Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 1 / 71 Kalkulus II Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan January 31, 2018
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 2 / 71 Outline Outline 1 Luas Daerah di Bidang Datar Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Panjang Kurva Luas Permukaan Benda Putar Momen dan Pusat Massa
1.1 Luas Daerah di Bidang Datar 1.2 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin 1.3 Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung 1.4 Panjang Kurva dan Luas Permukaan Benda Putar 1.5 Momen dan Pusat Massa Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 3 / 71
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 4 / 71 Outline Luas Daerah di Bidang Datar 1 Luas Daerah di Bidang Datar Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Panjang Kurva Luas Permukaan Benda Putar Momen dan Pusat Massa
Luas Daerah di Atas Sumbu-x Luas Daerah di Bidang Datar Figure : Ilustrasi fungsi kontinu dan tak negatif Perhatikan Gambar1, y = f (x) merupakan fungsi kontinu dan taknegatif di bidangxy pada interval a x b.. R adalah daerah yang dibatasi oleh y = f (x), x = a, x = b, dan y = 0 Luas daerah R tersebut adalah: A(R) = b a f (x) dx Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 5 / 71
Figure : Daerah di bawah fungsi y = x 4 2x 3 + 2 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 6 / 71 Luas Daerah di Atas Sumbu-x Luas Daerah di Bidang Datar Contoh Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh y = x 4 2x 3 + 2 antara x = 1 dan x = 2
Luas Daerah di Bidang Datar Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 7 / 71 Solusi: A(R) = 2 1 (x 4 2x 3 + 2) dx [ x 5 = 5 x 4 ] 2 2 + 2x 1 ( 32 = 5 16 ) 2 + 4 ( 15 12 ) 2 = 51 10 = 5.1
Luas Daerah di Bawah Sumbu-x Luas Daerah di Bidang Datar Figure : Ilustrasi fungsi kontinu dan tak negatif Perhatikan Gambar1, y = f (x) merupakan fungsi kontinu dan takpositif di bidangxy pada interval a x b.. R adalah daerah yang dibatasi oleh y = f (x), x = a, x = b, dan y = 0 Karena b dx bernilai negatif, maka luas daerah R tersebut adalah: a b A(R) = f (x) dx a Kalkulus II January 31, 2018 8 / 71 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 9 / 71 Luas Daerah di Bawah Sumbu-x Luas Daerah di Bidang Datar Contoh Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh y = x 2 /3 4 antara x = 2 dan x = 3 Figure : Daerah di bawah sumbu-x dan di atas fungsi y = x 2 /3 4
Luas Daerah di Bidang Datar Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 10 / 71 Solusi: 3 A(R) = = = = 2 3 2 [ x 3 ( ) x 2 /3 4 ( x 2 /3 + 4 ] 3 9 + 4x 2 ( 27 ) 9 + 12 = 145 9 ) dx dx ( ) 8 9 8
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 11 / 71 Langkah menghitung luas Daerah Luas Daerah di Bidang Datar Figure : Ilustrasi Sketsa Grafik dan Irisannya Buat sketsa fungsi f (x), tentukan daerah batasnya, misalkan [a, b]; Potong daerah menjadi beberapa irisan tipis; Dekati irisan tersebut sebagai suatu persegi panjang identik, A i f (x i ) x i ; Jumlahkan semua luas irisan A n i=1 f (x i) x i ; dan Gunakan limit untuk perhitungan integral luas daerah dengan mengambil pendekatan lebar irisan menuju nol, A = b a f (x) dx =; lim x 0 n i=1 f (x i) x i.
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 12 / 71 Irisan Vertikal Luas Daerah di Bidang Datar Figure : Ilustrasi Irisan Vertikal Perhatikan Gambar 7. Misalkan f (x) dan g(x) adalah dua fungsi kontinu dengan f (x) g(x) pada a x b.
Irisan Vertikal Luas Daerah di Bidang Datar Figure : Ilustrasi Irisan Vertikal Dengan menggunakan lima langkah menghitung luas daerah: 1 Buat sketsa fungsi f (x) dan g(x), tentukan daerah batasnya, misalkan [a, b]; 2 Potong daerah menjadi beberapa irisan tipis; 3 Dekati irisan tersebut sebagai suatu persegi panjang identik, A i (f (x i ) g(x i )) x i ; 4 Jumlahkan semua luas irisan A n i=1 (f (x i) g(x i )) x i ; dan 5 Gunakan limit untuk perhitungan integral luas daerah dengan mengambil pendekatan lebar irisan menuju nol, A = b (f (x) g(x)) dx =; lim n a x 0 i=1 (f (x i) g(x i )) x i. Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan () Kalkulus II January 31, 2018 13 / 71
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 14 / 71 Irisan Horizontal Luas Daerah di Bidang Datar Figure : Ilustrasi Irisan Horizontal Perhatikan Gambar 9. Misalkan f (y) dan g(y) adalah dua fungsi kontinu dengan f (y) g(y) pada a y b.
Irisan Horizontal Luas Daerah di Bidang Datar Figure : Ilustrasi Irisan Horizontal Dengan menggunakan lima langkah menghitung luas daerah: 1 Buat sketsa fungsi f (y) dan g(y), tentukan daerah batasnya, misalkan [a, b]; 2 Potong daerah menjadi beberapa irisan tipis; 3 Dekati irisan tersebut sebagai suatu persegi panjang identik, A i (f (y i ) g(y i )) y i ; 4 Jumlahkan semua luas irisan A n i=1 (f (y i) g(y i )) y i ; dan 5 Gunakan limit untuk perhitungan integral luas daerah dengan mengambil pendekatan lebar irisan menuju nol, b Kalkulus n II January 31, 2018 15 / 71 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan ()
Solusi: TimKerjakan Dosen Kalkulusdengan II Tahun Persiapan limabersama langkah Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 16 / 71 Luas Daerah di antara Dua Kurva Luas Daerah di Bidang Datar Contoh Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh y = x 4 dan y = 2x x 2. Figure : Daerah di antara fungsi y = x 4 dan y = 2x x 2
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 17 / 71 Jarak dan Perpindahan Luas Daerah di Bidang Datar Misalkan sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dengan kecepatan v(t). Jika v(t) 0, maka b a v(t) dt merupakan jarak yang ditempuh dalam interval a t b. b a v(t) dt = s(b) s(a) menyatakan suatu perpindahan benda yang bergerak dari posisi s(a) ke s(b). Karena nilai kecepatan bisa negatif, maka total jarak yang ditempuh selama a t b adalah b a v(t) dt
Luas Daerah di Bidang Datar Contoh Sebuah benda berada pada posisi s = 3 saat t = 0 dan bergerak dengan kecepatan v(t) = 5 sin 6πt. Di posisi manakah benda tersebut pada saat t = 2 dan berapa jauh benda bergerak selama rentang waktu tersebut? Figure : Grafik Gerak Benda Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 18 / 71
Solusi: Luas Daerah di Bidang Datar Perpindahan benda: 2 2 [ s(2) s(0) = v(t) dt = 5 sin 6πt dt = 5 ] 2 cos 6πt = 0 0 0 6π 0 Dengan demikian, s(2) = s(0) + 0 = 3 + 0 = 3 menunjukkan bahwa benda tersebut berada pada posisi 3 saat t = 2. Total jarak yang ditempuh benda tersebut adalah 2 0 v(t) dt = 2 Dengan menggunakan sifat simetri, maka 2 0 v(t) dt = 12 = 60 0 5 sin 6πt dt 2/12 0 5 sin 6πt dt [ 1 cos 6πt 6π ] 1/6 = 20 π 6.3662. Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 19 / 71 0
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 20 / 71 Latihan Soal Luas Daerah di Bidang Datar Dapatkan luas daerah dari A. Figure : Soal latihan 1 sampai 4
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 21 / 71 Latihan Soal Luas Daerah di Bidang Datar Dapatkan luas daerah dari A. Figure : Soal latihan 5 dan 6
Latihan Soal Luas Daerah di Bidang Datar 7 Sketsakan daerah yang ditutupi oleh kurva-kurva berikut dan hitung luas areanya. a. y = x 2, y = x, x = 1/4, x = 1 b. y = cos 2x, y = 0, x = π/4, x = π/2 c. x = sin y, x = 0, y = π/4, y = 3π/4 d. x 2 = y, x = y 2 8 Dapatkan garis horizontal y = k yang membagi daerah di antara y = x 2 dan y = 9 menjadi dua bagian yang sama. 9 Dapatkan garis vertical x = k yang membagi daerah yang dibatasi oleh x = y, x = 2 and y = 0 menjadi dua bagian yang sama. 10 Hitung luas daerah antara kurva y = sin x dan garis yang menghubungkan antara titik-titik (0, 0) dan ( 5π 6, 12) pada kurva tersebut. 11 Bermula dari s = 0 saat t = 0, sebuah benda bergerak sepanjang garis sehingga kecepatannya pada saat t Tim Dosen Kalkulus II Tahun adalah Persiapanv(t) Bersama = Institut 4t 2Kalkulus cm/s. Teknologi II BerapaKalimantan lama benda January 31, tersebut () 2018 22 / 71
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 23 / 71 Outline Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin 1 Luas Daerah di Bidang Datar Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Panjang Kurva Luas Permukaan Benda Putar Momen dan Pusat Massa
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 24 / 71 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin
Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Konsep Volume Figure : Volume Benda-Benda Tegak Misalkan A dan h masing-masing adalah luas penampang dan tinggi benda tegak. Volume V benda tersebut adalah: V = A h Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 24 / 71
Konsep Volume Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Figure : Irisan Benda Putar Misalkan suatu kurva kontinu pada interval [a, b] di atas sumbu-x diputar tegak lurus sebesar terhadap sumbu putar (sumbu-x). Perhitungan volume didekati dengan membuat irisan-irisan tipis pada benda putar tersbut kemudian menjumlahkannya. Misalkan irisan diambil pada titik-titik a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b. Antara titik x i dan x i 1 terdapat titik tengah x i, terlihat bahwa irisan tersebut menyerupai sebuah tabung tipis dengan luas alas A(x i ) dan tinggi/tebal dari x i 1 Tim Dosen Kalkulus hinggaiixtahun i, sehingga Persiapan x Bersama i = xinstitut i x i 1 Kalkulus. Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 25 / 71
Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Konsep Volume Figure : Irisan Benda Putar Volume irisan tersebut adalah V i A( x i ) x i. Volume benda (pendekatan): n V A(x i ) x i Volume benda: V = i=1 b a A(x) dx Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 26 / 71
Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Metode Cakram Contoh Suatu daerah yang dibatasi kurva y = x, sumbu-x, dan x = 4 diputar terhadap sumbu-x. Dapatkan volume benda benda tersebut. Figure : Sketsa Benda Putar Misalkan irisan diambil pada titik x i dan x i 1 dengan tebal x. Karena jari-jari irisan sebesar x i, maka luas alas irisan adalah A(x i ) = π( x i ) 2 dan volume irisan: V i π( x i ) 2 x Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 27 / 71
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 28 / 71 Metode Cakram Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume benda (pendekatan): Volume benda: V = lim x 0 Figure : Sketsa Benda Putar V n π( x i ) 2 x i=1 n π( x i ) 2 x = i=1 4 0 π( [ x) 2 x 2 dx = π 2 ] 4 0 = 8π
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 29 / 71 Metode Cakram Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Contoh Suatu daerah yang dibatasi kurva y = x 3, sumbu-y, dan y = 3 diputar terhadap sumbu-y. Dapatkan volume benda benda tersebut. Figure : Sketsa Benda Putar Misalkan irisan diambil pada titik y i dan y i 1 dengan tebal y Jarak dari sumbu putar ke kurva: 3 y sehingga jari-jari irisan sebesar 3 y Luas alas irisan adalah A(x i ) = π 3 y Volume irisan: V i π( 3 y) 2 y
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 30 / 71 Metode Cakram Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume benda (pendekatan): Volume benda: n V = lim π( 3 x i ) 2 y = y 0 i=1 Figure : Sketsa Benda Putar V 3 0 n π( 3 x i ) 2 y i=1 π( 3 [ ] 3 x) 2 3 dy = π 5 y 5/3 = π 9 3 9 11.76 0 5
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 31 / 71 Metode Cincin Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Figure : Konsep Volume pada Cincin Cincin memiliki dua jari-jari, r 1 sebagai jari-jari dalam dan r 2 sebagai jari-jari luar. Jika tinggi cincin adalah h, maka volume cincin tersebut adalah V = A h = π(r 2 2 r 2 1 )h
Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Metode Cincin Contoh Dapatkan volume benda putar yang diperoleh dengan cara memutar daerah yang dibatasi y = x 2 dan y 2 = 8x terhadap sumbu-x. Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 32 / 71
Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 33 / 71 Solusi: Dengan membuat irisan, pendekatan volume, kemudian mengintegralkan, maka volume benda tersebut adalah V = π 2 0 (8x x 2 ) dx = π [ 8x 2 2 = x 5 ] 2 = 48π 5 0 5
Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 34 / 71 Contoh Daerah setengah lingkaran yang dibatasi oleh kurva x = 4 y 2 dan sumbu-y dirotasikan terhadap garis x = 1. Hitung volume benda tersebut. Figure : Sketsa dan Irisan
Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 35 / 71 Jari-jari dalam: 1 Jari-jari luar: 1 + 4 y 2 Tinggi irisan: y V π [(1 + ] 4 y 2 ) 2 1 2 y Volume: 2 V = π = π 2 2 = π ( = π 2 2 ( 2 [ (1 + 4 y 2 ) 2 1 2] dy [ 2 4 y 2 + 4 y 2] dy 0 2π + ( = π 2π + 8 8 ) 3 2 ) 4 y 2 dy + (4 y 2 )dy 0 [ 4y 1 ] ) 2 3 y 3 0 = 2π 2 + 16 3 π
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 36 / 71 Latihan Soal Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Jika R adalah daerah yang diputar mengelilingi sumbunya, maka dapatkan volume yang dihasilkan. Figure : Latihan 1 sampai 4
Latihan Soal Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Jika R adalah daerah yang diputar mengelilingi sumbunya, maka dapatkan volume yang dihasilkan. Figure : Latihan 5 sampai 8 Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 37 / 71
Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Latihan Soal 9 Dapatkan volume benda padat yang dihasilkan oleh derah yang dibatasi oleh y = x + 1, y = 2x dan y = 0 dan diputar mengelilingi sumbu x. [Hint: Bagi benda padat yang dihasilkan tersebut menjadi dua bagian.] 10 Dapatkan volume benda padat yang dihasilkan oleh derah yang dibatasi oleh y = x 2 and y = x 3 dan diputar mengelilingi sumbu: (a) garis x = 1 dan (b) garis y = 1. Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 38 / 71
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 39 / 71 Tugas 1 Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Kerjakan semua latihan soal yang ada
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 40 / 71 Outline Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung 1 Luas Daerah di Bidang Datar Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Panjang Kurva Luas Permukaan Benda Putar Momen dan Pusat Massa
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 41 / 71 Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Sebuah kulit tabung dengan jari-jari dalam r 1, jari-jari luar r 2, dan tinggi h akan memiliki volume sebagai berikut: V = (luas alas) (tinggi) = (πr 2 2 πr 2 1 )h = π(r 2 + r 1 )(r 2 r 1 )h ( r1 + r ) 2 = 2π h(r 2 r 1 ) 2 = 2πrh r dengan r = (r 1 + r 2 )/2 : rata-rata jari-jari (r 1 + r 2 ) : ketebalan, dan h : ketinggian. Dengan teknik irisan, pendekatan, dan integrasi, maka diperoleh volume benda putar tersebut adalah dan V 2πx f (x) x V = 2π b a x f (x) dx im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 41 / 71
im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 42 / 71 Contoh: Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Daerah yang dibatasi oleh y = 1/ x, sumbu x, x = 1, dan x = 4 diputar terhadap sumbu y. Dapatkan volume yang dihasilkan.
im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 43 / 71 Solusi Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Berdasarkan gambar, kita peroleh perhitungan volume yang dibangkitkan oleh kurva f (x) = 1/ x adalah sebagai berikut: V 2πx f (x) x V 2πx 1/ x x V = 2π 4 1 x 1 x dx = 2π [ ] 4 2 = 2π 3 x 3/2 1 ( 2 = 2π 3 8 2 ) 3 1 4 1 x 1/2 dx = 28π 3 29.32
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 44 / 71 Outline Panjang Kurva 1 Luas Daerah di Bidang Datar Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Panjang Kurva Luas Permukaan Benda Putar Momen dan Pusat Massa
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 45 / 71 Panjang Kurva Panjang Kurva
Panjang Kurva Persamaan Parameter Perhatikan gambar lingkaran berjari-jari a, berpusat di (0, 0) dan persamaan pembentuknya. Pada koordinat kartesius, lingkaran tersebut dibentuk oleh persamaan x 2 + y 2 = a 2 Lingkaran x 2 + y 2 = a 2 dapat pula dibentuk oleh x = a cos t, y = a sin t, 0 t 2π x dan y diekspresikan dalam parameter t Kurva yang dihasilkan oleh persamaan parameter merupakan kurva berarah im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 45 / 71
im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 46 / 71 Contoh: Persamaan Parameter Panjang Kurva Persamaan parameter x = 2t + 1, y = t 2 1, pada 0 t 3 menghasilkan kurva berarah sebagai berikut
Panjang Kurva Panjang Kurva Teorema Suatu kurva dikatakan halus (smooth) jika dibentuk oleh dua persamaan parameter x = f (t) dan y = g(t) pada a t b dengan syarat kedua turunan pertama dx/dt dan dy/dy tidak bersama-sama bernilai nol pada (a, b). Teorema Panjang Kurva yang dibentuk oleh oleh dua persamaan parameter x = f (t) dan y = g(t) pada a t b adalah L = b a [dx ] 2 + dt [ ] dy 2 dt dt Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 47 / 71
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 48 / 71 Panjang Kurva Panjang Kurva Teorema Jika x dipandang sebagai parameter, maka panjang kurva y = f (x) pada a x b adalah b [ ] dy 2 L = 1 + dx (1) dx Teorema a Jika y dipandang sebagai parameter, maka panjang kurva x = g(y) pada c y d adalah d [dx ] 2 L = + 1dy (2) dy c
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 49 / 71 Contoh Panjang Kurva Panjang Kurva Dapatkan panjang kurva y = x 3/2 dari titik (1, 1) ke (2, 2 2) dalam dua cara: (a) menggunakan formula (1) dan (b) menggunakan formula (2) Solusi (a) dy dx = 3 2 x 1/2 Karena kurva membentang dari x = 1 ke x = 2, maka panjang kurva y = x 3/2 adalah L = 2 1 1 + ( ) 3 2 2 2 x 1/2 dx = 1 1 + 9 4 xdx
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 50 / 71 Panjang Kurva Contoh Panjang Kurva (lanjutan) Dengan mensubstitusi u = 1 + 9 4x dan mengubah batas integrasi (x = 1, x = 2) menjadi (u = 13 2, u = 22 4 ), diperoleh L = 4 9 = 8 27 22/4 13/4 u 1/2 du [ (22 ) 3/2 4 = 22 22 13 13 27 ( ) ] 13 3/2 4 2.09 (b) Sekarang coba untuk menghitung panjang kurva dengan mengubah y = x 3/2 menjadi x = y 2/3 dan memperhatikan batas integrasi.
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 51 / 71 Outline Luas Permukaan Benda Putar 1 Luas Daerah di Bidang Datar Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Panjang Kurva Luas Permukaan Benda Putar Momen dan Pusat Massa
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 52 / 71 Luas Permukaan Benda Putar Luas Permukaan Benda Putar Perputaran suatu kurva menghasilkan benda putar yang memiliki volume Selain volume, benda putar tersebut juga memiliki luas permukaan.
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 53 / 71 Luas Permukaan Benda Putar Luas Permukaan Benda Putar Perhitungan luas permukaan benda putar didekati dengan menghitung luas irisan kerucut (frustum) Luas irisan kerucut dengan jari-jari r 1, r 2, sisi miring l dan tinggi t adalah S = π(r 1 + r 2 )l
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 54 / 71 Luas Permukaan Benda Putar Luas Permukaan Benda Putar Perhatikan irisan kerucut (frustum) berikut Sisi miring irisan kerucut ke k dari suatu benda putar dengan jari-jari f (x k 1 ), f (x k ), tinggi x adalah S k = π[f (x k 1 ) + f (x k )] ( x) 2 + [f (x k ) f (x k 1 )] 2
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 55 / 71 Luas Permukaan Benda Putar Luas Permukaan Benda Putar Teorema Misalkan f adalah fungsi halus (smooth) dan tak negatif pada [a, b]. Luas permukaan benda putar yang dihasilkan dari perputaran y = f (x) antara x = a dan x = b terhadap sumbu-x adalah S = b a 2πf (x) 1 + [f (x)] 2 dx = b a 2πy 1 + [ ] 2 dy dx dx Teorema Misalkan g adalah fungsi halus (smooth) dan tak negatif pada [c, d]. Luas permukaan benda putar yang dihasilkan dari perputaran x = g(x) antara x = c dan x = d terhadap sumbu-y adalah S = d c 2πg(y) 1 + [g (y)] 2 dy = d c 2πx 1 + [ ] 2 dx dy dy
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 56 / 71 Luas Permukaan Benda Putar Latihan Luas Permukaan Benda Putar Dapatkan luas permukaan benda putar yang dibangkitkan oleh perputaran kurva y = x 2 antara x = 1 dan x = 2 terhadap sumbu y solusi: Karena diputar terhadap sumbu-y, maka y = x 2 menjadi x = y dan untuk x = 1 dan x = 2 masing-masing menghasilkan y = 1 dan y = 4.
im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 57 / 71 Luas Permukaan Benda Putar Contoh Luas Permukaan Benda Putar S = = = π = π 4 4 1 4 ( ) dx 2 2πx 1 + dy dy 2π ( ) 1 2 y 1 + 2 dy y 1 4 1 17 5 = π 4 2 3 1 + 4ydy u 1/2 du [u 3/2] 17 = π 6 (173/2 5 3/2 ) 30.85 5
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 58 / 71 Latihan Luas Permukaan Benda Putar 1 Dapatkan panjang kurva berikut a. y = 2x + 3 antara (1, 5) dan (3, 9) b. x = 3y 3/2 1 untuk 0 y 4 c. x = 1 + t, y = 2 + 3t, 0 t 1 d. 4 sin t, y = 4 cos t 5, 0 t π
Luas Permukaan Benda Putar Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 59 / 71 2 Carilah luas permukaan yang terbentuk dengan pemutaran kurva yang diberikan mengelilingi sumbu x a. y = 25 x 2, 2 x 3 b. y = x 6 =2, 1 x 3 8x 2 c. y = x 3 3, 1 x 7 d. x = cos t, y = sin t, 0 t 1 3 Sebuah luasan R dibatasi kurva x = 9 y 2, 3 x 3 dan diputar mengelilingi sumbu y. Hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 60 / 71 Outline Momen dan Pusat Massa 1 Luas Daerah di Bidang Datar Volume Benda Putar dengan Irisan: Metode Cakram dan Cincin Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung Panjang Kurva Luas Permukaan Benda Putar Momen dan Pusat Massa
Momen dan Pusat Massa Titik a dan P disebut pusat massa. Misalkan batang L terletak pada sumbu x dengan x adalah pusat massa, m 1 pada x 1 yang berjarak d 1 dari x, dan m 2 pada x 2, yang bejarak m 2 dari x. Batang pada gambar 1 akan setimbang jika m 1 d 1 = m 2 d 2 m 1 ( x x 1 ) = m 1 ( x x 2 ) Bagaimana cara menentukan titik a pada gambar 1 dan P pada gambar 2 agar batang dan lempeng berada dalam keadaan setimbang? m 1 x + m 2 x = m 1 x 1 + m 2 x 2 x = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 m 1 x 1 dan m 2 x 2 disebut momen. im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 61 / 71
Momen dan Pusat Massa Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 62 / 71 Secara umum, jika terdapat n buah partikel bermassa m 1, m 2,..., m n pada titik x 1, x 2,..., x n pada sumbu x, maka pusat massa sistem tersebut berada pada x = n i=1 m ix i n i=1 m i = M m (3) dengan M = n i=1 m ix i dan m = n i=1 m i, sehingga persamaan (3) bisa ditulis m x = M.
Momen dan Pusat Massa Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 63 / 71 Misalkan suatu sistem pada bidang xy memuat n buah sistem m 1, m 2,..., m n berada pada titik (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n). Momen sistem terhadap sumbu y adalah n M y = m i x i i=1 dan Momen sistem terhadap sumbu x adalah n M x = m i y i i=1 x = n i=1 m ix i n i=1 m i = M m dengan M = n i=1 m ix i dan m = n i=1 m i. M y mengukur kecenderungan sistem berotasi pada sumbu y M x mengukur kecenderungan sistem berotasi pada sumbu x
im Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 64 / 71 Momen dan Pusat Massa Misalkan sebuah lempeng tipis R yang dibatasi oleh y = f (x), sumbu x, dan interval [a, b] pada gambar (a) memiliki kepadatan ρ yang sama. Perhatikan irisan lempeng pada gambar (b) di titik x i. Luas daerah pada irisan tersebut adalah ρf ( x i ) x momen pada R terhadap sumbu y adalah M y = lim n = ρ i=1 b a n ρ x i f ( x i ) x xf (x) dx momen pada R terhadap sumbu x adalah M x = lim n n i=1 ρ 1 2 [f ( x i)] 2 x b 1 = ρ a 2 [f (x)]2 dx
Momen dan Pusat Massa Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 65 / 71 Massa lempeng dengan luas A dan rapat massa ρ adalah m = ρa = ρ b a f (x) dx x = M y m = ρ b a xf (x) dx ρ = b a f (x) dx b a xf (x) dx b a f (x) dx = 1 A b a xf (x) dx (4) ȳ = M x m = ρ b 1 a 2 [f (x)]2 dx ρ b a f (x) dx = Pusat massa ( x, ȳ). b a 1 2 [f (x)]2 dx b = a f (x) dx 1 A b a 1 2 [f (x)]2 dx (5)
Momen dan Pusat Massa Pusat massa lempeng yang dibatasi dua kurva f (x) dan g(x) pada interval [a, b] x = 1 A b a x[f (x) g(x)] dx (6) ȳ = M x m = 1 b 1 A a 2 {[f (x)]2 [g(x)] 2 } dx (7) Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 66 / 71
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 67 / 71 Contoh Pusat Massa Momen dan Pusat Massa Dapatkan pusat massa dari daerah yang dibatasi oleh garis y = x dan parabola y = x 2 Solusi: x = 1 A = = 6 1 1 1/6 1 0 1 0 x[f (x) g(x)] dx 0 x[x x 2 ] dx (x 2 x 3 ) dx [ x 3 = 6 3 x 4 4 ] 1 0 A = 1 0 [ (x x 2 x 2 )dx = 2 x ] 3 1 = 1 3 0 6 = 1 2
Momen dan Pusat Massa Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 68 / 71 ȳ = 1 A 1 0 1 1 = 1/6 [ x 3 = 3 1 2 {[f (x)]2 [g(x)] 2 } dx 0 3 x 5 5 1 2 (x 2 x 4 ) dx ] 1 0 pusat massa ( 1, ) 2 2 5 = 2 5
Momen dan Pusat Massa Teorema Pappus Teorema Misalkan daerah R terletak pada satu sisi suatu garis l dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, maka volum benda-pejal yang dihasilkan sama dengan luas R dikalikan jarak yang ditempuh oleh sentroidnya. Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 69 / 71
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 70 / 71 Latihan Momen dan Pusat Massa 1 Diketahui keping homogen dengan rapat massa 1 yang menempati daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y = x 2. Tentukan massa dan pusat massa keping tersebut. 2 Jika D = (x, y) π 2 x π 2, 0 y cos x Tentukan (a) luas daerah D (b) momen daerah D terhadap sumbu x (c) momen daerah D terhadap sumbu y (d) pusat daerah D 3 Gunakan Teorema Pappus untuk menentukan volum daerah D = {(x, y) 0 x 2, x 2 y 4} jika diputar terhadap sumbu y.
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 71 / 71 Daftar Pustaka Momen dan Pusat Massa Dale Varberg, Edwin J. Purcell, steven E. Rigdon (2007): Calculus, ninth edition, Pearson Prentice Hall. James Stewart (2012): Calculus Seventh Edition, Brooks/Cole, Cengage Learning, USA. Anton, Bivens, Davis (2012): Calculus Early Transcendentals 10th Edition, John Wiley and Sons, Inc., USA.