Matematika SMA (Program Studi IPA)

Smart Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusun oleh : Pak Anang

2. 5. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran. Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran Bentuk Umum (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 dibagi ( 2) Pusat Jari-jari Pusat (a, b) r ( 1 2 A, 1 2 B) Jumlah kuadrat pusat dikurangi C Jari-jari r = ( 1 2 A)2 + ( 1 2 B)2 C Halaman 32 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran PGS Lingkaran di titik (x 1, y 1 ) pada lingkaran PGS Lingkaran dengan gradien m Pangkat dua menjadi perkalian dua faktor. Pangkat satu menjadi setengah penjumlahan. Ingat pola persamaan garis lurus y = mx + c Lalu perhatikan gambar berikut! x 2 (x a) 2 x diganti diganti diganti x 1 x (x 1 a)(x a) 1 2 (x 1 + x) Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien m, maka PGS tersebut adalah y = mx ± c dimana c = r 1 + m 2 PGS lingkaran di titik (x 1, y 1 ) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari r x 1 x + y 1 y = r 2 PGS lingkaran di titik (x 1, y 1 ) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari r (x 1 a)(x a) + (y 1 b)(y b) = r 2 PGS lingkaran di titik (x 1, y 1 ) pada lingkaran dengan bentuk umum x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 PGS dengan gradien m dari lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari r y = mx ± r 1 + m 2 PGS dengan gradien m dari lingkaran pusat (a, b) dan jari-jari r (y b) = m(x a) ± r 1 + m 2 x 1 x + y 1 y + A 2 (x 1 + x) + B 2 (y 1 + y) + C = 0 Catatan Tambahan: Ingat juga tentang konsep jarak titik (x 1, y 1 ) ke garis ax + by + c = 0: d = ax 1 + by 1 + c a 2 + b 2 TRIK SUPERKILAT: PGS lingkaran pusat (x 1, y 1 ) jari-jari r yang sejajar dengan garis ax + by + c = 0: ax + by = ax 1 + by 1 ± r a 2 + b 2 PGS lingkaran pusat (x 1, y 1 ) jari-jari r yang tegak lurus dengan garis ax + by + c = 0: bx ay = bx 1 ay 1 ± r a 2 + b 2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 33

PGS Lingkaran di titik (x 1, y 1 ) yang berada di luar lingkaran (a, b) (0, 0) (x 1, y 1 ) Titik Singgung (a, b) Diperoleh PGS + Persamaan Lingkaran (dalam variabel a, b). Substitusi titik (x 1, y 1 ) ke PGS, lalu substitusi PGS ke persamaan lingkaran Diperoleh dua titik Singgung (a 1, b 1 ) dan (a 2, b 2 ) Substitusikan ke PGS di langkah kedua Selesai TRIK SUPERKILAT: Cari gradien PGS tersebut menggunakan rumus PGS dengan gradien tertentu. PGS akan diperoleh dengan mensubstitusi titik di luar lingkaran tersebut dan nilai gradien. Selesai. Halaman 34 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh Soal: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, 5) yang menyinggung lingkaran x 2 + y 2 = 10! PGS menyinggung titik tertentu di lingkaran. Misal titik singgung tersebut (a, b). Artinya titik (a, b)tersebut berada baik di PGS maupun lingkaran. (a, b) (0, 0) (5, 5) Sehingga, diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel a dan b. Perhatikan bahwa (a, b) berada di lingkaran, maka: PGS lingkaran di titik (a, b) adalah ax + by = 10 Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan melewati titik (a, b) adalah a 2 + b 2 = 10 Karena PGS melewati (5, 5) maka bila kita substitusikan (5, 5) ke PGS akan diperoleh: ax + by = 10 5a + 5b = 10 a + b = 2 b = 2 a Dari persamaan lingkaran a 2 + b 2 = 10 dan b = 2 a, substitusikan b = 2 a ke persamaan lingkaran diperoleh: a 2 + (2 a) 2 = 10 a 2 + (4 4a + a 2 ) = 10 2a 2 4a + 4 = 10 2a 2 4a + 4 10 = 0 2a 2 4a 6 = 0 a 2 2a 3 = 0 (a + 1)(a 3) = 0 a = 1 atau a = 3 Dari a = 1 atau a = 3 akan diperoleh nilai b, yaitu: a = 1 b = 2 a = 2 + 1 = 3 a = 3 b = 2 a = 2 3 = 1 Jadi dua titik singgung tersebut adalah ( 1, 3) dan (3, 1). Sehingga PGS lingkaran pada titik ( 1, 3) dan (3, 1) adalah: x + 3y = 10 dan 3x y = 10. TRIK SUPERKILAT: Lingkaran x 2 + y 2 = 10 adalah lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari r = 10. Cari nilai gradien PGS tersebut dengan mensubstitusikan titik (5, 5) dan jari-jari 10 ke dalam rumus: y = mx ± r 1 + m 2 5 = m(5) ± 10 1 + m 2 5 5m = ± 10 1 + m 2 (kuadratkan kedua ruas) 25 50m + 25m 2 = 10 + 10m 2 15m 2 50m + 15 = 0 3m 2 10m + 3 = 0 (3m 1)(m 3) = 0 m = 1 atau m = 3 3 Jadi, persamaan garis singgung melalui (5,5) dan gradien m = 1 3 y y 1 = m(x x 1 ) y 5 = 1 (x 5) 3 x + 3y = 10 Persamaan garis singgung melalui (5,5) dan gradien m = 3 y y 1 = m(x x 1 ) y 5 = 3(x 5) 3x y = 10 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 35

Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran: Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran Perhatikan pola persamaan lingkaran yang ada pada soal! Contoh: 1. Diberikan persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah. (x 0) 2 + (y 0) 2 = 25 Pusat di (0, 0) dan jari-jari 5. r 2 = 25 r = 5 2. Diberikan persamaan lingkaran (x 3) 2 + (y 4) 2 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah. (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 25 Pusat di (3, -4) dan jari-jari 5. r 2 = 25 r = 5 3. Diberikan persamaan lingkaran x 2 + y 2 2x + 4x 20 = 0, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah. x 2 + y 2 2x + 4x 20 = 0 1 2 dibagi (-2) Maka pusat (1, 2), dan jari-jari adalah r = (1) 2 + ( 2) 2 ( 20) Halaman 36 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menentukan persamaan lingkaran Seringkali tidak diketahui jari-jari lingkaran. Misal diketahui pusat lingkaran (a, b) dan lingkaran menyinggung sumbu X, maka r = b. Misal diketahui pusat lingkaran (a, b) dan lingkaran menyinggung sumbu Y, maka r = a. Seringkali juga jari-jari diperoleh dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bila diketahui pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis singgung. Contoh: 1. Persamaan lingkaran dengan pusat (5, 1) dan jari-jari 3 adalah. Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dengan jari-jari r: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 (x 5) 2 + (y + 1) 2 = 9 atau diubah ke bentuk umum persamaan lingkaran: (x 5) 2 + (y + 1) 2 = 9 x 2 10x + 25 + y 2 + 2y + 1 9 = 0 x 2 + y 2 10x + 2y + 17 = 0 2. Persamaan lingkaran dengan pusat di (3, 2) yang menyinggung sumbu X adalah. (x 3) 2 + (y 2) 2 = 2 2 x 2 + y 2 6x 4y + 9 = 0 3. Persamaan lingkaran dengan pusat di ( 1, 2) yang menyinggung sumbu Y adalah. (x + 1) 2 + (y 2) 2 = ( 1) 2 x 2 + y 2 + 2x 4y + 4 = 0 4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3x 4y 2 = 0 adalah. Pusat (x 1, y 1 ) = (1, 4) Garis 3x 4y 2 = 0, dengan a = 3, b = 4, dan c = 2. Persamaan lingkaran dengan pusat (x 1, y 1 ) menyinggung garis ax + by + c = 0 adalah: (x a) 2 + (y b) 2 = [ ax 1+by 1 +c a 2 +b 2 ]2 (x 1) 2 + (y 4) 2 3(1) 4(4) 2 = [ ] 3 2 + 4 2 x 2 2x + 1 + y 2 8y + 16 = 9 x 2 + y 2 2x 8y + 8 = 0 2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 37

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di lingkaran. Ingat konsep PGS dapat dilihat dari bentuk persamaan lingkarannya. Pangkat dua diubah menjadi perkalian dua faktor. Pangkat satu, diubah menjadi setengah penjumlahan. Contoh: 1. Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 25 di titik (4, 3) adalah. x 1 = 4 dan y 1 = 3 Ingat, ganti x 2 menjadi x 1 x, dan x menjadi ( x 1+x 2 ). x 2 + y 2 = 25 x 1 x + y 1 y = 25 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 4x 3y = 25 2. Persamaan garis singgung lingkaran (x 1) 2 + (y 4) 2 = 25 di titik ( 2, 0) adalah. x 1 = 2 dan y 1 = 0 Ingat, ganti x 2 menjadi x 1 x, dan x menjadi ( x 1+x 2 ). (x 1) 2 + (y 4) 2 = 25 (x 1 1)(x 1) + (y 1 4)(y 4) = 25 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: ( 2 1)(x 1) + (0 4)(y 4) = 25 ( 3)(x 1) + ( 4)(y 4) = 25 3x 4y 6 = 0 3. Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 6x + 4y 12 = 0 di titik (7, 1) adalah. x 1 = 7 dan y 1 = 1 Ingat, ganti x 2 menjadi x 1 x, dan x menjadi ( x 1+x 2 ). x 2 + y 2 6 x + 4 y 12 = 0 x 1 x + y 1 y 6 ( x 1 + x 2 ) + 4 ( y 1 + y 2 2 ) 12 = 0 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 7x + y 3(7 + x) + 2(1 + y) 12 = 0 4x + 3y 31 = 0 Halaman 38 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di luar lingkaran. 1. Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 9 di titik (1, 3) adalah. TRIK SUPERKILAT: Lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari r = 3. Cek apakah titik (1, 3) berada di dalam atau di luar lingkaran (?). x 2 + y 2 = 9 (1) 2 + (3) 2 = 10 > 9 (maka titik berada di luar lingkaran) Gunakan rumus berikut: y = mx ± r 1 + m 2 3 = m(1) ± 3 1 + m 2 3 m = ±3 1 + m 2 (kuadratkan kedua ruas) 9 6m + m 2 = 9 + 9m 2 8m 2 + 6m = 0 2m(4m + 3) = 0 m = 0 atau m = 3 4 Melalui (1,3) dan gradien m = 0 y y 1 = m(x x 1 ) y 3 = 0(x 1) y = 3 Melalui (1,3) dan gradien m = 3 4 y y 1 = m(x x 1 ) y 3 = 3 4 (x 1) 4y 12 = 3x + 3 3x + 4y = 15 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 39

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis. 1. Persamaan garis singgung lingkaran (x 3) 2 + (y + 5) 2 = 80 yang sejajar dengan garis y 2x + 5 = 0 adalah. Trik Superkilat: Sesuaikan sejajar apa nggak? PGS lingkaran pusat (x 1, y 1 ) jari-jari r yang sejajar dengan garis ax + by + c = 0: Masukkan substitusikan pusat ax + by = ax 1 + by 1 ± r a 2 + b 2 ± Rumus substitusikan jari-jari dan koefisien Lingkaran pusat (3, 5) dan jari-jari r = 80 PGS yang sejajar y 2x + 5 = 0 adalah y 2x juga!!! y 2x = ( 5) 2(3) ± 80 1 2 + ( 2) 2 y 2x = 11 ± 20 y = 2x 11 ± 20 2. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 4x 8y + 15 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 6 adalah. Trik Superkilat: Lingkaran pusat (2, 4) jari-jari r = 5 PGS yang sejajar x + 2y = 6 adalah x + 2y harus diubah menjadi 2x y!!! 2x y = 2(2) (4) ± 5 (2) 2 + (1) 2 2x y = 0 ± 5 2x y = 5 dan 2x y = 5 Halaman 40 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: 2 2 1. Lingkaran L 1 y 3 9 x memotong garis y 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah... A. dan Memotong garis y = 3 PGS lingkaran B. x 2 dan x 2 y = 3 (x + 1) 2 + (3 3) 2 = 9 (x 1 + a)(x + a) + (y 1 + b)(y + b) = r 2 C. x (x + 1) 2 = 9 ( 4, 3) ( 4 + 1)(x + 1) + 0 = 9 D. 3x 3 = 9 E. dan x 2 x 4 x 2 dan 4 x 2 dan x 8 TRIK SUPERKILAT: Gunakan sketsa lingkaran x 4 x 10 x + 1 = ±3 x + 1 = 3 atau x + 1 = 3 x 1 = 4 x 2 = 2 Jadi titik potongnya di ( 4, 3) dan (2, 3) (2, 3) (2 + 1)(x + 1) + 0 = 9 3x + 3 = 9 x = 2 x = 4 y = 3 x = 4 x = 2 Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 41