hermitia H adalah iterval tertutup pada sumbu real yag titik akhir dibetuk oleh eige ekstrim Jadi jika da haya jika Oleh karea itu } Misalka utuk setiap matriks segitiga atas A berukura k x k A dega Jadi terdapat sedemikia higga utuk suatu Utuk setiap matriks segitiga atas Terdapat tiga kemugkia: karea misalka mejadi vektor dega kompoe riel dega Maka megasumsika ilai eige ekstrim dari matriks diagoal haya utuk vektor eige atau dimaa da matriks segitiga atas berukura Sifat Sifat dari persamaa yag ekuivale sembarag Uitary U Nilai eige ekstrim diasumsika haya utuk vektor eige dalam fugsi Utuk setiap matriks kompleks mejadi dua kompoe sehigga dapat dibagi Jural Saistek STT Pekabaru - 017 49
dimaa da adalah matriks Hermitia yag berhubuga dega : Dari ii diperoleh Fugsi ekspoesial matriks diperoleh dari Solusi persamaa x! = Ax dalam betuk x(t) = e At x o = e (A-λI)t e λit x o = e (A-λI)t e λt x o t t [ I ( A I) t ( A I) ] e x o! Dimaa da adalah kompoe riel utuk setiap vektor x( t) [ I k0 (A - I) k! k t k ] e t x o Teorema 6 Misalka skalarda maka buka matriks (13) Bukti Karea Utuk diperoleh Karea Utuk setiap Oleh karea itu Diperoleh hubuga di maa adalah matriks persegi dega ukura yag sama Utuk da ketaksamaa mejadi 3 Suatu retag umerik dari operator T yag merupaka subset dari bilaga kompleks C dalam diperoleh hubuga betuk: =1} Uitary U 4 Utuk suatu matriks Hermitia H maka merupaka eige value terkecil da terbesar dari Matriks H da jika maka v merupaka eigevektor yag berkorespode dega (14) Meggabugka ketaksamaa (7) da (8) diperoleh atau ketaksamaa pada teorema (6) terbukti KESIMPULAN Dari hasil peelitia ii diperoleh kesimpula 1 Rataa geometric dua matriks defiit positip didefiisika dega Utuk dega batas atas diyataka dalam betuk Ketaksamaa No komutatif AM GM dirumuska dalam batuk DAFTAR PUSTAKA Apostol T M 1969 Calculus Vol II Secod Ed New York: Joh Willey ad Sos I Bhatia R 007 Positive De_ite Matrices Priceto: Priceto Uiversity Press Bhatia R da Kittaeh F 008 The matrix arithmetic geometric mea iequality revisited Liear Algebra applicatios Priceto: Priceto Uiversity Press Choriaopoulos C da Guo C -H 016 Numerical rage for the matrix expoetial fuctio Electroic Joural of Liear Algreba Choriaopoulos C Psarrakos P da Uhlig F 010 A method for the iverse umerical rage problem Electroic Joural of Liear Algreba Li C K da Rodma L 1997 Numerical rage of matrix polyomials SIAM Joural o Matrix Aalysis ad Applicatios Jural Saistek STT Pekabaru - 017 50
Li M 014 A Completely PPT Map Liear Algebra applicatios Li M 016 A Sigular Value Iequality Related to Liear Map Electroic Joural of Liear Algebra Peterse P 01 Liear Algebra New York: Spriger Zhag F 005 The Schur Complemet ad Its Applicatios Spriger Sciece Busiess Media Ic Jural Saistek STT Pekabaru - 017 51