Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n
Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Contoh fungsi yang telah dipelajari dalam Kalkulus I f(x) = x 2 f(x) merupakan fungsi bernilai real dari peubah real. Kalkulus 2: Fungsi bernilai real dari dua peubah real Contoh f(x,y) = x 2 + 3y 2
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih f(x,y) = x 2 + 3y 2 Fungsi f memadankan setiap pasangan berurutan (x,y) dalam himpunan D pada bidang dengan bilangan real tunggal f(x,y). Contoh: f(x,y) = x 2 + 3y 2 f(-1,4) = (-1) 2 + 3(4) 2 = 1 + 3(16) = 49
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Dalam fungsi ada beberapa istilah: 1. wilayah (daerah) asal fungsi, himpunan D 2. jelajah (daerah nilai) 3. peubah bebas 4. peubah tak bebas Wilayah asal, yakni himpunan semua titik (x,y) pada bidang tempat fungsi berlaku dan menghasilkan suatu bilangan real. Contoh: f(x,y) = x 2 +3y 2 wilayah asal fungsi adalah seluruh bidang wilayah asal fungsi adalah
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Dalam fungsi ada beberapa istilah: 1. wilayah (daerah) asal fungsi, himpunan D 2. jelajah (daerah nilai) 3. peubah bebas 4. peubah tak bebas Jelajah (daerah nilai) adalah himpunan semua nilai fungsi f. Peubah bebas dan peubah tak bebas f(x,y) = x 2 +3y 2 z = f(x,y) adalah peubah tak bebas x dan y adalah peubah bebas z = g(x,y) adalah peubah tak bebas x dan y adalah peubah bebas
Contoh grafik fungsi f dua peubah dari persamaan z = f(x,y). Biasanya grafik merupakan permukaan. Karena setiap (x,y) di daerah asal hanya berpadanan dengan satu nilai z, maka setiap garis tegak memotong permukaan paling banyak di satu titik.
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Contoh 1: Sketsa grafik dari Penyelesaian: perhatikan bahwa. 9x 2 + 4y 2 +9 z 2 =36 kedua ruas dikuadratkan Persamaan elipsoid. (Pasal 14.6, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J.Purcell & Dale Varberg)
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Contoh 1 (lanjutan penyelesaian): 9x 2 + 4y 2 +9 z 2 =36 Persamaan elipsoid. (Pasal 14.6, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J.Purcell & Dale Varberg) ELIPSOID
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Contoh 1 (lanjutan penyelesaian): sehingga 9x 2 + 4y 2 +9 z 2 =36 Grafik dari persamaan yang diberikan merupakan sebagian dari permukaan atas elipsoid.
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Contoh 2: Sketsa grafik z = f(x,y) = y 2 x 2 Penyelesaian: Grafiknya merupakan sebuah paraboloid hiperbol. (Pasal 14.6, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J.Purcell & Dale Varberg) PARABOLOID HIPERBOL
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Contoh 2 (lanjutan penyelesaian): Sketsa grafik z = f(x,y) = y 2 x 2 adalah sebagai berikut:
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Apakah mudah untuk mensketsa permukaan yang berpadanan dengan grafik fungsi dua peubah z = (x,y)? Kontur merupakan cara lain dan biasanya lebih mudah untuk menggambarkan sebuah permukaan. Setiap bidang mendatar z = c memotong permukaan dalam bentuk sebuah kurva. Proyeksi kurva pada bidang xy disebut kurva ketinggian.
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Proyeksi kurva pada bidang xy disebut kurva ketinggian. Kumpulan lengkungan-lengkungan disebut peta kontur.
Peta kontur. 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Contoh 3: Gambar peta-peta kontur untuk permukaan Penyelesaian: Kurva-kurva ketinggian dari dengan z = 0; 1; 1,5; 1,75; 2. berpadanan Peta konturnya adalah:
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Beberapa contoh grafik permukaan di ruang dimensi-tiga
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Beberapa contoh grafik permukaan di ruang dimensi-tiga
1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Untuk tugas studio: Sketsalah peta kontur untuk a. z = f(x,y) = xy b. z = y 2 x 2
2. Diferensial Parsial Fungsi f adalah suatu fungsi dua peubah x dan y. Jika y ditahan agar konstan, misal y = y 0, Maka f(x, y 0 ) menjadi fungsi satu peubah x. Diferensial f di x = x 0 disebut diferensial parsial f terhadap x di (x 0, y 0 ) dan dinyatakan sebagai f x (x 0, y 0 ).
2. Diferensial Parsial Diferensial parsial f terhadap x di (x 0, y 0 ) dinyatakan sebagai f x (x 0, y 0 ) dan ditulis sebagai: Diferensial parsial f terhadap y di (x 0, y 0 ) dinyatakan sebagai f y (x 0, y 0 ) dan ditulis sebagai:
2. Diferensial Parsial Cara menyelesaikan: 1. Mencari f x (x,y) dan f y (x,y) dengan menggunakan aturan baku diferensial. 2. Substitusikan x = x 0 dan y = y 0
2. Diferensial Parsial Contoh 1: Carilah f x (1,2) dan f y (1,2) jika f(x,y) = x 2 y + 3y 3 Penyelesaian: Untuk mencari f x (x,y), kita anggap y sebagai konstanta dan mendiferensialkan fungsi ini terhadap x. f(x,y) = x 2 y + 3y 3 f x (x,y) = 2xy + 0 f x (1,2) = 2. 1. 2 = 4 f(x,y) = x 2 y + 3y 3 f y (x,y) = x 2 + 9y 2 f y (1,2) = 1 2 + 9. 2 2 = 37
2. Diferensial Parsial Jika z = f(x,y), kita gunakan cara penulisan lain, maka Lambang khas dalam matematika dan disebut tanda diferensial parsial
2. Diferensial Parsial Contoh 2: Jika z = x 2 sin(xy 2 ), cari z/ x dan z/ y. Penyelesaian: =?
2. Diferensial Parsial Contoh 2 (lanjutan penyelesaian): z = x 2 sin(xy 2 )
2. Diferensial Parsial TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Kemiringan (gradien) garis singgung Permukaan yang mempunyai persamaan z = f(x,y). Bidang y = y 0 memotong permukaan kurva pada bidang PQR. Nilai f x (x 0,y 0 ) adalah kemiringan (gradien) garis pada kurva tersebut di P(x 0,y 0 ).
2. Diferensial Parsial TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Kemiringan (gradien) garis singgung
2. Diferensial Parsial TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Kemiringan (gradien) garis singgung Bidang x = x 0 memotong permukaan pada kurva bidang LPM. f y (x 0,y 0 ) adalah kemiringan garis singgung pada kelengkungan di titik P.
2. Diferensial Parsial TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Laju perubahan (sesaat) Diferensial parsial dapat juga ditafsirkan sebagai laju perubahan (sesaat). Misal dawai biola diikat di titik A dan B dan bergetar pada bidang xz. Gambar di atas menunjukkan posisi dawai pada suatu waktu tertentu t.
2. Diferensial Parsial TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Laju perubahan (sesaat) z = f(x,t) menyatakan tinggi senar di titik P dengan absis x pada saat t. z/ x adalah kemiringan dawai di P. z/ t adalah kecepatan tegak dari P.
2. Diferensial Parsial TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Laju perubahan (sesaat) Contoh 3: Volume suatu gas tertentu dikaitkan terhadap suhunya T tekanannya P menurut hukum gas PV = 10T. V diukur dalam inci kubik, P dalam pon per inci kuadrat, dan T dalam derajat Celsius. Jika T diusahakan konstan 200, berapa laju perubahan sesaat tekanan terhadap volumenya pada V = 50? Penyelesaian:
2. Diferensial Parsial TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Laju perubahan (sesaat) Contoh 3 (lanjutan penyelesaian): Laju perubahan sesaat tekanan terhadap volume Jadi
2. Diferensial Parsial DIRENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Secara umum, karena diferensial parsial suatu fungsi x dan y adalah fungsi lain dari dua peubah yang sama ini, diferensial tersebut dapat didiferensialkan secara parsial terhadap x dan y untuk memperoleh empat buah diferensial parsial kedua fungsi f.
2. Diferensial Parsial DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Contoh 4: Cari keempat diferensial parsial kedua dari Penyelesaian:
2. Diferensial Parsial DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):
2. Diferensial Parsial DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):
2. Diferensial Parsial DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Diferensial parsial tingkat tiga dan lebih didefinisikan dengan cara yang sama dan cara penulisannya pun serupa. Jadi, jika f suatu fungsi dua peubah x dan y, diferensial parsial ketiga f yang diperoleh dengan mendiferensialkan f secara parsial, pertama kali terhadap x dan kemudian dua kali terhadap y, akan ditunjukkan oleh
2. Diferensial Parsial DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Andaikan f suatu fungsi tiga peubah x, y, dan z. Diferensial parsial f terhadap x di (x, y, z) dinyatakan oleh f x (x, y, z) atau dan didefinisikan oleh Jadi, f x (x, y, z) diperoleh dengan memperlakukan y dan z sebagai konstanta dan mendiferensialkan terhadap x. Diferensial parsial terhadap y dan z didefiniskan dengan cara yang sama.
2. Diferensial Parsial DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Contoh 5: Jika f(x, y, z) = xy + 2yz + 3zx, cari f x, f y dan f z. Penyelesaian: f x (x, y, z) = y + 3z f y (x, y, z) = x + 2z f z (x, y, z) = 2y + 3x
2. Diferensial Parsial DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Contoh 6: Jika f(x, y, z) = x cos(y - z), Cari f/ x, f/ y, dan f/ z. Penyelesaian:
LIMIT Arti lambang limit di atas: Nilai f(x,y) semakin dekat ke bilangan L pada waktu (x,y) dapat mendekati (a,b) dengan cara tak berhingga.
LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Kita memerlukan suatu definisi yang memberikan L yang sama, tidak bergantung pada jalur (x,y) yang diambil dalam mendekati (a,b).
LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Definisi Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa untuk setiap > 0 (betapa pun kecilnya) terdapat d > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga dengan syarat bahwa
LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Titik-titik yang memenuhi adalah titik-titik di dalam suatu lingkaran dengan radius d terkecuali pusat (a,b).
LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Perhatikan beberapa segi dari definisi ini: 1. Secara lengkap definisi ini mengabaikan jalur pendekatan ke (a,b). Ini berarti bahwa jika jalur pendekatan yang berlainan menuju nilai-nilai L yang berlainan, maka limit tidak ada. 2. Perilaku f(x,y) di (a,b) tidak relevan, bahkan fungsi tidak harus terdefinisi di (a,b). Ini sebagai akibat pembatasan
LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Perhatikan beberapa segi dari definisi ini: 3. Definisi diungkapkan sedemikian sehingga langsung dapat diperluas ke fungsi tiga peubah (atau lebih). Cukup menggantikan (x,y) dan (a,b) oleh (x, y, z) dan (a, b, c) pada kemunculan mereka
LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Contoh: Contoh pada slide selanjutnya menggambarkan bahwa kita harus hati-hati
LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Contoh 1: Perhatikan bahwa fungsi f yang didefinisikan oleh tidak mempunyai limit di titik asal. Penyelesaian: Fungsi f didefinisikan dimana saja di bidang xy terkecuali di titik asal. Di semua titik pada sumbu x, yang berlainan dari titik asal, nilai f adalah
LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Contoh 1 (lanjutan penyelesaian): Jadi, limit f(x,y) untuk (x,y) mendekati (0,0) sepanjang sumbu x adalah
LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Contoh 1 (lanjutan penyelesaian): Serupa dengan langkah sebelumnya, di semua titik pada sumbu y, yang berlainan dari titik asal, nilai f adalah:
LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Contoh 1 (lanjutan penyelesaian): Limit f(x,y) untuk (x,y) mendekati (0,0) sepanjang sumbu y adalah
LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Contoh 1 (lanjutan penyelesaian): Jadi, kita mendapatkan jawaban berbeda yang tergantung bagaimana (x,y) (0,0). Sebenarnya terdapat titik-titik yang dekat terhadap (0,0) tempat nilai f adalah 1 dan titik-titik lain yang sama dekatnya tempat nilai f adalah -1. Limit tidak terwujud.
LIMIT Tugas: Andaikan 3. Limit dan Kekontinuan a. Perlihatkan bahwa f(x,y) 0 untuk (x,y) (0,0) sepanjang garis lurus sebarang y = mx. b. Perlihatkan bahwa untuk (x,y) (0,0) sepanjang parabola y = x 2 c. Kesimpulan apa yang anda tarik? (No 17 halaman 242, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid II, Edwin J.Purcell dan Dale Varberg)
3. Limit dan Kekontinuan REVIEW KALKULUS 1: KEKONTINUAN FUNGSI Dalam bahasa sehari-hari, kata kontinu digunakan untuk menggambarkan suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. Bagaimana pengertian fungsi yang kontinu? Dari ketiga gambar di atas, gambar yang mana yang mengilustrasikan suatu fungsi kontinu?
3. Limit dan Kekontinuan REVIEW KALKULUS 1: KEKONTINUAN FUNGSI tidak ada ada tetapi
3. Limit dan Kekontinuan REVIEW KALKULUS1: KEKONTINUAN FUNGSI Definisi: (Kekontinuan di suatu titik). Kita katakan bahwa f kontinu di c jika beberapa selang terbuka di sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan Dengan definisi di atas, syarat suatu fungsi kontinu adalah: 1. ada 2. f(c) ada 3. Jika salah satu dari ketiga syarat ini tak dipenuhi, maka f tak kontinu di c.
3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK Seperti pafa fungsi peubah tunggal, pada fungsi peubah banyak, untuk mengatakan bahwa f(x,y) kontinu di titik (a,b), kita syaratkan bahwa: 1. f mempunyai nilai di (a,b) 2. f mempunyai limit di (a,b) 3. Nilai f di (a,b) sama dengan limitnya di sana.
3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK Seperti halnya dengan fungsi satu peubah: jumlah, hasil kali, dan hasil bagi fungsi-fungsi kontinu adalah kontinu (asalkan pada kasus pembagian, kita menghindari pembagian oleh nol). Dapat dikatakan bahwa fungsi polinom dua peubah kontinu dimana-mana, karena merupakan jumlah dan hasil kali kontinu ax, by, dan c dengan a, b, dan c adalah konstanta. Umpamanya, fungsi f(x, y) = 5x 4 y 2 2xy 3 + 4 adalah kontinu dimana-mana di bidang xy.
3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK Fungsi rasional dua peubah adalah hasil bagi dua fungsi polinom sehingga kontinu asalkan penyebutnya bukan nol. Sebagai contoh: kontinu dimana-mana di bidang xy kecuali di titik-titik pada parabol y 2 = 4x. Seperti untuk fungsi satu peubah, suatu fungsi kontinu dari fungsi yang kontinu adalah kontinu.
3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK Teorema 15.3A (Fungsi tersusun). Jika g suatu fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f suatu fungsi satu peubah kontinu di g(a,b), maka fungsi tersusun yang didefinisikan oleh adalah kontinu di (a,b) Tugas Baca Teorema 2.7D Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1
3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK Contoh 2: Perlihatkan bahwa F(x,y) = cos(x 3 4xy +y 2 ) adalah kontinu di setiap titik dari bidang. Penyelesaian: Fungsi g(x,y) = x 3 4xy +y 2 yang merupakan sebuah polinom, adalah kontinu dimana-mana. Juga f(t) = cos t adalah kontinu di setiap bilangan t di R. Berdasarkan teorema 15.3A, kita simpulkan bahwa F(x,y) = f(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang.
3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Arti fungsi f(x,y) kontinu pada suatu himpunan S adalah jika f(x,y) kontinu di setiap titik dari himpunan. Beberapa istilah terkait himpunan-himpunan di bidang (dan ruang dimensi lebih tinggi), adalah: 1. Lingkungan beradius d dari suatu titik P, yaitu: Himpunan semua titik Q yang memenuhi Q P < d. Q P < d P - d < Q < P + d
3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Himpunan semua titik Q yang memenuhi Q P < d. Q P < d P - d < Q < P + d Di ruang berdimensi 2, suatu lingkungan adalah bagian dalam suatu lingkaran.
3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Himpunan semua titik Q yang memenuhi Q P < d. Q P < d P - d < Q < P + d Di ruang berdimensi 3, suatu lingkungan adalah bagian dalam suatu bola.
3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Titik P adalah titik dalam himpunan S jika terdapat suatu lingkungan dari P yang mengandung S. Himpunan semua titik dalam dari S adalah bagian dalam dari S.
3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Sebaliknya, P adalah titik batas dari S jika semua lingkungan dari P mengandung titik-titik yang berada di S dan titik-titik yang bukan S. Himpunan semua titik batas dari S disebut batas dari S.
3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Pada gambar di atas, A: suatu titik dalam dari S B: suatu titik batas dari S Suatu himpunan adalah terbuka jika semua titik-titiknya adalah titik dalam. Suatu himpunan adalah tertutup jika mengandung semua titik batasnya.
3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Jika S suatu himpunan terbuka, untuk mengatakan bahwa f kontinu pada S secara tepat berarti bahwa f kontinu di setiap titik S. Sebaliknya, jika S mengandung beberapa atau semua titik batasnya, kita harus hati-hati untuk memberikan tafsiran yang benar dari kekontinuan pada titik-titik yang demikian. Untuk mengatakan bahwa f kontinu pada suatu titik batas P dari S berarti bahwa f(q) harus mendekati f(p) untuk Q mendekati P melalui titik-titik dari S. Contoh untuk membantu memperjelas, dapat dilihat pada slide selanjutnya.
3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Andaikan Jika S adalah himpunan adalah benar untuk mengatakan bahwa f(x,y) kontinu pada S. Sebaliknya, akan tidak benar untuk mengatakan bahwa f(x,y) kontinu pada seluruh bidang.
3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Teorema 15.3B (Kesamaan parsial campuran). Andaikan f, f x, f y, f xy, dan f yx kontinu pada suatu himpunan terbuka S. Maka f xy = f yx pada tiap titik dari S.
TERIMAKASIH