SUBGELANGGANG KOMUTATIF MAKSIMAL DARI GELANGGANG POLINOM MIRING Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc Dra. Nur Erawaty, M.Si Filawati, S.Si Jurusa Matematika, Fakultas Matemetika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Hasauddi, Jl. Peritis Kemerdekaa KM.10, Makassar, 90245. E-mail : fila.fmipa08@gmail.com Abstrak Misalka R adalah gelaggag dega idetitas 1, σ adalah suatu edomorfisma da δ adalah suatu σ-derivatif. Gelaggag poliom mirig atas R dega peubah x adalah gelaggag: R x; σ, δ = {f x = r x + + r 0 r i R} dega atura perkalia xr = σ r x + δ r, utuk setiap r R. Atura perkalia tersebut megakibatka gelaggag poliom mirig bersifat tidak komutatif, meskipu gelaggag tumpua R merupaka gelaggag komutatif. Pada sisi lai, terdapat himpua bagia di dalam gelaggag poliom mirig yag bersifat komutatif. Gelaggag poliom mirig dapat memuat lebih dari satu subgelaggag yag bersifat komutatif, da dari subgelaggag yag bersifat komutatif tersebut, ada yag maksimal. Dapat ditujukka bahwa R merupaka subgelaggag komutatif maksimal dari gelaggag poliom mirig R x; σ apabila R komutatif da σ berorder tak higga (σ 1). Selai itu, dapat juga ditujukka bahwa R merupaka subgelaggag komutatif maksimal dari gelaggag poliom mirig R x; δ apabila R komutatif, R memiliki karakteristik ol da δ tidak ol. Abstract Let R be a rig with idetity 1, σ be a edomorphism of R ad δ is a σ-derivatio. The Skew Polyomial Rig over R i a idetermiate x is: R x; σ, δ = {f x = r x + + r 0 r i R} with multiplicatio rule xr = σ r x + δ r, for all r R. The multiplicatio rule resulted i skew polyomial rig R x; σ, δ is ot commutative although R is commutative. O the other had, there is a subset i the polyomial rig oblique commutes. Skew polyomial rig ca load more tha oe subrig who commutes, ad from which it commutes subrig there are maximum. It ca be show that R is a commutative subrig maximum of the skew polyomial rig of R x; σ if R commutative ad σ is of ifiite order. I additio, it ca also be show that R is maximal commutative subrig of R x; δ if R commutative, R has characteristic zero ad δ is o-zero. Keywords: Skew polyomial rig, maximal commutativity 1
1. PENDAHULUAN Defiisi dari gelaggag poliom mirig (gelaggag tak komutatif) pertama kali diperkealka oleh Ore, yag megkombiasika ide awal dari Hilbert (kasus δ = 0) da Schlessiger (kasus σ = 1). Sejak kemucula artikel dari Ore ii, Gelaggag Poliom Mirig telah bayak memeraka pera yag petig dalam teori gelaggag tak komutatif. Berikut diberika defiisi legkap dari gelaggag poliom mirig. Defiisi 1.1 Misalka R adalah gelaggag dega idetitas 1, σ: R R adalah edomorfisma gelaggag (tidak mesti pemetaa satu-satu) da δ: R R adalah σ-derivatif, yaitu: 1. δ suatu edomorfisma grup terhadap operator tambah dalam R, 2. δ ab = σ a δ b + δ a b ; utuk setiap a, b R. Gelaggag poliom mirig atas R dega peubah x adalah gelaggag: R x; σ, δ = {f x = r x + + r 0 r i R} dega xr = σ r x + δ r, utuk setiap r R. (Richter: 2012) Operator bier di dalam gelaggag poliom mirig yag megadug σ da δ megakibatka gelaggag poliom mirig bersifat tidak komutatif, meskipu gelaggag tumpuaya merupaka gelaggag komutatif. Pada sisi lai, terdapat himpua bagia di dalam gelaggag poliom mirig yag bersifat komutatif. Gelaggag poliom mirig dapat memuat lebih dari satu subgelaggag yag bersifat komutatif, da dari subgelaggag yag bersifat komutatif tersebut, ada yag maksimal. Dapat ditujukka bahwa R merupaka subgelaggag komutatif maksimal dari gelaggag poliom mirig R x; σ apabila R komutatif da σ berorder tak higga (σ 1). Selai itu, dapat juga ditujukka bahwa R merupaka subgelaggag komutatif maksimal dari gelaggag poliom mirig R x; δ apabila R komutatif, R memiliki karakteristik ol da δ tidak ol. 2. METODE PENELITIAN Kajia ii merupaka kajia ilmu muri yag bersifat studi literatur. Oleh karea itu, kajia ii aka megguaka pedekata eksploratif da adaptasi. Khususya, dalam hal ii aka dimafaatka pegetahua yag peulis miliki dari hasil peelitia jural yag diperoleh sebelumya. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Struktur Gelaggag Poliom Mirig Gelaggag poliom mirig atas R dega peubah x adalah gelaggag: R x; σ, δ = {f x = r x = r 0 + r 1 x + + r x r i R} dega atura perkalia xr = σ r x + δ(r), utuk setiap r R, dega σ da δ berturut-turut adalah suatu edomorfisma da suatu σ-derivatif. Perkalia di dalam gelaggag poliom mirig yag megadug σ da δ megakibatka gelaggag poliom mirig bersifat tidak komutatif. 2
Jika σ = 1 atau σ adalah edomorfisma idetitas, maka gelaggag poliom mirig cukup ditulis R[x; δ] da lebih dikeal dega ama gelaggag operator diferesial. Jika δ = 0, maka gelaggag poliom mirig cukup ditulis R[x; σ]. Jika σ = 1 atau σ adalah edomorfisma idetitas, maka gelaggag poliom mirig cukup ditulis R[x; δ] da lebih dikeal dega ama gelaggag operator diferesial. Jika δ = 0, maka gelaggag poliom mirig cukup ditulis R[x; σ]. Berikut diberika cotoh dari gelaggag poliom mirig. Cotoh 3.1.1 : Gelaggag Poliom Mirig Utuk Kasus σ = 1 Misalka R = k[y]. Edomorfisma pada R didefiisika sebagai berikut. σ r 0 + r 1 y + r 2 y 2 + + r y = r 0 + r 1 y + r 2 y 2 + + r y, utuk setiap r 0 + r 1 y + r 2 y 2 + + r y R. Adapu pemetaa δ pada R didefiisika sebagai berikut. δ r 0 + r 1 y + r 2 y 2 + + r y = r 1 + 2r 2 y 2 1 + + r y 1, utuk setiap r 0 + r 1 y + r 2 y 2 + + r y R, yag memeuhi syarat σ-derivatif. Dega demikia, R[x; δ] merupaka gelaggag poliom mirig. Cotoh 3.1.2 : Gelaggag Poliom Mirig Utuk Kasus δ = 0 Misalka k sebarag lapaga dega karakteristik ol da R = k[y] adalah gelaggag poliom. Didefiisika σ y = qy utuk suatu q k 0,1. Maka utuk setiap p y k y, diperoleh σ p y = p(qy), yag merupaka suatu automorfisma dari R. Pemetaa δ pada R didefiisika δ p y = 0 utuk setiap p y k y. 3.2 Subgelaggag Komutatif Maksimal 3.2.1 Subgelaggag Komutatif Maksimal dalam R x: σ Proposisi 3.2.1 i=0 a i x i R[x; σ, δ] merupaka usur pemusat dari R dalam R[x; σ, δ] jika da haya jika: ra i = j =i a j π i j (r) berlaku utuk setiap i 0,1,, da setiap r R. Proposisi 3.2.2 Misalka R gelaggag komutatif. Jika utuk setiap Z + terdapat r R sedemikia sehigga σ r r adalah usur regular, maka R merupaka subgelaggag komutatif maksimal dalam R x: σ. Lebih khusus, jika R gelaggag komutatif da σ berorder tak higga, maka R merupaka subgelaggag komutatif maksimal. Cotoh 3.2.1 : Cotoh Subgelaggag Komutatif Maksimal Misalka k sebarag lapaga dega karakteristik ol da R = k[y] adalah gelaggag poliom. Didefiisika σ y = qy utuk suatu q k 0,1. Maka utuk setiap p y k y, diperoleh σ p y = p(qy), yag merupaka suatu automorfisma dari R. Pemetaa δ pada R didefiisika δ p y = 0 utuk setiap p y k y yag memeuhi syarat σ-derivatif. 3
Dega demikia, R x: σ merupaka gelaggag poliom mirig. Jika q buka akar uity, maka berdasarka Proposisi 3.2.2, R merupaka subgelaggag komutatif maksimal. Tetapi jika q merupaka akar uity, maka x da y adalah usur pusat yag megakibatka R buka subgelaggag komutatif maksimal. 3.2.2 Subgelaggag Komutatif Maksimal dalam R x: δ Lemma 3.2.1 Misalka q = r Z(R). Peryataa berikut berlaku: (i) Jika = 0, maka rq qr = 0; (ii) i=0 q i x i R[x; δ] da Jika 1, maka rq qr memiliki pagkat palig besar 1, dega koefisie q δ r ; (iii) xq qx = i=0 δ q i x i. Proposisi 3.2.2 Misalka R gelaggag komutatif dega karakteristik ol. Jika δ tidak ol, maka R merupaka subgelaggag komutatif maksimal dalam R[x; δ]. Cotoh 3.2.2 : Misalka k adalah lapaga dega karakteristik p > 0 da misalka R = k y. Jika δ merupaka σ-derivatif, maka x p merupaka usur pusat dalam R[x; δ]. Akibatya, R buka merupaka subgelaggag komutatif maksimal. Ii meujukka bahwa asumsi karakteristik dari R pada Proposisi 3.2.2 tidak dapat diubah. 4 KESIMPULAN 1. Struktur dari gelaggag poliom mirig. a. Gelaggag poliom mirig atas R dega peubah x adalah gelaggag: R x; σ, δ = {f x = r x = r 0 + r 1 x + + r x r i R} dega atura perkalia xr = σ r x + δ(r), utuk setiap r R, dega σ da δ berturutturut adalah suatu edomorfisma da suatu σderivatif. Perkalia di dalam gelaggag poliom mirig yag megadug σ da δ megakibatka gelaggag poliom mirig bersifat tidak komutatif. Jika σ = 1 atau σ adalah edomorfisma idetitas, maka gelaggag poliom mirig cukup ditulis R[x; δ] da lebih dikeal dega ama gelaggag operator diferesial. Jika δ = 0, maka gelaggag poliom mirig cukup ditulis R[x; σ]. b. Pada sisi lai, terdapat himpua bagia dari gelaggag poliom mirig yag bersifat komutatif da sekaligus merupaka subgelaggag dari gelaggag poliom mirig tersebut, yaitu gelaggag tumpua dega lambag R, pemusat R dalam gelaggag poliom mirig dega lambag C R[x;σ,δ] R, da pusat dari gelaggag poliom mirig dega lambag Z R x; σ, δ. Dari subgelaggag yag bersifat komutatif tersebut, ada yag maksimal. 2. Betuk subgelaggag komutatif maksimal dari gelaggag poliom mirig. a. Gelaggag tumpua R merupaka subgelaggag komutatif maksimal dari gelaggag poliom mirig R x; σ jika R komutatif da σ berorder tak higga (σ 1). b.gelaggag tumpua R merupaka subgelaggag komutatif maksimal dari gelaggag poliom mirig R x; δ jika R komutatif dega karakteristik ol da δ tidak ol. 4
DAFTAR PUSTAKA Grillet, P. Atoie. 2007. Abstract Algebra, 2d Editio. New York : Spgelaggager Sciece ad Busiess Media, LLC. ( http://bookfi.org/book/741192, diakses 26 Jui 2014 ) McCoell, J.C. ad Robso, J.C. 1987. Nocommutative Noetheria Rigs. New York: Joh Wiley ad Sos. Fraleigh, Joh B. 1994. A First Course I Abstract Algebra, 5 th editio. New York: Addiso Wesley Publishig Compay. Richter, J. 2012. Ore Commutative Subrigs ad Algebraic Depedece. Extesios, Their Maximal (http://www.maths.lth.se/matematiklth/persoal/j ohar/liceciat.pdf, diakses 26 Jui 2014 ) Sasom, N. 2006. Reversible Skew Lauret Polyomial Rigs, Rigs Of Ivariats ad Related Rigs. (http://davidjorda.staff.shef.ac.uk/nsthesis.pdf, diakses 27 Oktober 2014 ) Amir, A.K. 2010. Pusat dari Beberapa Gelaggag Poliom Mirig: Suatu Kajia Pustaka. Jural Matematika. Oiert, J.2009. Ideal ad Maximal Commutative Subrigs of Graded Rigs. 5